Ecuaciones de Segundo Grado: Ejercicios Resueltos para Secundaria

www.RecursosDidacticos.org
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ecuación de Segundo Grado
Forma
2
ax + bx + c = 0; a  0
se resuelve por
Factorización
Fórmula
AB = 0
x1,2 
A=0B=0
 b  b2  4 ac
2a
2
Nota: b – 4ac; se le llama discriminante y es denotado
por .
2
 = b – 4ac
Sea la ecuación de 2º Grado.
En general una ecuación de segundo grado
2
presenta la forma:
2x – 7x – 15 = 0
Donde:
ax
Término
Coeficiente
2x
Cuadrático
2
-7x
Lineal
-15
Independiente
2
+ b
+ c = 0
(a
 0)
Donde:
Término
2
ax
Coeficiente
www.RecursosDidacticos.org
(2x + 3) (
Ejemplo 1: Completa el siguiente cuadro.
Ecuación de 2º
a
2
2
c
2

x1 = -3/2
_______

x2 = _______
¡Ahora inténtalo!
5x + 8x + 9 = 0
ax + bx + c = 0
2x + 3 = 0
-7
2x – 7x – 15 = 0
Fórmula
General
b
) = 0 entonces
2
9x – 11x – 8 = 0
Calcula las raíces de cada una de las siguientes
4
-3
5
-2
3
7
ecuaciones de 2do. grado:
2
Si en la ecuación ax + bx + c = 0, se factoriza
____________ y luego cada factor obtenido se
Ecuaciones
Incompletas
iguala a ____________ obtenemos las dos raíces
de la ecuación.
2
Si en la forma general ax + bx + c = 0; b = 0,
entonces se genera la siguiente ecuación:
Ejercicios
Resolver
las
siguientes
método de factorización:
Tiene
raíces
que
son
números
reales
(o
simplemente raíces reales) sólo si a y c son de
2
1. x + 3x + 2 = 0
signo opuestos.
Ejemplo: Resolver 6x2 + 12x = 0
Factor común x en el 1º miembro:
x(6x + 12) = 0
Igualamos cada factor a CERO: x = 0
6x + 12 = 0
x
12
6
x = -2
2
2. 3x + x – 4 = 0
entonces: C.S. = {0; -2}
Métodos de
Solución
2
3. x – 8x – 9 = 0
1ER. MÉTODO: ASPA SIMPLE
Ejemplo 1:
2
Hallar las raíces de 6x – 5x – 21 = 0
2
Solución:
4. 2x – 5x + 2 = 0
2
Factorizando: 6x – 5x – 21
ecuaciones
por
el
www.RecursosDidacticos.org
2DO. MÉTODO: FÓRMULA GENERAL
Ejemplo:
Fórmula General:
2
Resolver: x – 5x + 4 = 0
Identificamos: a = 1; b = -5; c = 4
 b  b2  4 ac
x
2a
Calculamos DISCRIMINANTE ():
2
 = b – 4ac
2
 = (-5) – 4(1)(4)
2
Donde la expresión subradical b – 4ac recibe el
=9
Reemplazamos datos en la fórmula general:
nombre de DISCRIMINANTE (), de modo que
también podemos escribir que:
x
b 
x
2a
x1 
53
4
2
x2 
53
1
2
53
2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
2
Siendo ax + bx + c = 0; la expresión general
de una ecuación de 2º, marca con un aspa (x)
en la (V) si es verdadera o en la (F) si es falsa.
A. “c” es el término lineal.
B. “a” debe ser diferente de cero.
2
a) 1
d) 4
6.
Dada la siguiente expresión:
 b  b2  4 ac
; responde (V) o (F) según
2a
corresponda:
x
2
a. “b – 4ac” es el discriminante.
(…)
b. “c” es el coeficiente del término lineal. (…)
c. “a” es el coeficiente del término de 2º. (…)
3.
7.
Resolver las siguientes ecuaciones:
2
1. x – x = 0
2
2. x – 16 = 0
2
3. x = 16
2
4. x – 5x = 0
2
2
Resolver: 4x – 13x + 3 = 0 indicar la mayor
solución:
(V) (F)
(V) (F)
C. “ax ” es el término independiente. (V) (F)
D. “bx” es el término de 1er grado.
(V) (F)
2.
5.
2
b) 2
e) 1/4
c) 3
Hallar las raíces de las ecuaciones usando la
fórmula general.
2
1.
x + 5x + 2 = 0
2.
x + 7x + 5 = 0
3.
x + 4x – 1 = 0
4.
x – 3x + 1 = 0
5.
2x + 7x + 2 = 0
2
2
2
2
Resuelva las siguientes ecuaciones y señale
cuál de ellas posee la mayor raíz.
2
a)
x = 4x
b)
(x + 1)(x - 3) = 12
c)
12x – 25x + 12 = 0
d)
(x + 2)(x + 4) = 6x
e)
(2x - 3)(x + 5) = (3x - 5)(x - 3)
2
2
5. 2x – 1 = x + 24
4.
8.
2
Resolver: 3x + 5x – 12 = 0 indicar una de las
soluciones:
a) 1/3
d) 43
b) 2/3
e) N.A.
c) 5/3
En la siguiente ecuación, hallar la suma de
raíces:
x(x + 2) + 5 = 3(2 - x) + x - 4
a) -2
b) -3
c) -4
www.RecursosDidacticos.org
d) -5
9.
e) 4
2
Resolver la ecuación: x – 7x + 12
y dar como respuesta el producto de las
raíces dividido entre la suma de las raíces.
7
12
12
d) 
7
a)
b)
12
7
c) 
7
12
13. Resolver:
indique la suma de todas sus soluciones:
14. Resolver:
2
10. En la ecuación: x + 6x – m = 0
Hallar “m”, si una raíz es -2.
b) -6
e) 4
c) -8
x
x  1 13


x1
x
6
Indicando una raíz.
e) 1
a) -2
d) -4
2
 x3 


9x2  9x  1  3x  1 
x2  9x  9
a) 3
b) -2
d) 5
e) 6
15. Luego de resolver:
x
x3
4 x2  3x  5
x2  2x  13
2
2
2
a) 
d)
x2  1 113
12. Resolver:

; x1
2x
112
1.
b) 7/8
e) 4/5
Calcular la suma de las raíces de:
a) 0
b) 1
d) 5
e) 6
6
5
b)
12
5
6
5
e) 
c) 1
12
5
c) 8/5
3.
x2  5x  1  x2  5x  1
2.
1
6
Indicando el doble de una raíz.
2
b) abx – (a + b )x + ab = 0
a) 8/7
d) 4/3

x2
x1
11. Resolver las ecuaciones:
a)
c) 2
Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones.
a) x2  2 bc x  bc  0
b) x2  2 a x  a  c2  0
c) 2
c) x2  2 bx  b  c  0
Se que puedes afirmar acerca de la ecuación:
2
2
2
2
a) x – 2ax + a – b – c = 0
Rpta.: _____________
2
b) (a – b + c)x + 4(a - b)x + (a – b – c ) = 0
Rpta.: _____________
4.
Indicar la raíz positiva de:
mx 2  2ax m  a2  c2  0
Siendo: 0 < a < c
Rpta.: _____________
www.RecursosDidacticos.org
TAREA DOMICILIARIA Nº 4
1.
d) x + 5x + 2 = 0
ax + bx + c = 0 el símbolo  recibe el nombre
de discriminante y su valor es:
e) x + x + 1 = 0
2
2
2
a) b + 4ac
e) a – 4ac
n
a.
b.
c.
d.
+p x
+
q
=
2
2
e) x + 10x = 0
2
f) 3x + 6x = 0
2
2
e) x – 13x + 40 = 0
b) 2
e) 0
c) 3
Resolver e indicar la mayor raíz:
2
x – 4x – 5 = 0
a) 2
d) 5
b) 3
e) 0
c) 4
c) x – 3 = 0
x
1

4 x5
Indicar la mayor raíz:
10. Resolver:
b) -1
e) 5
c) -4
11. Hallar una raíz de: x2  2x  3x  6  0
a)
b)
2
a) 1/2
d) 1
b) 1/5
e) 3/2
c) 3/5
Resolver utilizando la fórmula general:
2
a) x + 3x + 1 = 0
2
b) 5x + 10x + 1 = 0
c) 2x – 6x + 1 = 0
3
c)
6
e)  6
x
x1
2

x2 3
x3
Indicar el triple de una raíz.
12. Resolver:
b) 2
e) -3
c) 3
13. Indicar el discriminante de la ecuación de 2º
grado resultante de:
1
1
 x1
x1
a) 1
d) -3
b) -1
e) -4
c) -2
2
2
2
(……)
(……)
(……)
(……)
14. Si en la ecuación: x – 5ax + 3a = 0; una de las
raíces es 2. Indicar el valor que adopta “a”.
Resolver e indicar la menor raíz:
5x – 26x + 5 = 0
8.
e) x2  3  0
a) 1
d) -1
2
Resolver: 3x – 5x = 2
a) 1
d) 4
7.
2
d)  2
Resolver:
d) x – 12x + 35 = 0
6.
2
2
a) (x + 1) (x + 2) = 6
b) x(x + 2) + 5 = 4
c) 2(x + 3)(x + 2) + 5 = (x + 3)(x + 1) + 6
5.
d) x + 3x + 3 = 0
a) 1
d) 4
d) x + 2x = 0
c) x = 7
4.
2
2
2
2
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones presenta
b) x + 9 = 0
Resolver:
b) x – 49 = 0
9.
a) x + 3x + 1 = 0
0
Coeficiente del término lineal
Término independiente
Exponente 2
Coeficiente del término cuadrático
a) x – 4 = 0
2
f) 2x + 28x + 96 = 0
como raíces a: x1  3 ; x2   3 ?
Ubica las partes de una ecuación de 2º.
mx
3.
c) b – 4a
2
d) b – 4ac
2
2
b) b – 4bc
2
2.
2
En una ecuación de 2º, tal como:
a) -5
d) 4/7
b) 5
e) -4/7
c) -4/3
2
15. En la ecuación: x – (m + n)x + 2m + 2 = 0
tiene por raíces a x1 = 2 y x2 = 3
Hallar: “m - n”
a) -1
b) -2
c) 1
www.RecursosDidacticos.org
d) 2
e) 3