Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ecuaciones Diferenciales Conceptos Básicos M.Sc. Ruth Idalia Oliva MM-411 M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO ¿Qué es una ecuación diferencial? M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ecuación Diferencial Definición: Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto de una o varias variables independientes. M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ecuación Diferencial Definición: Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto de una o varias variables independientes. Nota: En la función y = f (x) la variable independiente es x y la variable dependiente es y. En una derivada variable dependiente es y dy ⇒ dx variable independiente es x dx variable dependiente es x ⇒ dt variable independiente es t M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ejemplos de ED 1 d2 y dy =0 + dx2 dx M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ejemplos de ED 1 d2 y dy = 0 −→ notación de Leibniz + dx2 dx M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ejemplos de ED 1 2 d2 y dy = 0 −→ notación de Leibniz + dx2 dx y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ejemplos de ED 1 2 d2 y dy = 0 −→ notación de Leibniz + dx2 dx y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x −→ notación de primas M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ejemplos de ED 1 2 3 d2 y dy = 0 −→ notación de Leibniz + dx2 dx y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x −→ notación de primas dx = kx dt M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ejemplos de ED 1 2 3 4 d2 y dy = 0 −→ notación de Leibniz + dx2 dx y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x −→ notación de primas dx = kx dt dy dx + = 3x + y − e−2t dt dt M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ejemplos de ED 1 2 3 4 5 d2 y dy = 0 −→ notación de Leibniz + dx2 dx y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x −→ notación de primas dx = kx dt dy dx + = 3x + y − e−2t dt dt ∂2u ∂2u ∂u − 2 =− 2 ∂x ∂t ∂t M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Ejemplos de ED 1 2 3 4 5 6 d2 y dy = 0 −→ notación de Leibniz + dx2 dx y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x −→ notación de primas dx = kx dt dy dx + = 3x + y − e−2t dt dt ∂2u ∂2u ∂u − 2 =− 2 ∂x ∂t ∂t ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Clasificación En base a la definición anterior las ecuaciones diferenciales se clasifican según: M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Clasificación En base a la definición anterior las ecuaciones diferenciales se clasifican según: 1 Tipo M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Clasificación En base a la definición anterior las ecuaciones diferenciales se clasifican según: 1 Tipo 2 Orden M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Clasificación En base a la definición anterior las ecuaciones diferenciales se clasifican según: 1 Tipo 2 Orden 3 Linealidad M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Tipo 1 Si la ecuación contiene derivadas respecto de una sola variable independiente se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Tipo 1 Si la ecuación contiene derivadas respecto de una sola variable independiente se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). d2 x dx =0 y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x + dt2 dt M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Tipo 1 2 Si la ecuación contiene derivadas respecto de una sola variable independiente se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). d2 x dx =0 y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x + dt2 dt Si la ecuación contiene derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes se llama Ecuación Diferencial Parcial (EDP). M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Tipo 1 2 Si la ecuación contiene derivadas respecto de una sola variable independiente se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). d2 x dx =0 y (4) − 5xy 00 + y 0 = cos x + dt2 dt Si la ecuación contiene derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes se llama Ecuación Diferencial Parcial (EDP). ∂2u ∂2u ∂u − 2 =− 2 ∂x ∂t ∂t M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Orden El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Orden El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Ejemplo: Determinar el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales. 3 dy d2 x = 5 sin 3t = 7x5 − 8 dx dt2 M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Solución: 3 dy = 7x5 − 8 dx Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuación diferencial es la primera derivada. La ecuación diferencial: d2 x La ecuación diferencial: = 5 sin 3t dt2 Es de segundo orden dado que la derivada más alta que figura en la ecuación diferencial es la segunda derivada. M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Más ejemplos: Determinar el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales. 4 2 5 d2 y d y dy 1 − 5 =x−7 + dx4 dx2 dx M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Más ejemplos: Determinar el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales. 4 2 5 d2 y d y dy 1 − 5 =x−7 + dx4 dx2 dx 6 2 3 dy d y d2 y 2 + 3t = ln(t) + 2 dt dt dt2 M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Linealidad Una ecuación diferencial es lineal si cumple: 1 Su variable dependiente y todas sus derivadas son de grado uno. 2 Las derivadas están acompañadas solamente por funciones de la variable independiente. M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Linealidad Una ecuación diferencial es lineal si cumple: 1 Su variable dependiente y todas sus derivadas son de grado uno. Las derivadas están acompañadas solamente por funciones de la variable independiente. Ejemplo: 3 dy xy = 7x4 − 5 dx 2 M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Linealidad Una ecuación diferencial es lineal si cumple: 1 Su variable dependiente y todas sus derivadas son de grado uno. Las derivadas están acompañadas solamente por funciones de la variable independiente. Ejemplo: 3 dy xy = 7x4 − 5 dx 2 La ecuación diferencial no es lineal, dado que la derivada está elevada al cubo y está acompañada de la variable dependiente. M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Más ejemplos: Determinar el orden y si son o no lineales las siguientes ecuaciones diferenciales. 4 2 5 d y d2 y dy 1 =x−7 −5 2 + 4 dx dx dx M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Más ejemplos: Determinar el orden y si son o no lineales las siguientes ecuaciones diferenciales. 4 2 5 d y d2 y dy 1 =x−7 −5 2 + 4 dx dx dx dx 2 7x − 3x = t2 dt M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Más ejemplos: Determinar el orden y si son o no lineales las siguientes ecuaciones diferenciales. 4 2 5 d y d2 y dy 1 =x−7 −5 2 + 4 dx dx dx dx 2 7x − 3x = t2 dt d2 y 3 = sin y dt2 M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Solución de una EDO Definición: Se denomina una solución de la ecuación en el intervalo I a cualquier función φ definida en un intervalo I que tiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad. M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Solución de una EDO Definición: Se denomina una solución de la ecuación en el intervalo I a cualquier función φ definida en un intervalo I que tiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad. Ejemplo: Probar que la función y(x) = e3x es solución de la EDO y 00 − 9y = 0. M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales Definición y ejemplos Clasificación Solución de una EDO Solución de una EDO Definición: Se denomina una solución de la ecuación en el intervalo I a cualquier función φ definida en un intervalo I que tiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad. Ejemplo: Probar que la función y(x) = e3x es solución de la EDO y 00 − 9y = 0. Nota: Las soluciones de la ED se pueden expresar de forma explı́cita e implı́cita Explı́cita: La variable dependiente se puede despejar sólo en términos de la variable independiente. Implı́cita: No se despeja para ninguna de las variables. M.Sc. Ruth Idalia Oliva Ecuaciones Diferenciales
