Expresiones Algebraicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SU CLASIFICACION
Términos Algebraicos
Se define desde 3 principios fundamentales del algebra:
 Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más
variables literales.
 En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que
incluye el signo y constantes matemáticas) y la parte literal (que incluye
variables).
 Se define el grado de un término algebraico como la suma de los exponentes
de cada factor de la parte literal.
Ejemplo:
Término algebraico
Coeficiente numérico
Parte literal
Grado
𝑎3 𝑏𝑐
1
𝑎3 𝑏𝑐
3+1+1=5
512 𝑚3 𝑛𝑎
512
𝑚 3 𝑛𝑎
3+a
Expresiones algebraicas:
Una expresión algebraica es la suma de dos o más términos algebraicos.
De acuerdo con el número de términos que componen una expresión algebraica,
estas se clasifican en: monomios (un término) y multinomios (dos términos o más).
A los multinomios con dos términos se les llama binomios, y los de tres
términos, trinomios.
Si los exponentes de la parte literal son todos positivos, llamaremos a la expresión
algebraica polinomio.
Aspectos adicionales de la nomenclatura algebraica
Además de todo lo mencionado anteriormente, debes de saber que las principales
expresiones del álgebra, es decir, los términos algebraicos (monomios) y los
polinomios, tienen una clasificación completamente particular, aunque mayormente
similar, que permite diferenciar y comprender diferentes expresiones. De esta
manera, serás capaz de reconocer cuando efectuar ciertas operaciones, así como
algunas simplificaciones para reducir la expresión algebraica.
Debido a que queremos exponerte todo el panorama detrás de los términos
algebraicos a continuación te explicaremos en qué consiste los aspectos
adicionales del arte de las generalizaciones.
Clases de términos algebraicos
Principalmente, vamos a abordar la clasificación de la expresión algebraica más
simple, estos son, por supuesto, los monomios o los términos algebraicos. Existen
los siguientes:
Término entero: son aquellos monomios que no tienen una parte literal como
denominador, por ejemplo:
*10𝑏 2
Término fraccionario: a diferencia de los anteriores términos algebraicos, estos sí
tienen partes literales como denominadores. Ejemplos de términos fraccionario
son:
𝟐𝒂
𝒄
Término racional: son todos aquellos que no poseen radicales. Dentro de esta
clasificación se encuentran todos los ejemplos previos.
Término irracional: como lo puedes adivinar, se les llama irracional a todo término
que tiene un radical. Algunos ejemplos de términos algebraicos irracionales son los
siguientes:
*Sqrtb
Términos homogéneos: así llamados por poseer el mismo grado absoluto, por
ejemplo:
𝟑
𝟐𝒂 𝒃𝒚
𝒂𝟐 𝒃𝟐
𝟗
Operaciones básicas con términos algebraicos
Al igual como los números pueden ser sumados, restados, multiplicados o divididos,
los términos algebraicos pueden ser operados de esta forma, pero, se requieren de
ciertas condiciones algebraicas para esto. La condición algebraica principal, y la
más básica, es la semejanza. Sin la semejanza no es posible hacer la operación
aritmética más básica.
El mero hecho de hacer una comparación entre objetos trae consigo,
irremediablemente, que se observen características similares y opuestas. Debes de
saber que esta cuestión es también ineludible en el álgebra. Pero, de las dos facetas
de la comparación la que cobra más relevancia es la semejanza, debido a que
permite hallar simplificaciones y reducciones a extensos polinomios (y ecuaciones).
El elemento en común que se toma en cuenta en la semejanza de términos
algebraicos es la parte literal. Si un par o grupo de términos poseen la parte literal,
entonces, estos son semejantes.
La simplificación por medio de la semejanza de términos, es conocida en el álgebra
como la reducción de términos semejantes. Esta es la simplificación elemental que
permite sumar y restar términos algebraicos en polinomios.
Clasificación de Monomios, Binomios, Polinomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por una combinación de
números y letras. En concreto, un monomio está compuesto por el producto entre
un número y una o más variables (letras) elevadas a exponentes.
Partes de un Monomio:




Coeficiente: es el número que está multiplicando a las variables (o letras)
del monomio.
Variable: es cada una de las letras que aparecen en el monomio.
Parte literal: corresponde a todas las variables que componen el monomio
junto con todos sus respectivos exponentes.
Grado: consiste en la suma d
Monomios semejantes
Los monomios semejantes son aquellos monomios que tienen la misma parte literal.
Por lo tanto, dos o más monomios son semejantes cuando poseen las mismas letras
y los mismos exponentes.
Por ejemplo, los siguientes dos monomios son semejantes porque, aunque tienen
distinto coeficiente, están formados por las mismas variables y están elevadas a los
mismos exponentes.
4𝑥 5 𝑦 3
Monomios homogéneos
Dos monomios son homogéneos cuando su grado absoluto es equivalente.
Por ejemplo, los siguientes dos monomios son homogéneos porque el grado de
ambos es igual a 5:
2𝑥 5
El primero monomio tiene una sola variable que está elevada a la 5, por lo que su
grado es 5 Como puedes ver, para que dos monomios sean homogéneos no hace
falta que tengan la misma parte literal, sino que solamente es necesario que tengan
el mismo grado absoluto.
Monomios heterogéneos
Los monomios heterogéneos son los monomios que no tienen el mismo grado
absoluto. Es decir, los monomios heterogéneos son el contrario de los monomios
homogéneos.
Monomios opuestos
Los monomios opuestos son aquellos monomios que son homogéneos (tienen la
misma parte literal) y, además, sus coeficientes son opuestos, es decir, sus
coeficientes tienen el mismo valor, pero de signo contrario.
Operaciones con monomios
Para profundizar más en el concepto de monomio, vamos a ver qué operaciones se
pueden hacer con los monomios. En particular, los monomios se pueden sumar,
restar, multiplicar, dividir y potenciar. Y cada tipo de operación tiene sus
peculiaridades, así que a continuación las analizamos una a una por separado.
Suma de monomios
Dos o más monomios solo se pueden sumar si son monomios semejantes.
Entonces, la suma de dos monomios semejantes es igual a otro monomio
compuesto por la misma parte literal y la suma de los coeficientes de esos dos
monomios.
Ejemplos de sumas de monomios:
𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟒 = 𝟓𝒙𝟒
𝟒𝒚𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟓𝒚𝟐
Resta de monomios
Dos o más monomios solo se pueden restar si son monomios semejantes. Así pues,
la resta de dos monomios semejantes es igual a otro monomio compuesto por la
misma parte literal y la resta de los coeficientes de esos dos monomios.
Multiplicación de monomios
El resultado de la multiplicación de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente
es el producto de los coeficientes de los monomios y cuya parte literal se obtiene de
multiplicar las variables que tienen la misma base, es decir, sumando sus
exponentes.
División de monomios
El resultado de la división de monomios es otro monomio cuyo coeficiente equivale
al cociente de los coeficientes de los monomios y cuya parte literal se obtiene de
dividir las variables que tienen la misma base, esto es, restando sus exponentes.
ejemplo:
Potencia de un monomio
Para calcular la potencia de un monomio se debe elevar cada elemento del
monomio al exponente de la potencia. Es decir, la potencia de un monomio consiste
en elevar su coeficiente y sus variables (letras) al exponente de la potencia.
Binomio al cuadrado
Un binomio elevado al cuadrado se trata de una identidad notable, también
conocida como producto notable o igualdad notable. Para resolver la potencia de un
binomio elevado a la 2 depende de si este es un binomio suma o un binomio
diferencia.
Un binomio suma se refiere a aquel binomio cuyos dos términos son positivos, es
decir, un binomio suma al cuadrado es:
(𝑎 + 𝑏)2
En cambio, un binomio diferencia (o resta) es el conjugado del binomio suma, esto
es, uno de sus monomios tiene signo negativo. Por lo tanto, la expresión algebraica
de un binomio diferencia al cuadrado es:
(𝑎 − 𝑏)2
Binomio al cubo
Aunque estos se utilizan menos a menudo, los binomios elevados al cubo también
se consideran productos notables. O dicho con otras palabras, existen reglas
matemáticas que permiten hallar el cubo de un binomio de manera rápida (puedes
verlas en el enlace de arriba de las fórmulas de las identidades notables). Ejemplo:
Al igual que antes, el resultado de esta potenciación depende de si se trata del cubo
de una suma:
(𝑎 + 𝑏)3
O si, por el contrario, la potencia consiste en el cubo de un diferencia o resta:
𝑎 − 𝑏)3
Lógicamente, la principal diferencia entre un binomio al cuadrado y un binomio al
cubo es el exponente de la potencia. Sin embargo, la fórmula de un binomio al cubo
es bastante más complicada respecto a la de un binomio al cuadrado
Binomios Notables
Hay algunos tipos de binomios en concreto que son un poco peculiares
debido a sus características, ya que corresponden a unas identidades
notables (o productos notables) menos conocidas.

Suma de cuadrados:
Diferencia (o resta) de cuadrados:
 Suma de cubos:
 Diferencia (o resta) de cubos:
Donde a y b son dos monomios cualesquiera.

. Multiplicación de binomios
Una de las operaciones con binomios más habituales es la multiplicación. Así pues,
a continuación, vamos a ver con un ejemplo de cómo se calcula una multiplicación
entre binomios.
Binomio de Newton
El binomio de Newton, también llamado teorema del binomio, es una fórmula que
sirve para calcular potencias de binomios.
POLINOMIO DE PRIMER GRADO.
Se determinan polinomios de primer grado cuando el exponente mayor de una
variable coincide o es igual a uno (1).
En la gráfica, un polinomio de Primer Grado se puede percibir así:ejemplo:
P(x)=8x+5+3x
POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO.
Estos son aquellos cuyo valor del exponente de su variable es igual a dos (2), o bien
el mayor valor de la variable es igual a dos, como se expresa a continuación:
ejemplo:
P(x)= 4x+3+8x2
POLINOMIO DE TERCER GRADO.
Aquellos cuyo valor mayor de la variable resulta igual o superior al número tres (3).
Tal es el caso del que te presentaremos a continuación: ejemplo-.
P(x)=3+4+8x+73.
Polinomio Nulo.
Según su número de términos.
Esto se determina acorde a la cantidad de número o variables que se encuentran
en la expresión gráfica del polinomio.
BINOMIOS.
Denominados así porque existen dos términos dentro del polinomio, como el que te
señalamos a continuación: ejemplo:
P(x)=3+x
Como notarás solo existen dos expresiones numéricas, separadas por el signo de
suma, la P, no se cuenta ya que esta sirve para denotar que se trata de un polinomio.
TRINOMIO.
De forma simple se denota como aquel trinomio en el que se haya la sumatoria de
tres monomios, o mejor dicho, consiste en la suma de tres expresiones numérico,
entendiéndose como tal número y variables.
Como se expresa a continuación:
Ejemplo:
P(x)=6+5x3+3
CUADRINOMIOS.
Considerada un caso de expresión algebraica bastante complejo, pues este implica
la sumatoria de cuatro términos conformados tanto por variables como por números.
Como se expresa a continuación:
Ejemplo:
P(x)=3+5x+8+2x3.
Los polinomios son expresiones numéricas que son empleadas en el campo de la
matemática, de la algebra, como también se ha extendido su uso a las físicas e
incluso a las ciencias sociales, donde los mismos son empleados para la
determinación de las estadísticas y de los fenómenos sociales en su confluencia.
Traducción de lenguaje común al algebraico
Para aplicar las matemáticas a la vida real es importante saber traducir del lenguaje
común al lenguaje matemático. Muchas veces tendremos variables, recuerda que
la variable es una letra que representa un valor de un conjunto de números, cuando
representa una cantidad desconocida que se quiere determinar también se la llama
incógnita
OPERACIONES BÁSICAS
En el documento se muestran algunas palabras claves que indican que estamos
ante
una
suma, una resta, una multiplicación, una división o una potencia.
El lenguaje algebraico es utilizado para la representación de valores
desconocidos, la principal función es estructurar un idioma que ayude
a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética.
Ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir x + y.
El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos
expresar enunciados de una forma más breve.

El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades
numéricas de carácter general.

Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos
operaciones aritméticas con ellos.

Ejemplos:
1. Un numero cualquiera: x
2. La suma de dos números diferentes: x + y
3. La diferencia de dos números: x - y
4. El producto de dos números: x y
5. El cociente de dos números: x/y
Pasar del lenguaje natural a lenguaje algebraico.
1.
2.
3.
4.
5.
La suma de A y B: A+B
La diferencia entre P y Q: P-Q
El producto de M y N: M·N
El cociente entre H y K: H/K
2/3 de X: 2/3·x
Lenguaje Común
Lenguaje Algebraico
Un número par cualquiera.
2x
Un número cualquiera aumentado en siete.
x+7
La diferencia de dos números cualesquiera.
x-y
El doble de un número excedido en cinco.
2x + 5