MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 1.-INTEGRALES INMEDIATAS COMPUESTAS TIPOS: 1) POTENCIAL: ∫ 𝒇𝒏 . 𝒇′ 𝒅𝒙 = 𝒇𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ≠ −𝟏 𝒏+𝟏 2) LOGARÍTMICO: 𝒇′ ∫ 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒇 + 𝑪 𝒇 3) EXPONENCIAL: 𝒂𝒇 ∫ 𝒂 . 𝒇 𝒅𝒙 = +𝑪 𝐥𝐧 𝒂 𝒇 ′ ∫ 𝒆𝒇 . 𝒇′ 𝒅𝒙 = 𝒆𝒇 + 𝑪 4) TRIGONOMÉTRICO: ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒇 . 𝒇′ 𝒅𝒙 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒇 + 𝑪 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒇 . 𝒇′ 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒇 + 𝑪 𝒇′ ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒇. 𝒇′ 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝒇). 𝒇′ 𝒅𝒙 = 𝒕𝒈 𝒇 + 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒇 𝒇′ ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒇. 𝒇′ 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐 𝒇). 𝒇′ 𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒇 + 𝑪 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒇 5) TRIGONOMÉTRICO INVERSO: ∫ ∫ 𝒇′ √𝟏 − 𝒇𝟐 𝒅𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒇 + 𝑪 𝒇′ 𝒅𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒇 + 𝑪 𝟏 + 𝒇𝟐 1 2.-INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS ESPECIALES 1) Potencias pares de seno y coseno. Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad: 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟐 Ejemplo: ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 2) Potencias impares de seno y coseno. Se relacionan el seno y coseno mediante la fórmula: 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 Ejemplo: ∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑑𝑥 3) Potencias pares e impares de seno y coseno. El exponente impar se transforma en uno par y otro impar. Ejemplo: ∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 4) Productos del tipo sen(nx).cos(mx) Se transforman los productos en sumas: 𝒔𝒆𝒏𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟏 [𝒔𝒆𝒏(𝑨 + 𝑩) + 𝒔𝒆𝒏(𝑨 − 𝑩)] 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟏 [𝒄𝒐𝒔(𝑨 + 𝑩) + 𝒄𝒐𝒔(𝑨 − 𝑩)] 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝑨. 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 𝟏 [𝒔𝒆𝒏(𝑨 + 𝑩) − 𝒔𝒆𝒏(𝑨 − 𝑩)] 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝑨. 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 𝟏 [𝒄𝒐𝒔(𝑨 + 𝑩) − 𝒄𝒐𝒔(𝑨 − 𝑩)] 𝟐 Ejemplo: ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 2 3.-NTEGRACIÓN POR PARTES El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: ∫ 𝑓. 𝑔′ 𝑑𝑥 = 𝑓. 𝑔 − ∫ 𝑓 ′ . 𝑔 𝑑𝑥 Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u. Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'. CASOS: 1) En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u. Ejemplo: ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 2) Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces. Ejemplo: ∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 3) Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1. Ejemplo: ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 4) Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación. Ejemplo: ∫ 𝑒 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 3 4.-MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O DE CAMBIO DE VARIABLE El método de integración sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta. ∫ 𝒇′ (𝒖). 𝒖′ 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒖) + 𝑪 Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. Pasos para integrar por cambio de variable : Tenemos: ∫ 𝒇′ (𝒖). 𝒖′ 𝒅𝒙 1) Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos: 𝒕=𝒖 𝒅𝒕 = 𝒖′𝒅𝒙 Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral: ∫ 𝒇′ (𝒕). 𝒖′ 𝒅𝒕 = ∫ 𝒇′ (𝒕)𝒅𝒕 𝒖′ 2) Si la integral resultante es más sencilla, integramos: ∫ 𝒇′ (𝒕)𝒅𝒕 = 𝒇(𝒕) + 𝑪 3) Se vuelve a la variable inical : 𝒇(𝒕) + 𝑪 = 𝒇(𝒖) + 𝑪 Ejemplo: 𝑥2 ∫3 𝑑𝑥 √1 + 2𝑥 4 5.-INTEGRALES RACIONALES: En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría. 𝑷(𝒙) 𝑹(𝒙) ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 𝑸(𝒙) 𝑸(𝒙) Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores. Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales : 1) Con raíces reales simples. La fracción 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) puede escribirse así: 𝑷(𝒙) 𝑨 𝑩 𝑪 = + + … 𝑸(𝒙) 𝒙 − 𝒂 𝒙 − 𝒃 𝒙 − 𝒄 Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x. Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador. Ejemplo: ∫ 3𝑥 3 + 5𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑥 − 2 2) Con raíces reales múltiples . La fracción 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) puede escribirse así: 𝑷(𝒙) 𝑨 𝑨𝟐 𝑨𝒏 = + + ⋯ + … 𝑸(𝒙) (𝒙 − 𝒂) (𝒙 − 𝒂)𝟐 (𝒙 − 𝒂)𝒏 5 Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más. Ejemplo: ∫ 𝑥3 3𝑥 + 5 𝑑𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 + 1 3) Con raíces complejas simples. La fracción 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) puede escribirse así: 𝑷(𝒙) 𝑴𝒙 + 𝑵 = 𝟐 𝑸(𝒙) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente. Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando Ejemplo: 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥3 + 3 6 7
