www.RecursosDidacticos.org ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ecuación de Segundo Grado Forma 2 ax + bx + c = 0; a 0 se resuelve por Factorización Fórmula AB = 0 x1,2 A=0B=0 b b2 4 ac 2a 2 Nota: b – 4ac; se le llama discriminante y es denotado por . 2 = b – 4ac Sea la ecuación de 2º Grado. En general una ecuación de segundo grado 2 presenta la forma: 2x – 7x – 15 = 0 Donde: ax Término Coeficiente 2x Cuadrático 2 -7x Lineal -15 Independiente 2 + b + c = 0 (a 0) Donde: Término 2 ax Coeficiente www.RecursosDidacticos.org (2x + 3) ( Ejemplo 1: Completa el siguiente cuadro. Ecuación de 2º a 2 2 c 2 x1 = -3/2 _______ x2 = _______ ¡Ahora inténtalo! 5x + 8x + 9 = 0 ax + bx + c = 0 2x + 3 = 0 -7 2x – 7x – 15 = 0 Fórmula General b ) = 0 entonces 2 9x – 11x – 8 = 0 Calcula las raíces de cada una de las siguientes 4 -3 5 -2 3 7 ecuaciones de 2do. grado: 2 Si en la ecuación ax + bx + c = 0, se factoriza ____________ y luego cada factor obtenido se Ecuaciones Incompletas iguala a ____________ obtenemos las dos raíces de la ecuación. 2 Si en la forma general ax + bx + c = 0; b = 0, entonces se genera la siguiente ecuación: Ejercicios Resolver las siguientes método de factorización: Tiene raíces que son números reales (o simplemente raíces reales) sólo si a y c son de 2 1. x + 3x + 2 = 0 signo opuestos. Ejemplo: Resolver 6x2 + 12x = 0 Factor común x en el 1º miembro: x(6x + 12) = 0 Igualamos cada factor a CERO: x = 0 6x + 12 = 0 x 12 6 x = -2 2 2. 3x + x – 4 = 0 entonces: C.S. = {0; -2} Métodos de Solución 2 3. x – 8x – 9 = 0 1ER. MÉTODO: ASPA SIMPLE Ejemplo 1: 2 Hallar las raíces de 6x – 5x – 21 = 0 2 Solución: 4. 2x – 5x + 2 = 0 2 Factorizando: 6x – 5x – 21 ecuaciones por el www.RecursosDidacticos.org 2DO. MÉTODO: FÓRMULA GENERAL Ejemplo: Fórmula General: 2 Resolver: x – 5x + 4 = 0 Identificamos: a = 1; b = -5; c = 4 b b2 4 ac x 2a Calculamos DISCRIMINANTE (): 2 = b – 4ac 2 = (-5) – 4(1)(4) 2 Donde la expresión subradical b – 4ac recibe el =9 Reemplazamos datos en la fórmula general: nombre de DISCRIMINANTE (), de modo que también podemos escribir que: x b x 2a x1 53 4 2 x2 53 1 2 53 2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. 2 Siendo ax + bx + c = 0; la expresión general de una ecuación de 2º, marca con un aspa (x) en la (V) si es verdadera o en la (F) si es falsa. A. “c” es el término lineal. B. “a” debe ser diferente de cero. 2 a) 1 d) 4 6. Dada la siguiente expresión: b b2 4 ac ; responde (V) o (F) según 2a corresponda: x 2 a. “b – 4ac” es el discriminante. (…) b. “c” es el coeficiente del término lineal. (…) c. “a” es el coeficiente del término de 2º. (…) 3. 7. Resolver las siguientes ecuaciones: 2 1. x – x = 0 2 2. x – 16 = 0 2 3. x = 16 2 4. x – 5x = 0 2 2 Resolver: 4x – 13x + 3 = 0 indicar la mayor solución: (V) (F) (V) (F) C. “ax ” es el término independiente. (V) (F) D. “bx” es el término de 1er grado. (V) (F) 2. 5. 2 b) 2 e) 1/4 c) 3 Hallar las raíces de las ecuaciones usando la fórmula general. 2 1. x + 5x + 2 = 0 2. x + 7x + 5 = 0 3. x + 4x – 1 = 0 4. x – 3x + 1 = 0 5. 2x + 7x + 2 = 0 2 2 2 2 Resuelva las siguientes ecuaciones y señale cuál de ellas posee la mayor raíz. 2 a) x = 4x b) (x + 1)(x - 3) = 12 c) 12x – 25x + 12 = 0 d) (x + 2)(x + 4) = 6x e) (2x - 3)(x + 5) = (3x - 5)(x - 3) 2 2 5. 2x – 1 = x + 24 4. 8. 2 Resolver: 3x + 5x – 12 = 0 indicar una de las soluciones: a) 1/3 d) 43 b) 2/3 e) N.A. c) 5/3 En la siguiente ecuación, hallar la suma de raíces: x(x + 2) + 5 = 3(2 - x) + x - 4 a) -2 b) -3 c) -4 www.RecursosDidacticos.org d) -5 9. e) 4 2 Resolver la ecuación: x – 7x + 12 y dar como respuesta el producto de las raíces dividido entre la suma de las raíces. 7 12 12 d) 7 a) b) 12 7 c) 7 12 13. Resolver: indique la suma de todas sus soluciones: 14. Resolver: 2 10. En la ecuación: x + 6x – m = 0 Hallar “m”, si una raíz es -2. b) -6 e) 4 c) -8 x x 1 13 x1 x 6 Indicando una raíz. e) 1 a) -2 d) -4 2 x3 9x2 9x 1 3x 1 x2 9x 9 a) 3 b) -2 d) 5 e) 6 15. Luego de resolver: x x3 4 x2 3x 5 x2 2x 13 2 2 2 a) d) x2 1 113 12. Resolver: ; x1 2x 112 1. b) 7/8 e) 4/5 Calcular la suma de las raíces de: a) 0 b) 1 d) 5 e) 6 6 5 b) 12 5 6 5 e) c) 1 12 5 c) 8/5 3. x2 5x 1 x2 5x 1 2. 1 6 Indicando el doble de una raíz. 2 b) abx – (a + b )x + ab = 0 a) 8/7 d) 4/3 x2 x1 11. Resolver las ecuaciones: a) c) 2 Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones. a) x2 2 bc x bc 0 b) x2 2 a x a c2 0 c) 2 c) x2 2 bx b c 0 Se que puedes afirmar acerca de la ecuación: 2 2 2 2 a) x – 2ax + a – b – c = 0 Rpta.: _____________ 2 b) (a – b + c)x + 4(a - b)x + (a – b – c ) = 0 Rpta.: _____________ 4. Indicar la raíz positiva de: mx 2 2ax m a2 c2 0 Siendo: 0 < a < c Rpta.: _____________ www.RecursosDidacticos.org TAREA DOMICILIARIA Nº 4 1. d) x + 5x + 2 = 0 ax + bx + c = 0 el símbolo recibe el nombre de discriminante y su valor es: e) x + x + 1 = 0 2 2 2 a) b + 4ac e) a – 4ac n a. b. c. d. +p x + q = 2 2 e) x + 10x = 0 2 f) 3x + 6x = 0 2 2 e) x – 13x + 40 = 0 b) 2 e) 0 c) 3 Resolver e indicar la mayor raíz: 2 x – 4x – 5 = 0 a) 2 d) 5 b) 3 e) 0 c) 4 c) x – 3 = 0 x 1 4 x5 Indicar la mayor raíz: 10. Resolver: b) -1 e) 5 c) -4 11. Hallar una raíz de: x2 2x 3x 6 0 a) b) 2 a) 1/2 d) 1 b) 1/5 e) 3/2 c) 3/5 Resolver utilizando la fórmula general: 2 a) x + 3x + 1 = 0 2 b) 5x + 10x + 1 = 0 c) 2x – 6x + 1 = 0 3 c) 6 e) 6 x x1 2 x2 3 x3 Indicar el triple de una raíz. 12. Resolver: b) 2 e) -3 c) 3 13. Indicar el discriminante de la ecuación de 2º grado resultante de: 1 1 x1 x1 a) 1 d) -3 b) -1 e) -4 c) -2 2 2 2 (……) (……) (……) (……) 14. Si en la ecuación: x – 5ax + 3a = 0; una de las raíces es 2. Indicar el valor que adopta “a”. Resolver e indicar la menor raíz: 5x – 26x + 5 = 0 8. e) x2 3 0 a) 1 d) -1 2 Resolver: 3x – 5x = 2 a) 1 d) 4 7. 2 d) 2 Resolver: d) x – 12x + 35 = 0 6. 2 2 a) (x + 1) (x + 2) = 6 b) x(x + 2) + 5 = 4 c) 2(x + 3)(x + 2) + 5 = (x + 3)(x + 1) + 6 5. d) x + 3x + 3 = 0 a) 1 d) 4 d) x + 2x = 0 c) x = 7 4. 2 2 2 2 ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones presenta b) x + 9 = 0 Resolver: b) x – 49 = 0 9. a) x + 3x + 1 = 0 0 Coeficiente del término lineal Término independiente Exponente 2 Coeficiente del término cuadrático a) x – 4 = 0 2 f) 2x + 28x + 96 = 0 como raíces a: x1 3 ; x2 3 ? Ubica las partes de una ecuación de 2º. mx 3. c) b – 4a 2 d) b – 4ac 2 2 b) b – 4bc 2 2. 2 En una ecuación de 2º, tal como: a) -5 d) 4/7 b) 5 e) -4/7 c) -4/3 2 15. En la ecuación: x – (m + n)x + 2m + 2 = 0 tiene por raíces a x1 = 2 y x2 = 3 Hallar: “m - n” a) -1 b) -2 c) 1 www.RecursosDidacticos.org d) 2 e) 3