TEMA 6.2 Ejercicios Vibraciones y ondas

CFPA Giner de los Ríos
Departamento Científico-Tecnológico
Vibraciones y Ondas
Las ecuaciones de un MAS son:
x  A cos wt   
v  Awsen wt   
v max  Aw
amax  Aw 2
a  Aw cos wt     w x
Donde x es la elongación, A es la amplitud o máxima elongación, w es la frecuencia
angular y  es la fase inicial o desfase.
La frecuencia angular w es el nº de veces que el ciclo completo se repite en 2π s. Se
mide en rad/s.
El período T es el tiempo comprendido en completarse un ciclo completo. Se mide en
s.
La frecuencia f es el nº de veces que el ciclo completo se repite en 1 s. Se mide en Hz.
2
1
Y están relacionados así: w  2f 
;f 
T
T
2
2
Ley de Hooke: F  kx
k
w 
m
Las energías potencial y cinética de un oscilador armónico son:
1
1
E p  kx 2 , Ec  k A2  x 2 
2
2
La energía mecánica total del sistema es constante y es:
1
E  E p  Ec  kA 2
2
1
CFPA Giner de los Ríos
Departamento Científico-Tecnológico
Ecuación de onda: y  x ,t   Asenk  x  vt 
2
Con k el número de onda k 
(en rad/m), λ la longitud de onda (en m) y v la

velocidad de propagación de la onda (en m/s).
El período T es el tiempo que transcurre entre dos estados de perturbación iguales. Se
mide en s. Y la frecuencia f su inverso. Se mide en Hz.

1 v
T  ;f  
v
T

w
La frecuencia angular w  2f , por lo que v 
y la función de onda queda
k
y  x ,t   Asen kx  wt  .
La ecuación de onda también se puede escribir : y  x ,t   A cos wt  kx 
1.- Un movimiento armónico simple (MAS) está descrito por la ecuación
 
x  0,5cos  t   . Indica el valor de la amplitud, la fase inicial y la elongación inicial.
2


(Sol: A = 0,5 m,   2 rad , x  0   0m )


2.- Una partícula oscila según un MAS x  0,05cos  24t   . Obtén:
4

a) La amplitud, la frecuencia angular y el desfase.
b) La posición de la partícula para t = 3 s.
c) La frecuencia y el período.
d) La posición de la partícula en el momento inicial.
(Sol: a) A = 0,05 m, w = 24 rad/s, φ = π/4 rad , b) -0,043m, c) f = 3,82 Hz, T = 0,26 s, d)
0,035 m)
3.- Calcula los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de un punto dotado
de un MAS de amplitud 20 cm y período 2 s.
(Sol: v = 0,63 m/s, a = 1,97 m/s2)
4.- La proa de un barco fondeado se mueve a consecuencia de las ola con un MAS de
manera que se desplaza 1,5 m arriba y abajo de la posición de equilibrio y completa
una oscilación cada 3 s. Establece la ecuación de su movimiento y calcula la velocidad y
aceleración máximas.
(Sol: x = 1,5cos((2π/3)t), |vmax | = 3,14 m/s, |amax | = 6,6 m/s2)
2
CFPA Giner de los Ríos
Departamento Científico-Tecnológico
5.- Un péndulo oscila con MAS de período T = 1 s entre dos puntos separados 20 cm.
Suponiendo que, para t = 0s , x = 0’1 m calcula: a) la ecuación del movimiento, b) la
velocidad del cuerpo en función del tiempo.
(Sol: a) x  0,1 cos 2t b) v  0, 63sen 2t )


6.- Un cuerpo vibra con MAS según la ecuación x  0,8cos  2t   . Calcula: a) el valor
2

de la elongación cuando t = π s¸ b) la velocidad cuando t = π/2 s, c) el período y la
frecuencia.
(Sol: a) 0 m, b) 1,6 m/s, c) T = 3,14 s, f = 0,32 Hz)
7.- Si la frecuencia de un movimiento armónico simple vale 100 Hz, ¿Cuánto vale la
aceleración para x = - 0’005 m?
(Sol: 1.974 m/s2)
8.- Un oscilador armónico constituido por un muelle de k = 2.000 N/m lleva asociada
una masa de 400 g. Se encuentra en reposo cuando recibe un impulso, de manera que
se separa 3 cm de la posición de equilibrio. Establece la ecuación de su movimiento.
(Sol: x = 0,03cos70,7t)
9.- Un cuerpo de 100 g que está colgado de un resorte de constante k = 15 N/m, oscila
con una amplitud de 4 cm. Calcula a) la aceleración del cuerpo cuando la posición de la
partícula es x = 2 cm, b) el valor máximo de la aceleración y la velocidad.
(Sol: a) a = -2,98 m/s2, b) |vmax | = 0,49 m/s, |amax | = 5,95 m/s2)
10.- Calcula la constante recuperadora de un resorte sabiendo que, si se cuelga un
cuerpo de 100 g del extremo libre del resorte y se le hace oscilar verticalmente, el
período vale 2 s.
(Sol: 0,99 N/m)
11.- De un muelle de masa despreciable cuelga un platillo de una balanza vacío. Con un
pequeño impulso el sistema oscila verticalmente con un período de 0,5 s. Si se añade
una masa de 12 g en el platillo, el sistema oscila con período de 0,56 s. Calcula la
constante elástica del muelle y la masa del platillo.
(Sol: 7,26 N/m, 0,046 kg)
12.- Un oscilador armónico está formado por un muelle de k = 14.000 N/m y una masa
de 5 kg. Calcula:
a) El trabajo necesario para comprimir el muelle 5 m.
b) La energía potencial que tendrá entonces el sistema.
c) La velocidad máxima que lleva en el punto central.
d) La energía mecánica en cualquier punto.
(Sol: a) 175.000 J, b) 175.000 J, c) 265 m/s, d) 175.000 J )
13.- Si la amplitud de un cuerpo que oscila con movimiento armónico simple es A, a)
¿en qué punto son iguales su energía cinética y su energía potencial, b) ¿en qué punto
su energía potencial es el doble que la cinética c) ¿en qué punto es su energía cinética
el doble que la potencial?
3
CFPA Giner de los Ríos
Departamento Científico-Tecnológico
(Sol: a)  0,7A m, b)  0,82A m, c)  0,58A m)
14.- Un cuerpo de 2 g de masa oscila horizontalmente y sin rozamiento con un MAS de
102/π de frecuencia y una aceleración en el extremo de su recorrido de 4 m/s2. Calcula:
a) la pulsación, b) la amplitud del movimiento, c) la velocidad de la partícula cuando la
elongación es de 0,1 mm.
(Sol: 200 rad/s, 0,0001 m, 0 m/s)
15.- La ecuación de posición de un oscilador armónico viene dada en centímetros por
la expresión x  4,2cos4 t . Determina: a) su amplitud, su frecuencia angular, su
período y su frecuencia. b) su fase inicial.
(Sol: a) 4,2 cm, 4л rad/s, 0,5 s, 2 Hz, b) 0 rad)
16.- Una partícula se mueve con movimiento armónico simple. En el instante inicial
está en reposo a una distancia de 5 cm. de su posición de equilibrio. El período es de 4
segundos. Escribe las ecuaciones que corresponden a la posición, la velocidad y la
aceleración.
(Sol: x  0,05cos

2
t , v  0,079 sen

2
t , a  0,123cos

2
t)
17.- Se hace vibrar una cuerda de 5 m con oscilaciones armónicas transversales
perpendiculares a la cuerda. Si f = 240 Hz, A = 15 cm y las ondas generadas tardan 0’5 s
en llegar al otro extremo de la cuerda, determina: a) la ecuación de la onda, b) la
longitud de la onda, c) el desplazamiento máximo transversal.
(Sol: a) y  0,15sen50  x  10t  , b) 0,04m, c) 0,30 m)
18.- Un foco produce una perturbación de frecuencia 100 Hz que se propaga a 1.000
ms-1 de izquierda a derecha con una amplitud de 5 cm. Determina el ecuación del
movimiento ondulatorio.
(Sol: y  0,05sen

5
 x  1000t  )
19.- Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación:
y  0,4cos 100t  0,5x  . Calcular: a) la velocidad de propagación de la onda, b) el
estado de vibración de una partícula situada a 20 cm del foco en el instante t = 0,5 s.
(Sol: a) 200 m/s, b) 0,37 m)
20.- Calcula las longitudes de onda de los ultrasonidos emitidos por los siguientes
animales: a) murciélago, f = 120.000 Hz (velocidad de las ondas sonoras en el aire: 340
m/s); b) ballena, f = 200.000 Hz (velocidad de las ondas sonoras en el agua: 1.400 m/s).
(Sol: a) 2,8·10-3 m, b) 7·10-3 m)
4