PRESENTACIÓN CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC de Cuarto Año de Secundaria de Editorial Ingenio S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación ón de ideas, iniciativa, creatividad, autovaloración, etc. 4 El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos mencionados. El CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 4, 4, para el cuarto año de educación secundaria, es complemento del libro de ÁLGEBRA 4 y ha sido elaborado por el Departamento Académico co de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra: Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio. Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso. Cuaderno de trabajo Álgebra 4 Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico: El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, Tarea y Reforzando: Elvis Valerio Solari Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Corrección de Estilo: Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck Fotografía: Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web Primera edición: Tiraje: Setiembre 2015 4000 ejemplares EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado. En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, ampliar y profundizar los contenidos del capítulo. Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna dificultad. Editado e impreso en los talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] [email protected] TAREA Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de avance entre los estudiantes. Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. REFORZANDO Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascendentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión a las universidades. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14421 ISBN: 978-612-4302-06-0 3 4 Los ejercicios de este grupo son para ampliar, ampliar, reforzar, complementar, complementar, profundizar y detallar los contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios. ÁLGEBRA 4 TEMAS CAPÍTULOS N° PÁGINA Capí Capítu tulo lo 01 NÚME NÚMERO ROSS RREA EALES LES En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes. Capítu Capítulo lo 02 02 OPERAC OPERACION IONES ES CON CON LOS LOS RREAL EALES ES I 10 Capítu Capítulo lo 03 OPERAC OPERACION IONES ES CON CON LOS LOS RREAL EALES ES II 13 RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”. Capítu Capítulo lo 04 04 MULTIP MULTIPLIC LICACI ACIÓN ÓN ALGEB ALGEBRAI RAICA CA 17 Capítu Capítulo lo 05 FRACCI FRACCIONE ONESS ALGE ALGEBRA BRAICA ICASS 20 Capí Capítu tulo lo 06 RADI RADICA CACI CIÓN ÓN 24 Capí Capítu tulo lo 07 07 ECUA ECUACI CION ONES ES I 27 Capí Capítu tulo lo 08 ECUA ECUACI CION ONES ES II 30 Capítu Capítulo lo 09 SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES I 33 Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares. Capítu Capítulo lo 10 SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES II 36 Capítulo 11 RECURSIVIDAD I 39 Capítulo 12 RECURSIVIDAD II 43 En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias. Capítu Capítulo lo 13 NÚME NÚMERO RO COM COMBI BINA NATO TORI RIO O 47 Capítu Capítulo lo 14 14 BINO BINOMI MIO O DE NEWT NEWTON ON 50 La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica. PROYECTO INGENIO S.A.C. 7 Capí Capítu tulo lo 15 LOGA LOGARI RITM TMOS OS 53 Capítu Capítulo lo 16 16 ECUACI ECUACIONE ONESS LOGA LOGARÍT RÍTMIC MICAS AS 56 Capítu Capítulo lo 17 PROGRE PROGRESIÓ SIÓN N ARITMÉT ARITMÉTICA ICA 59 Capí Capítu tulo lo 18 18 SUCE SUCESI SION ONES ES Y SER SERIES IES 62 Capí Capítu tulo lo 19 INEC INECUA UACI CION ONES ES I 65 Capí Capítu tulo lo 20 20 INEC INECUA UACI CION ONES ES IIII 68 Capí Capítu tulo lo 21 21 INEC INECUA UACI CION ONES ES III III 71 Capí Capítu tulo lo 22 22 FUNC FUNCIO IONE NESS I 74 Capí Capítu tulo lo 23 23 FUNC FUNCIO IONE NESS II 77 Capí Capítu tulo lo 24 FUNC FUNCIO IONE NESS III 81 CLAVE DE RESPUESTAS 4 4 84 4 5 PRESENTACIÓN CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC de Cuarto Año de Secundaria de Editorial Ingenio S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación ón de ideas, iniciativa, creatividad, autovaloración, etc. 4 El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos mencionados. El CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 4, 4, para el cuarto año de educación secundaria, es complemento del libro de ÁLGEBRA 4 y ha sido elaborado por el Departamento Académico co de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra: Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio. Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso. Cuaderno de trabajo Álgebra 4 Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico: El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, Tarea y Reforzando: Elvis Valerio Solari Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Corrección de Estilo: Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck Fotografía: Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web Primera edición: Tiraje: Setiembre 2015 4000 ejemplares EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado. En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, ampliar y profundizar los contenidos del capítulo. Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna dificultad. Editado e impreso en los talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] [email protected] TAREA Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de avance entre los estudiantes. Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. REFORZANDO Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascendentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión a las universidades. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14421 ISBN: 978-612-4302-06-0 3 4 Los ejercicios de este grupo son para ampliar, ampliar, reforzar, complementar, complementar, profundizar y detallar los contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios. ÁLGEBRA 4 TEMAS CAPÍTULOS N° PÁGINA Capí Capítu tulo lo 01 NÚME NÚMERO ROSS RREA EALES LES En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes. Capítu Capítulo lo 02 02 OPERAC OPERACION IONES ES CON CON LOS LOS RREAL EALES ES I 10 Capítu Capítulo lo 03 OPERAC OPERACION IONES ES CON CON LOS LOS RREAL EALES ES II 13 RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”. Capítu Capítulo lo 04 04 MULTIP MULTIPLIC LICACI ACIÓN ÓN ALGEB ALGEBRAI RAICA CA 17 Capítu Capítulo lo 05 FRACCI FRACCIONE ONESS ALGE ALGEBRA BRAICA ICASS 20 Capí Capítu tulo lo 06 RADI RADICA CACI CIÓN ÓN 24 Capí Capítu tulo lo 07 07 ECUA ECUACI CION ONES ES I 27 Capí Capítu tulo lo 08 ECUA ECUACI CION ONES ES II 30 Capítu Capítulo lo 09 SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES I 33 Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares. Capítu Capítulo lo 10 SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES II 36 Capítulo 11 RECURSIVIDAD I 39 Capítulo 12 RECURSIVIDAD II 43 En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias. Capítu Capítulo lo 13 NÚME NÚMERO RO COM COMBI BINA NATO TORI RIO O 47 Capítu Capítulo lo 14 14 BINO BINOMI MIO O DE NEWT NEWTON ON 50 La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica. PROYECTO INGENIO S.A.C. 7 Capí Capítu tulo lo 15 LOGA LOGARI RITM TMOS OS 53 Capítu Capítulo lo 16 16 ECUACI ECUACIONE ONESS LOGA LOGARÍT RÍTMIC MICAS AS 56 Capítu Capítulo lo 17 PROGRE PROGRESIÓ SIÓN N ARITMÉT ARITMÉTICA ICA 59 Capí Capítu tulo lo 18 18 SUCE SUCESI SION ONES ES Y SER SERIES IES 62 Capí Capítu tulo lo 19 INEC INECUA UACI CION ONES ES I 65 Capí Capítu tulo lo 20 20 INEC INECUA UACI CION ONES ES IIII 68 Capí Capítu tulo lo 21 21 INEC INECUA UACI CION ONES ES III III 71 Capí Capítu tulo lo 22 22 FUNC FUNCIO IONE NESS I 74 Capí Capítu tulo lo 23 23 FUNC FUNCIO IONE NESS II 77 Capí Capítu tulo lo 24 FUNC FUNCIO IONE NESS III 81 CLAVE DE RESPUESTAS 4 4 84 4 5 ÁLGEBRA 4 Los ejercicios de este grupo son para ampliar, ampliar, reforzar, complementar, complementar, profundizar y detallar los contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios. TEMAS CAPÍTULOS N° PÁGINA Capí Capítu tulo lo 01 NÚME NÚMERO ROSS RREA EALES LES En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes. Capítu Capítulo lo 02 02 OPERAC OPERACION IONES ES CON CON LOS LOS RREAL EALES ES I 10 Capítu Capítulo lo 03 OPERAC OPERACION IONES ES CON CON LOS LOS RREAL EALES ES II 13 RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”. Capítu Capítulo lo 04 04 MULTIP MULTIPLIC LICACI ACIÓN ÓN ALGEB ALGEBRAI RAICA CA 17 Capítu Capítulo lo 05 FRACCI FRACCIONE ONESS ALGE ALGEBRA BRAICA ICASS 20 Capí Capítu tulo lo 06 RADI RADICA CACI CIÓN ÓN 24 Capí Capítu tulo lo 07 07 ECUA ECUACI CION ONES ES I 27 Capí Capítu tulo lo 08 ECUA ECUACI CION ONES ES II 30 Capítu Capítulo lo 09 SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES I 33 Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares. Capítu Capítulo lo 10 SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES II 36 Capítulo 11 RECURSIVIDAD I 39 Capítulo 12 RECURSIVIDAD II 43 En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias. Capítu Capítulo lo 13 NÚME NÚMERO RO COM COMBI BINA NATO TORI RIO O 47 Capítu Capítulo lo 14 14 BINO BINOMI MIO O DE NEWT NEWTON ON 50 Capí Capítu tulo lo 15 LOGA LOGARI RITM TMOS OS 53 Capítu Capítulo lo 16 16 ECUACI ECUACIONE ONESS LOGA LOGARÍT RÍTMIC MICAS AS 56 Capítu Capítulo lo 17 PROGRE PROGRESIÓ SIÓN N ARITMÉT ARITMÉTICA ICA 59 Capí Capítu tulo lo 18 18 SUCE SUCESI SION ONES ES Y SER SERIES IES 62 Capí Capítu tulo lo 19 INEC INECUA UACI CION ONES ES I 65 Capí Capítu tulo lo 20 20 INEC INECUA UACI CION ONES ES IIII 68 Capí Capítu tulo lo 21 21 INEC INECUA UACI CION ONES ES III III 71 Capí Capítu tulo lo 22 22 FUNC FUNCIO IONE NESS I 74 Capí Capítu tulo lo 23 23 FUNC FUNCIO IONE NESS II 77 Capí Capítu tulo lo 24 FUNC FUNCIO IONE NESS III 81 La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica. PROYECTO INGENIO S.A.C. 7 CLAVE DE RESPUESTAS 4 84 4 4 5 CAPÍTULO 01 NÚMEROS REALES 1 Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. –15 ∈ N 3. 3 ∈ N A) VVVV D) FFVV 2 ( ) ( ) B) FVFV 2. 15 ∈Q 4. 5 – 3 ∈R B) 210 Se verica el axioma de cerradura sobre B = {2; 4; 6}, tal que 2 + a = b, a ≠ b ≠ 2 Halla el inverso aditivo de ( a + b). ( ) ( ) A) 8 D) –10 C)VFVF E) FFFF En la igualdad 7 + m = 16 + n se verifica el axioma de conmutatividad, halla m × n. A) 110 D) 140 4 5 C) 112 E) 92 Halla el elemento neutro aditivo e inverso mul- tiplicativo de 7, luego dé como respuesta la suma de dichos elementos. A) 1/7 D) 1/6 B) 7 C) 6 E) 1 6 C) 10 E) 13 Indica verdadero (V) o falso (F) para x ∈R ∧ y ∈R. 1. x < y 1 ⇒ 1 > ( ) 2. x < y ⇒ x3 < y3 ( ) 3. x > y ⇒ x2 > y2 ( ) A) VVV D) FFF 3 B) –8 x y B) FVF C) VVF E) FFV Si x, y ∈ R+; calcula el máximo valor que puede tomar xy, si x + y = 16. A) 84 D) 15 B) 74 C) 64 E) 18 4 7 Á L G E B R A CAPÍTULO 01 NÚMEROS REALES 1 Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. –15 ∈ N 3. 3 ∈ N A) VVVV D) FFVV 2 ( ) ( ) 2. 15 ∈Q 4. 5 – 3 ∈R B) FVFV B) 210 Se verica el axioma de cerradura sobre B = {2; 4; 6}, tal que 2 + a = b, a ≠ b ≠ 2 Halla el inverso aditivo de ( a + b). ( ) ( ) A) 8 D) –10 C)VFVF E) FFFF En la igualdad 7 + m = 16 + n se verifica el axioma de conmutatividad, halla m × n. A) 110 D) 140 4 5 C) 112 E) 92 B) –8 Indica verdadero (V) o falso (F) para x ∈R ∧ y ∈R. 1. x < y 1 ⇒ 1 > ( ) 2. x < y ⇒ x3 < y3 ( ) 3. x > y ⇒ ( x A) VVV D) FFF 3 Halla el elemento neutro aditivo e inverso mul- 6 tiplicativo de 7, luego dé como respuesta la suma de dichos elementos. A) 1/7 D) 1/6 B) 7 x2 y > y2 B) FVF ) C) VVF E) FFV B) 74 C) 64 E) 18 7 4 EDITORIALINGENIO EDITORIALINGENIO Si x ∈ R+; indica el mínimo valor que toma 7 A) 24 D) 19 B) 12 9 En Z se dene ∅, tal que a ∅ b = 6( a + b), halle 6–1 cuando a = –36, siendo a–1 el inverso de a en la operación ∅. A) –1 D) –4 C) 18 E) 20 B) –2 REFORZANDO 1 C) –3 E) –6 1. –1 ∈ Q 3 A) [3; + ∞⟩ D) [2; + ∞⟩ 10 a b c M= + + b c a B) ⟨–∞; 3⟩ C) ⟨3; +∞⟩ E) 3 Se dene la operación # en R por a # b = a + b – 4 siendo b–1 el inverso de b en la operación con #. Halla b si tiene b–1. (b–1 # 2) = (6 –1 # 4–1) # 1–1 A) 1 D) 3 B) 0 proposiciones. A) VVV D) FFF C) 2 E) 4 B) 31 8 C) VFV E) FFV 9 B) 1/3 B) Sí; –1 B) 1 REFORZANDO Tarea 1 a * b = 2(a + b) + 3 ∀ a, b ∈ R, 1. La operación * conmutativa. 2. La operación * es asociativa. 3. La operación * tiene elemento neutro. posiciones: 2. 3 ∈ Q 3. π ∈ Q’ 4 2 Se verica el axioma de cerradura sobre A = {4; 16; 20} tal que a + 16 = b, halla el valor 2a + b. Dado B = {1; 2; 3; 4} se dene sobre B la operación a tal que: a 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 3 4 Calcula el valor de x en [(4 a 1) a (2 a x)] a 3 = 2 a 3. 8 4 3 3 4 2 1 4 4 1 1 2 7 B) 1 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 Á L G E B R A 2. El elemento neutro es 2. 3. La operación * es asociativa. A) VFF D) VVV 10 II B) VFV C) VVF E) FFF Si x ∈ R+; indica el mínimo valor que toma A) 2 D) 12 C) 2 E) 4 Indica cuántos son siempre verdaderos. A) 0 D) 3 * 1. La operación * es conmutativa. C) No; 1 E) No; 0 A. a < x < b → a2 < x2 < b2 ( B. a < x < b → a3 < x3 < b3 ( C. a < x < b → a4 < x4 < b4 ( indica qué enunciados son correctos. Indica su valor de verdad en las siguientes pro- 1. –10 ∈ N 6 Se dene la operación * en R mediante C) 32 E) 40 posiciones: B) 4 C) 8 E) 16 REFORZANDO 11 3 B) 27 Indica el valor de verdad de las siguientes pro- C) 1/4 E) 1/6 NIVEL C) VFF E) FVF Se dene la operación * sobre B = {1; 2; 3} en la tabla: C) 32 E) 34 Se dene la operación θ en N, tal que a θ b = 3b + a – 6, halla su elemento neutro. A) 0 D) 3 B) VFV Si a, b ∈ R+ calcula el máximo valor que puede tomar ab, si a más b es 12. A) 20 D) 36 Se dene la operación α en R, tal que a α b = a + b + 1 ∀ a, b ∈ R, determine si la operación α es conmutativa y halla su elemento neutro. A) Sí; 1 D) No; –1 5 B) VVV 3. 0,6 ∈ Q’ La igualdad verica el axioma de asociatividad (5 + x) + a = 5 + ( x + 3), halla el elemento inverso multiplicativo de a en R. A) 1/2 D) 1/5 4 2. 0 ∈ R En la igualdad 5 · a = 7 · b se verica el axioma de conmutatividad, halla a · b. A) 30 D) 35 Sea a; b; c ∈ R+, halla el intervalo de M en Indica la secuencia del valor de verdad de las I posiciones. 2 8 NIVEL Indica el valor de verdad de las siguientes pro- A) VVF D) FVF A R B E G L Á Á L G E B R A Si x, y ∈ R+; calcula el máximo valor que puede tomar xy, si x + y = 16. A) 84 D) 15 C) 6 E) 1 C) 10 E) 13 NIVEL Se dene sobre B = {a, b, c} la operación # según la tabla: ) # a b c ) a a b c ) b b c a c c a b C) 2 E) F. D. III Indica el valor de verdad de las siguientes pro- Para x ∈ R ∧ y ∈ R indica verdadero (V) o falso (F). 1 1 1. 0 < x < y > ( ) ⇒ x y 2. x < y ⇒ x5 > y5 ( ) 3. x < y ⇒ x4 > y4 ( ) posiciones: 1. La operación # es asociativa. 2. El elemento neutro es b. 3. La operación # es conmutativa. A) VVV D) FVV B) VFV C)VVF E) FVF 4 9 EDITORIALINGENIO EDITORIALINGENIO Si x ∈ R+; indica el mínimo valor que toma 7 A) 24 D) 19 B) 12 9 En Z se dene ∅, tal que a ∅ b = 6( a + b), halle 6–1 cuando a = –36, siendo a–1 el inverso de a en la operación ∅. A) –1 D) –4 C) 18 E) 20 B) –2 REFORZANDO 1 C) –3 E) –6 2. 0 ∈ R 3 A R B E G L Á a b c + + b c a B) ⟨–∞; 3⟩ C) ⟨3; +∞⟩ E) 3 M= A) [3; + ∞⟩ D) [2; + ∞⟩ Se dene la operación # en R por a # b = a + b – 4 siendo b–1 el inverso de b en la operación con #. Halla b si tiene b–1. (b–1 # 2) = (6 –1 # 4–1) # 1–1 A) 1 D) 3 B) 0 A) VVV D) FFF 4 B) 31 9 Tarea 1 a * b = 2(a + b) + 3 ∀ a, b ∈ R, A) VFF D) VVV 10 1. La operación * conmutativa. 2. La operación * es asociativa. 3. La operación * tiene elemento neutro. posiciones: II 1. –10 ∈ N 2. 3 ∈ Q 3. π ∈ Q’ 4 2 Se verica el axioma de cerradura sobre A = {4; 16; 20} tal que a + 16 = b, halla el valor 2a + b. Dado B = {1; 2; 3; 4} se dene sobre B la operación a tal que: a 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 3 4 3 3 4 2 1 4 4 1 1 2 7 Calcula el valor de x en [(4 a 1) a (2 a x)] a 3 = 2 a 3. 8 B) 1 3 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 Si x ∈ R+; indica el mínimo valor que toma B) 4 C) 8 E) 16 NIVEL ) # a b c ) a a b c ) b b c a c c a b C) 2 E) F. D. Indica el valor de verdad de las siguientes pro- posiciones: Para x ∈ R ∧ y ∈ R indica verdadero (V) o falso (F). 1 1 1. 0 < x < y > ( ) ⇒ x y 2. x < y ⇒ x5 > y5 ( ) 3. x < y ⇒ x4 > y4 ( ) 1. La operación # es asociativa. 2. El elemento neutro es b. 3. La operación # es conmutativa. A) VVV D) FVV B) VFV C)VVF E) FVF 4 4 14 En R denimos el operador y mediante 5 Halla "x" Halla su elemento neutro. B) 2 C) 3 E) 5 En R se dene la operación f según a f b = a + b – 4, halla el valor de x si (x + 2700) f (x – 2700) = 10 A) 8 D) 10 B) 7 A) –1 D) 2 15 A) 1/3 D) 3/13 C) 1 E) 3 = 716 a Si aa – 3 = 3, halla el equivalente de 2x–5 a B) 3 a a+1 a(3a) – a C) 13/3 E) 6 A) 1 D) 9 a– 3 B) 1/27 C) 27 E) 1/9 En la operación θ denida por a θ b = a + b – 4, halla el elemento inverso para 5. A) 3 D) 8 C) 9 E) 11 B) 0 8 x+3 74 a y b = a + b – 2 ∀ a, b ∈ R 13 9 EDITORIALINGENIO Sea x; y; z positivos halla el mínimo valor de A) 1 D) 4 III Se dene sobre B = {a, b, c} la operación # según la tabla: EDITORIALINGENIO 12 Á L G E B R A C) VVF E) FFF REFORZANDO Indica cuántos son siempre verdaderos. A) 0 D) 3 2 1 B) VFV A) 2 D) 12 C) 2 E) 4 A. a < x < b → a2 < x2 < b2 ( B. a < x < b → a3 < x3 < b3 ( C. a < x < b → a4 < x4 < b4 ( indica qué enunciados son correctos. Indica su valor de verdad en las siguientes pro- 1 1 2. El elemento neutro es 2. Se dene la operación θ en N, tal que a θ b = 3b + a – 6, halla su elemento neutro. NIVEL * 3. La operación * es asociativa. 11 6 Se dene la operación * en R mediante Se dene la operación * sobre B = {1; 2; 3} en la tabla: 1. La operación * es conmutativa. C) No; 1 E) No; 0 B) 1 C) 32 E) 40 posiciones: Se dene la operación α en R, tal que a α b = a + b + 1 ∀ a, b ∈ R, determine si la operación α es conmutativa y halla su elemento neutro. REFORZANDO 3 B) 27 Indica el valor de verdad de las siguientes pro- C) 1/4 E) 1/6 B) Sí; –1 C) VFF E) FVF Si a, b ∈ R+ calcula el máximo valor que puede tomar ab, si a más b es 12. C) 32 E) 34 B) 1/3 A) 0 D) 3 B) VFV A) 20 D) 36 La igualdad verica el axioma de asociatividad (5 + x) + a = 5 + ( x + 3), halla el elemento inverso multiplicativo de a en R. A) Sí; 1 D) No; –1 5 8 C) VFV E) FFV En la igualdad 5 · a = 7 · b se verica el axioma de conmutatividad, halla a · b. A) 1/2 D) 1/5 C) 2 E) 4 3. 0,6 ∈ Q’ B) VVV A) 30 D) 35 10 proposiciones. posiciones. 1. –1 ∈ Q 2 Sea a; b; c ∈ R+, halla el intervalo de M en Indica la secuencia del valor de verdad de las I Indica el valor de verdad de las siguientes pro- A) VVF D) FVF 8 NIVEL B) 5 C) 6 E) 9 CAPÍTULO A R B E G L Á 02 OPERACIONES CON LOS REALES I 6 Reduce 9 7 6 5 1 Reduce 252 –1 A) 10 D) 15 + 1212 –4 0 + 3 2 (–8) 3 B) 20 C) 5 E) 25 A) 1 D) 4 B) x Resuelve 8 A) 1/2 D) 1/4 10 B) 1 4 4 –1 –9– 2 C) 2 E) 4 Reduce A) 100 D) 130 7 7 6 5 + 2 2 5 6 B) 2 A) x D) x2 5n+3 + 5n+1 5n C) 120 E) 140 10 Simplifca E= B) 110 C) 3 E) 1/2 x x 2 x x Á L G E B R A x B) x C) 1/x E) 1 C) x2 E) x–2 7 2 6 1 x Siendo x 0, reduce x Reduce A) 1 D) 1/x 5 7 A) b D) ab Calcula el valor de: (abc)10 . (ab)15 . (c)12 42 a25 . b24 . c22 B) a C) c E) ac A) 5 D) 9 –1 –1 + 273 B) 7 + 6254 –1 C) 8 E) 10 4 11 EDITORIALINGENIO 12 EDITORIALINGENIO Sea x; y; z positivos halla el mínimo valor de 14 En R denimos el operador y mediante 5 Halla "x" 74 a y b = a + b – 2 ∀ a, b ∈ R 13 B) 2 C) 3 E) 5 A) –1 D) 2 En R se dene la operación f según a f b = a + b – 4, halla el valor de x si (x + 2700) f (x – 2700) = 10 A) 8 D) 10 B) 7 15 B) 0 A) 1/3 D) 3/13 a C) 1 E) 3 B) 3 a+1 a(3a) – a C) 13/3 E) 6 A) 1 D) 9 a– 3 B) 1/27 C) 27 E) 1/9 En la operación θ denida por a θ b = a + b – 4, halla el elemento inverso para 5. A) 3 D) 8 C) 9 E) 11 = 716 a Si aa – 3 = 3, halla el equivalente de 2x–5 a Halla su elemento neutro. A) 1 D) 4 8 x+3 B) 5 C) 6 E) 9 CAPÍTULO A R B E G L Á 02 OPERACIONES CON LOS REALES I 6 Reduce 9 7 6 5 1 Reduce 252 –1 + 1212 A) 10 D) 15 –4 0 + 3 2 (–8) 3 B) 20 C) 5 E) 25 Resuelve A) 1 D) 4 4 A) 1/2 D) 1/4 B) 1 10 C) 2 E) 4 7 7 5 6 5 + 2 2 6 5 B) 2 5n+3 + 5n+1 5n A) 100 D) 130 A) x D) x2 B) x B) 110 A) b D) ab C) 120 E) 140 10 Simplifca Calcula el valor de: (abc)10 . (ab)15 . (c)12 42 a25 . b24 . c22 B) a –1 –1 + 273 A) 5 D) 9 C) c E) ac B) 7 REFORZANDO 11 Simplifca Reduce = 616 × 3 2 26 ⋅ 32 ⋅ 410 24 ⋅ 42 ⋅ 37 4 NIVEL Calcula 4 –2 ( 3 )3 ⋅ ( 3 )3 ⋅ 1 4 3 E= Calcula A) 0 D) 8 –1 – 3 2 2568 12 – 14 11 3 – (6 11) 27 REFORZANDO Resuelve E= 2 NIVEL – 0,5 –4 –9 8–27 REFORZANDO 6 B) 1/2 x3 3 x2 x 20 A) x B) x C) x E) 30 x 8 8x+2 – 8x Reduce S = 8x A) 7 D) 35 B) 15 E= Calcula E= Calcula A) 5 D) 1/2 5x – 1 = 42 A) 2x + 4 D) 2 x+8 B) 5/2 Reduce A) 2 D) 2 2 + 2 2 4 8+ B) 2 2 4 E) n . a 4 n+1 n–1 Calcula A) 4 D) 10 15 6a . 16b . 3a + 2b 18a + b B) 6 Reduce E= 2–1 B) 1/2 b C) 1 E) 9 A) 4 D) 10 C) 8 E) 9 82x + 1 + 43x + 2 23x – 5 . 23x + 7 B) 6 C) 8 E) 18 n n n (an + an + ...) + {(a b ) (a b )...} (n–b) sumandos Á L G E B R A n factores C) a2b E) a2b2 4–1 + 6 + 1 2 —1 – 2(6)0 C) 5/2 E) 3 7 124 × 159 CAPÍTULO OPERACIONES CON LOS REALES II 96 × 107 C) 75 E) 30 1 Resuelve 42(x+3) = 4x + 8 A) 1 D) 1/4 2x+4 + 2x+3 + 2x+1 B) 2 2 C) 1/2 E) 4 03 Resuelve 2x –1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 7 A) 1 D) 2 B) 1/3 C) 3 E) 1/2 2x+3 + 2x+1 B) 13/5 Calcula E= 5 5 2 . n C) 3 E) 2/5 C) 10 E) 3/2 10 8 C) n Reduce (a2b)3 (ab3)4 Halla "x" 22 13 E= B) 150 E= II (a2.b3 . a4 . b5)2 B) 3 A) 25 D)50 C) 17 E) 63 9 12 Calcula NIVEL B) ab2 A) 2 D) 0 40 D) 10 x 5 M= 3 7 x4 4 x3 3 x2 4 4 Reduce A) a2 D) a3b C) 8 E) NA Reduce 5 3 I n B) n D) na C) 4 E) 9 Calcula A) 1/4 D) 2 n A) nn III 14 n+1 A) 2 D) 1/8 11 –1/2 100 B) 2 n+3 n–1 1 C) 8 E) 10 EDITORIAL INGENIO 3 A R B E G L Á –1 4 Tarea 2 + 6254 4 Resuelve Á L G E B R A C) 1/x E) 1 EDITORIAL INGENIO 1 x x x C) E) x–2 E= Reduce C) 3 E) 1/2 x x 2 x2 B) x A) 1 D) 1/x –1 –2 8–9 6 1 x Siendo x 0, reduce x Reduce 7 2 7 3 4 2 3 4 C) 2 2 + 1 E) 2 2 + 3 A) 9 D) 98 1 3 –2 B) 3 8 8 2 3 C) 6 E) 332 4 13 EDITORIAL INGENIO EDITORIAL INGENIO Tarea REFORZANDO 3 1 2 Calcula 4 –2 ( 3 )3 ⋅ ( 3 )3 ⋅ 1 4 3 Resuelve 11 Simplifca Reduce = 616 × 3 2 26 ⋅ 32 ⋅ 410 24 ⋅ 42 ⋅ 37 4 NIVEL E= Calcula A) 0 D) 8 –1 – 3 2 2568 12 – 14 11 3 – (6 11) 27 C) 4 E) 9 n+1 REFORZANDO 1 A R B E G L Á Resuelve E= A) 2 D) 1/8 2 NIVEL – 0,5 –4 –9 8–27 REFORZANDO 6 B) 1/2 x3 3 x2 x B) 20 x A) x E) 30 x 8 8x+2 – 8x Reduce S = 8x A) 7 D) 35 B) 15 Calcula Calcula E= E= 9 Calcula A) 5 D) 1/2 5x – 1 = 42 A) 2x + 4 D) 2 x+8 B) 5/2 Reduce 2 . 12 Calcula A) 4 D) 10 15 n–1 b 6a . 16b . 3a + 2b 18a + b B) 6 Reduce E= 2–1 C) 1 E) 9 A) 4 D) 10 C) 8 E) 9 82x + 1 + 43x + 2 23x – 5 . 23x + 7 B) 6 C) 8 E) 18 Reduce n n n (an + an + ...) + {(a b ) (a b )...} Á L G E B R A n factores 1 2 —1 – 2(6)0 C) 5/2 E) 3 7 CAPÍTULO 03 OPERACIONES CON LOS REALES II 107 C) 75 E) 30 Resuelve 42(x+3) = 4x + 8 1 A) 1 D) 1/4 2x+4 + 2x+3 + 2x+1 2 B) 2 Resuelve 2x –1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 7 A) 1 D) 2 C) 1/2 E) 4 B) 1/3 C) 3 E) 1/2 2x+3 + 2x+1 B) 13/5 Calcula E= 5 5 A) 2 D) 2 2 + 2 E) n . a C) 3 E) 2/5 C) 10 E) 3/2 10 8 n+1 (n–b) sumandos 124 × 159 × n C) a2b E) a2b2 4–1 + 6 + 96 4 B) 1/2 (a2b)3 (ab3)4 Halla "x" 22 13 E= B) 150 E= II (a2.b3 . a4 . b5)2 B) 3 A) 25 D)50 C) 17 E) 63 NIVEL B) ab2 A) 2 D) 0 C) 40 x D) 10 x 5 M= 3 7 x4 4 x3 3 x2 4 4 Reduce A) a2 D) a3b C) 8 E) NA Reduce 5 3 I C) n D) na 14 Calcula A) 1/4 D) 2 n B) n –1/2 100 B) 2 n+3 n–1 n A) nn III 2 4 8+ 3 4 2 B) 2 2 3 4 A) 9 C) 2 2 + 1 E) 2 2 + 3 D) 1 3 –2 8 2 3 B) 3 8 C) 6 98 E) 332 4 4 EDITORIAL INGENIO 3 EDITORIAL INGENIO 5 xx Halla el valor de " x" en la ecuación xx A) 5 B) 3 C) D) 5 5 4 A R B E G L Á 3 =5 6 B) 3 En la ecuación exponencial, halla el valor de x. –3 5 A) 3 D) 9 7 Calcula el valor de A) 1 D) 2 C) 5 E) 9 B) 2 –2 Halla x/y en 9x·8y = 27–2 ·16–4 9 A) 4/9 D) 7/3 E) 4 5 Halla el valor de x en [3 x - 4]7 = [x + 6]7 A) 1 D) 7 13 B) 3/2 10 C) 9/4 E) 1 Si sión A) 2 D) 3 C) 4 E) 5 , halla el valor de la exprex+1 B) 1 C) 4 E) 5 si 42x - 22x + 1 + 1 = 0. B) -1 C) 0 E) 3 Tarea 1 3 Á L G E B R A En la ecuación exponencial Calcula x ¿es necesario conocer el valor de "b" para determinar el valor de x? 2 Determina el valor de x 4 3x - 1 + 3x + 3 x 5 Si x > 0, halla el valor de x en 2 251–3x = A) 1/3 D) 4/3 B) 1 8 2 125 4x – 2 C) 2/3 E) 2 +1= Calcula 27x si 93x – 33x – 6 = 0 REFORZANDO A) 0 D) 3 B) 1/3 C) 2 E) 4 1 NIVEL A) 2 D) –1 I Si xx = 3, halla N = x3x - x2x 4 A) 3 D) 18 2 Si B) 2 C) E) 20 B) 4 C) 18 E) 20 5 B) –2 C) 1 E) 3 x De la ecuación xx = 16, halla el valor de A) 1 D) 4 x+1 Si x3x = 8, halla M = xx A) 2 D) 16 , halla x. 351 B) 3 C) 2 E) 5 Halla el valor de x en x–1 3 (3x+1) Reduce A) 1/2 D) –2 14 4 B) –1/2 = 3x(x+2) C) 2 E) 1 4 15 EDITORIAL INGENIO 3 EDITORIAL INGENIO 5 xx Halla el valor de " x" en la ecuación xx A) 5 B) 3 En la ecuación exponencial, halla el valor de x. –3 –2 Halla x/y en 9x·8y = 27–2 ·16–4 9 A) 4/9 D) 7/3 5 E) 5 Halla el valor de x en [3 x - 4]7 = [x + 6]7 A) 1 D) 7 A R B E G L Á 6 B) 3/2 10 C) 9/4 E) 1 B) 3 A) 3 D) 9 7 Calcula el valor de A) 1 D) 2 C) 5 E) 9 B) 2 Si sión 4 D) 5 4 3 C) 5 =5 A) 2 D) 3 C) 4 E) 5 , halla el valor de la exprex+1 B) 1 C) 4 E) 5 si 42x - 22x + 1 + 1 = 0. B) -1 C) 0 E) 3 Tarea 1 3 Á L G E B R A En la ecuación exponencial Calcula x ¿es necesario conocer el valor de "b" para determinar el valor de x? 2 Determina el valor de x 4 3x - 1 + 3x + 3 x 5 Si x > 0, halla el valor de x en 2 251–3x = A) 1/3 D) 4/3 B) 1 8 2 125 4x – 2 C) 2/3 E) 2 +1= Calcula 27x si 93x – 33x – 6 = 0 REFORZANDO A) 0 D) 3 B) 1/3 C) 2 E) 4 1 NIVEL A) 2 D) –1 I Si xx = 3, halla N = x3x - x2x 4 A) 3 D) 18 2 Si B) 2 C) E) 20 B) 4 C) 18 E) 20 5 B) –2 C) 1 E) 3 x De la ecuación xx = 16, halla el valor de A) 1 D) 4 x+1 Si x3x = 8, halla M = xx A) 2 D) 16 , halla x. 351 B) 3 C) 2 E) 5 Halla el valor de x en x–1 3 (3x+1) Reduce A) 1/2 D) –2 14 4 B) –1/2 = 3x(x+2) C) 2 E) 1 4 15 EDITORIAL INGENIO 14 EDITORIAL INGENIO Si en R: 15 Si x3 + y3 + z3 = 3xyz, halla 5 Reduce 8 Si x2 + 2z2 + 4y2 = 2z(x + 2y) ;x+y+z0 calcula F = A×B calcula A) x A) 4 D) 7 B) 5 A) 1 D) 4 C) 3 E) 8 B) 2 C) 3 E) 5 B) C) D) A) 7 B) 9 C) 2 D) 12 E) 2x E) 15 CAPÍTULO 05 1 A R B E G L Á FRACCIONES ALGEBRAICAS 3 Simplifca P= A) 0 D) 2x x2 – 1 x+1 6 Simplifca C) x E) 2 A) B) x 2x D) x+1 2 Simplifca 4 x2 A) D) 20 x+3 x+5 –9 + x2 + 2x – 15 B) x–3 x–5 x–3 x+5 C) x+3 x–5 E) 1 C) A) A) x C) C) C) 10 Descompon A) B) E) C) E) Si calcula A + B A) 1 D) Á L G E B R A B) D) 7 B) x+1 x E) (x – 1)2 B) x – 1 D) (x + 1)2 E) 1 Simplifca Descompon A) D) 4 9 +1 +1 B) 1 Simplifca D) –2 B) –1 C) –5 E) 5 11/7 13/7 E) + x + 2 2x – 3 4 21 EDITORIAL INGENIO 14 EDITORIAL INGENIO Si en R: 15 Si x3 + y3 + z3 = 3xyz, halla 5 Reduce 8 Si x2 + 2z2 + 4y2 = 2z(x + 2y) ;x+y+z0 calcula F = A×B calcula A) x A) 4 D) 7 B) 5 A) 1 D) 4 C) 3 E) 8 B) 2 C) 3 E) 5 B) C) D) A) 7 B) 9 C) 2 D) 12 E) 2x E) 15 CAPÍTULO 05 1 A R B E G L Á FRACCIONES ALGEBRAICAS 3 Simplifca P= A) 0 D) 2x x2 – 1 x+1 6 Simplifca C) x E) 2 A) B) x 2x D) x+1 2 Simplifca 4 –9 + x2 x2 + 2x – 15 A) D) 20 x+3 x+5 B) x–3 x–5 x–3 x+5 C) x+3 x–5 E) 1 C) A) A) x C) C) C) 10 Descompon A) B) D) E) E) Si calcula A + B A) 1 C) Á L G E B R A B) D) 7 B) x+1 x E) (x – 1)2 B) x – 1 D) (x + 1)2 E) 1 Simplifca Descompon A) D) 4 9 +1 +1 B) 1 Simplifca D) –2 B) –1 C) –5 E) 5 11/7 13/7 E) + x + 2 2x – 3 4 21 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 08 ECUACIONES II 7 Encuentra el mayor valor de la ecuación A) 1 1 Resuelve x4 – 13x2 + 36 = 0 A) {-3 ; -2; 2; 3} C) {-3 ; -1; 1; 3} D) {0; 1; 2;3} 4 Determina la suma de las soluciones positivas B) {-1; 1; 2; -2} de x4 – 25x2 + 144 = 0 E) {-3 ; -2 ; -2 ; -1} A) 1 D) 7 B) 3 B)2 D) –1 x4 – 4x2 – 12 = 0 C) A) 0 D) 3 E) – Calcula la suma de las soluciones positivas de la 10 ecuación x4 – 29x2 + 100 = 0 2 Determina la suma de las raíces de 5 Determina las raíces reales de x4 – 8x2 – 9 = 0 A) -2 D) 1 B) -1 C) 0 E) 2 El valor que cumple la ecuación A) {-5; -3; 3; 5} B) {-5 ; 5} B) 6 6 C) 8 E) 7 B) 3 C) 5 E) 9 C) 2 E) 4 B) x4 – 13x2 – 36 = 0 E) x4 – 9x2 + 9 = 0 E) No tiene solución Determina la suma del mayor y menor valor de A) -2 D) 1 B) -1 C) 0 E) 2 Tarea 1 2 4 13x2 + A) – 36 = 0 C) x4 + 13x2 + 36 = 0 D) x4 + 13x2 – 36 = 0 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 3 x4 – 16x2 + 64 = 0 ? 30 B) 1 Las soluciones de una ecuación bicuadrática son – 3 ; –2 ; 2 y 3; halla la ecuación. x4 C) {-3 ; 3} la solución de x4 – 10x2 + 9 = 0 x4 – 61x2 + 900 = 0, es: A) 4 D) 10 A) 1 D) 7 x4 – 16x2 – 225 = 0 D) {3 ; 5} 3 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ? C) 5 E) 9 8 A R B E G L Á 9 x4 – 12x2 + 3 = 0 Resuelve x4 – 26x2 + 25 = 0 Halla la ecuación que tiene por soluciones a - 3 ; 3 ; 4 ; -4. 4 Resuelve 9x4 + 10x2 – 19 = 0 4 31 Á L G E B R A CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 08 ECUACIONES II 7 Encuentra el mayor valor de la ecuación A) 1 1 Resuelve x4 – 13x2 + 36 = 0 A) {-3 ; -2; 2; 3} C) {-3 ; -1; 1; 3} D) {0; 1; 2;3} 4 Determina la suma de las soluciones positivas B) {-1; 1; 2; -2} de x4 – 25x2 + 144 = 0 E) {-3 ; -2 ; -2 ; -1} A) 1 D) 7 B) 3 B)2 A) 0 D) 3 E) – Determina la suma de las raíces de 5 Determina las raíces reales de x4 – 8x2 – 9 = 0 A) -2 D) 1 B) -1 Calcula la suma de las soluciones positivas de la A) {-5; -3; 3; 5} B) {-5 ; 5} D) {3 ; 5} 3 El valor que cumple la ecuación 6 10 B) 6 C) 5 E) 9 Las soluciones de una ecuación bicuadrática son – 3 ; –2 ; 2 y 3; halla la ecuación. A) x4 – 13x2 + 36 = 0 C) x4 + 13x2 + 36 = 0 D) x4 + 13x2 – 36 = 0 B) x4 – 13x2 – 36 = 0 E) x4 – 9x2 + 9 = 0 B) -1 Tarea C) 0 E) 2 1 2 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 3 Resuelve Halla la ecuación que tiene por soluciones a - 3 ; 3 ; 4 ; -4. 4 x4 – 26x2 + 25 = 0 Resuelve 9x4 + 10x2 – 19 = 0 4 4 REFORZANDO NIVEL I 9 Resuelve x4 – 5x2 + 4 = 0 C) -1; 1 E) -1; 2 10 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 3 B) 2 C) 1; –1 E) A, B y C A R B E G L Á 4 REFORZANDO 11 Resuelve 36x4 – 97x2 + 36 = 0 A) 2/3 D) -3/2 5 C) 5 E) 25 B) 3/2 cuando a = 1, el valor de y es: A) 1 D) –2 NIVEL D) x4 + 16x2 – 4 = 0 B) x4 – 16x2 – 4 = 0 2 A) 11 D) 11/4 B) 11/2 C) –2 E) 11/16 REFORZANDO NIVEL 13 B) –1 5 Resuelve el sistema A) 21 D) 24 En una ecuación bicuadrada, tres de sus soluciones son -3 ; 1; -1; determina la cuarta solución. A) 1 D) 3 II A) 0 D) 10 C) 2 E) 0 B) –1 C) 2 E) –2 B) 18 Halla 2 números positivos cuyo cociente sea 4/5 y su producto 80. dar como respuesta xy. E) x4 – 4x2 + 4 = 0 Encuentra la suma de las soluciones positivas 12 B) –1 III C) x4 + 16x2 + 4 = 0 de la ecuación 16x4 – 73x2 + 36 = 0 En el sistema Determina la ecuación que tiene por raíces A) x4 – 16x2 + 4 = 0 C) -2/3 E) Todas 4 E) x4 – 64x2 = 0 la mayor solución. B) 3 Halla el valor de m para que el sistema sea com- patible indeterminado B) x4 – 4x2 = 0 D) x4 + 16x2 = 0 Resuelve 3x4 – 74x2 – 25 = 0, da como respuesta A) -5 D) 7 1 Las soluciones de una ecuación bicuadrada son -2; 0; 2; 0; determina la ecuación. C) x4 – 16x2 = 0 C) 3 E) 5 09 SISTEMA DE ECUACIONES I 1 1 + = 12 x–4 x–2 B) – A) x4 + 4x2 = 0 4x4 – 4x2 + 1 = 0? A) 1 D) 4 Halla las raíces reales de A) D) A y B A) -2 ; -1 ; 1; 2 B) -2 ; 2 D) 1; 2; 3; 4 2 31 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 1 A) 8 y 10 D) 18 y 5 C) 30 E) 28 B) 4 y 20 C) 16 y 5 E) 2 y 7 C) 1 E) – 3 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x4 – 20x2 + 64 = 0? 6 ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación A) 1 D) 4 ? A) 1 D) 4 7 B) 2 C) 3 E) 0 14 8 C) 3 E) Ninguna Determina la ecuación bicuadrada cuyas solu - ciones son: 3/2; - 3/2; 3/2; -3/2. A) 16x4 – 72x2 + 81 = 0 B) 16 x4 – 72x2 – 81 = 0 C) 3 E) 0 6 Determina una solución de la ecuación A) 2 D) 8 x4 + x2 + 1 = 0? B) 2 B) 2 3 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación A) 1 D) 4 15 B) 4 C) 6 E) -3 Encuentra un número positivo tal que dos veces Al resolver , el valor de x es: Halla 2 números tales que su producto sea 245 y uno es el quíntuplo del otro, (dar por respuesta el mayor de los números) A) 30 D) 45 A) 7 D) 5 B) 1/5 B) 35 C) 40 E) 20 C) 1/7 E) 1 su cuarta potencia más nueve veces su cuadrado sea igual a 68. A) 1 D) 3 B) 2 C) 4 E) 5 C) 16x4 + 72x2 + 81 = 0 D) 16x4 + 72x2 – 81 = 0 32 Á L G E B R A Determina la suma del mayor y menor valor de x4 – 16x2 + 64 = 0 ? 30 C) 2 E) 4 E) No tiene solución A) -2 D) 1 C) 8 E) 7 B) 3 C) {-3 ; 3} la solución de x4 – 10x2 + 9 = 0 x4 – 61x2 + 900 = 0, es: A) 4 D) 10 A) 1 D) 7 x4 – 16x2 – 225 = 0 C) 0 E) 2 B) 1 C) 5 E) 9 ecuación x4 – 29x2 + 100 = 0 2 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ? x4 – 4x2 – 12 = 0 C) D) –1 8 A R B E G L Á 9 x4 – 12x2 + 3 = 0 4 E) 81 x4 – 72x2 + 16 = 0 4 33 Á L G E B R A CAPÍTULO EDITORIALINGENIO REFORZANDO 1 9 Resuelve x4 – 5x2 + 4 = 0 C) -1; 1 E) -1; 2 10 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 3 B) 2 C) C) 3 E) 5 – 16x2 A R B E G L Á 4 B) 3 11 B) 3/2 cuando a = 1, el valor de y es: A) 1 D) –2 NIVEL D) x4 + 16x2 – 4 = 0 B) x4 – 16x2 – 4 = 0 2 A) 11 D) 11/4 B) 11/2 C) –2 E) 11/16 REFORZANDO NIVEL 13 B) –1 5 Resuelve el sistema A) 21 D) 24 En una ecuación bicuadrada, tres de sus soluciones son -3 ; 1; -1; determina la cuarta solución. A) 1 D) 3 II A) 0 D) 10 C) 2 E) 0 B) –1 C) 2 E) –2 Halla 2 números positivos cuyo cociente sea 4/5 y su producto 80. dar como respuesta xy. E) x4 – 4x2 + 4 = 0 Encuentra la suma de las soluciones positivas 12 B) –1 III C) x4 + 16x2 + 4 = 0 de la ecuación 16x4 – 73x2 + 36 = 0 En el sistema Determina la ecuación que tiene por raíces A) x4 – 16x2 + 4 = 0 C) -2/3 E) Todas 4 E) x4 – 64x2 = 0 REFORZANDO Resuelve 36x4 – 97x2 + 36 = 0 A) 2/3 D) -3/2 5 C) 5 E) 25 Halla el valor de m para que el sistema sea com- patible indeterminado =0 la mayor solución. A) -5 D) 7 1 B) x4 – 4x2 = 0 D) x4 + 16x2 = 0 Resuelve 3x4 – 74x2 – 25 = 0, da como respuesta C) 1; –1 E) A, B y C Las soluciones de una ecuación bicuadrada son -2; 0; 2; 0; determina la ecuación. x4 09 SISTEMA DE ECUACIONES I 1 1 + = 12 x–4 x–2 B) – A) x4 + 4x2 = 0 4x4 – 4x2 + 1 = 0? A) 1 D) 4 Halla las raíces reales de A) D) A y B A) -2 ; -1 ; 1; 2 B) -2 ; 2 D) 1; 2; 3; 4 2 I NIVEL B) 18 A) 8 y 10 D) 18 y 5 C) 30 E) 28 B) 4 y 20 C) 16 y 5 E) 2 y 7 Á L G E B R A C) 1 E) – 3 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x4 – 20x2 + 64 = 0? 6 ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación A) 1 D) 4 ? A) 1 D) 4 7 B) 2 + A) 1 D) 4 x2 + C) 3 E) Ninguna 15 A) – 81 = 0 B) 16 x4 – 72x2 Halla 2 números tales que su producto sea 245 y uno es el quíntuplo del otro, (dar por respuesta el mayor de los números) , el valor de x es: A) 30 D) 45 C) 6 E) -3 A) 7 D) 5 Encuentra un número positivo tal que dos veces A) 1 D) 3 ciones son: 3/2; - 3/2; 3/2; -3/2. 72x2 + B) 4 Al resolver B) 1/5 B) 35 C) 40 E) 20 C) 1/7 E) 1 su cuarta potencia más nueve veces su cuadrado sea igual a 68. Determina la ecuación bicuadrada cuyas solu - 16x4 6 Determina una solución de la ecuación A) 2 D) 8 1 = 0? B) 2 C) 3 E) 0 3 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x4 8 14 C) 3 E) 0 B) 2 – 81 = 0 B) 2 C) 4 E) 5 C) 16x4 + 72x2 + 81 = 0 D) 16x4 + 72x2 – 81 = 0 32 E) 81 x4 – 72x2 + 16 = 0 4 EDITORIAL INGENIO EDITORIAL INGENIO Entre Luis y Mario tienen 190 soles, si Mario tiene 16 soles más que Luis. ¿Cuánto tiene Luis? 7 A) 77 D) 32 B) 87 REFORZANDO 9 Resuelve C) 46 E) 20 1 A) 10 D) 2/3 B) 2 C) 3/2 E) 1 A) {13; 3} D) {(13; 3)} 2 3 A R B E G L Á A) 30 D) 35 B) 20 10 B) 13 y 3 4 C) 40 E) 10 dar por respuesta x + y A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 6 5 C) (13; 3) E) 3 y 7 Halla el valor de m, si: (m – 2)x + (3m + 1)y = 5 x + 4y = 2 no tiene solución A) 9 B) 3 C) –2 10 B) {(10; 8)} B) -8 C) 8 D) 4 dé el producto: xy A) 5 11 Si el siguiente sistema no tiene solución, halla el valor de p. px + 9y = 5 4x + py = 8 A) 6 B) -6 C) 4 D) 6 ó -6 E) 0 C) 6 A) 6 D) –1/6 12 mx + 2y = m + 7 B) 2 REFORZANDO 6 Tarea 1 3 Resuelve B) 1/6 Luego de resolver: Resuelve x2 + y + 4 = 0 6x + y = 5 En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas, ¿cuántos luchado res había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas). 7 8 4 II 13 B) 3/2 x + 399y = -8 x + 400y = -10 halla x – y A) 972 B) 788 D) 792 Á L G E B R A C) 11/6 E) 2 ax + by = 2ab bx + ay = a2 + b2 C) -1/2 E) B) 2 C) 4 D) a + b E) 3 Sean "x" e " y" números enteros positivos múltiplos de 3 y de 7 respectivamente, halla (k - 1)x = -y x = 2y tiene innitas soluciones, halla k 14 con la condición de que sea entero y mínimo. A) 13 D) 6 E) 8 D) 0 E) 10 B) 20 C) 10 Calcula "x" si: ( x > 0) Si: C) -788 E) 777 Si en un corral hay patos y conejos; si el número de ojos es 80 y el número de patas es 110, halla el número de conejos. A) 15 D) 50 34 A) 0 Si: A) -3/2 D) 1/2 x+5 y–5 = 2 3 x+y=4 4 2 Resuelve III NIVEL Halla C) –2 E) –1 ó 2 NIVEL E) 10 Resuelve 2x + my = 9 A) 1 D) –2 ó 2 D) 12 e indica el valor de: x + y + z Calcula el valor de m, para que el sistema sea imposible. B) 15 REFORZANDO E) 2 E) 0 3 1 13 + = x + 5 y – 1 14 7 4 + =3 x+5 y–1 C) {(27; 1)} E) {(5; 7)} Si el siguiente sistema es indeterminado: mx + ny = 4 2x + y = 1 halla m – n2 D) –1 Resuelve el siguiente sistema: 2x + y = 28 x + 2y = 26 Resuelve A) 0 Resuelve 9 x + y = 16 2x – y = 23 Resuelve A) {(18; 10)} D) {(8; 10)} Los 2/5 de la suma de 2 números es 20 y los 3/2 de su diferencia es 15, halla el mayor. I NIVEL , dar por respuesta x/y 8 33 4 B) 30 C) 25 E) 20 A) 4 15 B) 2 C) 8 Resuelve y da como respuesta x/y A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6 4 35 EDITORIAL INGENIO EDITORIAL INGENIO Entre Luis y Mario tienen 190 soles, si Mario tiene 16 soles más que Luis. ¿Cuánto tiene Luis? 7 A) 77 D) 32 B) 87 REFORZANDO 9 Resuelve C) 46 E) 20 1 A) 10 D) 2/3 B) 2 C) 3/2 E) 1 2 B) 13 y 3 Los 2/5 de la suma de 2 números es 20 y los 3/2 de su diferencia es 15, halla el mayor. A R B E G L Á A) 30 D) 35 B) 20 10 4 C) 40 E) 10 dar por respuesta x + y A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 6 5 (m – 2)x + (3m + 1)y = 5 x + 4y = 2 no tiene solución A) 9 B) 3 C) –2 10 B) {(10; 8)} B) -8 C) 8 D) 4 Resuelve el siguiente sistema: A) 5 B) 15 C) 6 11 B) 1/6 Luego de resolver: 6 Tarea 1 3 x+y=4 Resuelve x2 + y + 4 = 0 6x + y = 5 7 En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas, ¿cuántos luchado res había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas). 8 II 13 B) 3/2 C) -1/2 E) x + 399y = -8 x + 400y = -10 halla x – y A) 972 B) 788 D) 792 B) 2 C) 4 14 con la condición de que sea entero y mínimo. A) 13 D) 6 E) 8 D) 0 E) 10 B) 20 C) 10 Calcula "x" si: ( x > 0) Si: C) -788 E) 777 Si en un corral hay patos y conejos; si el número de ojos es 80 y el número de patas es 110, halla el número de conejos. B) 30 A) 4 15 B) 2 C) 8 Resuelve y da como respuesta x/y C) 25 E) 20 A) 3 B) 4 C) 5 4 SISTEMA DE ECUACIONES II 4 Resuelve y + 2x = 0 3x – y = 20 Dos terrenos de 80 cm2 costaron S/. 36 000 y el precio de uno de ellos es 4/5 d el precio del otro. Halle la diferencia de los precios de ambos. 7 A) 4000 D) 500 Resuelve ...(1) ...(2) B) {(4; 8)} B) 5 Halla el valor de x 5 El sistema 6x – 5y = 12 ... L 1 (m – 4)x + 10y = 41 El sistema 3x + 5y = 34 ...(1) 2x + 3y = 20 ...(2) 3 B) –1 A) 15 D) 10 B) 13 C) 11 E) 17 C) 2 E) 8 6 Calcula x + y Á L G E B R A ... L 2 A) 8 B) 4 L 2 C) –4 D) –8 E) 1 L A) 0 D) 3 1 B) 1 C) 2 E) 4 X El sistema nx + my = 20 4x + 6y = 5 C) 2 E) 0 10 Y halla m. tiene solución única. Calcula el valor de a para vericar esta condición. A) –3 B) 3 C) {–3; 3} D) R –{–3; 3} E) R –[–3; 3] 4x + 2y = 24 ...(1) 5x – 3y = 41 ...(2) B) -2 C) 1000 E) 2500 Un obrero recibe por cada día que trabajó la suma de 30 soles y si no asiste a sus labores se le descuenta 10. Al final de 25 días recibe 150. ¿Cuántos días dejó de trabajar? se representa grácamente así: (a + 1)x + (a + 9)y = 16a – 1 5x + 5ay = 24 Calcula y A) 7 D) -7 B) 2000 9 C) 4 E) -1 8 A) 1 D) -2 35 C) {-4; -8} E) {0; 8} y halla 5y. A) 1 D) 2 2 E) 6 EDITORIALINGENIO 10 A R B E G L Á D) 2 4 A) {(4; -8)} D) {0; 4} E) 3 Sean "x" e " y" números enteros positivos múlti- CAPÍTULO 1 D) a + b plos de 3 y de 7 respectivamente, halla (k - 1)x = -y x = 2y tiene innitas soluciones, halla k A) 15 D) 50 34 A) 0 Si: A) -3/2 D) 1/2 x+5 y–5 = 2 3 Resuelve 4 2 Resuelve NIVEL C) 11/6 E) 2 Halla C) –2 E) –1 ó 2 REFORZANDO Á L G E B R A ax + by = 2ab bx + ay = a2 + b2 2x + my = 9 B) 2 III NIVEL Resuelve A) 6 D) –1/6 12 mx + 2y = m + 7 E) 10 e indica el valor de: x + y + z Calcula el valor de m, para que el sistema sea A) 1 D) –2 ó 2 D) 12 REFORZANDO E) 2 E) 0 dé el producto: xy Si el siguiente sistema no tiene solución, halla el valor de p. px + 9y = 5 4x + py = 8 A) 6 B) -6 C) 4 D) 6 ó -6 E) 0 imposible. D) –1 3 1 13 + = x + 5 y – 1 14 7 4 + =3 x+5 y–1 C) {(27; 1)} E) {(5; 7)} Si el siguiente sistema es indeterminado: mx + ny = 4 2x + y = 1 halla m – n2 A) 0 Resuelve C) (13; 3) E) 3 y 7 Halla el valor de m, si: 2x + y = 28 x + 2y = 26 Resuelve A) {(18; 10)} D) {(8; 10)} 3 9 x + y = 16 2x – y = 23 Resuelve A) {13; 3} D) {(13; 3)} dar por respuesta x/y 8 I NIVEL , ...(1) ...(2) tiene infinitas soluciones, halla el valor de m/n. A) 1/5 D) 1 B) 3/5 Tarea 1 C) 2/5 E) 1/2 3 Indica el valor de y que se obtiene al resolver: 4 Un moderno buque de turismo tiene camaro tes dobles (dos camas) y simples (1 cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tiene 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo. Para el sistema 2x + 5y = a 3x – 2y = b se sabe que su C. S. = {(3; 1)}, halla a + b. 2 Resuelve 2x – 3y = 10 3x + y = 4 halla el C. S. 36 4 4 37 EDITORIALINGENIO CAPÍTULO 10 1 SISTEMA DE ECUACIONES II 4 Resuelve y + 2x = 0 3x – y = 20 A) {(4; -8)} D) {0; 4} Dos terrenos de 80 cm2 costaron S/. 36 000 y el precio de uno de ellos es 4/5 d el precio del otro. Halle la diferencia de los precios de ambos. 7 A) 4000 D) 500 Resuelve ...(1) ...(2) B) {(4; 8)} B) 5 Halla el valor de x 5 El sistema 6x – 5y = 12 ... L 1 (m – 4)x + 10y = 41 El sistema 3x + 5y = 34 ...(1) 2x + 3y = 20 ...(2) A) 1 D) -2 3 B) –1 C) 11 E) 17 6 Calcula x + y Á L G E B R A ... L 2 A) 8 B) 4 L 2 C) –4 D) –8 E) 1 L A) 0 D) 3 1 B) 1 C) 2 E) 4 X El sistema nx + my = 20 4x + 6y = 5 C) 2 E) 0 10 Y halla m. tiene solución única. Calcula el valor de a para vericar esta condición. A) –3 B) 3 C) {–3; 3} D) R –{–3; 3} E) R –[–3; 3] C) 2 E) 8 4x + 2y = 24 ...(1) 5x – 3y = 41 ...(2) B) -2 B) 13 se representa grácamente así: (a + 1)x + (a + 9)y = 16a – 1 5x + 5ay = 24 Calcula y A) 7 D) -7 A) 15 D) 10 C) 4 E) -1 8 2 C) 1000 E) 2500 Un obrero recibe por cada día que trabajó la suma de 30 soles y si no asiste a sus labores se le descuenta 10. Al final de 25 días recibe 150. ¿Cuántos días dejó de trabajar? C) {-4; -8} E) {0; 8} y halla 5y. A) 1 D) 2 A R B E G L Á B) 2000 9 ...(1) ...(2) tiene infinitas soluciones, halla el valor de m/n. A) 1/5 D) 1 B) 3/5 Tarea 1 C) 2/5 E) 1/2 3 Indica el valor de y que se obtiene al resolver: 4 Un moderno buque de turismo tiene camaro tes dobles (dos camas) y simples (1 cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tiene 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo. Para el sistema 2x + 5y = a 3x – 2y = b se sabe que su C. S. = {(3; 1)}, halla a + b. 2 Resuelve 2x – 3y = 10 3x + y = 4 halla el C. S. 36 4 4 37 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 10 Deduce la fórmula recursiva de la sucesión: 13 1 ; 5; 9; 13; 17; ... RECURSIVIDAD II En un proceso recursivo se tiene: f(6) = f(5) + f(4) 12 f(5) = f(4) + f(3) f(4) = f(3) + 5 A) 1 Halla el cuarto término de la sucesión denida determina el valor de T = f(6) – 3f(3) A) 0 D) 9 B) C) 14 B) 3 por f(n) = C) 10 E) 5 A) 37 D) 7 De la fórmula recursiva 3 2; n = 1 2f(n – 1) + 3; n > 1 B) 38 C) 17 E) 27 Escriba los 4 primeros términos de la sucesión cuya fórmula recursiva es: A) 1; 2; 4; 8 B) 2; 4; 8; 16 C) 1; 4; 16; 64 D) D) 1; 8; 64; 256 halla el valor de f(3). E) A) 15 D) 19 REFORZANDO A R B E G L Á 11 E) 1; 2; 3; 4 NIVEL III 15 B) 13 C) 17 E) 21 De la formula resursiva Á L G E B R A Te nemos el siguiente proceso recursivo: f(0) = 2 f(1) = 3 calcula el valor de f(2) + f(3) f(2) = f(1) + f(0) A) 57 D) 97 f(3) = f(2) + f(1) B) 67 C) 87 D) 107 2 Dado el término general de la sucesión: an = 2 n; n ≥ 1, halle su ecuación de recursividad. 4 Escribe la fórmula recursiva de la sucesión: 2; 2; 4; 6; 10; 16; 26; .... Determina el valor de f(5). A) 12 D) 21 12 B) 16 C) 24 E) 34 Se define f de manera recursiva tal que A) A) B) B) , además f(0) = 4, determina f(6). C) A) 1/2 D) 1 B) 1/4 C) 1/8 E) 1/16 D) E) C) D) E) 42 4 4 43 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 10 Deduce la fórmula recursiva de la sucesión: 13 1 ; 5; 9; 13; 17; ... f(4) = f(3) + 5 A) 1 Halla el cuarto término de la sucesión denida determina el valor de T = f(6) – 3f(3) A) 0 D) 9 B) C) 14 B) 3 12 RECURSIVIDAD II En un proceso recursivo se tiene: f(6) = f(5) + f(4) f(5) = f(4) + f(3) por f(n) = C) 10 E) 5 A) 37 D) 7 De la fórmula recursiva 3 2; n = 1 2f(n – 1) + 3; n > 1 B) 38 C) 17 E) 27 Escriba los 4 primeros términos de la sucesión cuya fórmula recursiva es: A) 1; 2; 4; 8 B) 2; 4; 8; 16 C) 1; 4; 16; 64 D) D) 1; 8; 64; 256 halla el valor de f(3). E) A) 15 D) 19 REFORZANDO A R B E G L Á 11 E) 1; 2; 3; 4 NIVEL III 15 B) 13 C) 17 E) 21 De la formula resursiva Á L G E B R A Te nemos el siguiente proceso recursivo: f(0) = 2 f(1) = 3 calcula el valor de f(2) + f(3) f(2) = f(1) + f(0) A) 57 D) 97 f(3) = f(2) + f(1) B) 67 C) 87 D) 107 Dado el término general de la sucesión: an = 2 n; n ≥ 1, halle su ecuación de recursividad. 2 4 Escribe la fórmula recursiva de la sucesión: 2; 2; 4; 6; 10; 16; 26; .... Determina el valor de f(5). A) 12 D) 21 12 B) 16 A) C) 24 E) 34 A) B) Se define f de manera recursiva tal que B) , además f(0) = 4, determina f(6). C) A) 1/2 D) 1 B) 1/4 C) 1/8 E) 1/16 C) D) D) E) E) 42 4 EDITORIALINGENIO 5 EDITORIALINGENIO Dado el término general de la sucesión: an = 5n – 2; n ≥ 1, halla su fórmula recursiva 8 Halla el el término que ocupa el lugar 13, en la sucesión cuya ecuación recursiva es: a) a1 = 13 A) A) –23 D) –135 C) B) –163 Tarea 1 b) an = an–1 – 3 ; n ≥ 2 B) 3 f (n) = 1; 3; 4; 7; 11; 18; .... 2 Escribe los 4 primeros términos de la sucesión 9 cuya ecuación recursiva es: 1 De la sucesión 5; 7; 9; 11; .. NIVEL I 5 De la ecuación recursiva calcula f(2) su ecuación de recursividad es B) 1; 3; 5; 7 determina el valor de T= a×b E) 2; 4; 6; 8 A) 4 D) 9 B) 6 A) 2 D) 16 C) 10 E) 15 B) 4 C) 8 E) 32 REFORZANDO A) 7 D) 15 10 De la ecuación recursiva f(n) = a) a1 = 5 b) an = an-1 + 7 ; n ≥ 2 A) 113 D) 115 B) 117 3 B) 11 A) 4 D) 8 A) 1 D) 4 a + f(n – 1); n ≥ 2 B) 6 A) 5 ; 7 ; 9 D) 5; 12; 16 C) 9 E) 2 4 El término general de una sucesión es determina el valor de a. Escribe los 3 primeros términos de la ecuación si f(4) = 10, calcula a. C) 120 E) 119 II C) 5 E) 17 recursiva 4; n = 1 NIVEL tn = 4n + 3, siendo su ecuación de recurrencia calcula f(5) cesión cuya ecuación recursiva es: C) 3 E) -5 De la ecuación recursiva 6 Halla el término que ocupa el lugar 17, en la su- B) -1 halla f(4). 2 7 Á L G E B R A De la ecuación recursiva A) 1 D) -3 A) 3 ; 6 ; 12; 24 C) 3; 7; 10; 17; 27 D) 1; 4; 9; 16 3f(n – 1); n ≥ 2 Se forma un triángulo equilátero de 3 cm de lado, luego un triángulo equilátero de 6 cm de lado, luego uno de 9 cm de lado, uno de 12 cm y así sucesivamente. Encuentra una fórmula recursiva que represente el perímetro de los triángulos equiláteros que se van formando. Dado el término general de la sucesión an = 3 n ; n ≥ 1, halla su fórmula recursiva. REFORZANDO 2; n = 1 4 E) 6 Escriba los 4 primeros términos de la sucesión cuya fórmula recursiva es Escribe la fórmula recursiva de la sucesión: C) –180 E) –108 D) A R B E G L Á 43 4 B) 7; 9; 11 C) 3; 5; 7 E) 5; 5; 5 7 B) 2 C) 3 E) 5 La ecuación recursiva de una sucesión es Escribe los 4 primeros términos de la ecuación recursiva. si su término general es tn = a ⋅ n + b, n ≥ 1 determina el valor de G = a×b A) 2 D) 16 A) 5; 5;5; 5; D) 5; 7; 5; 7 44 4 B) 7; 7; 7; 7 B) 4 C) 8 E) 32 C) 7; 5 ; 7; 5 E) 5; 5; 7; 7 4 45 EDITORIALINGENIO 5 EDITORIALINGENIO Dado el término general de la sucesión: an = 5n – 2; n ≥ 1, halla su fórmula recursiva 8 Halla el el término que ocupa el lugar 13, en la Tarea sucesión cuya ecuación recursiva es: a) a1 = 13 A) 1 b) an = an–1 – 3 ; n ≥ 2 B) A) –23 D) –135 C) B) –163 3 Escribe la fórmula recursiva de la sucesión: f (n) = 1; 3; 4; 7; 11; 18; .... C) –180 E) –108 2 D) Escribe los 4 primeros términos de la sucesión 6 9 cuya ecuación recursiva es: 1 De la sucesión 5; 7; 9; 11; .. NIVEL I 5 De la ecuación recursiva calcula f(2) su ecuación de recursividad es B) 1; 3; 5; 7 determina el valor de T= a×b E) 2; 4; 6; 8 A) 4 D) 9 B) 6 A) 2 D) 16 C) 10 E) 15 B) 4 C) 8 E) 32 REFORZANDO A) 7 D) 15 10 De la ecuación recursiva f(n) = a) a1 = 5 b) an = an-1 + 7 ; n ≥ 2 A) 113 D) 115 B) 117 3 B) 11 A) 4 D) 8 A) 1 D) 4 a + f(n – 1); n ≥ 2 B) 6 A) 5 ; 7 ; 9 D) 5; 12; 16 C) 9 E) 2 4 El término general de una sucesión es determina el valor de a. Escribe los 3 primeros términos de la ecuación si f(4) = 10, calcula a. C) 120 E) 119 II C) 5 E) 17 recursiva 4; n = 1 NIVEL tn = 4n + 3, siendo su ecuación de recurrencia calcula f(5) cesión cuya ecuación recursiva es: C) 3 E) -5 De la ecuación recursiva 6 Halla el término que ocupa el lugar 17, en la su- B) -1 halla f(4). 2 7 Á L G E B R A De la ecuación recursiva A) 1 D) -3 A) 3 ; 6 ; 12; 24 C) 3; 7; 10; 17; 27 D) 1; 4; 9; 16 3f(n – 1); n ≥ 2 Se forma un triángulo equilátero de 3 cm de lado, luego un triángulo equilátero de 6 cm de lado, luego uno de 9 cm de lado, uno de 12 cm y así sucesivamente. Encuentra una fórmula recursiva que represente el perímetro de los triángulos equiláteros que se van formando. Dado el término general de la sucesión an = 3 n ; n ≥ 1, halla su fórmula recursiva. REFORZANDO 2; n = 1 4 E) A R B E G L Á Escriba los 4 primeros términos de la sucesión cuya fórmula recursiva es B) 7; 9; 11 C) 3; 5; 7 E) 5; 5; 5 7 B) 2 C) 3 E) 5 La ecuación recursiva de una sucesión es Escribe los 4 primeros términos de la ecuación recursiva. si su término general es tn = a ⋅ n + b, n ≥ 1 determina el valor de G = a×b A) 2 D) 16 A) 5; 5;5; 5; D) 5; 7; 5; 7 44 B) 7; 7; 7; 7 B) 4 C) 7; 5 ; 7; 5 E) 5; 5; 7; 7 4 4 12 Sea la ecuación de recursividad. 1 calcula f(100) B) 201 A) 6 D)666 C) 199 D) 999 13 9 A R B E G L Á B) 2014 4 Reduce tn = 5 – 3 n. an = 2(2n+3) y su ecuación de recurrencia es Su ecuación recursiva es determina el valor de b. calcula el valor de a. B) 4 A) 1 D) 4 C) 8 E) 32 dad A) 96 D) 60 C) 100 E) 6666 B) 2 La ecuación recursiva 14 REFORZANDO 11 NIVEL El término general de una sucesión es tn = 2x3n–1, siendo su ecuación recursiva f (n) = 46 B) 2 4 B) 3 C) 4 E) 6 Á L G E B R A Calcula el menor valor de a + b al resolver C47 + C57 + C86 + C97 = Cba B) 2 A) 80 D) 67 15 B) 84 A) 9 D) 13 C) 3 E) 5 B) 10 C) 11 E) 15 C) 50 E) 70 De la ecuación recursiva III calcula f(49) A) 250 D) 5000 B) 2500 C) 500 E) 1000 3 Calcula el valor de n en cada caso. C2n = 10 A) 5 y 10 D) 10 y 4 determina el valor de a. A) 1 D) 4 5 De la ecuación recursiva A) 2; n = 1 af(n – 1); n ≥ 2 A) 2 D) 5 halla el valor de f(12) B) an = 2n–1 E) an = 5n–1 14 C14 x = C 2x – 1 C) 84 E) 90 Efectúa A) 1 D) 4 está representada por el término general de la sucesión: A) an = 4n–1 C) an = 8n–1 D) an = 3n–1 B) 69 C) 3 E) 5 2 10 Calcula el producto de valores para " x" en la igual- El término general de una sucesión es El término general de una sucesión es A) 2 D) 16 13 NÚMERO COMBINATORIO De la ecuación recursiva determina el valor de f(2014) A) 200 D) 99 45 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 8 C) 8 E) 32 B) B) 5 y 13 C3n – 5 = 56 C) 8 y 13 E) 5 y 5 6 Luego de resolver n!(n! – 2) n! + 2 = 3, halla (n!)! A) 120 D) 400 B) 720 C) 520 E) 500 C) 3 E) 5 4 47 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 8 12 Sea la ecuación de recursividad. 1 4 Reduce determina el valor de f(2014) calcula f(100) A) 200 D) 99 B) 201 A) 6 D)666 C) 199 D) 999 13 9 A R B E G L Á B) 2014 tn = 5 – 3 n. an = 2(2n+3) y su ecuación de recurrencia es Su ecuación recursiva es determina el valor de b. calcula el valor de a. B) 4 A) 1 D) 4 C) 8 E) 32 dad A) 96 D) 60 C) 100 E) 6666 B) 2 La ecuación recursiva 14 A) an = C) an = 8n–1 D) an = 3n–1 B) an = REFORZANDO 11 NIVEL tn = 2x 15 B) 84 46 B) 2 A) 9 D) 13 C) 3 E) 5 B) 10 calcula f(49) A) 250 D) 5000 B) 2500 C) 500 E) 1000 3 Calcula el valor de n en cada caso. A) C2n = 10 B) A) 5 y 10 D) 10 y 4 C3n – 5 B) 5 y 13 6 = 56 C) 8 y 13 E) 5 y 5 Luego de resolver n!(n! – 2) n! + 2 = 3, halla (n!)! A) 120 D) 400 B) 720 4 EDITORIALINGENIO 9 A) 10 D) 16 B) 12 Halla el valor de n, en: REFORZANDO C) 14 E) 18 A) 2 D) 8 B) 4 B) 60 3 (40320! – 1)! 10 20! 100! 40! + + 19! 99! 39! y calcula a · b. B) 8 A) 20 D) 160 C) 4 E) 18 B) 60 A) 3 y 4 D) 6 y 4 4 9 C) 100 E) 190 10 C) 6 E) 8 B) n – 1 B) 4 B) 9 REFORZANDO 6 11 1 3 En cada caso halle el valor de x. NIVEL que (x – 4)! = 1. 7 2 Simplifca 4 Reduce Si M = B) 17 II 13 III B) 6 C) 6 E) 3 Calcula el valor de " n", en la ecuación B) 4 Calcular A) 80 D) 223 14 C) 10 E) 21 B) 143 C) 156 E) 226 Calcula el valor de " n" en (n + 4)(n + 4)!( n + 6)! = 70!×71×72 (n + 5)! – ( n + 4)! A) 60 D) 64 11! 10! + 12! C) 5 E) 7 10! – 9! – 8! 11! + 12! + 8! 10! 5! + 6! + 7! 5! + 6! N= NIVEL x!(1 + x!) =2 x! + 15 A) 8 D) 16 Se verica A) 3 D) 17 Resuelve C) 13 y 16 E) 12 y 15 C0n – 4 + 3C1n – 4 + 3C2n – 4 + C3n – 4 = 20 C) 10 E) 14 halla el valor de m×n. Halla la suma de los valores de " x", sabiendo B) 12 y 14 A) 7 D) 4 C) 6 E) 7 C07 + C17 + C28 + C39 = Cmn + 3, Tarea C) 8 E) 9 Halla la suma de los valores de "x" en cada caso REFORZANDO n+1 Resuelve Cn8 – 1 = C10 , halla "n". A) 8 D) 12 B) 7 A) 10 y 11 D) 9 y 14 C) (n + 1)! E) n! + 1 12 5 Calcular "x" en 5C5x = 9C4x – 1 15 B) C15 x + 2 = C9 Halla el valor de " n" en A) 5 D) 8 C) 4 y 5 E) 6 y 8 10 A) C10 x = C8 (2n – 1)! = 21×4! 10 C) 100 E) 190 B) C24n = 70 B) 6 y 3 A) 6 D) 10 n! + (n – 1)! (n – 1)! Simplifca A) n + 1 D) (n – 1)! Reduce = ((a!)!)b! B) 5 Calcula el valor de " n" en cada caso A) Cn3 = 20 Halla el valor de " n" en (2 n – 3)! = 5040 A) 4 D) 7 (40320! + 1)! – ((8!)!)! 8 20! 100! 40! + + 19! 99! 39! C) 16 E) 10 2 Resuelve la ecuación I NIVEL Reduce A) 20 D) 160 A) 16 D) 64 47 4 1 8 C) 520 E) 500 C) 3 E) 5 Resuelve A R B E G L Á C) 11 E) 15 De la ecuación recursiva EDITORIALINGENIO 7 Á L G E B R A Calcula el menor valor de a + b al resolver C) 50 E) 70 2; n = 1 af(n – 1); n ≥ 2 B) 2 C) 4 E) 6 C47 + C57 + C86 + C97 = Cba determina el valor de a. A) 1 D) 4 B) 3 III siendo su ecuación recursiva f (n) = 5 De la ecuación recursiva A) 80 D) 67 El término general de una sucesión es 3n–1, A) 2 D) 5 halla el valor de f(12) 2n–1 E) an = 5n–1 14 C14 x = C 2x – 1 C) 84 E) 90 Efectúa A) 1 D) 4 está representada por el término general de la sucesión: 4n–1 B) 69 C) 3 E) 5 2 10 Calcula el producto de valores para " x" en la igual- El término general de una sucesión es El término general de una sucesión es A) 2 D) 16 13 NÚMERO COMBINATORIO De la ecuación recursiva 15 B) 62 C) 65 E) 66 Si se cumple halla M×N. A) 11/19 D) 17/41 48 4 B) 7/11 C) 11/133 E) 57/63 halla la suma de los valores de " x". A) 0 D) 5 B) 2 C) 4 E) 6 4 49 Á L G E B R A EDITORIALINGENIO EDITORIALINGENIO Resuelve 7 9 Halla el valor de n, en: REFORZANDO 1 A) 10 D) 16 B) 12 C) 14 E) 18 A) 2 D) 8 B) 4 3 Resuelve la ecuación (40320! + 1)! – ((8!)!)! (40320! – 1)! 10 20! 100! 40! + + 19! 99! 39! y calcula a · b. A) 16 D) 64 B) 8 A) 20 D) 160 C) 4 E) 18 B) 60 4 9 C) 100 E) 190 B) 5 10 C) 6 E) 8 B) n – 1 11 B) 4 B) 9 NIVEL 1 3 En cada caso halle el valor de x. II 13 A) 3 D) 17 que (x – 4)! = 1. 7 2 Simplifca 4 Si M = NIVEL III x!(1 + x!) =2 x! + 15 B) 6 C) 6 E) 3 Á L G E B R A Calcula el valor de " n", en la ecuación B) 4 C) 10 E) 21 B) 143 C) 156 E) 226 Calcula el valor de " n" en (n + 4)(n + 4)!( n + 6)! = 70!×71×72 (n + 5)! – ( n + 4)! 5! + 6! + 7! 5! + 6! A) 60 D) 64 11! 10! + 12! C) 5 E) 7 Calcular A) 80 D) 223 14 B) 17 N= Reduce C) 13 y 16 E) 12 y 15 10! – 9! – 8! 11! + 12! + 8! 10! Se verica halla el valor de m×n. Halla la suma de los valores de " x", sabiendo Resuelve A) 8 D) 16 C07 + C17 + C28 + C39 = Cmn + 3, Tarea B) 12 y 14 C0n – 4 + 3C1n – 4 + 3C2n – 4 + C3n – 4 = 20 C) 10 E) 14 REFORZANDO 6 Halla la suma de los valores de "x" en cada caso A) 7 D) 4 C) 6 E) 7 n+1 Resuelve Cn8 – 1 = C10 , halla "n". A) 8 D) 12 C) 8 E) 9 REFORZANDO 12 5 B) 7 A) 10 y 11 D) 9 y 14 C) (n + 1)! E) n! + 1 Halla el valor de " n" en A) 5 D) 8 Calcular "x" en 5C5x = 9C4x – 1 15 B) C15 x + 2 = C9 (2n – 1)! = 21×4! 10 C) 100 E) 190 C) 4 y 5 E) 6 y 8 10 A) C10 x = C8 n! + (n – 1)! (n – 1)! Simplifca B) C24n = 70 B) 6 y 3 A) 6 D) 10 Halla el valor de " n" en (2 n – 3)! = 5040 A) n + 1 D) (n – 1)! Reduce = ((a!)!)b! A) 3 y 4 D) 6 y 4 B) 60 A) 4 D) 7 Calcula el valor de " n" en cada caso A) Cn3 = 20 20! 100! 40! + + 19! 99! 39! 2 8 8 Reduce C) 16 E) 10 A) 20 D) 160 A R B E G L Á I NIVEL 15 B) 62 C) 65 E) 66 Si se cumple halla M×N. A) 11/19 D) 17/41 48 B) 7/11 halla la suma de los valores de " x". C) 11/133 E) 57/63 A) 0 D) 5 B) 2 4 4 CAPÍTULO BINOMIO DE NEWTON 7 B) 5to. 4 A) 4096 D) 4098 Calcula el valor de k en el desarrollo de (1 + x)43, B) 4099 C) 6to. E) 8vo. A) 14 D) 18 B) 15 El término independiente de x, en A) 0,018 D) 0,001 3 B) 0,002 6 4 B) 18 B) 12 Indica el lugar que ocupa el término que sólo 10 Halla n para que el t25 del desarrollo de: ; xy ≠ 0 ∨ x > 0 contenga a x con B) 210 A) 13 D) 21 C) 11 E) 13 Misael va a la panadería a comprar pasteles y observa que sólo quedan 10 pasteles de dife rentes sabores de igual precio, pero sólo puede comprar 6, entonces, ¿de cuántas maneras puede hacer esta elección? A) 110 D) 120 C) 5 E) 12 C) 10 E) 20 1 C) 220 E) 200 exponente 44. B) 14 C) 19 E) Es imposible determinarlo Tarea A) 14 D) 18 3 B) 15 C) 10 E) 20 1 1/2 20 En el desarrollo de 3x2 + 2 x calcula el coeciente de x10. Calcula el 4to término de (x– y 2 50 A) 10 D) 20 ¿Qué lugar ocupa un término de grado 18 en el desarrollo de (x2 + by)15? A) 14 D) 15 C) 0,084 E) 0,025 Dos términos consecutivos del desarrollo de (x + 1) 5 tienen igual coeciente; luego estos tér minos son: A) Primero y segundo B) Segundo y tercero C) Tercero y cuarto D) Antepenúltimo y penúltimo E) Penúltimo y último 5 Calcula "n", si al desarrollar: (x6 - 1)4. (x4 + x2 + 1)2n(x2 - 1)2n, se obtiene 25 térmi nos. C) 3069 E) N.A. depende de x: 2 9 si se sabe que los coecientes de los términos de lugares (2k + 1) y ( k + 2) son iguales. 8 A R B E G L Á Determina la suma de los coecientes del desa - rrollo de (3x + y2)6 ¿Qué lugar ocupa el término que contiene x29 en el desarrollo de (2x2 + 3x-1)22? A) 4to. D) 10mo. 49 EDITORIALINGENIO 14 1 C) 4 E) 6 )6 3 6 +a a Calcula el término central de 4 Simplifica: C0100 + C1100 + C2100 + ... + C 100 100 4 51 Á L G E B R A CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 14 BINOMIO DE NEWTON A) 4to. D) 10mo. B) 5to. 4 A) 4096 D) 4098 Calcula el valor de k en el desarrollo de (1 + x)43, B) 4099 C) 6to. E) 8vo. A) 14 D) 18 B) 15 El término independiente de x, en A) 0,018 D) 0,001 3 B) 0,002 6 4 B) 18 B) 12 Indica el lugar que ocupa el término que sólo 10 Halla n para que el t25 del desarrollo de: ; xy ≠ 0 ∨ x > 0 contenga a x con B) 210 A) 13 D) 21 C) 11 E) 13 Misael va a la panadería a comprar pasteles y observa que sólo quedan 10 pasteles de dife rentes sabores de igual precio, pero sólo puede comprar 6, entonces, ¿de cuántas maneras puede hacer esta elección? A) 110 D) 120 C) 5 E) 12 C) 10 E) 20 1 C) 220 E) 200 exponente 44. B) 14 C) 19 E) Es imposible determinarlo Tarea A) 14 D) 18 3 B) 15 C) 10 E) 20 1 1/2 20 En el desarrollo de 3x2 + 2 x calcula el coeciente de x10. Calcula el 4to término de ( x – y )6 2 50 A) 10 D) 20 ¿Qué lugar ocupa un término de grado 18 en el desarrollo de (x2 + by)15? A) 14 D) 15 C) 0,084 E) 0,025 Dos términos consecutivos del desarrollo de (x + 1) 5 tienen igual coeciente; luego estos tér minos son: A) Primero y segundo B) Segundo y tercero C) Tercero y cuarto D) Antepenúltimo y penúltimo E) Penúltimo y último 5 Calcula "n", si al desarrollar: (x6 - 1)4. (x4 + x2 + 1)2n(x2 - 1)2n, se obtiene 25 térmi nos. C) 3069 E) N.A. depende de x: 2 9 si se sabe que los coecientes de los términos de lugares (2k + 1) y ( k + 2) son iguales. 8 A R B E G L Á Determina la suma de los coecientes del desa - rrollo de (3x + y2)6 ¿Qué lugar ocupa el término que contiene x29 en el desarrollo de (2x2 + 3x-1)22? 1 7 3 6 +a a Calcula el término central de 4 Simplifica: C0100 + C1100 + C2100 + ... + C 100 100 4 51 Á L G E B R A CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 16 ECUACIONES LOGARÍTMICAS 7 9 Resuelve la ecuación Resuelve Log32x + Log3x5 – 14 = 0 y da como respuesta el producto de soluciones. 1 4 Resuelve Log3(x – 2) = 4 A) 81 D) 70 B) 83 Resuelve la ecuación A) 1 D) –1/3 Log2(7x – 1) = Log 2(x + 11) C) 69 E) 100 A) 1 D) 4 B) 2 A) 3-3 D) 33 C) 3 E) –3 B) 3-5 Resuelve la inecuación 10 Resuelve Log 1 (Log3(3x – 1)) = –1 Log6(x – 2) = Log6(16 – x) 2 Resuelve la ecuación 5 Log2(x + 3) + Log 2(x – 3) = Log 2(x + 11) e indique la suma de sus raíces. A) 1 D) 4 3 B) 2 C) 5 E) A y B B) 16 C) 5/3 E) 3 Á L G E B R A 4 C) 10 E) 6 A) 82 3 B) 1 3 C) 3 D) 1 9 6 Log(3x)(3x + 20) = 8Log 2 4 2 B) 1 B) -25 A) 9 D) 7 C) 3 E) 5 Resuelve A) 1/3 D) 3/5 Resuelve Log5x2 – 3 = 1 A) 25 D) -5 C) 35 E) 1 C) 1/2 E) 1/4 8 A R B E G L Á B) 2 E) 1 27 Resuelve Logx(x + 6) = 2 A) 1 D) 1/3 B) 2 C) 3 E) -3 Tarea 3 En la ecuación LogxLogx – Log x9 + 20 = 0, 1 Resuelve indica el producto de soluciones. Log5(2x + 1) = 2 4 2 Luego de resolver Log(x + 3) + Log(2 x + 1) = Log(3 – 2 x) Resuelve Log 1 (x – 5) = Log 1 4 – Log 1 (x – 2) 2 2 2 indica el producto de sus soluciones. 56 4 4 57 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 16 ECUACIONES LOGARÍTMICAS 7 9 Resuelve la ecuación Resuelve Log32x + Log3x5 – 14 = 0 y da como respuesta el producto de soluciones. 1 4 Resuelve Log3(x – 2) = 4 A) 81 D) 70 B) 83 Resuelve la ecuación A) 1 D) –1/3 Log2(7x – 1) = Log 2(x + 11) C) 69 E) 100 A) 1 D) 4 B) 2 A) 3-3 D) 33 C) 3 E) –3 B) 3-5 Resuelve la inecuación 10 Resuelve Log 1 (Log3(3x – 1)) = –1 Log6(x – 2) = Log6(16 – x) 2 Resuelve la ecuación 5 Log2(x + 3) + Log 2(x – 3) = Log 2(x + 11) e indique la suma de sus raíces. A) 1 D) 4 3 B) 2 B) -25 A) 9 D) 7 C) 5 E) A y B B) 16 A) 82 3 6 B) 1 B) 1 3 C) 3 D) 1 9 Log(3x)(3x + 20) = 8Log 2 4 2 E) 1 27 Resuelve Logx(x + 6) = 2 A) 1 D) 1/3 C) 5/3 E) 3 Á L G E B R A 4 C) 10 E) 6 C) 3 E) 5 Resuelve A) 1/3 D) 3/5 Resuelve Log5x2 – 3 = 1 A) 25 D) -5 C) 35 E) 1 C) 1/2 E) 1/4 8 A R B E G L Á B) 2 B) 2 C) 3 E) -3 Tarea 3 En la ecuación LogxLogx – Log x9 + 20 = 0, 1 Resuelve indica el producto de soluciones. Log5(2x + 1) = 2 4 2 Luego de resolver Resuelve Log 1 (x – 5) = Log 1 4 – Log 1 (x – 2) Log(x + 3) + Log(2 x + 1) = Log(3 – 2 x) 2 2 2 indica el producto de sus soluciones. 56 4 4 EDITORIALINGENIO CAPÍTULO REFORZANDO 1 NIVEL I 8 B) 10 C) 8 E) 3 1 log2x = 3; log3y = 2; log4z = 0 2 4 10 B) 2 B) B) 1/2 REFORZANDO 11 C) {–3} E) {3} A) 73 D) 63 B) 80 Calcula el lugar que ocupa el número 333 A) 34° D) 67° C) 83 E) 76 NIVEL C) 0,0001 E) 1000 B) {2; 5} 2 Calcula el 7° término en la P.G. 5 A) 2187 B) 2187 2 D) 5294 6 NIVEL ÷ ÷ 4 ; 2 ; 1; ... 9 3 C) 2187 3 E) 5333 2 A) 729 8 D) 729 64 A) 7 D) 10 7 B) 8 14 C) 9 E) 11 15 58 B) 9 4 C) 2 E) 6 C) 243 32 E) 729 128 C) 4 E) 7 Log6(x + 8) + Log 6(x – 8) = 2 A) –100 D) 8 Si 3log3a – 3log3b = 6, calcula A) 3 D) 27 B) 729 16 Resuelve e indica el producto de soluciones en: II Indicar la suma de las cifras de la solución de log2(log3x – 2) = 4log 162 B) 5/4 Á L G E B R A Calcula el octavo término de la P.G. ÷ ÷ 48; 72; 108; ... C) {–5; 2} E) {–2} Resuelve e indique la suma de raíces en: A) 21/4 D) 6 13 REFORZANDO C) 66° E) 111° III log2x – log x2 = 24 B) 0,0001 B) 34° C) 2 E) –2 Indica la menor solución al resolver A) 0,001 D) 100 En la P.A. ÷ 3; 8; 13; 18; ... 25 log2[(x – 1)2 + 3x + 1] = log 2(4x + 12) 12 4 Calcula el término de lugar 24. Indica el conjunto solución de A) {–2; 5} D) {5} C) 3 E) 81 En la P.A. 4; 7; 10; 13; ... Resuelve Log 1 (3x + 2) = Log 1 (4x) A) –1 D) 4 C) 3 E) 5 9 –1 B) {–2} 25 C) 8 E) 64 Indica el producto de las soluciones al resolver A) 9 D) 1 5 B) 4 Resuelve logx(x + 6) = 2 e indique su C. S. A) {–2; 3} D) {2} Calcula log11(x + 11) si A) 1 D) 4 A R B E G L Á C) 13 E) 20 Si log2(log3(log2x)) = 0, halla x. A) 2 D) 16 3 B) 12 9 17 PROGRESIÓN ARITMÉTICA Resuelve log5(x + 2) = 2 A) 23 D) 5 Calcula x + y + z, si: A) 9 D) 18 57 B) –64 C) 10 E) –10 3 Indique verdadero (V) o falso (F) según corres ponda. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? 1. Si la razón es negativa la P.A. es decreciente. 2. La suma de términos equidistantes es el doble del término central. 3. Si la razón es negativa la P.A. es creciente. A) 0 D) 3 A) FFF D) FVV B) 1 C) 2 E) 4 B) FFV 6 Calcula el trigésimo término de la P.A. (x – 4); (2 x + 4); (4 x + 8); .... A) 360 D) 324 B) 348 C) 336 E) 312 C) FVF E) VVV Resuelve logx + log(x – 1) = log6 A) –2 D) 3 B) –1 C) 2 E) 4 4 59 EDITORIALINGENIO CAPÍTULO REFORZANDO 1 NIVEL I 8 A) 23 D) 5 Calcula x + y + z, si: B) 10 C) 8 E) 3 1 log2x = 3; log3y = 2; log4z = 0 A) 9 D) 18 2 B) 12 B) 4 4 C) {–3} E) {3} B) 1/2 A) 73 D) 63 Calcula el lugar que ocupa el número 333 A) 34° D) 67° C) 83 E) 76 NIVEL B) {2; 5} 2 Calcula el 7° término en la P.G. 5 A) 2187 Resuelve e indique la suma de raíces en: B) 2187 2 D) 5294 C) 0,0001 E) 1000 A) 21/4 D) 6 13 REFORZANDO 6 NIVEL ÷ ÷ 4 ; 2 ; 1; ... 9 3 C) 2187 3 E) 5333 2 A) 729 8 D) 729 64 7 B) 8 A) –100 D) 8 14 C) 9 E) 11 Si 3log3a – 3log3b = 6, calcula 15 A) 3 D) 27 B) 9 58 C) 243 32 E) 729 128 C) 4 E) 7 Log6(x + 8) + Log 6(x – 8) = 2 Indicar la suma de las cifras de la solución de A) 7 D) 10 B) 729 16 Resuelve e indica el producto de soluciones en: II log2(log3x – 2) = 4log 162 B) 5/4 C) 2 E) 6 B) –64 C) 10 E) –10 3 Indique verdadero (V) o falso (F) según corres ponda. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? 1. Si la razón es negativa la P.A. es decreciente. 2. La suma de términos equidistantes es el doble del término central. 3. Si la razón es negativa la P.A. es creciente. A) 0 D) 3 A) FFF D) FVV B) 1 C) 2 E) 4 B) FFV 6 Calcula el trigésimo término de la P.A. (x – 4); (2 x + 4); (4 x + 8); .... A) 360 D) 324 B) 348 C) 336 E) 312 C) FVF E) VVV Resuelve logx + log(x – 1) = log6 A) –2 D) 3 B) –1 C) 2 E) 4 4 EDITORIAL INGENIO Determina la suma de los 12 perimeros térmi- 9 nos de la siguiente progresión aritmética. B) 228 Halla el valor de " x", de modo que los números (x – 5); x; (x + 10); en ese orden, estén en P.G. ÷ x + 2; 2 x + 1; 4 x – 5; ... A) 128 D) 348 A) 1 D) 10 C) 358 E) 412 B) 2 C) 5 E) 20 REFORZANDO 1 A R B E G L Á D) –1 Halla el término de lugar 12 de la siguiente P.G.: 3 A) 2 D) 16 B) 4 B) FFV B) 250 1024; a; 256; b; 64; c 9 C) 8 E) 32 A) D) 317 4 B) C) 608 E) 696 Calcula la suma de los 12 primeros términos de A) 320 D) 372 10 C) 325 E) 735 315 B) 612 una P.A. cuyo término enésimo es 5n + 2 C) VVV E) FFF Calcula el término de lugar 15 en la P.G. 314 En la siguiente progresión Halla a + b – c (x – 1); (2 x + 1); (7 x – 1); ... 1 ; 1 ; 1 ; ... 128 64 32 E) –2 8 A) 640 D) 672 En la P.G. 81; a; b; c; 625 Calcula: a + b + c A) 225 D) 375 10 I término general: an = 4n – 3. 1. Si la razón es –3. 2. Los tres primeros términos suman 15. 3. Todos sus términos son positivos. 2 ¿Qué valor debe tomar n para que las expresiones 2n – 8; 6 n – 3 y 8 n + 3 dadas en este mismo orden; esten en progresión aritmética? A) 1 B) 1 C) 2 2 NIVEL Indica verdadero (V) ó falso (F) en la P.A. de A) VFF D) FVV 8 B) 324 Indica verdadero (V) ó falso (F) • La suma de innitos términos de 1 1 S = 1 + + + .... es 2 2 4 • La razón en la P.G. ÷ ÷ 3; a; b; c; d; 96 es 4 • El término central es A) VVV D) FFV 316 C) E) 318 Calcula la razón de una P.A. si se cumple que el C) 384 E) 414 t1∙tn B) VFV REFORZANDO C) VFF E) FFF NIVEL cuarto término es 18 y el décimo es 12. A) –6 D) –3 5 B) –4 ÷ ÷ 2013; 2009; 2005; .... A) 24 D) 27 Calcula la razón de una P.G. si se cumple que A) 1,5 D) 0,6 B) 2 REFORZANDO 6 3 Tarea Indica el número de términos de una P.A. si el Si el primer y tercer término de una P.G. son 4 y 9 respectivamente, entonces el segundo término es: La suma de 3 números en P.A. es 12 y la suma de sus cubos es 408. Halla la suma de los cuadrados de dichos números. En una progresión geométrica la suma de tres números consecutivos es 9 y su producto es –216. Halla el número mayor de los números en mención. A) VFF D) FFV 7 4 B) VVF A) 970 D) 1920 13 B) 64 C) 960 E) 988 Calcula A) 1/2 D) –1/3 14 B) –1/2 C) 1/3 E) 1/6 En la P.A. 14; 17; 20; 23; .... Calcula a2013 – a2010 A) 3 D) 12 15 C) 72 E) 84 B) 1940 S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... 2 3 4 9 8 C) VVV E) FFF En la P.A. ÷ 15; x; y; z; 27 Calcula x + 2y + z C) 26 E) 28 Calcula la suma de los 10 primeros términos de Indica verdadero (V) ó falso (F). A) 42 D) 78 60 II 3. El producto de los términos equidistantes es constante. 4 B) 20 la P.A. ÷ (3x – 5); (4 x + 6); (6 x + 10); .... 1. Si la razón es menor que 1 y mayor que 0, la P.G. es decreciente. 2. La P.G. es alternada cuando la razón es me nor que 0. primer término es (m – 2); la razón es (2 – m) y la suma de términos (10 – 5m). 2 12 C) 4 E) 3 NIVEL III 11 Calcula la suma de cifras del vigésimo término en C) –2 E) –1 t8 = 1,5 y t15 = 192 1 59 4 EDITORIAL INGENIO 7 Á L G E B R A Calcula el octavo término de la P.G. ÷ ÷ 48; 72; 108; ... C) {–5; 2} E) {–2} log2x – log x2 = 24 B) 0,0001 C) 66° E) 111° III Indica la menor solución al resolver A) 0,001 D) 100 B) 34° C) 2 E) –2 log2[(x – 1)2 + 3x + 1] = log 2(4x + 12) 12 B) 80 En la P.A. ÷ 3; 8; 13; 18; ... Indica el conjunto solución de A) {–2; 5} D) {5} C) 3 E) 81 4 Calcula el término de lugar 24. 25 REFORZANDO 11 En la P.A. 4; 7; 10; 13; ... Resuelve Log 1 (3x + 2) = Log 1 (4x) A) –1 D) 4 C) 3 E) 5 B) 9 –1 B) {–2} 25 Indica el producto de las soluciones al resolver A) 9 D) 1 5 10 C) 8 E) 64 B) 2 Resuelve logx(x + 6) = 2 e indique su C. S. A) {–2; 3} D) {2} Calcula log11(x + 11) si A) 1 D) 4 A R B E G L Á C) 13 E) 20 Si log2(log3(log2x)) = 0, halla x. A) 2 D) 16 3 9 17 PROGRESIÓN ARITMÉTICA Resuelve log5(x + 2) = 2 B) 6 C) 9 E) 15 ¿Cuánto suman los 25 términos de una P.A. cuyo primer término es 4 y la razón es 10? A) 3440 D) 3100 B) 3210 C) 3140 E) 3350 4 61 Á L G E B R A EDITORIAL INGENIO 7 EDITORIAL INGENIO Determina la suma de los 12 perimeros térmi- 9 nos de la siguiente progresión aritmética. (x – 5); x; (x + 10); en ese orden, estén en P.G. ÷ x + 2; 2 x + 1; 4 x – 5; ... A) 128 D) 348 B) 228 Halla el valor de " x", de modo que los números A) 1 D) 10 C) 358 E) 412 B) 2 C) 5 E) 20 REFORZANDO 1 A R B E G L Á D) –1 Halla el término de lugar 12 de la siguiente P.G.: 3 A) 2 D) 16 B) 4 B) 250 1024; a; 256; b; 64; c 9 C) 8 E) 32 A) D) 317 4 B) C) 608 E) 696 Calcula la suma de los 12 primeros términos de A) 320 D) 372 10 C) 325 E) 735 315 B) 612 una P.A. cuyo término enésimo es 5n + 2 C) VVV E) FFF Calcula el término de lugar 15 en la P.G. 314 En la siguiente progresión Halla a + b – c (x – 1); (2 x + 1); (7 x – 1); ... 1 ; 1 ; 1 ; ... 128 64 32 E) –2 B) FFV En la P.G. 81; a; b; c; 625 Calcula: a + b + c A) 225 D) 375 10 8 A) 640 D) 672 término general: an = 4n – 3. 1. Si la razón es –3. 2. Los tres primeros términos suman 15. 3. Todos sus términos son positivos. 2 ¿Qué valor debe tomar n para que las expresiones 2n – 8; 6 n – 3 y 8 n + 3 dadas en este mismo orden; esten en progresión aritmética? A) 1 B) 1 C) 2 2 I Indica verdadero (V) ó falso (F) en la P.A. de A) VFF D) FVV 8 NIVEL B) 324 Indica verdadero (V) ó falso (F) • La suma de innitos términos de 1 1 S = 1 + + + .... es 2 2 4 • La razón en la P.G. ÷ ÷ 3; a; b; c; d; 96 es 4 • El término central es A) VVV D) FFV 316 C) E) 318 Calcula la razón de una P.A. si se cumple que el C) 384 E) 414 t1∙tn B) VFV REFORZANDO C) VFF E) FFF NIVEL cuarto término es 18 y el décimo es 12. A) –6 D) –3 5 B) –4 11 Calcula la suma de cifras del vigésimo término en C) –2 E) –1 ÷ ÷ 2013; 2009; 2005; .... A) 24 D) 27 Calcula la razón de una P.G. si se cumple que t8 = 1,5 y t15 = 192 A) 1,5 D) 0,6 B) 2 REFORZANDO 6 3 Tarea 1 Indica el número de términos de una P.A. si el Si el primer y tercer término de una P.G. son 4 y 9 respectivamente, entonces el segundo término es: La suma de 3 números en P.A. es 12 y la suma de sus cubos es 408. Halla la suma de los cuadrados de dichos números. En una progresión geométrica la suma de tres números consecutivos es 9 y su producto es –216. Halla el número mayor de los números en mención. A) VFF D) FFV 7 B) VVF A) 970 D) 1920 13 B) 1940 Calcula A) 1/2 D) –1/3 14 B) –1/2 Calcula a2013 – a2010 A) 3 D) 12 15 B) 6 ¿Cuánto suman los 25 términos de una P.A. cuyo primer término es 4 y la razón es 10? A) 3440 D) 3100 C) 72 E) 84 B) 3210 C) 3140 E) 3350 4 61 EDITORIALINGENIO SUCESIONES Y SERIES Calcula el valor de 7 9 E = 2 + 12 + 36 + 80 + ..... + 1100 Se dene la serie a1 = 1 a2 = 2 + 3 + 4 a3 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 a4 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 : halla a2003 – a2002 A) 16525 D) 16720 B) 16016 4 A) 2710 D) 2570 Halla el valor de "S" en A) 95950 D) 85850 5 B) C) D) E = 2(2) + 4(3) + 6(4) + ...+ 40(21) C) 2810 E) 2610 A) 6000 D) 6810 B) 6160 C) 6140 E) 6325 B) 128755 C) 49925 E) 95850 C) 16400 E) 16820 Halla A) B) 3410 Halla el valor de S = 1100 + 299 + 398 + ..... + 50 51 Halla el valor de 8 2 C) 9 E) 15 4 18 A R B E G L Á C) 1/3 E) 1/6 En la P.A. 14; 17; 20; 23; .... CAPÍTULO 1 C) 960 E) 988 S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... 2 3 4 9 8 C) VVV E) FFF En la P.A. ÷ 15; x; y; z; 27 Calcula x + 2y + z B) 64 C) 26 E) 28 Calcula la suma de los 10 primeros términos de Indica verdadero (V) ó falso (F). A) 42 D) 78 60 II 3. El producto de los términos equidistantes es constante. 4 B) 20 la P.A. ÷ (3x – 5); (4 x + 6); (6 x + 10); .... 1. Si la razón es menor que 1 y mayor que 0, la P.G. es decreciente. 2. La P.G. es alternada cuando la razón es me nor que 0. primer término es (m – 2); la razón es (2 – m) y la suma de términos (10 – 5m). 2 12 C) 4 E) 3 NIVEL III Una pelota de goma cae desde lo alto de un edicio, al rebotar sobre el piso alcanza una altura igual a 1/2 de la altura anterior, calcula el recorrido total de la pelota hasta que teóricamente quede en reposo, considerando que se dejó caer de una altura de 128 m. A) 384 m D) 450 m B) 312 m A) D) B) 10 ¿Qué precio pide por su cabello quien exige por el primer clavo de sus herraduras S /. 125; S /. 216 por el segundo; S/. 343 por el tercero; hasta S/. 1331 por el penúltimo clavo? A) S/. 5316 D) S/. 5270 C) B) S/. 4256 C) S/. 5397 E) S/. 6084 E) C) 370 m E) 412 m E) 6 3 Halla A) 3020 D) 3080 B) 3960 C) 3040 E) 3780 La suma de "n" números pares consecutivos es "k", ¿cuál es la suma de los " n" siguientes números pares consecutivos? A) k – 2n D) k + 3n B) k2 – 2n C) 2k + 2n2 E) 2k + n2 Tarea 1 2 4 3 Dado el término general de una sucesión: an = an – 1 + 3, si a10 = 15, halla a8 4 Si en la sucesión a1 ; a2 ; a3 ; ..... ; an , se tiene Si an = 3n + 6, es el término general de una sucesión, calcula a100. que an+2 = an+1 + an ; para todo n ≥ 1; y además Calcula P = 1 + 1 + 1 + ... 10 100 1000 62 Á L G E B R A a9 = a11 = 10, halla el valor de a3 + a4 + a5 + a6 4 63 Á L G E B R A EDITORIALINGENIO CAPÍTULO 18 1 SUCESIONES Y SERIES 4 A) 2710 D) 2570 Halla el valor de "S" en 2 Halla el valor de A) 95950 D) 85850 B) 16016 5 B) C) D) E = 2(2) + 4(3) + 6(4) + ...+ 40(21) C) 2810 E) 2610 A) 6000 D) 6810 B) 6160 C) 6140 E) 6325 B) 128755 C) 49925 E) 95850 C) 16400 E) 16820 Halla A) B) 3410 S = 1100 + 299 + 398 + ..... + 50 51 Halla el valor de 8 A R B E G L Á 9 E = 2 + 12 + 36 + 80 + ..... + 1100 Se dene la serie a1 = 1 a2 = 2 + 3 + 4 a3 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 a4 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 : halla a2003 – a2002 A) 16525 D) 16720 Calcula el valor de 7 Una pelota de goma cae desde lo alto de un edicio, al rebotar sobre el piso alcanza una altura igual a 1/2 de la altura anterior, calcula el recorrido total de la pelota hasta que teóricamente quede en reposo, considerando que se dejó caer de una altura de 128 m. A) 384 m D) 450 m B) 312 m A) B) D) 10 ¿Qué precio pide por su cabello quien exige por el primer clavo de sus herraduras S /. 125; S /. 216 por el segundo; S/. 343 por el tercero; hasta S/. 1331 por el penúltimo clavo? A) S/. 5316 D) S/. 5270 C) B) S/. 4256 C) S/. 5397 E) S/. 6084 Á L G E B R A E) C) 370 m E) 412 m E) 6 3 Halla A) 3020 D) 3080 B) 3960 C) 3040 E) 3780 La suma de "n" números pares consecutivos es "k", ¿cuál es la suma de los " n" siguientes números pares consecutivos? A) k – 2n D) k + 3n B) k2 – 2n C) 2k + 2n2 E) 2k + n2 Tarea 1 2 3 Dado el término general de una sucesión: an = an – 1 + 3, si a10 = 15, halla a8 4 Si en la sucesión a1 ; a2 ; a3 ; ..... ; an , se tiene Si an = 3n + 6, es el término general de una sucesión, calcula a100. que an+2 = an+1 + an ; para todo n ≥ 1; y además Calcula a9 = a11 = 10, halla el valor de a3 + a4 + a5 + a6 P = 1 + 1 + 1 + ... 10 100 1000 62 4 4 EDITORIALINGENIO 63 CAPÍTULO REFORZANDO NIVEL I 8 19 INECUACIONES I Halla cuántos términos tiene la siguiente suce- sión: 3; 6; 9; 12; .........; 513 1 Calcula S = 1 + 2 + 3 + ..... + 40 A) 280 D) 380 B) 820 A) 150 D) 151 C) 500 E) 1020 3 B) 819 4 A R B E G L Á C) 2/5 E) 1/2 10 B) 11200 n (n + 1)2 1 (n + 1)2 C) 12300 E) 12500 B) 23400 11 C) 21700 E) 22800 NIVEL II 12 C) 5 3 8 E) 3 Halla el término general de la siguiente suce- sión: 2 ; 2 ; 2 : 2 ; ... 3 8 15 24 1 n2 + 2n D) 2 2 n + 2n B) 4 1 n2 – 2n 2 C) n 2 E) 2 2 n +2 4, calcula el intervalo de x2 – 5. B) [-5; 11] C) [5; 11] E) [-5; 11 ⟩ C) 1 E) 4 +1 C) n2 n +1 n E) 2 n +1 B) 1 C) 101 100 99 E) 100 2 NIVEL 15 Relaciona correctamente III 5 b. (x – 2)2 ≤ 0 1. x ∈ ∅ 2. x ∈ R c. x2 + 1 < 0 3. x ∈ {2} a. x2 ≥ 0 A) a1 - b2 - c3 D) a2 - b1 - c3 B) -45 B) a2 - b3 - c1 ¿A qué intervalo pertenece 5 – 3x , cuando 2 x ∈ [–3; 8⟩? A) ⟨19/2; 7⟩ D) ∅ B) ⟨–19/2; 7] C) ⟨–19; 14⟩ E) ⟨1; 4] C) a1 - b3 - c2 E) a3 - b1 - c2 C) -50 E) -100 B) 5318 C) 5088 E) 5010 3 13 14 A) ≤ A) ⟨5; 11⟩ D) ⟨-5; 11] Halla S = 7 8 + 8 9 + 9 10 + .... + 24 25 A) 5216 D) 5415 1 1 1 1 T=1+ + + + + ... ∞ 3 9 27 81 B) 2 3 B) 0,4 Si –3 < x Halla el valor de M = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – .... – 90 A) -90 D) -55 Calcula el valor de T. A) 3 2 9 D) 5 4 Al momento que n = 100, la siguiente suma: REFORZANDO REFORZANDO 64 D) B) A) 100 101 1 D) 2 R = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ...... + f(10) 7 1 n2 Si f(n) = (2 n)3 A) 25100 D) 24200 se obtiene por 1 1 1 1 + + + ... + n(n + 1) 1×2 2×3 3×4 halla el valor de R 6 A) Halla el valor de A) 10660 D) 10000 5 C) 500 E) 1020 B) 2 Luego de resolver A) 0,5 D) 2 1 ; 2 ; 3 : 4 ; ... 4 9 16 25 Calcula A) 1 D) 3/4 1 Halla el término general de la sucesión: Calcula S = 1 + 4 + 9 + . ... + 169 A) 280 D) 380 C) 171 E) 181 C. S = [ a; +∞⟩, halla el valor de a. 9 2 B) 170 Al resolver la inecuación 6 Resuelve x2 – x – 6 ≤ 0, e indica la suma de valo- res enteros que la verifican. Calcula A) 18640 D) 24500 B) 19310 C) 20250 E) 21440 Si , halla a1 + a2 + a3 + ..... + a99 A) 0,99 D) 0,009 B) 0,09 se obtiene C. S. = ⟨–∞; 2m – 17⟩, halla m. A) 3 D) 6 B) 4 A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 C) 5 E) 12 C) 0,099 E) 0,0009 En la sucesión 5; 8; 11; 14; ...... la suma de los n primeros términos es 1274, determina (n + 2). A) 28 D) 34 B) 32 C) 26 E) 30 4 65 Á L G E B R A EDITORIALINGENIO CAPÍTULO REFORZANDO NIVEL I 8 19 INECUACIONES I Halla cuántos términos tiene la siguiente suce- sión: 3; 6; 9; 12; .........; 513 1 Calcula S = 1 + 2 + 3 + ..... + 40 A) 280 D) 380 B) 820 A) 150 D) 151 C) 500 E) 1020 3 B) 819 4 A R B E G L Á C) 2/5 E) 1/2 10 B) 11200 n (n + 1)2 1 (n + 1)2 C) 12300 E) 12500 B) 23400 11 C) 21700 E) 22800 NIVEL II 12 C) 5 3 8 E) 3 Halla el término general de la siguiente suce- sión: 2 ; 2 ; 2 : 2 ; ... 3 8 15 24 1 n2 + 2n 2 D) 2 n + 2n B) 4 1 n2 – 2n 2 C) n 2 2 E) 2 n +2 4, calcula el intervalo de x2 – 5. A) ⟨5; 11⟩ D) ⟨-5; 11] B) [-5; 11] C) [5; 11] E) [-5; 11 ⟩ C) 1 E) 4 +1 C) n2 n +1 n E) 2 n +1 B) 1 C) 101 100 99 E) 100 2 NIVEL 15 Relaciona correctamente III 5 b. (x – 2)2 ≤ 0 1. x ∈ ∅ 2. x ∈ R c. x2 + 1 < 0 3. x ∈ {2} a. x2 ≥ 0 A) a1 - b2 - c3 D) a2 - b1 - c3 B) -45 B) a2 - b3 - c1 ¿A qué intervalo pertenece 5 – 3x , cuando 2 x ∈ [–3; 8⟩? A) ⟨19/2; 7⟩ D) ∅ B) ⟨–19/2; 7] C) ⟨–19; 14⟩ E) ⟨1; 4] C) a1 - b3 - c2 E) a3 - b1 - c2 C) -50 E) -100 B) 5318 C) 5088 E) 5010 3 13 14 A) ≤ Halla S = 7 8 + 8 9 + 9 10 + .... + 24 25 A) 5216 D) 5415 1 1 1 1 T=1+ + + + + ... ∞ 3 9 27 81 B) 2 3 B) 0,4 Si –3 < x Halla el valor de M = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – .... – 90 A) -90 D) -55 Calcula el valor de T. A) 3 2 9 D) 5 4 Al momento que n = 100, la siguiente suma: REFORZANDO REFORZANDO 64 D) B) A) 100 101 1 D) 2 R = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ...... + f(10) 7 1 n2 Si f(n) = (2 n)3 A) 25100 D) 24200 se obtiene por 1 1 1 1 + + + ... + n(n + 1) 1×2 2×3 3×4 halla el valor de R 6 A) Halla el valor de A) 10660 D) 10000 5 C) 500 E) 1020 B) 2 Luego de resolver A) 0,5 D) 2 1 ; 2 ; 3 : 4 ; ... 4 9 16 25 Calcula A) 1 D) 3/4 1 Halla el término general de la sucesión: Calcula S = 1 + 4 + 9 + . ... + 169 A) 280 D) 380 C) 171 E) 181 C. S = [ a; +∞⟩, halla el valor de a. 9 2 B) 170 Al resolver la inecuación 6 Resuelve x2 – x – 6 ≤ 0, e indica la suma de valo- res enteros que la verifican. Calcula A) 18640 D) 24500 B) 19310 C) 20250 E) 21440 Si , halla a1 + a2 + a3 + ..... + a99 A) 0,99 D) 0,009 B) 0,09 se obtiene C. S. = ⟨–∞; 2m – 17⟩, halla m. A) 3 D) 6 B) 4 A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 C) 5 E) 12 C) 0,099 E) 0,0009 En la sucesión 5; 8; 11; 14; ...... la suma de los n primeros términos es 1274, determina (n + 2). A) 28 D) 34 B) 32 C) 26 E) 30 4 65 Á L G E B R A CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 20 1 INECUACIONES II 7 A) x > 3 D) x > 5 Resuelve 4 9 Resuelve B) 2 < x < 5 Para cuántos números enteros se verica la inecuación: C) x > 1 E) x∈ ∅ A) 12 D) 7 Resuelve B) 13 C) 8 E) N.A. B) [-1; 2] C) [-2; 5 ⟩ E) N.A. (x + 4)6(x + 2)4(x – 4)8(x – 3)9 > 0 A) ⟨–4; –3⟩ B) ⟨–∞; –3⟩ D) ⟨–3; +∞⟩ – {–2} C) ⟨–∞; 3⟩ E) ⟨3; +∞⟩ – {4} e indica el menor valor entero que la verique. A) 2 D) 8 B) 4 C) 6 E) 10 8 A R B E G L Á 2 Indica la suma de valores enteros que verican: A) 24 D) 28 3 B) 26 5 A) ⟨1; 3⟩ D) ⟨1; +∞⟩ Resuelve B) ⟨3; 8] 10 A) –1 D) 2 B) 0 A) [-3; 3] D) [-3; 6] C) ⟨3; +∞⟩ E) ⟨3; 6⟩ A) 12 D) 20 6 B) 15 Á L G E B R A C) 16 E) 21 Indica el intervalo solución en Tarea se obtiene C. S. = ⟨a; 0⟩ ∪ ⟨b; –a⟩. Calcula el valor de a + 2b. Resuelve se obtiene como C. S. = ⟨–∞; A] ∪ [B; C] ∪ {D}, halla el valor de A·B·C·D. C) 27 E) 31 Luego de resolver la inecuación fraccionaria Resuelve x + 2 > 8 – x A) ⟨0; 1⟩ D) ⟨1; +∞⟩ B) ⟨–1; 1⟩ C) [–1; 3] E) ⟨–5; 0⟩ 1 C) 1 E) 3 3 Resuelve 4 Para cuántos valores enteros se verica que Resuelve las siguientes inecuaciones e indica el intervalo solución común. 2 Luego de resolver la inecuación: (x2 – x)2(x3 – 1)(2x2 – 3x + 1)(2x – 1)4 < 0 se obtiene C. S. = ⟨–∞; a⟩ – {b}, calcula a + b. 68 4 4 69 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 20 1 INECUACIONES II 7 A) x > 3 D) x > 5 Resuelve 4 9 Resuelve B) 2 < x < 5 Para cuántos números enteros se verica la inecuación: C) x > 1 E) x∈ ∅ A) 12 D) 7 Resuelve B) 13 C) 8 E) N.A. B) [-1; 2] C) [-2; 5 ⟩ E) N.A. (x + 4)6(x + 2)4(x – 4)8(x – 3)9 > 0 A) ⟨–4; –3⟩ B) ⟨–∞; –3⟩ D) ⟨–3; +∞⟩ – {–2} C) ⟨–∞; 3⟩ E) ⟨3; +∞⟩ – {4} e indica el menor valor entero que la verique. A) 2 D) 8 B) 4 C) 6 E) 10 8 A R B E G L Á 2 Indica la suma de valores enteros que verican: A) 24 D) 28 3 B) 26 5 A) ⟨1; 3⟩ D) ⟨1; +∞⟩ Resuelve B) ⟨3; 8] 10 A) –1 D) 2 B) 0 A) [-3; 3] D) [-3; 6] C) ⟨3; +∞⟩ E) ⟨3; 6⟩ A) 12 D) 20 6 B) 15 Á L G E B R A C) 16 E) 21 Indica el intervalo solución en Tarea se obtiene C. S. = ⟨a; 0⟩ ∪ ⟨b; –a⟩. Calcula el valor de a + 2b. Resuelve se obtiene como C. S. = ⟨–∞; A] ∪ [B; C] ∪ {D}, halla el valor de A·B·C·D. C) 27 E) 31 Luego de resolver la inecuación fraccionaria Resuelve x + 2 > 8 – x A) ⟨0; 1⟩ D) ⟨1; +∞⟩ B) ⟨–1; 1⟩ C) [–1; 3] E) ⟨–5; 0⟩ 1 C) 1 E) 3 3 Resuelve 4 Para cuántos valores enteros se verica que Resuelve las siguientes inecuaciones e indica el intervalo solución común. 2 Luego de resolver la inecuación: (x2 – x)2(x3 – 1)(2x2 – 3x + 1)(2x – 1)4 < 0 se obtiene C. S. = ⟨–∞; a⟩ – {b}, calcula a + b. 68 4 4 69 CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 22 1 FUNCIONES I Indica verdadero (V) o falso (F). 4 F = {(2; 3), (3; 5), (2; 3)} es función ( ) G = {(0; 3), (2; 3), (4; 1)} es función ( ) H = {(–2; 2), (–2; –2), (2; –2)} es función ( ) A) VFV D) VVF B) FVV 7 Sabiendo que: F(x) = 2 A) 26 D) 56 B) –26 B) 12 B. H(x) = (x + 7)2 + 4 es una función, calcula la suma de los elementos del rango, si a ≤ 0. A) –2; + y 4; C) –2; + y R D) R y 4; B) –2; + y 4; 6 B) 0 C) 1 E) 2 E) R y R C) 30 E) 4 5 C) 15 E) 20 De acuerdo al diagrama de las funciones F y G. G F 10 A) {2} D) ⟨–∞; 2] B) ⟨2; +∞⟩ Halla el rango de F(x) = ex + e–x – 2 Halla el dominio de la función siendo e = 2,7182... F = {(3; 9), (5; a – b), (5; 3), (3; a + b)} A) 10 D) 18 Halla el rango en cada caso calcula E = F(F(2)) – F(F(–1)). C) VVV E) FFV Calcula ab en la función 9 A. A(x) = x + 1 – 2 A) 4 D) 3 4x – 2; x < 0 3x + 3; x ≥ 0 8 A R B E G L Á Si el conjunto de pares ordenados f = {(1; 0), (3; a2 + 2), (4; 0), (3; a + b), (4; b – 2)} C) [2; + ∞⟩ E) ⟨–∞; 2⟩ 2 1 0 –3 3 4 0 6 –3 8 3F(2) + G(F(0)) . –F(2) A) –9/4 B) 9/4 D) –9/3 A) [– 2; +∞⟩ B) [ 2 ; +∞⟩A D) [2 – 2; +∞⟩ C) [ 2; 2] E) [2 + 2; +∞⟩ calcula 3 En la función 6 F(x) = {(2; 3); (1; 4); (3; 5); (4; 9)} calcula S = F(F(2)) + F(F(1)). A) 5 D) 13 B) 7 C) 9 E) 14 C) –11 E) –7/3 ¿Cuál o cuáles de los conjuntos 1. F = {(2; 4), (3; 4), (0; 0), (–1; 3)} 2. G = {(–1; 6), (6; –1), (–1; 1)} 3. H = {(–3; 3)} son funciones? A) Sólo I D) I y II B) Sólo II Tarea 1 3 ¿Qué conjuntos representan funciones? F = {(1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2)} G = {(a; a), (b; b), (c; c), (d; d), (e; e)} H = {(–5; 2), (3; 9), (–5; 0), (0; 0)} C) Sólo III E) I y III I = {(2; 6), (3; 9),(4; 12), (2; 6)} 2 Si F = {(2; a2), (5; 3), ( a; – 1), (4; 6), (2; 16)} es una función, halla el dominio y rango. 4 1 2 3 5 3 1 1 2 5 3 2 3 halla E = 4 74 Dadas las funciones f y g denidas mediante los diagramas mostrados: g f f(1) + g(3) . f(g(1)) – f(g(2)) Si f(x) = x – 2 + x, calcula el dominio de la función. 4 75 Á L G E B R A CAPÍTULO EDITORIALINGENIO 22 1 FUNCIONES I Indica verdadero (V) o falso (F). 4 F = {(2; 3), (3; 5), (2; 3)} es función ( ) G = {(0; 3), (2; 3), (4; 1)} es función ( ) H = {(–2; 2), (–2; –2), (2; –2)} es función ( ) A) VFV D) VVF B) FVV 7 Sabiendo que: F(x) = 2 A) 26 D) 56 B) –26 B) 12 B. H(x) = (x + 7)2 + 4 es una función, calcula la suma de los elementos del rango, si a ≤ 0. A) –2; + y 4; C) –2; + y R D) R y 4; B) –2; + y 4; 6 B) 0 C) 1 E) 2 E) R y R C) 30 E) 4 5 C) 15 E) 20 De acuerdo al diagrama de las funciones F y G. G F 10 A) {2} D) ⟨–∞; 2] B) ⟨2; +∞⟩ Halla el rango de F(x) = ex + e–x – 2 Halla el dominio de la función siendo e = 2,7182... F = {(3; 9), (5; a – b), (5; 3), (3; a + b)} A) 10 D) 18 Halla el rango en cada caso calcula E = F(F(2)) – F(F(–1)). C) VVV E) FFV Calcula ab en la función 9 A. A(x) = x + 1 – 2 A) 4 D) 3 4x – 2; x < 0 3x + 3; x ≥ 0 8 A R B E G L Á Si el conjunto de pares ordenados f = {(1; 0), (3; a2 + 2), (4; 0), (3; a + b), (4; b – 2)} C) [2; + ∞⟩ E) ⟨–∞; 2⟩ 2 1 0 –3 3 4 0 6 –3 8 3F(2) + G(F(0)) . –F(2) A) –9/4 B) 9/4 D) –9/3 A) [– 2; +∞⟩ B) [ 2 ; +∞⟩A D) [2 – 2; +∞⟩ C) [ 2; 2] E) [2 + 2; +∞⟩ calcula 3 En la función 6 F(x) = {(2; 3); (1; 4); (3; 5); (4; 9)} calcula S = F(F(2)) + F(F(1)). A) 5 D) 13 B) 7 C) 9 E) 14 C) –11 E) –7/3 ¿Cuál o cuáles de los conjuntos 1. F = {(2; 4), (3; 4), (0; 0), (–1; 3)} 2. G = {(–1; 6), (6; –1), (–1; 1)} 3. H = {(–3; 3)} son funciones? A) Sólo I D) I y II B) Sólo II Tarea 1 3 ¿Qué conjuntos representan funciones? F = {(1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2)} G = {(a; a), (b; b), (c; c), (d; d), (e; e)} H = {(–5; 2), (3; 9), (–5; 0), (0; 0)} C) Sólo III E) I y III I = {(2; 6), (3; 9),(4; 12), (2; 6)} 2 Si F = {(2; a2), (5; 3), ( a; – 1), (4; 6), (2; 16)} es una función, halla el dominio y rango. 4 1 2 3 5 3 1 1 2 5 3 2 3 halla E = 4 74 Dadas las funciones f y g denidas mediante los diagramas mostrados: g f f(1) + g(3) . f(g(1)) – f(g(2)) Si f(x) = x – 2 + x, calcula el dominio de la función. 4 75 Á L G E B R A EDITORIAL INGENIO 14 15 Grafca y = f(x) = |x – 4| + 2 A) B) Y A) Y C) B) Y D) Y X X –2 X Y X 4 4 Grafca y = –|x| + 2 C) Y D) Y Y 4 X 2 X X 4 X 2 –2 E) N.A. E) N.A A R B E G L Á CLAVE DE RESPUESTAS Curso Cap CUADERNO DE TRABAJO 1 2 3 4 5 6 7 8 NIVEL I 9 10 1 2 3 NIVEL II 4 5 6 7 8 NIVEL III 9 10 11 12 13 14 15
