Actividad 4.2 Distribución normal. a) Escribe la definición y un ejemplo relacionado con la distribución normal en el campo de la ingeniería. La distribución normal adapta una variable aleatoria a una función que depende de la media y la desviación típica. Es decir, la función y la variable aleatoria tendrán la misma representación pero con ligeras diferencias. En ingeniería, la distribución normal se usa para conocer la probabilidad de encontrar el valor de una variable igual o menor que cierto valor, para conocer la media, la desviación estándar y la varianza de un conjunto de datos, y para sustituirlos en el función que describe el modelo. Ejemplo de una distribución normal La estatura de todos los adultos masculinos que residen en el estado de Pennsylvania siguen aproximadamente una distribución normal. Por lo tanto, la estatura de la mayoría de los hombres estará cerca de la estatura media de 69 pulgadas. Un número similar de hombres serán un poco más altos y un poco más bajos que 69 pulgadas. Solo unos pocos serán mucho más altos o mucho más bajos. La desviación estándar es de 2.5 pulgadas. Aproximadamente, el 68% de los hombres de Pennsylvania tiene una estatura de entre 66.5 y 71.5 pulgadas. Aproximadamente, el 95% de los hombres de Pennsylvania tiene una estatura de entre 64 y 74 pulgadas. Tabla de la distribución normal. La tabla de distribución normal representa el valor de probabilidad de una variable estándar Z, la media es igual a 0 y la varianza es igual a 1. Para usar esta tabla, siempre debemos estandarizar las variables a través de expresiones: 𝑍= 𝑥−𝜇 𝜎 Supongamos un conjunto de personas con edad promedio 25 años y desviación estándar 3,86. Nuestro valor de interés (x) es 30 años. El valor de Z correspondiente será: 𝑍= 30 − 25 = 1.29 3,86 Este valor de Z nos dice que la edad de 30 años está a 1,29 desviaciones estándar sobre el promedio. Ahora bien, la tabla de la distribución normal, entrega valores de probabilidad para los distintos valores de Z: Tabla de distribución normal. Ejercicios Shaver Manufacturing Inc., ofrece a sus empleados seguros de atención dental. Un estudio reciente realizado por el director de recursos humanos demuestra que el costo anual por empleado tuvo una distribución de probabilidad normal, con una media de %1280 y una desviación estándar de $420 anuales. 𝜇 = 1280 𝜎 = 420 x = costos de los gastos dentales a) ¿Qué porcentaje de empleados generó más de $1500 anuales de gastos dentales? 𝑃(𝑥 > 1500) = 1 − 𝑃 (𝑥 ≤ 1500) 𝑍= 𝑥−𝜇 𝜎 = 1500−1280 420 = 0.5238 Buscamos en la tabla de niveles de confianza =0.3015 = 30.15% b) ¿Qué porcentaje de empleados generó entre $1500 y $2000? 𝑃(1500 < 𝑋 < 2000) = 𝑃(𝑋 < 2000) − 𝑃(𝑋 < 1500) 𝑍= 𝑥−𝜇 𝜎 𝑍= 1500 − 1280 = 0.5238 420 𝑍= 2000 − 1280 = 1.714 420 =0.9564= 95.64% = 𝑃(𝑧 < 1.71) − 𝑃(𝑧 < 0.52) = 0.9564 − 0.6985 = 0.2579 = 0.2579 = 25.79% El 25.79% de los empleados generó entre $1500 y $2000 d) Escribe una conclusión sobre lo aprendido.
