Opciones Valoracion tiempo continuo Black and Scholes

Opciones. Modelos de valoración en
tiempo continuo: Black- Scholes.
Preparación oposiciones Inspector BdE
1
Aproximación binomial a Black-Scholes.
En valoración en tiempo continuo se necesitan dos cosas:
1.
Un proceso estocástico: que permita simular las trayectorias del
subyacente. Es necesario elegir el proceso adecuado. BS para equity,
reversión a la media para los tipos de interés (Vasicek, CRR, etc).
2.
Realizar el cambio de medida de P a Q: para que los precios sean
martingalas. En algunas ocasiones es sencillo. En otras es realmente
complicado.
Partimos de un proceso binomial… y estudiamos qué ocurre cuando la
longitud temporal de cada uno de los nodos del árbol binomial tiende a
cero en cada salto y el número de saltos tiende a infinito: Aplicación
del TCL.
2
Aproximación binomial a Black-Scholes.
n→∞
Tiempo discreto
∆t → 0
Tiempo continuo
16.000,00
14.000,00
12.000,00
10.000,00
8.000,00
6.000,00
4.000,00
2.000,00
1
25
49
73
97
121
145
169
193
217
241
265
289
313
337
361
385
409
433
0,00
t=1…
t=0
t=n
∆t
3
Obtención del proceso de BS mediante el Lema de Ito
Obtención del proceso de Black-Scholes mediante el Lema de Ito
Las acciones suelen describir una dinámica basada en el proceso browniano
geométrico, como el que sigue:
= + Podemos asimilar cada componente del proceso a los correspondientes elementos
de un proceso de Ito:
= + Donde:
S= precio de la acción, del stock.
μ= rendimiento medio del activo por unidad de tiempo.
σ= volatilidad del precio de la acción.
4
Obtención del proceso de BS mediante el Lema de Ito
Aplicaciones del Lema de Ito. Obtención del proceso de Black-Scholes.
Aplicando el Lema de Ito podemos llegar al Proceso de Black-Sholes:
Siendo
2
= 0 − + 2 2
dz = N (0,1) T
Por tanto, hemos obtenido cual es el proceso o la “función” que sigue el
subyacente: hipótesis del modelo.
5
La ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes-Merton
El modelo de Black-Scholes-Merton
En el año 1970, Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton (en adelante BSM)
realizaron una de las mayores contribuciones al mundo de las finanzas. Su modelo
fue toda una revolución en el mundo de los derivados, ya que supuso dos grandes
contribuciones a:
1) La valoración de las opciones.
2) La cobertura de dichas opciones.
Su hallazgo les supuso el Premio Nobel en el año 1997.
Una de los éxitos de dicha ecuación es que consigue conciliar la valoración por
arbitraje utilizada en la valoración mediante árboles binomiales.
El enfoque parte de una construcción de una cartera riesgo neutral consistente en
una posición corta en una opción europea, por ejemplo, una call, y un conjunto de
posiciones largas en el activo subyacente “S”.
6
La ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes-Merton
Hipótesis del modelo
1. El precio de la acción sigue un proceso de Black-Scholes (browniano
geométrico).
2. La volatilidad es constante.
3. No hay restricciones a las posiciones cortas en el subyacente.
4. No existen costes de transacción ni impuestos. Perfecta divisibilidad de los
activos.
5. No existen pagos de dividendos durante la vida del derivado.
6. No existen oportunidades de arbitraje.
7. Negociación continua de las acciones.
8. Existe un tipo de interés libre de riesgo, “r” que es constante para cualquier
vencimiento.
7
La ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes-Merton
Derivación de la ecuación de Black & Scholes.
El precio de la acción siguen un proceso browniano geométrico:
= + Suponemos que F es el precio de una opción u otro derivado cuyo precio es
contingente al precio del activo subyacente (S). Partiendo del Lema de Ito
obtenemos que:
1 2 2 2
, = +
+
+
2
2 Ahora vamos a utilizar un enfoque similar al utilizado en la valoración de opciones
mediante árboles binomiales. Es decir, vamos a construir una cartera libre de riesgo,
formada por posiciones en el subyacente, acciones en el caso que nos ocupa, y por
una posición en el derivado objeto de valoración.
8
La ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes-Merton
Derivación de la ecuación en derivadas parciales.
Las proporciones en las que se va a invertir en cada conjunto de activos serán:
-1: derivado
∂F/∂S = ∆ posiciones en activo subyacente.
Es decir, tomamos una posición corta en el derivado y ∆ posiciones en el activo
subyacente. Definimos Π como el valor de la cartera que hemos construido.
Π = −F +
Estudiemos pues la dinámica de dicha cartera, es decir, el comportamiento de dicha
cartera en el tiempo.
dΠ = −F +
9
La ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes-Merton
Derivación de la ecuación en derivadas parciales.
Substituyendo las dos primeras ecuaciones de esta sección en esta última:
1 2 2 2
dΠ = − +
+
+
+
+ 2 2
1 2 2 2
dΠ = − +
2 2
Hemos obtenido un resultado muy importante. Recordemos que los términos de dz
representaban el componente de incertidumbre. Por tanto, la cartera que hemos
construido es una cartera libre de riesgo, y por tanto, esto significa que la
rentabilidad instantánea de dicha cartera ha de ser equivalente a la de otros activos
sin riesgo del mercado.
Si su rentabilidad fuera mayor o menor a la de los activos sin riesgo habría
oportunidades de arbitraje.
10
La ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes-Merton
Derivación de la ecuación en derivadas parciales.
Que la cartera sea libre de riesgo se traduce en que su dinámica es:
dΠ = rΠdt
Como conocemos las ecuaciones de dΠ y Π substituimos y obtenemos:
1 2 2 2
− +
=
#
$−F
+
% dt
2 2
Reordenando términos:
1 2 2 2
+ #
+
= #+
(2
2 ℎ
'
) **
11
La ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes-Merton
Derivación de la ecuación en derivadas parciales.
Hemos obtenido pues la ecuación de BSM. Dicha ecuación en derivadas parciales
tiene varias soluciones correspondientes a los distintos tipos de derivados que
conocemos.
El valor de un derivado en particular se obtiene cuando se resuelve la ecuación con
unas condiciones de contorno determinadas.
Por ejemplo, la condición de contorno para la valoración de una opción call sería:
, = * − -, 0
12
Cómo obtener el precio de un derivado.
1. Solución a la ecuación en derivadas parciales (EDP).
Existen distintas formas de obtener la solución a la ecuación planteada.
Soluciones numéricas. Se busca una solución numérica para unos valores concretos
de los parámetros de la opción, incluyendo de St y t. Entre las técnicas numéricas
utilizadas están las diferencias finitas.
También pueden usarse cambios de variables o transformadas de Fourier o Laplace,
etc.
13
Cómo obtener el precio de un derivado.
2. Solución probabilística. En el caso de una call europea podemos calcular el valor
integrando la siguiente esperanza:
. , = /0 1* − -, 02 −
−
2
= / 3* 0 # − 2
− + 2 − - −
−
, 04
Podemos resolver esta esperanza mediante integración obteniendo la conocida
ecuación de valoración de BS:
2 = 1 − √
0
2
'6 7 - 8 + 9# + :
1 =
√
Importante!!!
. = 0 ; 1 − - −# ; 2 La resolución de la esperanza y la EDP de BSM proporcionan el mismo resultado. De
hecho ambos planteamientos son válidos y se puede pasar de uno al otro mediante
el Teorema de Feynman–Kac. Dicho teorema establece un método de resolución de
EDPs simulando trayectorias de un proceso estocástico.
14
Cómo obtener el precio de un derivado.
3. Simulación de Monte Carlo.
Con los conocimientos adquiridos es relativamente sencillo obtener el precio de una
opción mediante técnicas de simulación.
El objetivo será, para el caso de una call, obtener la siguiente esperanza:
. , = /0 1* − -, 02 −
−
Seguiremos los siguientes pasos:
1. Simularemos el proceso de BS bajo probabilidades riesgo neutrales.
2. Calcularemos la esperanza de los valores simulados.
3. Procederemos a realizar el descuento de la esperanza obtenida en el punto
anterior.
15
Ejercicio. Valoración por Montecarlo.
Ejemplo 1. Obtener el precio de una call europea mediante la fórmula de BS y
mediante Montecarlo con la siguientes características:
S = 9.5, K = 9, r = 4%, volatilidad anual = 20%. T = 1 año.
10 simulaciones.
Los valores simulados de la distribución N(0,1) son:
-1.1878
-2.2023
0.9863
-0.5186
0.3274
0.2341
0.0215
-1.0039
-0.9471
-0.3744
16
Ejercicio. Valoración por Montecarlo.
Simulaciones
N(0,1)
Precios del
subyacente
simulados
Payoff
Payoff
descontado
-1.1878
-2.2023
0.9863
-0.5186
0.3274
0.2341
0.0215
-1.0039
-0.9471
-0.3744
7.6426
6.2390
11.8054
8.7370
10.3477
10.1564
9.7336
7.9288
8.0194
8.9926
0
0
2.8054
0
1.3477
1.1564
0.7336
0
0
0
0
0
2.6954
0
1.2949
1.1110
0.7048
0
0
0
Media del
payoff =
precio call
0.5806
MUCHAS GRACIAS!!!!
18