Universidad Tecnológica de Santa Catarina Funciones Matemáticas MTI. JOSÉ MANUEL CHÁVEZ GARCÍA Grupo: TIADSM04ADV Francisco Javier Rodríguez Mora Matricula: 18156 UNIDAD 2. GEOMETRÍA ANALÍTICA TEMA: LA RECTA EN EL SISTEMA CARTESIANO CONCEPTOS BÁSICOS Punto Es el elemento base de la geometría, ente fundamental, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también, como la intercesión de dos líneas. Sirve para indicar una posición y no tiene dimensión. ¿Qué es una recta? Es una sucesión ininterrumpida de puntos con una misma dirección, por lo tanto sólo tiene una dimensión. Dos puntos determinan una recta la recta es infinita, no posee ni principio ni fin. Distancia entre dos puntos Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Fórmula: Punto medio de un segmento Es un punto que está sobre el segmento y se ubica a la distancia igual de los puntos extremos. Fórmulas para las coordenadas del punto medio División de un segmento en una razón dada Dividir un segmento P1P2 en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento P1P2, de modo que las dos partes, PP1 y P P2, están en la relación r: Fórmula: con la condición de que r ≠ -1 Ejemplo: ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales? Distancia de un punto a una recta Al calcular la distancia de un punto P1 a una recta r, se determina la longitud del segmento perpendicular que une al punto P1 con la recta r. Ángulo entre dos rectas Puestas en el espacio (visualizadas en un Plano cartesiano), dos rectas pueden ser coincidentes (una sobre la otra, formando una sola), paralelas (sin formar ángulo alguno) o pueden cortarse entre sí. Pues bien, dos rectas que se cortan entre sí determinan cuatro ángulos (dos pares de iguales entre sí). Uno de los menores de dichos ángulos se define como el ángulo entre dos rectas. Y podemos obtener la medida de este ángulo tanto por sus pendientes como por sus vectores directores. Calcular ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes Para calcular el ángulo entre dos rectas (l1 y l2) se debe conocer el valor de la pendiente de cada una de dichas rectas (pendientes que se identifican como m1 y m2). Cuando tenemos las pendientes, usaremos la fórmula Ejemplo: Tenemos una recta AB (l1) cuya pendiente m1 = 1/2, que intercepta a otra recta CD (l2) cuya pendiente m2 = –1/3, encuentre el valor del ángulo que forman al cortarse. Como es una práctica de aprendizaje, veamos la siguiente figura: Como conocemos los valores de las pendientes, simplemente reemplazamos: 1/3 = 2 /6 1 – 1/6 6/6 -1/6 = 5/6 ½ = 3/6 2/6 + 3/6 = 5/6 =-1 Usando la calculadora, sacamos tangente inversa de -1 y resulta 45° Pendiente de una recta Y= 10x – 1 m= 10 y = 3x + 2 pendiente(m) = 3 y= -1/2x – 8 m= -1/2 La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Se denota con la letra m. Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas . Cálculo de la pendiente Pendiente dado el ángulo: Pendiente dado el vector director de la recta: Pendiente dados dos puntos: Pendiente dada la ecuación de la recta: TEMA: FORMAS DE LA ECUACION DE UNA RECTA Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo de inclinación, relación entre ellas, etc. Con ello ya tenemos elementos que nos servirán para la obtención de la ecuación en sus distintas formas. Recta: se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente. DIFERENTES ECUACIONES DE LA RECTA; Ecuación punto-pendiente de una línea recta. Ecuación de una línea recta conocida su pendiente y su ordenada al origen. Ecuación simétrica. Ecuación general u ordinaria. 1.- Ecuación Punto-Pendiente de una línea recta. Es importante saber que, podrías utilizar la ecuación de una línea recta conociendo las coordenadas de un punto por donde pasa y su pendiente. Sea “m” la pendiente de una recta Lı y un punto por donde paso. Así, su ecuación seria: 2.- Ecuación de una línea recta conocida su pendiente y su ordenada al origen. Dada una recta “L” cualquiera en un plano cartesiano y conocida su pendientes y su ordenada al origen, la ecuación que la representa es de la forma; Siendo “m” la pendiente de la recta y “b” la ordenada al origen (es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje “y”). A esta ecuación también se le conoce con el nombre de forma explícita de la ecuación de una recta. 3.- Ecuación simétrica. Otra forma de representar algebraicamente una recta es mediante su ecuación simétrica o canónica, la cual permite obtener de manera directa las coordenadas de la ordenada y la abscisa al origen. Sea “L” una recta en el plano cartesiano que no pasa por el origen y sean el punto de intersección de “L” con el eje “X” y el punto de intersección de “L” con el eje “Y”. La ecuación de la recta se representa así; 4.- Ecuación general u ordinaria de la recta. Es importante destacar que una recta se define algebraicamente como aquella ecuación de primer grado de dos variables que tienen la siguiente forma. Donde “A”, “B” y “C” son números reales (coeficientes), “X” y “Y” representan las coordenadas de cualquier punto que intercepta la recta. TEMA: CÓNICAS Las cónicas son las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la intersección de un cono con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el ángulo de inclinación del plano, que denotamos por ß, podemos encontrarnos con las siguientes figuras: una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor inclinación. CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano de forma perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación es 90º. Definición formal: Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. ELIPSE La elipse surge al realizar la intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo al eje, es decir, un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono. Por tanto el ángulo de inclinación oscilará entre: 0 y 90º. Definición formal: Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos, denominados focos F1 y F2, ésta es constante. Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripción son el centro O, el eje mayor AB, el eje menor CD, y la distancia focal, OF. La ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (0,0) es: PARÁBOLA La parábola se obtiene a partir de la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz. Por tanto el ángulo de inclinación coincide con el ángulo de conocidad. Tanto la parábola como la hipérbola son curvas abiertas cuyo trazo continúa hasta el infinito. Definición formal: Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo, conocido como foco, y de una recta, llamada directriz. Los elementos característicos de una parábola son: su eje o eje de simetría, el vértice (que corresponde con el máximo o mínimo de la parábola según sea su curvatura). HIPÉRBOLA La hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser más pequeño que el que forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso anterior, también es una curva abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal forma que tiene dos asíntotas. Definición formal: Denominamos hipérbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo, denominados focos, esta es constante y además, menor que la distancia entre los focos. Los elementos representativos de una hipérbola son: el centro, O; los vértices, así como la distancia entre los vértices y la distancia entre los focos. RESUMEN CONICAS PROYECTO DE UNIDAD I. Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios. 1. Encuentra la distancia entre los puntos A (8, -9) y B (-4, 7). R= 20 2. El punto (5, –1) es el punto medio del segmento de recta AB. Si las coordenadas del punto A son (3, –4), encuentra las coordenadas del punto B. R= B(7,2) 3. ¿Cuál es la distancia que hay del punto P (-2,3) a la recta 20x-21y-42=0? R= 143/29 4. Halla las pendientes de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos: a) (6, –4), (2, –3) R = -7/-4 b) (–3, 0), (1, 2) R= 2/4 5. Calcula el ángulo que forman las siguientes rectas: R = 74.931512 6. Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por A (5, 3) y B (-2,8) en la razón r = 3/4 R = (-14/3 , 4) 7. En cada uno de los ejercicios encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. • En la forma punto– pendiente. • En la forma pendiente–ordenada al origen. • En la forma general u ordinaria. a) A(–2, –5), B(4, 1) b) b) A(4, 7), B(6, 11) c) c) A(1, 1), B(4, 6) 8. Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y de radio igual a 5. 9. Determina la ecuación de la circunferencia en la forma general, con centro en (3,-4) y radio igual a 5. 10. Si la ecuación de una circunferencia es x2+y2-10x-2y-10 = 0, contesta lo siguiente: a) ¿cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia? b) ¿Cuál es el radio de la circunferencia? 11. En los siguientes ejercicios hallar: • La ecuación en la forma reducida de la parábola que se indica. • Las coordenadas del vértice. • Las coordenadas del foco. • La ecuación de la directriz. • La longitud del lado recto. a) y2 – 4y + 8x – 28 = 0 b) y2 + 8y + 6x + 16 = 0 𝒙𝟐 𝒚𝟐 12. Dada la ecuación de la elipse 𝟏𝟔𝟗 + 𝟐𝟓 = 𝟏 contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la elipse? b) ¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la elipse? 13. Para cada una de las siguientes elipses. Hallar: • La ecuación en la forma reducida. • Las coordenadas del centro. • Las coordenadas de los focos. • Las coordenadas de los vértices. a) 9x2 + 16y2 – 36x + 96y + 36 = 0 b) 25x2 + 9y2 – 50x + 36y – 164 = 0 14. A partir de la ecuación de la hipérbola: 9y2 – 16x2 – 54y + 64x – 127 = 0. Hallar: a) La ecuación en la forma reducida. b) Las coordenadas del centro. 𝒙𝟐 𝒚𝟐 15. Dada la ecuación de la hipérbola 𝟏𝟔 − 𝟗 = 𝟏, contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la hipérbola? b) ¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la hipérbola? UNIDAD 3. FUNCIONES TEMA: CONCEPTO DE FUNCIONES CONCEPTOS BÁSICOS Función Es una relación entre dos magnitudes, x y f(x), de manera que a cada valor de la primera magnitud le corresponde unúnico valor de la segunda, que se llama imagen. Las funciones se pueden representar: - Con fórmulas, por ejemplo: f(x) = 3x2– 1. - Con una tabla de valores - Con un gráfico Variable: es aquella que puede tomar diversos valores. Variable independiente: ésta variable no depende de ninguna otra variable. Se le pueden asignar valores sin tener en cuenta otras variables. Suele representarse por la letra x. Variable dependiente: es la que se deduce de la variable independiente. Se suele designar con la letra y, o como f(x): Se lee " f de x". Constante: a una magnitud que no cambia con el paso del tiempo. Tiene un valor fijo y determinado. Dominio: es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Rango: es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Función implícita: una función es implícita si viene dada de la forma f(x, y) = 0 , es decir, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a 0. Función explicita: Se dice que una función está expresada en forma explícita cuando en su ecuación la variable dependiente o función está despejada. Es decir, cuando adopta la forma: y = f(x) EJERCICIOS. Encuentre dominio y contradominio de las siguientes funciones. Y= 3x + 2 Y= 2x – 1 Y= 1/x Y= √× Y= x2
