COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE ESTRUCTURAS Es frecuente que en las hipótesis básicas de análisis estructural se introduzca el concepto de linealidad. Ello significa una suerte de proporción entre cargas y deformaciones que permite superponer efectos. Ej. 1 En la práctica esto es sólo una aproximación ocurriendo generalmente comportamiento NO LINEAL por dos razones: una de ellas deriva de la geometría y la otra de las propiedades de los materiales. Ej. 2 pero Luego Donde: = = , = ∗ = + − ∗ = + − 3 es lineal con ∗ es cuadrática con El análisis corriente obvia el problema agregando otra hipótesis que es suponer “PEQUEÑAS DEFORMACIONES” con lo cual si se desprecian y frente a coinciden los valores de y ∗ . En estructuras muy esbeltas, esta no linealidad conocida como efecto − ∆ es necesario considerarla pudiendo producir incrementos de un 20% o más en el diseño. Un criterio para estimar la ductilidad es aceptar que el desplazamiento máximo del modelo bilineal (código SEAOC). Esta hipótesis considera a: 1 = " Blume considero que esta aproximación podría ser demasiado audaz, por cuanto las deformaciones alcanzadas suelen ser mayores y propuso usar, como criterio la energía disipada por ambos modelos, lo cual condice a: 1 = #2" − 1 En la práctica puede esperarse % " 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 % 0.50 ≤ ≤ #%' #%' 0.58 Ya se ha reducido casi a la mitad Aparece así como conveniente el proveer de ductilidad a los materiales pues ello permite reducir el nivel de las solicitaciones de diseño. El código A.C.I. propone: Elemento Flexión: ( ≤ 0.5 , 0.85.′0 1 0.0033 (′.′3 + 4 .2 0.0033 + .2 .2 (, (′ ≥ 66 78 Otro efecto de importancia es el comportamiento del material, el cual generalmente es no lineal en sus propiedades, carga – deformación. Es claro que los materiales es el rango de deformaciones pequeñas tienen un comportamiento lineal pero la gran mayoría de los materiales usados en estructuras presentan propiedades no – lineales (hormigón, albañilería, suelos, etc.). Nuevamente la hipótesis de pequeñas deformaciones es utilizada, asumiendo que en ese rango las relaciones constitutivas son aproximadamente lineales. Sin embargo, la ocurrencia de un sismo de carácter destructivo suele llevar a las estructuras a deformaciones mayores, la que involucra estudiar el fenómeno desde un punto de vista no – lineal modificando las hipótesis. El modelo, tal vez más socorrido, de comportamiento no – lineal es el dado por las curvas características de los materiales, conocido como modelo BILINEAL. Def. "= Factor ductilidad = 9: 98 ;7 ;<=> En algunos materiales como los metales es sencillo proveer de ductilidad, dependiendo en ese caso exclusivamente de la estructuración y no de los miembros. El movimiento sísmico cambia de dirección por lo cual no solo interesa el comportamiento en carga si no también en descarga. En general ? = ? = @ ? = ?@ Las primeras experiencias relacionadas con el comportamiento no lineal, se desarrollaron en Japón, USA (Portland Cement Assoc, Berkeley) y Nva. Zelanda (Universidad de Canterbury). Al no ser constante las propiedades en el tiempo deja de ser válido el planteamiento que conduce a la integral de Duhamel. Se suele recurrir en estos casos a métodos de solución paso a paso para la solución del problema. 1) Ecuación incremental de equilibrio o bien y también o bien Aü@ + ;C @ + ;D @ = ;@ Aü@ + ∆@ + ;C @ + ∆@ + ;D @ + ∆@ = ;@ + ∆@ A∆ü@ + ∆;C @ + ∆;D @ = ∆;@ Ecuación incremental de Eq. Si se conoce las propiedades no lineales del sistema, por ejemplo: Luego si se sustituye en la ecuación incremental, resulta: A∆ü@ + E@∆F + G@∆@ = ∆;@ donde se ha supuesto conocida a ecuación ;@. De esta manera se puede inducir cualquier forma de no linealidad, incluso si se desea en la masa o bien rigideces no solo dependiente del desplazamiento. 2) Integración Paso a paso La ecuación instrumental puede ser resuelta numéricamente por diversos métodos. El método más usado es el de aceleración lineal, que básicamente supone que la aceleración varia linealmente en un incremento de tiempo mientras las propiedades del sistema permanecen constantes en ese intervalo. Puede evaluarse así los valores en H + 1 para I =∆@; o sea: F J = F + K ∆@ + K J − K J = + F ∆@ + K ∆L o bien ∆L F J = F + K ∆@ + ∆K J = + F ∆@ + ∆L K ∆L + K J − K + ∆K ∆L M ∆L M (1) (2) Expresando todos los incrementos en función de uno de ellos (despejando): M M De (2) ∆K = ∆L ∆ − ∆L F − 3K ∆L M M y (1) ∆F = K ∆@ + N∆L ∆ − ∆L F − 3K O 3 ∆@ ∆F = ∆ − 3F − K ∆@ 2 Lo cual reemplazado en la ecuación incremental: AP 6 6 3 ∆@ ∆ − F − 3K R + E P ∆ − 3F − K R + G ∆ = ∆; ∆@ ∆@ 2 ∆@ M< N∆L + ∆L E + G O ∆ = ∆; + A N3K + GU Resulta M SF T O + E ∆L ∆;U GU ∆ = ∆;U N3F + ∆L SK T O Que permite calcular el incremento de deslazamientos conocidas las propiedades y el estado del sistema en cierto instante @ . Las hipótesis del método (aceleración lineal, constancia propiedades en el intervalo) pueden originar errores que podrían sumarse en la iteración. Por esta razón deben chequearse las condiciones de equilibrio en cada caso. Es decir puede calcularse: J = + ∆ F J = F + ∆F K J = K + ∆K Pues ∆F y ∆K quedan expresados en términos de ∆ . Del chequeo del equilibrio es mejor usar: (1) K = ; − ;C − ;D < UUUU ; GU (2) ∆; (3) ∆ = ∆VXW UUUW Y (4) ∆F = ∆L ∆ − 3F − (5) J = + ∆ ∆L K F J = F + ∆F Se vuelve a (1) La precisión de la solución dependerá del intervalo de tiempo que se escoja. Debe considerarse: • • • Rango de variación de la carga aplicada. Complejidad propiedades no lineales Periodo natural de la estructura Si ∆@ > [\ /2 Se recomienda ∆@ ≤ [\ /10 No hay convergencia (inestabilidad de la solución)
