Semana 03 Departamento de Formación Básica 3. FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS 3.1 Flujo Eléctrico Considere un campo eléctrico que es uniforme tanto en magnitud como en dirección, similar al que se muestra en la figura a). Las líneas de campo penetran en una superficie rectangular de área A, cuyo plano tiene una orientación perpendicular al campo. Tomando en cuenta que el número de líneas por unidad de área (la densidad de líneas) es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. Por lo tanto, el total de líneas que penetran en la superficie es proporcional al producto EA. a) b) A este producto de la magnitud del campo eléctrico E y al área superficial A, perpendicular al campo, se le conoce como flujo eléctrico Φ𝐸 (phi) Φ𝐸 = 𝐸𝐴 Sus unidades en el sistema internacional (N. m2/C). El flujo eléctrico es proporcional al número de las líneas de campo eléctrico que penetran en una superficie. Si la superficie en cuestión no es perpendicular al campo, como se muestra en la figura b), el flujo eléctrico que pasa a través de A es Φ𝐸 = 𝐸𝐴⊥ = 𝐸𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 la normal en relación con la superficie A forma un ángulo 𝜃 con el campo eléctrico uniforme. Observe que el número de líneas que atraviesan el área A es igual al número que atraviesa el área A⊥, la cual es una proyección del área A a un plano con orientación perpendicular al campo. 𝐴⊥ = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 A partir de este resultado, se observa que el flujo que atraviesa una superficie de área A fija tiene un valor máximo EA cuando la superficie es perpendicular al campo (cuando la normal de la superficie es paralela al campo, 𝜃 = 0° en la figura 24.2); el flujo es cero si la superficie es paralela al campo (cuando la normal de la superficie es perpendicular al campo, 𝜃 = 90° 1 Semana 03 Departamento de Formación Básica El flujo eléctrico o flujo del campo eléctrico (ΦE) es una magnitud escalar que representa el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. DEFINICIÓN 1: Flujo eléctrico: El flujo eléctrico o flujo del campo eléctrico (ΦE) es una magnitud escalar que representa el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. 𝚽𝑬 = 𝑬𝑨⊥ = 𝑬𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜽 3.2 LEY DE GAUSS a) b) Suponga de nuevo una carga puntual positiva q ubicada en el centro de una esfera de radio r, como se observa en la figura a). Se sabe que la magnitud del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de la esfera es 𝐸= 𝑘𝑒 𝑞 𝑟2 Note que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie esférica en todos los puntos sobre la superficie. Entonces el flujo eléctrico a través de la superficie es EA, donde A = 4𝜋𝑟 2 es la superficie del área de la esfera. Por lo tanto, el flujo neto a través de la superficie gaussiana es Φ𝐸 = 𝑘𝑒 𝑞 (4𝜋𝑟 2 ) = 4𝜋𝑘𝑒 𝑞 𝑟2 Si se considera que 𝑘𝑒 = 1/4𝜋𝜖0 se puede escribir esta ecuación de la forma Φ𝐸 = 𝑞 𝜖0 Donde 𝜖0 es la permitividad del vacío cuyo valor es 8.85x10 -12 C2/N.m2. 2 Semana 03 Departamento de Formación Básica Ahora considere varias superficies cerradas que rodean una carga q, como se muestra en la figura b). La superficie S1 es esférica pero las superficies S2 y S3 no lo son. El flujo es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que atraviesan dicha superficie. La figura muestra que el número de líneas a través de S1 es el mismo número de líneas que pasan a través de las superficies no esféricas S2 y S3. Por lo tanto, el flujo neto a 𝒒 través de cualquier superficie cerrada que rodea a una carga puntual 𝒒 tiene un valor de ⁄𝝐𝟎 y es independiente de la forma de la superficie. 𝐸𝐴 = Φ𝐸 = 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜖0 Ahora considere una carga puntual localizada en el exterior de una superficie cerrada con forma arbitraria, como se observa en la figura c). Cualquier línea de campo eléctrico que entre en la superficie saldrá de la misma en algún otro punto. El número de líneas de campo eléctrico que entran en la superficie es igual al número de líneas que salen. Por lo tanto, el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada que no rodea a ninguna carga es igual a cero. C) DEFINICIÓN 2: Ley de Gauss: El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga dentro de la superficie, 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 , dividido para la permitividad en el vacío, 𝜖0 : Φ𝐸 = 3.2 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜖0 DENSIDAD DE CARGA Para determinar el campo eléctrico debido a objetos cargados que tienen distintas formas es conveniente utilizar el concepto de densidad de carga: • Si una carga Q tiene una distribución uniforme en un volumen V, la densidad de carga volumétrica 𝜌 se define como 3 Semana 03 Departamento de Formación Básica 𝜌= 𝑄 𝑉 donde 𝜌 está en coulomb por metro cúbico (C/m3) • Si una carga Q tiene una distribución uniforme sobre una superficie de área A, la densidad de carga superficial 𝜎 (griega minúscula sigma) se define como 𝜎= 𝑄 𝐴 donde 𝜎 está en coulombs por metro cuadrado (C/m2 ) • Si una carga Q tiene una distribución uniforme a lo largo de una línea de longitud l, la densidad de carga lineal 𝜆 se define como 𝑄 𝜆= 𝑙 donde 𝜆 está en coulombs por metro (C/m) 3.4 APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS A VARIAS DISTRIBUCIONES DE CARGA La ley de Gauss es útil para determinar campos eléctricos cuando la distribución de carga está caracterizada por un alto grado de simetría. EJEMPLO 1: Campo eléctrico de un cascarón esférico cargado Un cascarón esférico de radio interno a y de radio externo b lleva una carga total +Q distribuida en la superficie del cascarón conductor. SI la carga de Q es positiva. (a) encontrar el campo eléctrico en el interior del caparazón conductor, r< a, y (b) el campo eléctrico fuera del caparazón, para r > b. (c) Si se adiciona una carga -2Q en el centro, encontrar el campo eléctrico para r > b. (d) cuál es la distribución de la carga para el literal (c). Utilice la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico cuando la simetría es esférica Solución: a) Encontrar el campo eléctrico para un r< a. 4 Semana 03 Departamento de Formación Básica Al trazar una superficie gaussiana en un r < a, como la figura b, se aplica la ley de Gauss considerando que no hay ninguna carga dentro: 𝐸𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 =0 𝜖0 𝐸=0 b) Encontrar el campo eléctrico para un r > b Al trazar una superficie gaussiana en un r > b, como la figura c, se aplica la ley de Gauss 𝐸𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = 𝐸= 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑄 = 𝜖0 𝜖0 𝑄 𝜖0 4𝜋𝑟 2 El campo eléctrico debido a una esfera con carga uniforme en la región externa a la esfera es equivalente a una carga puntual ubicada en el centro de la esfera c) Al adicionar una carga -2Q en el centro de la esfera. Encontrar el nuevo campo eléctrico para r > b Aplicando la ley de Gauss al incluir la nueva carga tenemos 𝐸𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 +𝑄 − 2𝑄 = 𝜖0 𝜖0 𝐸=− 𝑄 𝜖0 4𝜋𝑟 2 d) Para encontrar la distribución de la carga del literal c) Encuentre la carga en la superficie interna del cascarón observando que el campo eléctrico en el conductor es cero 𝑄𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 + 𝑄𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 0 𝑄𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = −𝑄𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = +2𝑄 Encuentre la carga en la superficie externa, tomando en cuenta que la suma de la carga interna y externa del cascarón debe ser +Q 𝑄𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑄𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑄 𝑄𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = −𝑄𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑄 = −𝑄 EJEMPLO 2: Plano de carga 5 Semana 03 Departamento de Formación Básica Encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito de carga positiva con densidad de carga superficial uniforme 𝜎 Solución: Una superficie gaussiana que refleja la simetría es un pequeño cilindro cuyo eje es perpendicular al plano y cada uno de sus extremos tiene un área 𝐴𝑜 y son equidistantes del plano. El campo eléctrico que está distribuido arriba y abajo del plano de carga uniforme aplicando se encuentra aplicando la ley de Gauss. 𝐸𝐴 = 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜖0 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝜎𝐴𝑜 Reemplazando, despejando y considerando que el flujo eléctrico total estaría tanto arriba como debajo de la superficie, el 𝐴 = 2𝐴𝑜 , por lo que el campo eléctrico sería: 𝐸= 𝜎𝐴𝑜 𝜎 = (2𝐴𝑜 )𝜖0 2𝜖0 EJEMPLO 3: Distribución de carga con simetría cilíndrica Encuentre el campo eléctrico a una distancia r desde una línea de carga positiva de longitud infinita y carga constante por unidad de longitud 𝜆 6 Semana 03 Departamento de Formación Básica Solución: La línea de carga es infinitamente larga. Por consiguiente, el campo es el mismo en todos los puntos equidistantes de la línea. Ya que la carga está distribuida uniformemente a lo largo de la línea, la distribución de carga tiene simetría cilíndrica y se puede aplicar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico. Para reflejar la simetría de la distribución de carga, elija una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud l, que sea coaxial con la línea de carga. E es constante en magnitud y perpendicular a la superficie en cada punto, por lo que aplicando la ley de Gauss tenemos: 𝐸𝐴 = 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜆 𝑙 = 𝜖0 𝜖0 Como el área de la superficie es 𝐴 = 2𝜋𝑟𝑙 𝐸(2𝜋𝑟𝑙) = 𝜆𝑙 𝜖0 Despejando el campo eléctrico y considerando que 𝑘𝑒 = 1/4𝜋𝜖0 𝐸= 𝜆𝑙 𝜆 = 2𝑘𝑒 (2𝜋𝑟𝑙)𝜖0 𝑟 7
