PRÁCTICA 6 FUNCIONES (1)

PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle
el
complemento
de
de
Df
la
función
descrita
por
f  {( x, y)  R / y  3x  9x  11x, y  5} .
2
3
2
2. Halle el dominio y el rango de las siguientes funciones y graficar.
3
6
f  {( x , y)  R 2 / y  2 x 2  4 x  1,

}
x2 x5
2
g  {( x , y)  R 2 / y  2 x 2  2 x  2, x  2  2 x  2  3  0}
h  {( x , y)  R 2 / y  x  x }
p  {( x , y)  R / y 
2
x2  x  2
x2  x  2
}
q  {( x , y)  R 2 / f ( x )  2 x  1  x}
3. Una comunidad campesina, cuya población en el año de 2000 ha sido de 400 personas,
tiene una tasa de mortalidad, debido a la mala alimentación, falta de atención médica
y otros problemas que actualmente la aquejan, en un índice calculado en (1  t ) 2 ,
personas en t años. Expresar la población en función de los años transcurridos. ¿Cuál
es la población en 2003?, ¿Qué sucede con la población si no se mejora el nivel de
vida?
4. Si cae una roca al suelo desde una altura de 20 metros, su altura H (en metros) después
de t segundos será aproximadamente H(t )  20  4.9t 2 .
a) ¿Cuál será la altura de caída de la roca para t = 1,5 segundos?
b) ¿Cuándo la roca golpea al suelo?
5. Un fabricante puede producir calzado a un costo de $ 20 cada par. Calcula que, si se
fija un precio de x dólares por par, podrá vender 120 – x pares de calzado al mes.
a) Expresar la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual
vende cada par de calzados.
b) Si se conoce la cantidad de dólares obtenidos como utilidad de un mes, por la
venta de calzados. ¿Es posible determinar el precio de venta de ese mes?
c) ¿Cuál es la utilidad mensual máxima que puede obtener el fabricante por la venta
de los calzados?
6. Se supone que el costo total en dólares de fabricar q unidades de cierto articulo está
dado por la función C (q )  q 3  30q 2  400q  500 .
a) Calcule el costo de fabricar 20 unidades.
b) Calcule el costo de fabricar la vigésima unidad.
7. Sean
f ( x)  x 2  4 , g ( x)  x  2 . Hallar el dominio y la regla de
correspondencia de la función h definida por:
f ( x  2)
h( x ) 
2 g ( x)  f ( x)
8. Se supone que el número de horas – trabajador necesarias para distribuir los nuevos
directorios a x% de viviendas en cierta comunidad rural está dada por la función
f ( x) 
600x
.
300  x
a) ¿Cuál es el dominio de la función f (x)?
b) ¿Para qué valores de x tiene f (x) una interpretación práctica en este contexto?
c) ¿Cuántas horas – trabajador se necesitaron para distribuir los nuevos directorios
telefónicos al primer 50% de las viviendas?
d) ¿Cuántas horas – trabajador se necesitaron para distribuir los nuevos directorios
telefónicos a toda la comunidad?
9. Hallar el dominio, el rango y la gráfica de las siguientes funciones:
a) f ( x)  x  x  2
b) f ( x ) 
c) f ( x) 
d ) f ( x) 
x2  2x  3
e) x 2 y  4 xy  3 y  6  0
g ) f ( x) 
4  x2
x2
x 3  7 x 2  14 x  8
x2  6x  8
4x2  9
2x  3
f ) xy  2 y  4  0
h) f ( x ) 
1
x 1

x2
 x  2, x  2
i) f(x)  
j) f(x) 
2
( x  2) 2

 x  2 x  3, x   1, 1
10. En los siguientes casos determinar:
a. Si f ( x)  2 x3  Ax2  4 x  5 y f (2)  5 . ¿Cuál es el valor de A?
3x  8
y f (0)  2 . ¿Cuál es el valor de A?
2x  A
xB
c. Si f ( x) 
, f (2)  0 , f (1) no está definida. Hallar los valores de A y B.
x A
b. Si f ( x) 
11. Si M   3, 4 , hallar f (M ) para f ( x)  x 4  5, x  R  D f
12. Sea f ( x)  x  5  x  5  4 , para x   2,  D f . Hallar f 1  , 2  .
2
13. Dada la función f ( x)  ax  b , x  R , donde a y b son constantes reales, si
f ( xy)  f ( x) f ( y ) , x, y  R , y si f (1)  1 , hallar a y b .
14. Dada la función f ( x)  ax  b , x  R , donde a y b son constantes reales, si
f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) , x, y  R , y si f (2)  6 , hallar a y b .
15. Si f es una función tal que f ( x  10)  f ( x)  f (10) , x  R , ¿Cuáles son
verdaderas?
a. f (0)  0
b. f (10)   f (10)
c. f (30)  3 f (10)
16. Sea f ( x)  x 2  1, x   1,    D f . Hallar los conjuntos f ( A) y f 1( M ) para:
a. A  1,3  M
b. A   2,10  M
c. A   ,5  M
17. Si f ( x  4)  x 2  3x , hallar f (a  1) .
18. Dadas las funciones f ( x) 
6 x
, g (x) =
x4

x  1 , x  0, 9  Dg . Hallar f / g.
19. Si f ( x  1)  3x 2  2 x  1 , g ( x)  4 x  10 . Hallar ( fog )( x  1) .
20. Sean f (x) = a x + 10, g (x) = 2 x – b, a  0, b  0. Si f o g = g o f, hallar b(a – 1).
1
t 1
21. Dada la función g de modo que g ( ) 
. Dar el dominio, rango y bosquejar la
t
t 1
gráfica de g (t).
 x , x0
22. Sean f ( x)  x  1 , x   1, 2 , g ( x)   2
. Hallar (f o g) y su gráfica.
 x 1 , x  0
2

, x3
  2x
 3x
23. Sean f ( x)  
, g ( x)  
3

 4x
  x 1 , x  2
, x2
, x4
. Hallar (f o g).
24. Halle las funciones h (x) y g (u) tales que f (x) = g (h (x)) h (x) y g (u)
a) f ( x)  3x  5 b) f ( x)  3 2  x 
x4
2 x
c) f ( x)  ( x  1) 2  2( x  1)  3
25. Una librería puede obtener un atlas de la editorial a un costo de $ 10 por ejemplar y
estima que, si vende el atlas a x dólares el ejemplar, se venderán aproximadamente
20(22 – x) copias cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta del
atlas como una función de precio, dibuje la gráfica de esta función y utilícela para
estimar el precio óptimo de venta.
26. Un ingeniero posee accesorios de placas de computadoras cuyo valor es $ 1500. Para
efectos tributarios, aquellos se deprecian linealmente hasta llegar a cero en un periodo
de 10 años; es decir, el valor de los accesorios decrece a una razón constante, de
manera que es igual a cero al cabo de 10 años. Exprese el valor de los accesorios como
una función de tiempo y dibuje la gráfica.
27. Cuando se venden licuadoras a p dólares la unidad, los fabricantes ofrecerán p 2 / 10
licuadoras a los minoristas locales, mientras que la demanda local será 60 – p
licuadoras. ¿A qué precio en el mercado será igual a la demanda de los consumidores,
la oferta de licuadoras de los fabricantes?, ¿Cuántas licuadoras se venderán a este
precio?
28. La demanda de consumo de un artículo determinado es D(p) = – 200p + 12,000
unidades por mes cuando el precio del mercado es p dólares por unidad.
a) Dibuje la gráfica de esta función demanda.
b) Exprese el gasto mensual total del consumidor en el artículo como una función de
p. Sug: (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero que los consumidores
invierten cada mes en el artículo).
c) Dibuje la gráfica de la función gasto total mensual.
d) Analice la interpretación económica de las intersecciones de la función gasto con
el eje p.
e) Utilice la gráfica de la parte c) para estimar el precio del mercado que genera el
mayor gasto del consumidor.
29. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, ¿cuál es la regla de
correspondencia de f?, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?
a) f(–2) = – f(2)
b) f(0) = f(0.5)
c) f(1) > f(3)
d) f es creciente en el intervalo [-2, 3].
e) f es decreciente en el intervalo [2, 3].

30. Hallar a, b para que la función f : 2, 8  a, b
biyectiva.
tal que f ( x)  x 2  4 x  7 sea
31. Hallar g(x) y g –1(x) si se sabe que: a) g (2 x  3)  4 x  5
1
, ( gof )( x)  2 x  3
b) f ( x) 
c) f ( x)  3x  2 , ( fog )( x)  2 x  4
1  4x
x
32. Dada la función f ( x) 
, hallar su función inversa, si existe.
x4