induccion-deduccion

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CAPITULO III
INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN
En relación con el estudio de la matemática en nuestra sociedad, encontramos aún algunos prejuicios: unos
dicen, por ejemplo, sólo personas de gran talento, pueden dedicarse a la matemática, mientras que otros
afirman que para ello es preciso tener una "memoria matemática" capaz de permitir recordar fórmulas y saber
cómo y cuándo aplicarlas.
Las expresiones: "soy incapaz para la matemática", "no he nacido para los números", "me falta memoria para
aprender todas las fórmulas", etc., etc., son un producto amargo del tipo de enseñanza memorística y
mecanizada que hemos recibido desde nuestra infancia, debido a la falta de un sistema educativo adecuado,
objetivo y verdaderamente científico capaz de satisfacer las expectativas de la gran mayoría de estudiantes y
no sólo de un sector, cuyo beneficio obedece claramente a intereses egoístas.
En consecuencia, nos corresponde revertir esta situación, poniendo en práctica nuestra capacidad de
raciocinio y análisis objetivo. Contribuiremos a ello, en esta parte del curso, desarrollando la parte inductivadeductiva de nuestro razonamiento para lograr, de esta manera, un mayor grado de abstracción.
Quizá en algunas ocasiones, durante la búsqueda de la solución de alguna interrogante relacionada con
nuestra vida diaria o al intentar resolver problemas netamente matemáticos, nos hayamos encontrado un tanto
desorientados sobre cómo afrontarlos, entonces nos asaltó la duda y surgieron las eternas preguntas: ¿Por
dónde empezar? ¿Qué estrategia plantear y seguir? Parte de culpa de estar en dicha situación la tiene el hecho
de no tener en claro los conceptos de razonamiento, pensamiento creativo, lógica deductiva, lógica inductiva,
etc.
El objetivo entonces del presente capítulo será estudiar los diversos conceptos y aplicarlos manejando
criterios adecuados, desarrollando, además, ejemplos necesarios para un mejor desenvolvimiento dentro del
curso de razonamiento y actividades en general.
Nunca olvides que el primer paso es comprender el problema, una vez logrado esto debes dar el siguiente
paso: idear cómo afrontarlo; cada problema debe ser un reto, para ello debes leer atentamente la parte teórica
y rescatar las mayores observaciones de cada ejemplo. Después de haber resuelto un problema, debes
valorar más el proceso inductivo-deductivo y no tanto la respuesta, ello te permitirá salir airoso en cada
problema siguiente.
88
¿Qué es estrategia?
Analiza atentamente las siguientes situaciones:
? Alejandro
Carlos
Calcular la suma
de las cifras de A
A = (33 .... 33)²
100 cifras
En la primera de ellas una pelota ha caído por un estrecho orificio, no tan profundo, pero no al alcance de los
brazos de Alejandro; él no dispone de palos ni varas para extraerla; Juan, que estaba sacando agua, observa la
escena y se pregunta: ¿qué hará él para poder sacar la pelota? En el siguiente caso Carlos está frente a un
problema que se ve muy laborioso: ¿cómo resolverlo? En ambos casos será necesario pensar detenidamente
sobre la situación y elaborar un plan que les permita conseguir sus objetivos; dicho plan recibe el nombre de
estrategia.
La palabra estrategia proviene del griego "strategia" (generalato, aptitudes de general), que en el contexto de
nuestro interés se entiende como el plan o técnica para dirigir un asunto o para conseguir un objetivo.
En la primera situación, una posibilidad sería buscar ayuda, traer herramientas y "ampliar el hueco lo cual no
está mal, pero sería muy trabajoso y mostraría que no pensamos mucho sobre el asunto y estamos
procediendo de manera mecánica. Otra posibilidad podría ser echar abundante agua por el orificio, la pelota
flotará y podremos sacarla, lo cual sería una solución más razonada, ¿no crees?
Para resolver la segunda situación, deberemos aplicar la inducción y para ello hay que tener una idea de lo que
es razonamiento inductivo-deductivo, nociones que estudiaremos más adelante.
¿Qué es inducción?
La palabra inducción proviene del latín "Inductio", ("in" : en y ducere : conducir); que es la acción y efecto de
inducir. Es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una conclusión
general; así, la inducción desempeña una gran papel en las ciencias experimentales. Más adelante podremos
apreciar la forma de aplicar este modo de razonar en la resolución de problemas matemáticos.
¿Qué es deducción?
La deducción es la acción de deducir, también es la conclusión que se obtiene de un proceso deductivo. La
palabra deducir, proviene del latín "deducere" que significa sacar consecuencias. En el presente estudio
veremos cómo partir de casos generales llegamos a establecer cuestiones particulares que nos interesan
para la resolución de problemas.
89
Podemos decir, figurativamente, que la inducción y la deducción son como las dos caras de una misma
moneda, estableciéndose como herramientas poderosas que han permitido el avance de la ciencia en general.
¿Cómo hizo Arquímedes para determinar, según él, el valor aproximado del número p y el cálculo de áreas de
regiones sumamente complicados para su época? ¿Cómo llegó Kepler a establecer sus tres famosas leyes?
1
¿De qué manera Galileo procedió para establecer la relación: e =
gt²?
2
¿Sospechas, cómo llegó Newton a dar la ley de la gravitación universal a partir de hechos comunes
contemplados por todos nosotros, pero que él supo observar atentamente para enunciar tan importante
teoría? y ¿Lobatcheysky, para crear su geometría no euclideana? y ¿Einstein, con su Teoría de la
relatividad?... En fin, gran parte de lo establecido hasta ahora por la ciencia se ha hecho en base a la
experimentación, a la aplicación de la inducción, y deducción, y al proceso de ensayo-error con el estudio y el
análisis de todas las consecuencias que se derivan de ellos, los cuales ha permitido el avance de la ciencia en
todos los campos.
¿Cuántos palitos de
fósforo conforman
el siguiente castillo?
¿Cómo resuelvo
este problema?
1
2
29 30
Al igual que Daniela, muchos estudiantes al empezar la resolución de un problema siempre se preguntan:
"¿Cómo resuelvo este problema?, ¿por dónde empiezo la resolución del problema?, ¿será este el camino
adecuado para su resolución?; indudablemente que para el ejemplo anterior, el contar uno por uno los palitos
de fósforos del castillo no sería una resolución adecuada, ya que sería muy tedioso y agotador realizar dicha
operación. Siempre que se busca la solución a un problema, debemos buscar los caminos más cortos para
llegar a ella, debemos analizar nuestros datos e incógnitas y al relacionarlos debemos encontrar una
"estrategia" de cómo afrontar el problema, "ser creativos y analistas" para buscar esa relación de datos con
incógnitas. Justamente, a partir de estas ideas ("tener estrategia", "ser creativo y analista"), surgen dos
herramientas importantes que nos permiten afrontar un problema: la lógica inductiva y la lógica deductiva.
Las lógicas inductiva y deductiva representan la base del razonamiento matemático, pilares sobre los cuales
se construye esta hermosa disciplina, en base a la observación y el análisis.
90
Es un modo de razonar, en el que a partir de la observación de casos particulares, nos conducen al
descubrimiento de leyes generales, con la particularidad de que la validez de las últimas se deduce de la
validez de las primeras.
Así:
Casos Particulares
Razonamiento Inductivo
El método del razonamiento inductivo es un método especial de demostración matemática que permite, en
base a observaciones particulares, juzgar las regularidades generales correspondientes.
Ejemplo:
(15)²
= 225
(35)²
= 1225
(85)²
= 7225
Casos particulares
(125)² = 15625
Razonamiento Inductivo
"Podemos concluir que todo
número que termina en 5, al
elevarlo al cuadrado, su
resultado termina en 25"
(....5)² = ......25
Conclusión general
Ejemplo 1
Calcular el número total de palitos de fósforo que conforman la torre de la derecha.
1 2
....
....
.
Como se observa, contar los palitos uno por uno va a resultar una tarea
bastante tediosa. Nos damos cuenta que la distribución de palitos en la
torre obedece a una cierta formación (va aumentando uniformemente por
pisos), entonces aplicamos inducción, analizando los 3 casos más simples
que se puedan encontrar.
......
..........
.
....
Resolución:
3................28 29 30
91
Nº de palitos
Caso
Caso
:
2
3
1
2
8
:
-1
-1
1 2
Caso
2
15
:
-1
........
........
En el problema :
........
........
1 2 3
....
....
.
......
.
....
2
..........
1 2
3................28 29
\ Nº de palitos = 899
Ejemplo 2
Calcular el valor de "E" y dar como respuesta la suma de sus cifras.
E = (333...334)²
101 cifras
- 1 = 899
92
Resolución:
Elevar el número al cuadrado resulta muy operativo y tedioso, pero nos damos cuenta también que la base
tiene cierta formación (la cifra 3 se repite constantemente); entonces recurrimos a la inducción, analizando
los casos simples, análogos al de la expresión "E".
(34)²
=
1156
Suma de cifras = 13 Þ 6(2) + 1
=
111556
Suma de cifras = 19 Þ 6(3) + 1
=
11115556
Suma de cifras = 25 Þ 6(4) + 1
2 cifras
(334)²
3 cifras
(3334)²
4 cifras
.
.
.
.
.
.
.
.
.
E = (333 … 3334)² = 111 … 1155 … 556
101 cifras
101 cifras
Suma de cifras
.
.
.
=
6(101) + 1 = 607
101 cifras
\ Suma de cifras = 607
Ejemplo 3
Calcular el valor de
E=
97 • 98 • 99 • 100 + 1
Resolución:
Multiplicar, sumar y extraer la raíz cuadrada va a ser demasiado operativo. Observando detenidamente el
problema nos damos cuenta que tiene una particularidad (producto de cuatro números consecutivos);
entonces aplicamos inducción, analizando los casos más simples sin que se pierda la forma original del
problema.
93
Ejemplo 4
¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse las 40 personas asistentes a una reunión?
Resolución:
Dado que la cantidad de apretones depende del número de personas, vamos a realizar un análisis
inductivo de casos particulares, así:
# Personas
2
3
4
5
..
.
n
# de Apretones
1 x
2
2
x
3=
2
6= 3 x
2
4 x
10 =
2.
..
..
.
1=
2
3
4
5
2
6
12
20
.
..
..
=1x2
=2x3
=3x4
= 4 x. 5
(n - 1)n
2
Caso general para "n" personas
\ para 40 personas Þ Respuesta:
39 x 40
2
= 780 apretones.
Ejemplo 5
Calcular:
E = (1111 … 111 + 222 … 222 + 333 … 333)²
50 cifras
Resolución:
Por inducción:
(1 + 2 + 3)² = 6² = 36
(11 + 22 + 33)² = 66² = 4356
(111 + 222 + 333)² = 666² = 443556
E = 444 … 4443555 … 5556
49 cifras
49 cifras
50 cifras
50 cifras
..
..
94
CURIOSIDADES SOBRE INDUCCIÓN
1²
=
1
11²
=
121
111²
=
12321
1111²
=
1234321
11111²
=
123454321
111111²
=
12345654321
1111111²
=
1234567654321
11111111²
=
123456787654321
111111111²
=
12345678987654321
Observando el resultado en el
desarrollo de cada potencia vemos
que, iniciando en la cifra1, se
ordenan de manera ascendente los
números naturales consecutivos,
hasta llegar a una cifra que coincida
con la cantidad de cifras 1 de la
expresión exponencial, para luego
descender.
95
LÓGICA DEDUCTIVA (deducción)
Es un modo de razonar mediante el cual, a partir de informaciones, casos o criterios generales, se obtiene
una conclusión particular.
Así :
CASO 1
C
A
S
O
G
E
N
E
R
A
L
CASO 2
CASO 3
Casos
Particulares
CASO 4
..
..
..
Razonamiento Deductivo
Ejemplo:
- Todos los hijos de la señora Ana
son valientes
- Pedro es hijo de la señora Ana
Por lo tanto: Pedro es valiente
Información general
Razonamiento deductivo
Conclusión particular
Ejemplo 1
La suma de los "n" primeros números impares es 900, por lo tanto, ¿cuál es el valor de "n"?
Resolución:
Para resolver este problema, primero hay que conocer a qué es igual la suma de los "n" primeros números
impares (caso general), para luego verificar el valor de "n" cuando la suma sea 900 (caso particular).
96
1 + 3 = 4 = (2)²
2 términos
# de términos
1 + 3 + 5 = 9 = (3)²
3 términos
# de términos
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = (4)²
# de términos
4 términos
.
.
.
.
Conclusión general :
Caso particular : n² = 900 ................ (Dato)
\
n = 30
Ejemplo 2
Completar las cifras que faltan en la siguiente multiplicación, sabiendo que cada
(asterisco (*) representa un dígito.
Resolución:
*
3
*
3 * 2
* 2 * 5
1 * 8 *
1 *
* 2
3 *
*
3 0
Tengamos presente los criterios generales en la multiplicación para aplicarlo en este caso en
particular.
4 x 3 = 12
_
3
_
3_2
1 2_5
1_ 8_
1 _
_ 2
3 0
0
3 0
4
3
_
3_2
1 2_5
1_ 8_
1 5
_ 2
3 0
0
5 x 3 = ..5
3 0
Finalmente, resolviendo las operaciones:
4
3
8
332
1 245
15 85
1 5 x
8 2
3 0
0
3 0
4
3
_
33
_2
1 2_5
1_ 8_
1 5
8
_ 2
3 0
0
3 0
415 x
8
3320
(x)
97
Ejemplo 3
Calcular m, n y p; sabiendo que: m ¹ n ¹ p y además: mmm + nnn + ppp = 2664
Resolución:
Ordenando los números en columna:
Llevamos de la
1ª columna
Llevamos de la
2ª columna
1ra. Columna : m + n + p = ........ 4
3ra. Columna : m + n + p + 2 = 26
De la 1ra. y la 3ra. Columna, se deduce que: m + n + p = 2 4
2 2
mmm +
n n n
p p p
2664
Buscando tres dígitos diferentes cuya suma sea igual a 24,
encontramos:
m = 7 ; n = 8 ; p = 9
\ Respuesta : 7 x 8 x 9 = 504
Ejemplo 4
Hallar : E = abcd + mnpp + xyzw, sabiendo que:
bd + np + yw = 160
ac + mp + xz = 127
ab + mn + xy = 124
Resolución:
Considerando los criterios generales de la adición, ordenamos cada uno de los datos, así:
i)
bd +
np
yw
160
De i) y iii) se deduce:
ii)
1ro.
iii)
ac +
mp
xz
127
ab +
mn
xy
124
d + p + w = 20
2do. b + n + y = 14
En iii): como : b + n + y = 14, entonces :
a + m + x = 11
En ii): como : a + m + x = 11, entonces :
c + p + z = 17
Luego, hallando E:
E = abcd + mnpp + xyzw
\ E = 12590
112 .
abcd +
mnpp
x yzw
12590
98
EJERCICIO 1
Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a MN, ¿cuántos triángulos se contarán en total?
M
N
Resolución:
Sería muy laborioso el conteo si trazamos las 50 rectas de golpe, entonces aplicando lógica inductiva,
iremos trazando dichas rectas uno por uno y analizando cada caso:
1
M
N
Nº de
triángulos
=
6
=
3(2)
Nº de rectas
trazadas + 1
2
1
M
N
Nº de =
triángulos
=
9
3(3)
Nº de rectas
trazadas + 1
3
2
1
M
N
.
.
.
.
.
.
..
12
=
3(4)
..
..
..
50
2
1
M
=
Nº de rectas
trazadas + 1
Luego :
..
..
Nº de
triángulos
N
Nº total de
triángulos
=
3(51) = 153
\ Respuesta : 153 triángulos
Nº de rectas
trazadas + 1
99
EJERCICIO 2
Calcular la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular.
1 2 3
98 99 100
Resolución:
Debido a que la distribución de las esferas responden a una formación triangular, entonces analizaremos,
recurriendo a la inducción, los casos iniciales a dicha formación:
Números
triangulares
# de esferas
Nº esferas en la base
1
=
1
=
1x2
2
=
2x3
2
Nº esferas en la base
1 + 2
3
=
Nº esferas en la base
1 + 2 + 3
6
=
=
3x4
2
=
4x5
2
Nº esferas en la base
1 + 2 + 3 + 4
=
10
.
.
.
Luego
1 + 2 + 3 + .... + 100
=
100 x 101
2
1 2
99 100
= 5050
100
101
EJERCICIO 3
EJERCICIO 4
Hallar la suma de todos los elementos de la
siguiente matriz:
Calcular "n" y dar como respuesta la suma de sus
cifras:
1
2
3
4
… 9 10
2
3
4
5
… 10 11
3
4
5
6
… 11 12
4
5
6
7
… 12 13
9
10 11 12
17 18
10 11 12 13
18 19
S=1+3+5+7+9+…
"n" términos
Resolución:
Aplicando inducción tendremos:
S = 1
=
1
=
1²
=
4
=
2²
=
9
=
3²
S = 1+3+5+7
=
16
=
1 término
Resolución:
Sumar los 100 elementos que conforman la matriz
va a ser demasiado operativo, aplicando inducción
tendremos:
S = 1+3
2 términos
[ 1 ] ó suma = 1 = (1)³
S = 1+3+5
# filas
3 términos
1
2
2
3
ó suma = 8 = (2)³
# filas
4²
4 términos
1 2
3
2 3
4
3 4
5
..
.
..
.
ó suma = 27 = (3)³
..
.
..
.
# filas
S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... =
..
.
n²
n términos
1
2
…
10
2
3
…
11
3
4
…
12
..
.
..
.
…
..
.
10 11 …
\ La respuesta es n²
\ suma = (10)³ = 1000
19
# filas
EJERCICIO 5
Calcular "E" y dar como respuesta la suma de sus
cifras.
E = (333 … 333)²
\ suma = 1000
200 cifras
102
Resolución:
Número de puntos de contacto
Por inducción tendremos:
3² = 9
1 2
Scifras = 9 = 9(1)
3 = 3(1) = 3
(
1 x 2
2
(
9 = 3(3) = 3
(
2 x 3
2
(
18 = 3(6) = 3
(
3 x 4
2
(
# cifras
1 cifra
(33)² = 1089
Scifras = 18 = 9(2)
# cifras
2 cifras
(333)² = 110889
1 2 3
Scifras = 27 = 9(3)
# cifras
3 cifras
..
..
.
1 2 3 4
E = (333...333)² = 11...110 88...889
200 cifras
..
.
..
.
..
.
..
.
199 cifras 199 cifras
Luego :
\ Scifras = 9(200) = 1800
# cifras
EJERCICIO 6
¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente
gráfica de circunferencias?
1 2
3
28 29 30
# Total de puntos = 3
\ de contacto
(
29 x 30
2
(
= 1305
EJERCICIO 7
1 2
3
28 29 30
Hallar la suma de cifras del producto siguiente:
P = 777 … 777
50 cifras
x
999 … 999
50 cifras
Resolución:
Vamos a proceder a contar, aplicando el método
inductivo, es decir, analizando casos simples,
cuidando que la formación (distribución de las
esferas) se mantenga uniformemente, así:
Resolución:
Viendo la formación que presenta cada factor,
entonces analizaremos la multiplicación para
casos más simples, así:
103
Suma de cifras
7 x 9
=
63 ® = 9 = 9(1)
EJERCICIO 9
Calcular la suma de cifras del resultado de A
1 cifra 1 cifra
77 x 99 = 7623 ® = 18 = 9(2)
A = (777 … 777 + 222 … 2225)²
2 cifras 2 cifras
777 x 999 = 776223 ® = 27 = 9(3)
3 cifras
"n" cifras
"n - 1" cifras
3 cifras
Resolución:
Luego: P = 77...776 22...223 ® = 9(50) = 450
49 cifras
49 cifras
EJERCICIO 8
El valor de "n" puede ser un valor grande como
también un valor pequeño. Para hacerlo más
sencillo, vamos a analizar este problema para
valores pequeños de "n" (2, 3 y 4); y, al final,
después de observar lo que sucede sacaremos
una conclusión general.
A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100
cuadraditos por lado, se le traza una diagonal
principal ¿Cuántos triángulos como máximo
podrán contarse en total?
(77 + 5)² = (82)² = 6724
Resolución:
Þ Scifras = 6 + 7 + 2 + 4 = 19
Si tratamos de contar los triángulos uno por uno
en el cuadrado de 100 cuadraditos por lado, va a
resultar muy agotador. Lo más recomendable
sería, en este caso, analizar ejemplos en los
cuales el número de cuadraditos sea mucho
menor. Aplicando inducción tendremos:
(777 + 25)² = (802)² = 643204
Þ Scifras = 6 + 4 + 3 + 2 + 4 = 19
1
1
# total de Ds = 2 = 1 x 2
# de cuadraditos
por lados
(7777 + 225)² = (8002)² = 64032004
1 2
1
2
# total de Ds = 6 = 2 x 3
# de cuadraditos
por lados
1 2 3
1
2
3
1
2
3..
..
..
..
100
Þ Scifras = 6 + 4 + 3 + 2 + 4 = 19
..
.
# total de Ds = 12 = 3 x 4
..
.
1 2 3......
100
..
.
# de cuadraditos
por lados
A = (77…77 + 22...225)² = 6400...003200...004
"n" cifras
\ # total de Ds = 100 x 101 = 10100
"n - 1" cifras
"n - 3" cifras "n - 2" cifras
cero
cero
\ Scifras = 19
104
EJERCICIO 10
Calcular la suma de cifras del resultado de:
M = (a + 3)(a + 3) … (a + 3)(a + 3)(a + 3) - (a - 3)(a - 3) … (a - 3)(a - 3)(a - 5)
101 cifras
2
101 cifras
Resolución:
Primero realicemos la diferencia que está dentro del corchete:
(a + 3)(a + 3) … (a + 3)(a + 3)(a + 3) — Þ
Þ
(a - 3)(a - 3) … (a - 3)(a - 3)(a - 5)
6
6
…
6
6
8
101 cifras
Entonces:
M = (666 … 6668)²
101 cifras
Aplicando inducción, tendremos:
(68)²
= 4624
Scifras = 16 = 6(2) + 4
2 cifras
(668)²
Nº cifras del número base
= 446224
Scifras = 22 = 6(3) + 4
3 cifras
(6668)²
Nº cifras del número base
= 44462224
Scifras = 28 = 6(4) + 4
4 cifras
..
..
Nº cifras del número base
M = (66 … 668)² = 44 … 44622 … 224
101 cifras
100 cifras
100 cifras
\ Scifras = 6(101) + 4 = 610
105
EJERCICIO 11
En la figura, calcular el número total de "hojitas" de la forma indicada:
1
2
3
49
50 51
Resolución:
Contar una por una las "hojitas" que conforman la gráfica, sería demasiado cansado y perderíamos
mucho tiempo. Si aplicamos inducción, tendremos:
Nº "hojitas" = 2 = 1 x 2
Nº circunferencias
en la base
1
1
Nº "hojitas" = 6 = 2 x 3
Nº circunferencias
en la base
2
Nº "hojitas" = 12 = 3 x 4
Nº circunferencias
en la base
1
2
3
Nº total de = 51 x 52 = 2652
"hojitas"
1
2
3
49
50 51
106
EJERCICIO 12
Calcular la suma de los términos de las veinte
primeras filas en el triángulo numérico siguiente:
F1
1
F2
4
F3
F4
9
4
9
9
saludo
16
16
1
16
Nº de personas
16
2x3
Suma = 9 = 3² =
2
4 4
(
F1
1
F2
4 4
F3
9 9 9
1x2
Nº saludos = 1 =
2
2
(
F2
Nº de personas
saludo
Resolución:
Como nos piden sumar hasta la fila 20, pareciera
que la única solución sería aplicar algunas
fórmulas del capítulo de series; pero si
observamos bien el triángulo numérico, vemos
que presenta una ley de formación, la cual la
podemos aprovechar aplicando inducción.
Nº de filas
2
1x2
Suma = 1 = 1² =
F1
1
2
F1
Resolución:
Resolviendo el problema aplicando inducción
tendremos:
3x4
Suma= 36 = 6² =
2
(
(
2
Nº saludos = 3 =
2x3
2
2
Nº saludos = 6 =
3x4
2
3
saludo
Nº de personas
3
..
1 2 3
4
4
n-1 n
......
Nº de personas
(n-1)n
Nº saludos =
2
Nº de filas
Por dato del problema tendremos:
Nº de filas
Nº saludos = 1275 = (n-1)n
2
2
(
2
(
n(n - 1) = 2550 = 51 x 50
\ Nº de personas: n = 51
F1
1
F2
4 4
9 9 9
F3
Nº de filas
2
Suma=
( 20 2x 21( = 44100
F20
EJERCICIO 14
Dado el esquema:
S1:
S2:
S3:
S4:
\ Suma de términos : 44100
EJERCICIO 13
A una reunión asistieron cierto número de personas, si cada una fue cortés con los demás y en
total se contaron 1275 estrechadas de manos
(saludos), averiguar, ¿cuántas personas asistieron?
¿Cuántas bolitas habrá en S12?
......
107
Resolución:
Si contamos las bolitas en los 4 casos
particulares dados, tendremos:
contarlas una por una, ya que sería un trabajo
muy laborioso y correríamos el riesgo de obviar
algunas, y dar una respuesta equivocada. Por lo
tanto, aplicaremos el método inductivo.
Nº de bolitas
1
S1
1 = 2-1
S
2
3 = 2-1
S
3
7 = 2-1
S
•
Digamos que la palabra a leer sea "IN"
2
letras
IN
3
I
4
15 = 2 - 1
4
N
-1
2 = 21
formas
N
12
\S
2 - 1 = 4096 - 1 = 4095 bolitas
12
EJERCICIO 15
Según el esquema mostrado, ¿de cuántas maneras
diferentes se puede leer la palabra "INDUCCION"?
I
N N
D D D
U U U U
C C C C C
C C C C C C
I I I I I I I
O O O O O O O O
N N N N N N N N N
•
Ahora que la palabra sea "IND":
letras
IND
I
N
D
•
D
formas
D
Ahora que la palabra sea "INDU":
letras
INDU
Resolución:
I
I
N N
D D D
U U U U
C C C C C
C C C C C C
I I I I I I I
O O O O O O O O
N N N N N N N N N
N
D
U
8 = 2³
N
D
U
U
-1
formas
D
U
En el problema :
INDUCCION
Totalmaneras = 2
Como se puede apreciar, la palabra "Inducción"
puede ser leída (siguiendo las líneas punteadas)
de diferentes maneras, demasiadas como para
-1
4 = 2²
N
-1
letras
= 28 = 256
\ Se puede leer de 256 maneras diferentes
108
EJERCICIO 16
¿De cuántas maneras distintas se puede leer la
palabra "ROMA" en el siguiente arreglo
triangular?
Como finalmente puedes apreciar, la palabra
"ROMA" se lee en dicho arreglo de 15 maneras
distintas. Observa bien el conteo en cada caso y
contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Los números 1; 3; 7 y 15 obtenidos en cada
caso, se han escrito en su forma equivalente
como potencias de dos menos una constante
¿Por qué o para qué se ha hecho esto?
R
R O R
R O M O R
R O M A M O R
Resolución:
¿Has visto cómo se ha procedido en el ejercicio
anterior? Podemos proceder, ahora, de modo
análogo; es decir:
Nº Formas
1er. Caso
Se lee: "R"
( letra)
R
1 = 2 - 1
2do. Caso
Se lee: "RO"
( letra)
¯ R¬
ROR
®
3 = 2 - 1
2. ¿Tiene alguna relación el número de letras que
se lee en cada uno y el exponente que presenta
la respectiva potencia 2?
3. Deduce la expresión matemática que nos
brinda el número de formas de leer palabras
dispuestas, en arreglos análogos al mostrado,
responde la siguiente pregunta:
¿De cuántas maneras distintas se puede leer la
palabra "CREATIVO", en el siguiente arreglo?
C
C R C
R
3er. Caso
R
O
R
Se lee: "ROM"
R O M O R
( letra)
C R E R C
7 = 2 - 1
C R E A E R C
C R E A T A E R C
C R E A T I T A E R C
4to. Caso
Se lee: "ROMA"
( letra)
C R E A T I V I T A E R C
C R E A T I V O V I T A E R C
\ Se puede leer de 255 maneras
R
R
O
R
15 = 2 - 1
EJERCICIO 17
R O M O R
R O M A M O R
Lado 1
7 maneras
Lado 2
7 maneras
Centro
1
Sabiendo que:
A1 = 1 x 100 + 50
A2 = 2 x 99 + 49
Se calcula,
análogamente
igual al lado 1
A3 = 3 x 98 + 48
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Calcular:
A20
109
Resolución:
EJERCICIO 19
Analizando los casos dados como datos,
tendremos:
Hallar:
4
E=
F180 + S137
si:
suma 101
=
A
x 100 + 50
-50
suma 101
=
A
x 99 + 49
S1 = 1
F1 = 2
S2 = 1 + 1
F2 = 2 + 2
S3 = 1 + 2 + 1
F3 = 2 + 4 + 2
S4 = 1 + 3 + 3 + 1
..
.
F4 = 2 + 6 + 6 + 2
..
.
-50
suma 101
=
A
Resolución:
x 98 + 48
Analicemos los casos dados:
-50
..
.
suma 101
A
x
=
+
S1 = 1 = 2º
F1 = 2 = 2¹
S2 = 2 = 2¹
F2 = 4 = 2²
S3 = 4 = 2²
F3 = 8 = 2³
S4 = 8 = 2³
..
.
F4 = 16 = 24
..
.
-50
Þ S137 = 2136
Þ F180 = 2180
suma 101
\
A
=
4
x 81 + 31 = 1651
\E=
-50
F180
S137
4
=
2180
2
136
4
=
244 = 211 = 2048
EJERCICIO 18
Si:
EJERCICIO 20
An = (-1)n + 1
Si: AA + DD + UU = ADU
Sn = A1 + A2 + A3 + … + An
calcular: E = A² + D² + U²
Hallar : S21 - S20
Resolución:
Resolución:
Deduzcamos los valores de A, D y U a partir de
criterios generales:
Calculando primero S21 y S20 obtenemos:
S21 = A1 + A2 + A3 + … + A19 + A20 + A21
S20 = A1 + A2 + A3 + … + A19 + A20
Þ S21 - S20 = A21 = (-1)21 + 1 = - 1 + 1
\ S21 - S20 = 0
1
—
.
AA +
DD
UU
ADU
110
I.
El máximo valor que puede asumir la suma
de 3 números de 2 cifras es: 3(99) = 297
Entonces en el resultado ADU, la cifra "A"
puede ser 2 ó en todo caso 1.
II. Sumando las cifras de las unidades,
tendremos:
A + D + U = ...U
...0 Þ A + D = 10, entonces llevaré 1
a las decenas
Resolución:
Para mayor comodidad, numeremos las filas de
esta operación:
I
II
III
IV
V
VI
*
*
*
*
-
2
*
0
9
-
*
*
*
*
*
*
-
5 *
325
1**
*
*
5 *
* *
- -
Nos damos cuenta que como esta división no
tiene residuo, bastaría con sólo conocer las
cifras del cociente para resolver este problema.
Entonces:
III. Sumando en la columna de las decenas:
1 + A + D + U = AD
A+U=9
10
10 + D = AD
1D = AD
I. Para que el residuo sea cero, la segunda cifra
de la fila VI debe ser 5, y para que resulte 5,
la tercera cifra del cociente debe ser 2, pues
es la única manera que: (2 x 325 = 650).
5 2 6 5 0 325
162
3 2 5
2 0 1 5
A=1
1 9 5 0
- - 6 5 0
Pero:
A + D = 10
A + U = 9
Þ A = 1, D = 9, U = 8
\ A² + D² - U² = 1² + 9² - 8² = 18
EJERCICIO 21
Reconstruir la siguiente operación de división e
indicar la suma de cifras del dividendo, si cada *
representa un dígito cualquiera.
*
*
*
*
-
2
*
0
9
-
*
*
*
*
*
*
-
5 *
*
*
5 *
* *
- -
6 5 0
D = 9
U = 8
325
1**
-
-
-
II. Para que la segunda cifra de la fila IV sea 9,
la segunda cifra del cociente debe ser 6: ya
que 325 x 6 = 1950, conociendo ya las cifras
del cociente, la operación reconstruida
sería:
\ Suma de cifras del dividendo
= 5 + 2 + 6 + 5 + 0 = 18
EJERCICIO 22
Si : abc + cba = .......8
abc - cba = .......8
Calcular el máximo valor de : a + b + c
111
Resolución:
Entonces:
Como tenemos la suma y diferencia de los mismos
números, entonces:
N3 + N6 + N9 + ........ + N90 = ...abc
30 sumandos
(...376) + (...376) + (...376)+…+(...376) = ...abc
30 sumandos
abc + cba = ...8
abc - cba = ...8
30 x (...376) = ...abc
2(cba) = …0
…1280 = ...abc
a = 2; b = 8; c = 0
\ a + b + c = 2 + 8 + 0 = 10
a=0 ó a=5
como a ¹ 0, entonces: a = 5
EJERCICIO 24
Luego:
Si:
n + nn + nnn + nnnn + … + nnn … nnn = ......xy9
abc + cba = ...8
17 sumandos
como a = 5, entonces: c = 3
Calcular: E = (n - y)(x-y)
Como nos piden el máximo valor de: a+b+c,
entonces b tomará su máximo valor, es decir:
b=9
\ a + b + c = 5 + 9 + 3 = 17
Resolución:
Si colocamos a los 17 sumandos, uno debajo del
otro, tendremos:
I.
EJERCICIO 23
3
6
9
90
(17 x 7 = 119) "dejamos 9
y llevamos 11"
= ...........abc
II.
Resolución:
Para hallar: a, b y c, habrá que hallar las potencias
de N³, entonces:
N3 = .....376 (dato)
6
3
3
9
3
6
N = N x N = (...376) x (...376) = ...376
11
nn...nnnnn
Al sumar las 16 cifras de las ............xy9
decenas, más 11 que
"llevamos" de la operación anterior,
obtenemos:
16 x n + 11 que es 16(7) + 11 = 123; y = 3
"Dejamos 3 y llevamos 12"
III. Al sumar las 15 cifras de las centenas, más
12 que "llevamos" de la operación anterior,
obtenemos:
N = N x N = (...376) x (...376) = ...376
12
3
9
N = N x N = (...376) x (...376) = ...376
..
..
N
90
= .....376
n +
nn
nnn
nnnn
12
17 x n = ...9 Þ n = 7
Si: N³ = ...376, calcular: a + b + c
donde:
N + N + N + ....... + N
Al sumar las 17 cifras de las
unidades obtendremos:
15 x n + 12 = ...x Þ x = 7
(15 x 7 + 12 = 117)
"Dejamos 7 y llevamos 11"
\ E = (n-y)(x-y) = (7 - 3)(7-3) = 44 = 256
112
Entonces:
EJERCICIO 25
d
Si:
E=
abcd = d, calcular:
abc x
512
a.b+d
c
abc x 2
productos
abc x 1 parciales
abc x 5
Resolución:
De la última expresión, nos damos cuenta que un
d
número elevado a él mismo (d ) debe dar como
resultado un número de cuatro cifras (abcd) y,
como "d" es una cifra, su valor oscila de 0 a9,
entonces:
Por dato, tenemos:
abc x 2 + abc x 1 + abc x 5 = 3496
8(abc) = 3496 - abc = 437
Reemplazando, luego, en el producto original:
abc x 512 obtenemos :
1
2
3
4
5
1 = 1; 2 = 4; 3 = 27; 4 = 256; 5 = 3215;
66 = 46656
Viendo los resultados, el único valor que cumple
con la condición anterior es d = 5, entonces:
abc x 512 = 437 x 512 = 223744
\ Scifras = 2 + 2 + 3 + 7 + 4 + 4 = 22
EJERCICIO 27
Si: abc x a = 428
abc x b = 214
a=3
c=2
5
5 = 3125
\
E=
axb+d
c
=
b=1
d=5
3x1+5
8
=
= 4
2
2
abc x c = 856
Calcular: E = (a x b x c)²
Resolución:
Si acomodamos, correctamente, cada producto
obtendremos:
EJERCICIO 26
Hallar la suma de cifras del resultado de
multiplicar "abc x 512", sabiendo que la suma
de los productos parciales de esta multiplicación
resulta 3496.
abc x a = 428 = 214 x 2
abc x b = 214 = 214 x 1
a = 2
b = 1
c = 4
abc x c = 856 = 214 x 4
Resolución:
Antes de entrar al problema en sí, hagamos un
ejemplo previo:
237 x
94
948
2133
22278
\ E = (a x b x c)² = (2 x 1 x 4)² = 64
EJERCICIO 28
237 x 4 productos
237 x 9 parciales
Producto Final
Si: abcde + edcba = 876...
y además: a < b < c < d < e
Calcular: E = a² + b² + c² + d² + e²
113
Resolución:
5(2x² + 30) +
10(15 + x²) = 420
Disponiendo la operación verticalmente:
abcde
edcba
876--
10(x² + 15) + 10(x² + 15) = 400 + 20
+
10(x² + 15) + 10(x² + 15) = 400 + 400
I. La suma de dos números iguales siempre da
un valor par, y como la cifra de las centenas
del resultado es 6, concluimos que c = 3 ó
c = 8. Este último valor no puede ser porque
si c = 8, según la desigualdad, "e", como
mínimo, tendría que ser 10 y eso sería
absurdo, entonces: c = 3
II. Por la desigualdad, concluimos:
2
Þ 10(x² + 15) = 400 ® x² + 15 = 40
Þ x² = 25 Þ x = 5
Reemplazando :
\ 2x + 5 = 2(5) + 5 = 15
EJERCICIO 30
a<b<c<d<e
1
(Por comparación)
¿Cuál es el número de 5 cifras que, multiplicado
por 22, nos da un producto cuyas cifras son
todas 8?
3
III. Si reemplazamos estos valores en la
operación, tendremos:
Resolución:
Supongamos que el número de 5 cifras sea
abcde; entonces, por condición del problema,
tendremos:
abcde x 22 = 88...88 (la cantidad de cifras del
producto es desconocida), despejando se tiene:
1 2 3 d e +
e d 3 d 1
8 7 6 - d = 5
e = 7
abcde =
\ E = a² + b² + c² + d² + e²
88...88
22
= 1² + 2² + 3² + 5² + 7²
= 98
EJERCICIO 29
+
Calcular el valor de "2x + 5", si xÎZ y además
5(2x² + 30) +
888888 22
88
40404
- - 88
abcde
88
- - 88
88
--
\ abcde = 40404
10(15 + x²) = 420
EJERCICIO 31
+
Resolución:
Si comenzamos a operar la expresión anterior, nos
vamos a complicar demasiado. Mejor podríamos
comenzar a deducir a partir de que "x" es un entero
positivo y obtendremos:
Si: a, b y c Î Z y se cumple que:
a + b + c = 11
a² + b² + c² = 49
Calcular: E = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)²
114
Resolución:
2(a x b) = da
Si procedemos a operar, el ejercicio resulta
tedioso; pero si comenzamos a deducir a partir
de que a, b, c Î Z+ obtendremos:
a² + b² + c² = 49 (la suma de tres cuadrados
perfectos resulta 49)
2 8
32 Þ b = 8 ; d = 3
III. b² = ec
8² = 64
Þ e=6 ; c=4
\ a0b + cdaec = 208 + 43264 = 43472
1², 2²,
3²,
4²,
5²,
6²,
7²,...
EJERCICIO 33
¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?
suma = 49
Entonces :
Verificando:
a² + b² + c² = 49
a + b + c = 11
2² + 3² + 6² = 49
2 + 3 + 6 = 11
\ E = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)²
= 5² + 9² + 8² = 170
EJERCICIO 32
Hallar: a0b + cdaec, si (a0b)² = cdaec
,
,
f(1)
,
f(2)
f(3)
Resolución:
Según lo que se observa nos podemos formar una
idea de cómo será el gráfico que corresponde a
f(20); pero dibujar el gráfico y contar los triángulos
que hay en él sería un trabajo demasiado tedioso;
por lo tanto, aplicamos el método inductivo.
Además:
0 = cero y las letras diferentes tienen valores
diferentes.
Resolución:
Número
de
triángulos
(a0b)² = a0b x a0b = cdaec
Entonces:
a0b x
a0b
axa
mec
f(1)
f(2)
f(3)
1
2
3
4+1
4+4+1
4 + 4 + 4 +1
Los
Los
El
pequeños
pequeños
grande
Los
El
medianos
grande
20
bxb
\ f(20) 4 + 4 + 4 ...... 4 + 1 = 81
0m
cdaec
Donde:
I. b² = ec ; m = a x b ; a² = c
Þ b = 4, 5, 6, 7, 8, 9
Þ a = 1, 2, 3
EJERCICIO 34
Hallar el valor de "S":
1
1
1
1
1
S=
+
+
+
+…+
1x2 2x3 3x4 4x5
99 x 100
par
II. m + m = da Þ 2m = da
par Þ a=2
Resolución:
Son muchos los números que debemos
sumar por lo cual, hacerlo de manera directa,
nos demandaría demasiado tiempo, es por
eso que aplicaremos el método inductivo.
115
S=
1
1
=
1x2 2
11 + 22 x a = … a
a = 9
11 + 22 x 9 = 20 9
S=
1
1
2
+
=
1x2 2x3 3
S=
1
1
1
3
+
+
=
1x2 2x3 3x4
4
..
.
1
1
\S = 1 x 2 + 2 x 3
Nos piden:
M=
1
1
99
+…+
=
3x4
99 x 100
100
+
Como se puede observar, el resultado de sumar
este tipo de números está en función a los factores
que aparecen en el denominador de la última
fracción.
ab - ba
95 - 59 =
M=
36 = 6
EJERCICIO 36
Halle la cantidad total de "palitos", en la siguiente
figura:
EJERCICIO 35
Si:
b + ab + bab + abab + babab +...+ baba...bab = ...ab
23 cifras
Calcular:
M=
ab - ba
Resolución:
2
1
3
4
99 100
Colocamos los números en forma vertical.
Resolución:
11
b
Si contamos, uno por uno la cantidad de "palitos"
que conforma la figura, sería demasiado extenso.
Si analizamos casos "pequeños", tendremos:
+
ab
bab
23 sumandos
abab
...
Þ Nº de "palitos" = 3 = x3 1
1
aba...bab
.........ab
2
Producto de los últimos
dos números entre 2
En el orden de las unidades:
23 x b = … b
23 x 5 = 11 5
b = 5;
Þ Nº de "palitos" = 9 = 3x3
"Llevamos" 11
siguiente orden
1
En el orden de las decenas:
2
3
Producto de los últimos
dos números entre 2
116
I. Al sumar las cifras de las unidades
obtendremos:
Þ Nº de "palitos" = 18 = 3 x 6
1
2
3
4
s + q + p + r = ......c
Producto de los últimos
dos números entre 2
28
= ......c
"De aquí c = 8 y llevamos 2"
II. Al sumar las cifras de las decenas, más 2 que
llevamos en la operación anterior obtendremos:
s + q + r + q + 2 = ........b
1
2
3
4
98 99 100
30
99 x 100
= 4950
2
Luego:
= ........b
"De aquí b = 0 y llevamos 3"
3(99 x 100)
Þ Nº de palitos =
3 x 4950
2
\ Nº de palitos = 14850
III. Al sumar las cifras de las centenas más 3 que
llevamos en la operación anterior obtendremos:
q + r + p + s + 3 = ........d
EJERCICIO 37
Si: p + q = 12 y r + s = 16
31
= ........d
además:
"De aquí d = 1 y llevamos 3"
qqss + mpq + pprp + ssqr = addbc
calcular : (a + b + c - d)²
Resolución:
Colocamos los números en forma vertical
IV. Al sumar las cifras de los millares ocurre lo
mismo que las cifras de las centenas,
llevando 3 a la cifra de unidad de millar, de
aquí a = 3.
\ (a + b + c - d)² = (3 + 0 + 8 - 1)²
qqss +
mpq
pprp
ssqr
addbc
= 100
EJERCICIO 38
Si :
como :
p + q = 12
r + s = 16
Þ
m.n = p, halle: p; además:
p + q + r + s = 28
si :
m² - p² + n²
= 1296
1
1
1
+
m²
n²
p²
117
Resolución:
Al operar la siguiente expresión se tiene que:
(m² - p² + n²) m² n² p²
= 1296
n² p² + p² m² - m² n²
2
x
n
x
n
- 2
n
x
+
n
x
2
= 0
2
x
n
n
n
= 0
4
Además :
mn = p, entonces: m² n² = p
Al extraer la raíz cuadrada obtenemos:
x
n
= 0 Þ x = n
n
x
Reemplazando se tiene que:
6
(m² - p² + n²) . p
= 1296
n² p² + p² m² - p4
\ A=
x
n
=
n
n
Factorizando:
3
-3
n
x
n
x
2
+
2
+
n
n
n
x
3
+
3
+
n
n
+3
6
(m² - p² + n²) . p
= 1296 = 6
6
(n² + m² + n²) . p
4
4
3
n
-3
n
+3
4
p =6
= 3
\ p=6
EJERCICIO 40
EJERCICIO 39
x
n
Si :
2
n
x
+
Si: 8n - 8n-1 = 14, entonces (3n)3n es igual a:
2
= 2
Resolución:
calcule :
A=
x
n
3
- 3
n
x
n
x
+
2
+
n
x
n
n-1
8 -8
3
+3
n
8 -
= 14
8n
= 14
(Multiplicando todo por 8)
8
8
Resolución:
n+1
n
- 8 = 8 . 14
Recordar:
n
8 = 16
Dándole forma al dato:
3n
2 =2
(Expresando como potencia de 2)
4
3n = 4
x
n
2
+
n
x
2
= 2
x
n
n
x
, despejando
\ (3n)3n = 44 = 256
118
PRACTICANDO 01
1. Calcular el valor M y dar como respuesta la
suma de sus cifras:
M = (666666666666)²
A) 102
D) 110
B) 140
C) 108
E) 111
6. En el siguiente gráfico, ¿cuántos triángulos
equiláteros se formarán, en total, al unirse
los centros de tres circunferencias vecinas
inmediatas?
Obs.: De la forma indicada
2. Calcular la suma de cifras del resultado:
A = 555...555 x 999...999
100 cifras
A) 1
D) 90
B) 10
3. Si:
A = (333...333)² y
100 cifras
C) 100
E) 900
61 cifras
31 cifras
Calcular la diferencia entre la suma de cifras
del resultado de A y la suma de cifras del
resultado de B.
A) 279
D) 828
B) 549
3
1 2
19 20 21
B = (666...666)²
C) 270
E) 720
A) 20
D) 441
4
B) 21
C) 400
E) 360
7. ¿Cuántos triángulos se pueden contar,
como máximo, en la siguiente figura?
4. Calcular la suma de cifras del resultado de:
A=
111 … 111 - 222 … 222
"2n" cifras
A) n
D) n²
B) 3n
"n" cifras
C) 6n
E) 2n
5. ¿Cuántas "cerillas" conforman la torre
mostrada?
1
2
3
A) 5500
D) 5253
4
48 49 50 51
B) 5000
C) 5050
E) 5250
8. Calcular la suma de los términos de la fila 50.
Fila
Fila
Fila
Fila
1 2 3 4
A) 20
D) 200
1
2
3
4
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
19 20 21
B) 21
C) 210
E) 420
A) 9750
D) 75200
B) 12500
C) 25000
E) 125000
119
9.
Si: a + b + c = 0
Calcular la suma de cifras de A :
A = (xxx … xxx)²
100 cifras
sabiendo, además que:
a²
b²
c²
x=
+
+
bc
ac
ab
A) 90
D) 900
B) 989
C) 99
E) 199
10. Calcular la suma de cifras del resultado de
"A".
A = (999 … 9995)²
101 cifras
B) 925
A) 900
D) 90
A) 2500
D) 2000
B) 1900
C) 625
E) 907
34 36
36 38
A) 441
D) 400
2
3
18 19 20
B) 225
B) 64
C) 81
E) 72
14. Si:
a5 x a6 x a7 x a8 + 1 = 2161
Calcular:
M = a + aa + aaa + aaaa + ....
A) 4936
D) 4938
B) 4856
C) 4836
E) 4746
15. ¿Cuántos "palitos" se trazaron para construir
el siguiente arreglo?
1 2 3 4 5
48 49 50
C) 1650
E) 3600
12. Calcular el número total de triángulos de la
forma D y Ñ en la siguiente figura:
1
A) 49
D) 100
"a" sumandos
11. Hallar la suma de los elementos de la
siguiente matriz de 10 x 10
2 4 6
18 20
4 6 8
20 22
6 8 10
22 24
18 20 22
20 22 24
13. Calcular la suma de cifras del resultado de
efectuar: E = 81(12345679)²
C) 324
E) 300
A) 3600
D) 3725
B) 3675
C) 2550
E) 3625
16. ¿Con cuántos "palitos" se formó la siguiente
figura?
1 2 3 4 5
A) 11000
D) 10100
96 97 98 99 100 101
B) 10010
C) 10200
E) 10101
120
17. Para construir el siguiente castillo se utilizaron
"cerillas", ¿cuántas se emplearon en total?
1
2
3
A) 10000
D) 20400
99 100 101
B) 16000
C) 25000
E) 20300
18. Hallar la suma de cifras del resultado de la
siguiente operación:
999 … 99 - 1999 998
2(n - 1) cifras
A) 3n
D) 9n
B) 6n
n cifras
20. En el siguiente triángulo, ¿cuántas bolitas
sombreadas hay?
98 99 100
1 2 3
A) 2550
D) 5100
B) 2500
C) 2250
E) 2555
21. Determinar: "P + U + C", si
PUC + CUP = 888
Además: P - C = 4
A) 10
D) 13
B) 14
C) 11
E) 18
C) 6(n + 1)
E) 9(n - 1)
22. Al multiplicar un número de 7 cifras
consecutivos por 13, el resultado termina en
7. ¿Cuál será la diferencia entre la suma de
cifras del resultado, con la suma de cifras del
número de 7 cifras?
18. Si:
M(1) = 4 x 1 + 1
M(2) = 8 x 4 + 8
A) 0
D) 14
M(3) = 12 x 9 + 27
Calcular el valor de x, si M(x) = 4 x 104
B) 1
C) 35
E) 13
23. Si. ANITA x 8 = PEPITO , 0 = CERO
Hallar: M = A + N + I + T + E + P
A) 15
D) 20
B) 18
C) 23
E) 21
A) 20
D) 27
B) 24
C) 35
E) 28
121
24. Reconstruir la siguiente operación e indicar la
suma de cifras del resultado. Cada asterisco
representa un dígito cualquiera.
B) 22
E=
A) 10
D) 6
**** x
*6*
*84*
1****
****
**5129
A) 21
D) 24
28. Calcular la suma de cifras del resultado de:
10305050301 + 2040604020
B) 9
C) 12
E) 8
29. Un número de 4 cifras de la forma abc6,
elevado al cuadrado, termina en abc6,
Calcular: a + b + c
C) 23
E) 25
25. Calcular la suma de cifras del cociente, en la
siguiente división:
A) 17
D) 20
B) 18
C) 19
E) 21
30. Calcular: (A - M - N)1997
si se sabe que:
1A + 2A + 3A + … + 9A = MN1
* * * * * * *
* *
* * 8 * *
* * *
- - - * *
- * * *
* * *
- - 1
A) 0
D) 3
B) 1
C) 2
E) 4
31. En la siguiente división, hallar la suma de las
cifras del dividendo:
A) 20
D) 30
B) 21
C) 26
E) 32
2 * * * * * *
* *
* * 3 *
- - * *
* 5
- * *
5 *
- -
26. Hallar la última cifra del resultado de:
E = 367131 + (82519 + 1)(26² - 1)
A) 1
D) 4
B) 1
C) 3
E) 5
27. Si: SIETE + TRES = 100000
hallar SEIS, además: I = E y T = R
A) 21
D) 18
B) 37
32. Si: A + U = D y U + D = 17
hallar la suma de las cifras del resultado de:
E = AU x (AA...AA)² - (DD...DD)² + (UU...UU)²
8 cifras
A) 8128
D) 9339
B) 8118
C) 9229
E) 9119
C) 25
E) 15
A) 49
D) 72
B) 54
8 cifras
C) 64
E) 80
8 cifras
122
33. En un examen, las respuestas a las cinco
primeras preguntas son: a, b, c, d, e; para las
siguientes 10 son: a, a, b, b, c, c, d, d, e, e;
para las siguientes 15 son: a, a, a, b, b, b, c,
c, c, d, d, d, e, e, e; y así sucesivamente.
Entonces, la respuesta a la pregunta 90, es:
A) a
D) d
34. Si:
B) b
A2
C) c
E) e
37. Se tiene un número de 3 cifras que comienza
en 5 y acaba en 2; dichas cifras son cambiadas
por 1 y 8, respectivamente. ¿En cuánto ha
disminuido dicho número?
A) 388
D) 280
B) 432
C) 406
E) 394
38. Si: (a + b + c)² = a25
Calcular: M = ab3 + c2b + 4ac + bca
=3
A) 1475
D) 1575
1A
Calcular: E = 2(A + 3) + 7
A) 4
D) 21
B) 7
B) 370
A) 1
D) 2
C) 535
E) 337
B) 27
111 términos
7 + 77 + 777 + 7777 + … + 777..77 = .....mnpq
=
36 sumandos
B) 5
C) 36
E) 3
40. Calcular: a + b + c + d, si:
a y c < 6 ; b yd < 8
Además:
131² + 133² + 135² + 231² + 233² + 235² + … =
36. Efectuar la siguiente suma y hallar:
m+n+p+q
A) 7
D) 12
C) 2088
E) 1988
39. Poseo cinco dígitos, pero si me restaras la
unidad, ya no tendría cinco, sino solamente
cuatro, ¿quién soy? (Dar como respuesta la
suma de cifras del número)
C) 14
E) 20
35. Si: ababa x 6 = 212118, hallar:
aab + ab
A) 335
D) 730
B) 1685
C) 5
E) 14
...ab + ...cd
A) 2
D) 7
B) 3
C) 5
E) 9
CLAVES
1
C
11
D
21
E
31
E
2
E
12
C
22
A
32
C
3
C
13
C
23
C
33
C
4
B
14
A
24
E
34
D
5
E
15
B
25
C
35
B
6
C
16
D
26
A
36
E
7
C
17
E
27
E
37
E
8
E
18
E
28
D
38
C
9
D
19
D
29
C
39
A
10
E
20
A
30
B
40
D
123
PRACTICANDO 02
1. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas se
puede leer la palabra Roma?
A A A A
A) 27
M M M
B) 20
A O O A
C) 28
M R M
D) 21
A
O O A
E) 19
M M M
A A A A
6. En el siguiente arreglo,
4 8
halle las sumas de
8 12
todos los números.
12 16
16 20
A) 4000
B) 4200
40 44
C) 4700
D) 5200
E) 47211
2. Halle la suma de cifras del producto
7. Halle el valor de la suma
40
44
48
52
48 52
76
ABCD + EFGH + IJKL + MNOP
*4*
2**
1***
***4*
6*4**
9**50
A) 18
B) 24
C) 25
D) 12
E) 30
12 16
16 20
20 24
24 28
si se cumple que:
AB + EF + IJ + MN = 347
CD + GH + KL + OP = 305
3. En la siguiente figura, halle la cantidad de
palitos.
A) 36405
D) 43215
B) 46225
C) 64555
E) 35005
8. Si
MIA x 999 = .......1648
1
A) 702
D) 901
2
3 . . . .18
B) 709
calcule
19
MAMA x 99
20
A) 319968
D) 47211
C) 800
E) 699
B) 53222
C) 432412
E) 66647
9. En la figura, halle la
cantidad de palitos
4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer
TROTAMUNDOS?
N
OT M UNDO
R
T O A U D S
R T M N O
O
U D
N
A) 130
B) 128
C) 135
D) 166
E) 120
5. En la figura al unir los centros de las
circunferencias, halle el número de
triángulos simples que se forman
A) 3600
B) 4200
C) 3500
D) 4100
E) 2460
1 2 3
A) 7000
B) 7198
C) 7411
D) 6852
E) 6421
2
3
4
57 58 59 60
10. En el siguiente arreglo, halle
E = (A + B) - (C + D). Si se tiene 77 sumandos
A) 14
B) 9
C) 5
D) 6
E) 4
60 61
1
7777 ....... 7777 +
777
7777
........................
........................
777
77
7
...........DCBA
124
11. Si
17. Si
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6... x 50 =
N x 10
x
a-b=b-c=
-y
10
donde N no es múltiplo de 5, halle
B) 64334
6
Calcule
M = [(a - c)6 + (b - c)6 + (a - b)6] + 6
XYOX + XOYY + YXXX + Y47Y
A) 25814
D) 11424
6
C) 48624
E) 74284
A) 72
D) 3
B) 66
C) 60
E) 18
12. Halle el valor de R si
2
4
8
1024
R = 2(3+1)(3 +1)(3 +1)(3 +1)...(3
1024
2048
A) 3
246
D) 3
13. Si:
B) 3
+1)+1
512
C) 3
1152
E) 3
abcd x 4 = … 792
18. Sabiendo que
(a + 2 ab + b)(a - 2 ab + b) = 0
halle el valor de
abcd x 5 = … 370
halle las tres últimas cifras del siguiente
producto
A) 315
D) 716
B) 308
C) 158
E) 324
A=
a² + 2b²
a² + b²
+
A) 17
D) 32
a² + 4b²
a² + b²
+
a³ + 8b³
a³ + b³
B) 16
a4 + 16b4
+
4
4
a +b
C) 25
E) 8
14. Calcule el valor de
R=
(409) x (391) + 81
(115) x (85) + 225
A) 3
D) 4
B) 6
19. Calcule la suma del resultado de
C) 5
E) 2
2
A = (4444...448)² - (4444...447)² + 1111...1110
100 cifras
15. Halle la suma de cifras de la siguiente
40
40
expresión: A = (10 + 1)(10 - 1)
A) 700
D) 720
B) 640
C) 599
E) 761
16. Si cada asterisco es una cifra
A) 9
D) 10
100 cifras
B) 8
100 cifras
C) 6
E) 12
20. Si B = 1 x 1! + 2 x 2! + 3 x 3! + … + 100 x 100!
abc - cba = 3**
halle el valor de B.
abc - cba = *35*
halle 2a + b + c
A) 18
D) 30
B) 20
C) 27
E) 33
A) 102! - 1
D) 122! - 3
B) 100! - 1
C) 101! - 1
E) 99! + 2
125
PRACTICANDO 03
PROBLEMA 01
PROBLEMA 04
En la siguiente sucesión determinar el número de
círculos sin pintar en la colección de círculos que
ocupe el décimo lugar.
Calcular :
22002
1 + (3 x 5 x 17 x .....)
2002 factores
A) 1
D) 2002
A) 201
D) 181
B) 131
C) 151
E) 231
B) 2
C) 32
E) 2003
PROBLEMA 05
Calcular el número total de hexágonos que
se pueden contar, considerando el tamaño
que se indica en la figura
PROBLEMA 02
Hallar el número total de palitos
A) 1250
B) 1225
C) 1500
D) 1600
E) 1275
1
2
A) 250
D) 5050
3
1 2 3
51 52 53
4 5 . . . . . . . . 46 47 48 49 50
B) 2450
C) 1324
E) 1275
PROBLEMA 06
En la siguiente gráfica ¿Cuántas bolitas
sombreadas hay?
PROBLEMA 03
Calcular la suma de cifras del resultado de la
siguiente expresión:
(999 ...... 999)³
2002 Cifras
Indicar la última cifra de dicha suma
A) 6
D) 0
B) 8
C) 4
E) 1
1 2 3
A) 1500
D) 1000
98 99 100
B) 1550
C) 2501
E) 5050
126
PROBLEMA 07
PROBLEMA 07
Cuántas cajitas de la forma se han utilizado
en la construcción de la siguiente torre
En la siguiente gráfica ¿Cuántos cuadritos
sombreados hay?
1
2
3
A) 280
B) 390
C) 410
D) 401
E) 400
8
1 2 3
7
6
5
4
3
2
1
37 38 39
C
49
50
PROBLEMA 08
¿Cuántos triángulos se pueden contar en la
siguiente figura?
B) 400 A
A) 600
D) 625
C) 441
E) 675
PROBLEMA 11
A) 3775
B) 2105
C) 5050
D) 2500
E) 1275
Halle el número total de palabras "SAN
MARCOS" en:
1
2 3
S
A
N
M
A
R
C
O
S
48 49 50
PROBLEMA 09
¿Cuántos cerillas se utilizan para formar desde
la figura (I) hasta la figura (20)?
A) 256
D) 225
F(I)
A
N
M
A
R
C
O
S
O
N
M
A
R
C
O
S
O
C
M
A
R
C
O
S
O
C
R
B) 512
A
R
C
O
S
O
C
R
A
R
C
O
S
O
C
R
A
M
C
O
S
O
C
R
A
M
N
O
S
O
C
R
A
M
N
A
S
O
C
R
A
M
N
A
S
C) 511
E) 1023
F(II)
F(III)
PROBLEMA 12
A) 6160
D) 6170
B) 6140
C) 6110
E) 6180
Hallar la cantidad total de palabras "INGENIO"
que se puede leer en la siguiente figura (uniendo
letras vecinas consecutivamente)
127
0
0
0
0
A) 192
B) 189
C) 63
D) 255
E) 8
0
0
0
I
I
N
0
I
N
E
I
I
N
E
G
N
0
I
N
E
G
N
E
I
I
N
E
G
N
I
G
N
0
PROBLEMA 15
0
I
N
E
G
N
E
I
0
I
N
E
G
N
0
0
I
N
E
I
0
I
N
0
0
I
0
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer
la palabra "RAZONANDO", uniendo círculos
consecutivos?
R
A A
A) 25
Z Z Z
B) 21
OOOO
C) 75
N N N N N
D) 70
A A A A
E) 81
N N N
D D
O
PROBLEMA 13
¿De cuántas formas consecutivas diferentes se
puede formar la palabra "RAZONA", uniendo
las letras en forma consecutiva?
R
RAR
RAZAR
RAZOZAR
RAZONOZAR
RAZONANOZAR
A) 64
B) 63
C) 127
D) 31
E) 128
CLAVES
01) B
02) C
03) A
04) B
05) E
06) C
07) E
08) A
06) A
10) D
11) B
12) B
13) B
14) D
15) D
PROBLEMA RECREATIVO:
PROBLEMA 14
Calcular el número de rombos con un cuadrado
pequeño interior que se forman al unir los
centros de todos los cuadrados de la figura.
Mover dos palitos de
fósforos, de tal manera
que el recogedor quede
de la misma forma pero
con el papel fuera de él:
PROBLEMA RECREATIVO:
Moviendo tres palitos
de fósforo, formar
1
2
2001 2002 2003
3
cuatro triángulos
equiláteros:
A) 20030
D) 100404
B) 40060
C) 100404
E) 100020
128
PRACTICANDO 04
1. Si se cumple que
M(1) = 2 + 1 - 1
M(2) = 4 + 4 ÷ 3
M(3) = 6 X 9 - 5
M(4) = 8 + 16 ÷ 7
5. Halle la suma de todos los elementos de la
fila 20 en el siguiente arreglo triangular
1
Fila 1
2 3
Fila 2
3 4 5
Fila 3
Fila 4
4 5 6 7
5 6 7 8 9
Fila 5
halle M(19)
A) 348
D) 286
B) 362
C) 452
E) 456
A) 590
D) 480
B) 610
C) 720
E) 350
6. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?
2. Halle el valor de E
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2001
E=
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2002
A)
1001
1002
D)
2000
2001
B)
2001
2002
C)
1001
2000
E)
1000
1001
1 2 3 4
A) 1600
D) 2500
B) 1800
3
4
5
20
21
22
20 21 22
39
A) 441
D) 4000
2
3
4
B) 8000
C) 2100
E) 1900
7. ¿De cuántas formas distintas se puede leer
SAN MARCOS en el siguiente arreglo?
S
3. Halle la sua de todos los elementos de
la siguiente matriz
1
2
3
47 48 49 50
A
N
M
A
R
C
S
C) 2000
E) 4441
M
A
R
A
R
C
N
M
M
A
R
C
A
R
C
R
C
O O O O O O O O
S
S
S
S
S
S
S
A) 256
D) 128
C
A
N
C
B) 1024
S
C) 64
E) 512
8. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?
4. Halle el valor de la siguiente expresión
n sumandos
f(1)
(1 x 3 - 3 x 5 - 5 x 7 - ...) - n
1² - 2² - 3² - …
A) 81
D) 68
n sumandos
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
E)
n
n² - 1
f(2)
B) 84
f(3)
, ....
, ....
C) 80
E) 76
9. ¿Cuántos paralelogramos de la forma y
tamaño de los que aparecen sombreados
hay en total en la siguiente figura?
129
15. Si:
1
2
N x 23 = ....927
3
4
N x 25 = ....225
5
halle las 3 últimas cifras de N x 42 y dé
como respuesta la suma de dichas cifras.
50
51
A) 3125
D) 2550
B) 625
A) 12
D) 13
C) 1225
E) 2415
B) 9
16. ¿Cuál es la suma de cifras del producto
15
10. Halle SEIS si SIETE + TRES = 100000 y
T=R
I=E
A) 8118
D) 1881
B) 9119
C) 9339
E) 3333
11. Si abc - mn4 = cba, además a + b + c = 20
c
halle
a-b
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12. Si ADCV(99999999) = ....3518
halle A + D + C + V
A) 20
D) 18
B) 24
C) 12
E) 25
13. Halle la suma de las cifras del resultado del
C) 10
E) 15
(10 - 1)(10
15
A) 300
D) 450
+ 1)?
B) 270
17. Si se cumple que
f(x + 1) = f(x) + 2 x + 1 y
halle f(50)
A) 525
D) 1600
C) 150
E) 420
f(1) = 1
B) 2500
C) 1875
E) 1500
18. Halle la suma de cifras del resultado de
la siguiente operación
S = 555 … 555 + 777 … 777 + 999 … 999
300 cifras
299 cifras
298 cifras
multiplicar abc x 512 sabiendo que la suma
de los productos parciales sumados
convencionalmente nos da 4096.
A) 32
D) 48
B) 19
C) 25
E) 12
A) 705
D) 684
B) 816
C) 902
E) 848
19. Efectúe y dé como respuesta la suma de
cifras
14. Al dividir abcd entre 4, el cociente es
A = (111 … 112)² - (111 … 110)²
dcba y el resto es cero.
Halle E = a + b + c + d
A) 15
D) 17
B) 14
100 cifras
C) 16
E) 18
A) 100
D) 400
100 cifras
B) 200
C) 300
E) 500