Ecuaciones Diferenciales 1.1 Definiciones y Terminología Introducción • La palabra diferencial y ecuaciones sin duda indican resolver alguna clase de ecuación que contiene derivadas. • De hecho, una de las tareas en este curso será resolver ecuaciones del tipo Introducción • Las ecuaciones diferenciales nos ayudarán a resolver problemas como: 1. ¿Qué tan rápido se disemina una enfermedad? 2. ¿Qué tan rápido cambia una población? La formulación matemática, o el modelo matemático, de experimentos, observaciones o teorías podría ser una ecuación diferencial. Aplicaciones • La ecuación diferencial se puede usar para estimar la edad de un fósil. Aplicaciones • La ecuación diferencial es un modelo de la rapidez con la que se enfría un objeto. Aplicaciones • La ecuación diferencial se puede utilizar para predecir el número de personas infectadas por un virus. Aplicaciones • La ecuación diferencial Puede ayudar a entender por qué falla un sistema físico. Definiciones • Definición 1.1 Se dice que una ecuación diferencial que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial (ED). Definiciones Para referirse a las ecuaciones diferenciales, se clasifican como: 1. Por tipo 2. Por orden 3. Por linealidad Clasificación por Tipo Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) Clasificación por Tipo Una ecuación con derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP) Notación de Leibniz Las derivadas ordinarias se escriben con la notación de Leibniz Pero se puede utilizar con el símbolo de prima (y´)para denotar sólo las tres primeras derivadas. Notación de Punto En ciencias físicas e ingenierías a veces se usa para denotar derivadas con respecto al tiempo t. Así que la ecuación se convierte en Notación de Subíndice Las derivadas parciales suelen denotarse mediante una notación de subíndice que indica las variables dependientes, por ejemplo la ecuación se convierte en Clasificación según el Orden El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor de la ecuación, por ejemplo es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Clasificación según el Orden En símbolos, la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden de una variable dependiente, se puede expresar mediante la forma general donde F es una función de valores reales de n+2 variables: Clasificación según la Linealidad Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y´,…, y(n). Esto significa que una EDO de orden n es lineal cuando Clasificación según la Linealidad Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que no es lineal. * * (1-y) el coeficiente depende de y Solución de una EDO • Definición 1.2 Cualquier función Φ, definida en un intervalo I, y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una entidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo. Solución Implícita de una EDO • Definición 1.3 Una relación G(x,y)= 0, es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo I, siempre que exista al menos una función Φ que satisface tanto la relación como la ecuación diferencial en I. Ecuaciones Diferenciales 1.3 Ecuaciones Diferenciales como modelos matemáticos Modelos Matémáticos Por lo común es deseable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real, ya sea físico, sociológico o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático. Dinámica Poblacional Mientras más gente haya en el tiempo t, más gente habrá en el futuro. En términos matemáticos, si P(t) denota la población en el tiempo t, entonces esta suposición se puede expresar como donde k es una constante de proporcionalidad. Desintegración Radiactiva Se supone que la rapidez dA/dt a la que se desintegran los núcleos de una sustancia es proporcional a la cantidad (con más precisión, el número de núcleos) A(t) de la sustancia restante en el tiempo t: Ley de Enfriamiento Si T(t) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo t, Tm la temperatura del medio circundante y dT/dt la rapidez a la cual cambia la temperatura del cuerpo y k es una constante de proporcionalidad Propagación de una enfermedad k es la constante de proporcionalidad. Suponga que una comunidad pequeña tiene una población fija de n personas. Si se introduce una persona infectada en esta comunidad, entonces se podría argumentar x(t) y y(t) se relacionan mediante x + y = n+1 Mezclas El mezclado de dos soluciones de diferente concentración da lugar a una ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de sal contenida en la mezcla. Mezclas Rentrada= concentración de sal en el flujo de entrada x rapidez de entrada de la sal Rsalida= concentración de sal en el flujo de salida x rapidez de salida de la sal Circuitos en serie Como la corriente i(t) se relaciona con la carga q(t) en el capacitor mediante i=dq/ dt, sumando los tres voltajes y al igualar la suma con el voltaje impreso se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden Caída Libre k es una constante positiva de proporcionalidad. Si s(t) es la distancia que el cuerpo cae en el tiempo t desde su punto inicial de liberación, entonces y=ds/ dt y a = dv/dt =d2s/dt2, es una ecuación diferencia de segundo orden
