Sesión 01 La recta (3)

Unidad Didáctica III:
Tópicos de Geometría Analítica
RA3: Resuelve ejercicios y problemas de
recta y cónicas, aplicando correctamente
las definiciones y propiedades pertinentes.
I5: Gráfica rectas y cónicas utilizando las
definiciones y los respectivos procesos de
construcción de la gráfica respectiva.
I6: Resuelve problemas utilizando rectas y
cónicas.
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La Recta
Roxana Elizabeth Martinez Monteza
[email protected]
Matemática Básica
Sesión
01
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Objetivos








3
Calcular la distancia entre dos puntos.
Calcular el punto medio de un segmento.
Determinar la pendiente entre dos puntos.
Identificar la pendiente y la ordenada en una ecuación de
recta dada.
Determinar la ecuación general de la recta, dados dos
puntos o dado un punto y la pendiente.
Determinar si dos rectas son paralelas.
Determinar si dos rectas son coincidentes.
Determinar si dos rectas son perpendiculares.
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Contenidos
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4
Distancia entre dos puntos.
Punto medio de un segmento.
La recta.
La recta: Ecuaciones
Rectas paralelas.
Rectas coincidentes.
Rectas perpendiculares.
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Plano Cartesiano
5
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Veamos la distancia directamente en el plano:
B
80
4
A
8
6
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42  82
 16  64
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒀
𝒅
𝑸(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )
𝑷(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
𝑿
𝒅𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐
+ 𝒚 𝟐 − 𝒚𝟏
𝒅(𝑷, 𝑸)= 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
dos puntos
7
𝟐
𝟐
+ 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐 , es la distancia entre
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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA
𝑸(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )
𝑴(𝒙, 𝒚)
𝑷(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
M es el punto medio del segmento PQ
Las coordenadas del punto medio son:
𝒙𝟏 +𝒙𝟐
𝒚𝟏 +𝒚𝟐
x=
, y=
𝟐
8
𝟐
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RECUERDA!
Ejemplos:
x1 y1
x2 y2
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169
/
d = 13
x1 y1
x2 y2
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
M=
-3 + 9 , 4 + -1
2
2
M = (3, 1,5)
9
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M=
x1 + x 2 y1 + y 2
,
2
2
Ejercicios 01
1. Hallar la distancia entre los puntos:
a)P(-3, 4) y Q(12, -4)
b)P(5, -4) y Q(-4, -4)
2. Los puntos A(5, 4), B(-2, -2) y C(1, -6),
originan un triángulo ABC. Hallar el
perímetro del triángulo ABC.
10
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Ejercicios 01
3. La distancia del punto P(x, x+2) al punto
Q(5, 8) es de 5 unidades, hallar el valor de
“x”.
3. Determinar la naturaleza del triángulo cuyos
vértices son los puntos A(0, 4); B(-2, 0) y
C(2, 0).
11
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Ejercicios 02
1) Hallar los puntos medios de los lados del triángulo
ABC, sabiendo que A(-3, -5), B(1, 7) y C(6, -4).
2) Hallar la longitud de la mediana relativa al lado AB
del triángulo del ejercicio 1).
12
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Ejercicios 02
1) Los extremos de un segmento son los puntos A(6,-8) y B(2, 12). Hallar las coordenadas de los
puntos P, Q y R que dividen al segmento AB en
cuatro partes iguales.
2) Hallar el punto medio del cuadrado cuyos vértices
son A(-2, 2), B(2, 2), C(2, -2) y D(-2, -2)
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LA RECTA: Definición
Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión
continua
e
infinita
de
puntos
alineados
en
una
misma
dirección;
analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de
primer grado con dos variables, x e y.
Ejemplos:
1.
14
5x + 6y + 8 = 0
2.
y = 4x + 7
3.
6x + 4y = 7
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TIPOS DE PENDIENTE
y
y
m>0
m<0
x
y
y
m=0
NO existe m
(Indefinida)
x
15
x
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x
Ejemplo:
1. La pendiente entre los puntos
x 1 y1
x2 y2
(8, 5) y (8, 10) es:
m=
10 – 5
8–8

m=
5
0
Como el denominador es cero, la
pendiente NO existe.
Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y
es de la forma: x = 8, la recta NO es función.
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ECUACIONES DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL: Ax+By+C=0
DADO UN PUNTO DE LA RECTA Y SU PENDIENTE
Si la recta L contiene al punto R(𝑥1 , 𝑦1 ) y su pendiente es m,
entonces la ecuación de L está dada por: y- 𝑦1 =m(x- 𝑥1 )
DADOS DOS PUNTOS DE LA RECTA
Si la recta L contiene a los puntos R(𝑥1 , 𝑦1 ) y Q(𝑥2 , 𝑦2 ), entonces la
𝑦 −𝑦
ecuación de L está dada por: y- 𝑦1 = 2 1 (x- 𝑥1 )
𝑥2 −𝑥1
LOS PUNTOS DE LA RECTA SON LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES
Si la recta L contiene a los puntos R(a, 0) y Q(0, b), entonces la
𝑏
ecuación de L está dada por: y-b = (x), esto es, y=mx+b; a dicha
−𝑎
𝑥 𝑦
ecuación se denomina forma simplificada y a la ecuación + = 1
𝑎 𝑏
se denomina forma simétrica de la recta L, a es la abscisa al origen
y b es la ordenada al origen.
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LA PENDIENTE DE UNA RECTA
DEFINICIÓN 1. Si R(𝑥1 , 𝑦1 ) y Q(𝑥2 , 𝑦2 ) son dos puntos de la recta L,
𝑦2 −𝑦1
entonces la pendiente de L está dada por
m=
𝑥2 −𝑥1
DEFINICIÓN 2. Pendiente de un segmento o de una recta es la
tangente trigonométrica de su inclinación. Se denomina también
coeficiente angular.
EJERCICIOS
𝒀
𝑸(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
a) R(5, 1) y Q(-4, 2)
𝑷(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
𝜶
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
b) R(3, -4) y Q(-2, 1)
𝑿
𝒚 −𝒚
Tan 𝜶 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 = 𝑚
𝟐
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𝟏
Ecuación General de la Recta
Es de la forma: Ax + By + C = 0, con A, B y C reales.
Ejemplos:
1.
5x + 6y + 8 = 0
2.
2x - 4y + 7 = 0
3.
-x + 12y - 9 = 0
Observación: m=
19
−𝐴
𝐵
b=
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−𝐶
𝐵
Ecuación Principal de la recta
Es de la forma:
y = mx + b
m : pendiente
b : ordenada
El coeficiente de posición (b), es la ordenada del punto
donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de
coordenadas (0,b).
Ejemplo:
1) y= 2x -3
2) y= 3x – 4
2
20
m=2
n=-3
y=3 x – 2
2
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m=
3
2
n=2
Ejemplos:
1. Dada la gráfica de la recta, encontrar su ecuación principal.
m=
5–3  m= 2 2
=
1
1– 0
b=3
-2 -1
-1
-2
Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de
posición (b) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al
eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.
21
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La ecuación a partir del gráfico:
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta
y
6
x
-5
1° Debemos encontrar el punto de corte con el eje “y”, es decir, y=-5=b
𝑦
2° Determinar la pendiente: m=
, es decir,
−𝑥
5
6
3° Utilizando la forma principal: y = mx + n, obtenemos:
y  56 x  5
5x – 6y – 30=0
22

1
y
x
*30
6
5
OBS: Ambas ecuaciones representan la misma recta.
4° También se puede usar la forma de segmentos:
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EJERCICIOS 03
1. Obtenga la ecuación cartesiana general de la recta que pasa por
el punto R y cuya pendiente es m.
a) R(2, 5) y m = 2
b) R(3, -4) y m = -1
2. Obtenga la ecuación general de la recta que pasa por los puntos R
y Q.
a) R(1, 5) y Q(3, 2)
b) R(-3, -6) y Q(4, 9)
3. Determine la ecuación principal de la recta cuya pendiente es m
y la ordenada en el origen es b.
a) m=4; b=-7
b) m = -1; b= 5;
c) 𝑚 = 5, b= 4
23
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EJERCICIOS 03
4. Calcule la pendiente y ordenada al origen de la recta cuya
ecuación se da.
a) 4x-3y-12=0
b) -2x-5y-15=0
5. Obtenga la ecuación general de la recta cuya abscisa y ordenada
al origen se dan.
a) x=2 y y=3
b) x= -1, y= 3
6. Calcule la abscisa y la ordenada al origen de la recta cuya
ecuación general se menciona.
a) 3x+4y-12=0
b) 2x-3y-6=0
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PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE RECTAS
RECTAS PARALELAS
𝑳𝟐
𝑳𝟏
Definición: Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 cuyas ecuaciones cartesianas
generales son 𝐴1 x+𝐵1 y+𝐶1 = 0 y 𝐴2 x+𝐵2 y+𝐶2 = 0 respectivamente
𝐴1
𝐴2
son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir, - = 𝐵1
25
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𝐵2
Posiciones de dos rectas en el plano:
Rectas paralelas:
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual
pendiente y distinta ordenada.
Ejemplo:
L1: y = 5x +3
(m = 5)
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y
L2: y = 5x - 10
(m = 5)
RECTAS ORTOGONALES O PERPENDICULARES
𝑳𝟐
𝑳𝟏
Definición 2. Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 cuyas ecuaciones cartesianas
generales son 𝐴1 x+𝐵1 y+𝐶1 = 0 y 𝐴2 x+𝐵2 y+𝐶2 = 0 respectivamente
son perpendiculares si 𝑚𝐿1 . 𝑚𝐿2 = -1; 𝑚𝐿1 y 𝑚𝐿2 son las
pendientes de 𝐿1 y 𝐿2 respectivamente.
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Rectas perpendiculares:
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto
de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo: L1: y = -5x +3
2
y
L2: y = 2x - 10
5
(m = -5 )
2
(m = 2 )
5
28
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EJERCICIOS 04
1. Diga si las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son perpendiculares o paralelas
29
a) 𝐿1 : 2x-3y+7=0;
𝐿2 : 4x-6y-15=0
b) 𝐿1 : 4x+5y-9=0;
𝐿2 : 10x-8y+17=0
c) 𝐿1 : 4x+4=0;
𝐿2 : 10x-8y+17=0
d) 𝐿1 : -x+y-1=0;
𝐿2 : 2y+4=0
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RECTAS COINCIDENTES, OBLICUAS, HORIZONTALES Y
VERTICALES
RECTAS COINCIDENTES. Las rectas 𝐿1 : 𝐴1 x+𝐵1 y+𝐶1 = 0 y 𝐿2 :
𝐴1 𝐵1 𝐶1
𝐴2 x+𝐵2 y+𝐶2 = 0 son coincidentes si = =
𝐴2
𝐵2
𝐶2
RECTAS OBLICUAS. Las rectas 𝐿1 : 𝐴1 x+ 𝐵1 y+ 𝐶1 = 0 y 𝐿2 :
𝐴
𝐵
𝐴2 x+𝐵2 y+𝐶2 = 0 son oblicuas si 1 ≠ 1
𝐴2
𝐵2
RECTA HORIZONTAL Una recta L es horizontal si su ecuación es de
la forma: y = K
RECTA VERTICAL Una recta L es vertical si su ecuación es de la
forma: x = K
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Revisar los siguientes ejercicios
31
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Ejemplo:
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto
𝑃(−3; 4) y tiene una inclinación de 45° grados.
Solución:
La pendiente de la recta será 𝑚 = 𝑇𝑔 45° = 1 y por tanto su forma punto
pendiente es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Reemplazando el punto se tiene:
𝑦 + 4 = 1(𝑥 − 3)
Luego su forma explícita se obtiene desarrollando la forma anterior:
𝑦 =𝑥−7
32
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Ejemplo:
Calcular la ecuación de la recta 𝓛, paralela a la recta
𝓛1 : 𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 y que pasa por el punto 𝐴 = (2; 5).
Solución:
𝓛//𝓛1 ⇔ 𝑚𝓛 = 𝑚𝓛1
Además: 𝑚𝓛 =
−1
3
Usando la ecuación punto pendiente de la recta queda:
1
𝓛: 𝑦 − 5 = − (𝑥 − 2)
3
⇔ 𝓛: 𝑥 + 3𝑦 − 17 = 0
33
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Ejemplo:
Calcular la ecuación de la recta 𝓛, perpendicular a la
recta 𝓛1 : 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 y que pasa por el punto 𝐴 =
(3,5).
Solución:
1
La pendiente de 𝓛1 es 𝑚𝓛1 = − 2
𝓛 ⊥ 𝓛1 ⇔ 𝑚𝓛 . 𝑚𝓛1 = −1
por lo tanto la pendiente de 𝓛 debe ser: 𝑚𝓛 = 2.
La ecuación punto pendiente 𝓛 de es:
𝑦 − 5 = 2 (𝑥 − 3)
⇒ 𝓛: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
34
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Ejemplo:
Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos
𝑃 2; 1 y 𝑄(3; 4)
Solución:
Primero calcularemos la pendiente:
𝑚𝑃𝑄
4−1
𝑦2 − 𝑦1
=
=
3−2
𝑥2 − 𝑥1
𝑚𝑃𝑄 = 3
Calculamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − 4 = 3(𝑥 − 3)
𝑦 − 4 = 3𝑥 − 9
35
⇒ 𝓛: 3𝑥 − 5
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Ejemplo:
La recta 3𝑥 + 𝑛𝑦 − 7 = 0 pasa por el punto 𝐴(3, 2) y es
paralela a la recta 𝑚𝑥 + 2𝑦 − 13 = 0. Calcular 𝑚 y 𝑛.
Solución:
Se sabe que la recta 3𝑥 + 𝑛𝑦 − 7 = 0
pasa por el punto 𝐴(3, 2)
3 3 +𝑛 2 −7=0
2𝑛 = −2
𝑚 = −6
Calcularemos las pendientes:
36
−3 −𝑚
=
𝑛
2
−3 2 = −𝑚(−1)
𝑛 = −1
−3
𝑚1 =
𝑛
Como las rectas son paralelas:
−𝑚
𝑚2 =
2
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Los valores buscados son:
𝑛 = −1 𝑚 = −6
Ejemplo:
Dadas las rectas 𝐿1 : 3𝑥 − 2𝑎𝑦 + 4𝑐 − 8 = 0, 𝐿2 : 𝑎 − 2 𝑥 +
2𝑦 − 7 = 0, 𝐿3 : 4𝑥 − 7𝑦 + 1 = 0. Hallar la ecuación de 𝐿 que
es perpendicular a 𝐿3 . Se sabe que 𝐿 pasa por 𝐸(𝑎, 𝑐), que 𝐿1
pasa por el origen y que 𝐿2 es horizontal.
Solución:
Se sabe que 𝐿 ⊥ 𝐿3 ⇒ 𝑚𝐿 . 𝑚3 = −1
𝐿3 : 4𝑥 − 7𝑦 + 1 = 0
4
⇒ 𝑚3 =
7
−7
∴ 𝑚𝐿 =
4
Como 𝐿 pasa por 𝐸(𝑎, 𝑐), hallaremos este punto:
Como 𝐿1 pasa por (0,0):
𝐿1 : 3𝑥 − 2𝑎𝑦 + 4𝑐 − 8 = 0
3 0 − 2𝑎 0 + 4𝑐 − 8 = 0
37
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⇒𝑐=0
• Como 𝐿2 es horizontal , su ecuación es: 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒
𝐿2 : 𝑎 − 2 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
0
𝑎−2=0
⇒𝑎=2
∴ 𝐸 𝑎, 𝑐 = 𝐸(2,2)
7
Ecuación de 𝐿: 𝑦 − 2 = − 4 𝑥 − 2
4𝑦 − 8 = −7𝑥 + 14
⇒ 𝐿: 7𝑥 + 4𝑦 − 22 = 0
38
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39
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EJERCICIOS 05
Diga si las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son coincidentes, oblicuas, horizontales o
verticales
a) 𝐿1 : 2x-3y+7=0; 𝐿2 : 4x-6y+14=0
b) 𝐿1 : x+5y-3=0; 𝐿2 : 2x-3y-5=0
c) 𝐿1 : 2y-4=0; 𝐿2 : -3y+12=0
d) 𝐿1 : -x-1=0; 𝐿2 : 2x-8=0
40
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Ejercicio 06:
Encuentre la pendiente y la ordenada de las siguientes rectas.
a) y  3x  1
2
b) y  x  1
5
c) 3x  y  8  0
d) 2x  y  4  0
e) 7x  2 y  14  0
f ) 9x  3 y  12  0
41
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Ejercicio 07:
Encontrar la pendiente dado los siguientes puntos.
1) A(3,-2) y B(2,4)
2) C(5,5) y D(3,2)
3) E(1,2) y F(3,4)
4) G(0,5) y H(5,0)
5) I(4/5,6/5) y J(3/2,5/2)
6) K(3,3) y L(-3,-3)
7) M(5,6) y N(3,7)
42
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Ejercicio 08:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos y
pendientes dadas:
1. A(2,3) ; m = 3
2. B(5,-1) ; m= -4
3. C(½, ½) ; m = 2
4. D(1,-1) ; m= -5
5. F(-2,3); m= 0
43
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Ejercicio 09: Encontrar la ecuación de la recta dado dos
puntos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
44
A(7,8) y B(-3,6)
C(2,2) y D(4,6)
E(1,-4) y F(4,-1)
G(-1,2) y H(-2,-1)
A(-2,1) y B(2,-2)
A(2,3) y B(-1,3)
C(3,4) y D(-2,5)
F(0,0) y E(1,1)
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Referencias
1. Arya, J. Matemáticas aplicadas a la administración,
economía, economía, ciencias biológicas y sociales (3ª ed.).
México: Prentice Hall. 1992 Código: 519/A78M.
2. Espinoza, E. Matemática Básica. Lima. 2002 Código:
510/E88M.
3. Haeussler, E. y Paúl R. Matemática para administración y
economía (10ª ed.). México: Pearson Educación. 2003
Código: 519/H14.
4. Sullivan, M. Precálculo (4ª ed.). México: Pearson Educación.
1997 Código: 515/S91.
45
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