LUGAR GEOMETRICO

METODO DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES
Es un método que permite el análisis y el diseño de un sistema
A partir de la grafica del lugar geometrico de las raíces de su
Polinomio caracteristico. La grafica se produce al variar uno de
Sus parámetros del sistema, como por ejemplo la ganancia.
El método esta basado en la teoría de las ecuaciones polinomiles
De donde se obtiene una seria de reglas que nos permite graficar
El lugar de las raíces sin realmente resolver la ecuación caracteristica
El método del lugar geométrico de raíces (en inglés, root locus) es una
herramienta que sirve para determinar todas las posibles raíces de una ecuación
característica de 1 + G(s)H(s) = 0 cuando varía algún parámetro (en principio, la
ganancia K de un sistema) y se utiliza para conocer el comportamiento total del
sistema de lazo cerrado en régimen transitorio.
Ing. Humberto Hernandez Sing
CONSIDERE EL SISTEMA CON RETROALIMENTACION SIGUIENTE:
P, POLINOMIO DE GRADO m
Q,POLIOMIO DE GRADO n ; DONDE m<n
K, ES EL FACTOR DE GANANCIA DE F(s)
LA LOCALIZACION DE ESTAS RAICES EN EL PLANO S CAMBIA CONFORME
EL FACTOR DE GANANCIA K VARIA. EL LUGAR GEOMETRICO DE LAS
RAICES GRAFICADAS EN EL PLANO S COMO UNA FUNCION DE K SE LE
LLAMA EL LUGAR DE EVANS O LUGAR DE LAS RAICES.
DE LA ECUACION NOTAMOS SI K=0 LAS RAICES DE DICHAS ECUACIONES
SON LAS RAICES DEL POLINOMIO Q(S), LA CUALES SON LA MISMAS DE
F(S), Y SI K SE HACE MUY GRANDE LAS RAICES TIENDEN A LOS DEL POLI‐
NOMIO P(S), LOS CUALES SON LOS CEROS A INFINITO. LOS LUGARES
GEOMETRICOS DEL LAZO CERRADO DEL SISTEMA, SURGEN DE LOS POLOS
DE F(S) DIRIGIENDOSE Y TERMINANDO EN LOS CEROS DE F(S).
Ing. Humberto Hernandez Sing
CONSIDERE EL SIGUIENTE SISTEMA DE PRIMER ORDEN:
Ing. Humberto Hernandez Sing
ENCONTRAR LOS POLOS Y CEROS DEL SISTEMA
LOS LUGARES GEOMETRICOS DEL LAZO CERRADO DEL SISTEMA, SURGEN DE LOS
POLOS DE F(S) DIRIGIENDOSE Y TERMINANDO EN LOS CEROS DE F(S).
Ing. Humberto Hernandez Sing
Introducción al LGR: concepto y justificación
Por lo anterior, la representación polar2 de la ecuación
G(s)H(s) 1 180° n para n 1, 3,
, (2n 1)
T (s) 
G(s)
1 G(s)H(s)
función de transferencia de lazo abierto corresponde a:
G(s) H(s)
1  G(s) H(s)  0
que representa un número complejo en notación binómica: a  jb   1  j0, cuya par te
imaginaria es igual a cero.
Condición de fase: 180° n
Condición de magnitud: 1
Ing. Humberto Hernandez Sing
METODO DE EVANS
Para aplicar el método de Evans y obtener el LGR correspondiente a cada sistema en particular, se
tomará como punto de partida la representación en el plano s de los polos y ceros de la función de
transferencia de lazo abierto G(s)H(s).
REGLAS:
1.Número de ramas del LGR.
En general, un sistema de control tiene mayoría de polos con respecto a ceros. El número de ramas de un LGR será igual al número de
polos contenidos en la función de transferencia de lazo cerrado; dichos polos corresponden a la cantidad de polos existentes en la
función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s). Por lo tanto, un LG tendrá tantas ramas como polos contenidos en G(s)H(s).
2.Principio y fin del LGR.
Los LG inician en los polos y terminan en los ceros; en ausencia de ceros, los lugares geométricos terminarán en el
infinito. La función de los ceros es atraer los lugares geométricos que provienen de los polos.
3. Lugares geométricos en el eje real.
Los lugares geométricos que existen en el eje real se ubican a la izquierda de elementos impares, pero empiezan
por el elemento más alejado a la derecha.
Cuándo se aplica esta regla
Esta regla es aplicable siempre y cuando exista(n) polo(s) y/o cero(s) en el eje real
Ing. Humberto Hernandez Sing
4. Simetría de los lugares geométricos complejos.
Es una característica de los LG complejos, donde la parte real es la misma y el componente imaginario siempre será el complejo
conjugado de la rama asociada.
Cuándo se aplica esta regla
Esta regla es aplicable siempre que haya lugares geométricos complejos; además, no es necesario determinar la parte imaginaria
negativa, ya que con reflejar la rama imaginaria positiva, con respecto al eje real, se obtiene la rama complementaria.
5. Asíntotas
Uno de los principales problemas que se presentan al bosquejar los lugares geométricos corresponde a determinar hacia dónde
se dirigen las ramas cuando éstas tienden a infinito (debido a la ausencia de ceros que atraigan hacia sí los LG).
Para ganancias elevadas, y en ausencia de ceros, las ramas del lugar geométrico tienden a comportarse como
líneas rectas a manera de asíntotas, las cuales abandonan el eje real con un ángulo , dado por:
donde:
n  número de polos de G(s)H(s). m  número de ceros de G(s)H(s). q= 0,1,2,3.......n-m-1
El centroide es el punto en el eje real del cual divergen las asíntotas y se determina mediante:
Cuándo se aplica esta regla
.
Esta regla es aplicable cuando haya uno o más polos que no tengan ceros
a dónde llegar, por lo cual dichos polos tenderán al infinito. El centroide
se aplica junto a las asíntotas.
Ing. Humberto Hernandez Sing
Para la siguiente funcione de transferencia de lazo abierto, obtenga los lugares
geométricos. Para ello, considere que la ganancia varía de cero a infinito:
𝐺 𝑠 𝐻 𝑠
1. Número de ramas del LGR. El lugar geométrico tendrá tres ramas, ya que éstas son determinadas por el número de
polos de G(s)H(s).
2. Principio y fin del LGR. Los lugares geométricos inician en los polos, mientras que con incrementos de ganancia y en
ausencia de ceros, las tres ramas procedentes de los polos terminarán en el infinito.
3. Lugares geométricos en el eje real. Como hay un elemento en el eje real, en este caso un polo p1   1, habrá un LG
en dicho eje situado a la izquierda de dicho polo, que se prolonga hasta  ∞.
4. Simetría de los lugares geométricos complejos. La existencia de polos complejos es razón suficiente para concluir
que el LG respectivo tendrá componentes complejos; por lo tanto, las partes conjugadas presentarán simetría con el eje real.
5. Asíntotas y centroide.
Ing. Humberto Hernandez Sing
𝑘
𝑠
1 𝑠
𝑠
1.5
Para la siguiente funcione de transferencia de lazo abierto, obtenga los lugares
geométricos. Para ello, considere que la ganancia varía de cero a infinito:
𝐺 𝑠 𝐻 𝑠
1. Número de ramas del LGR. El LGR tendrá tres ramas.
2. Principio y fin del LGR. Los LG inician en los polos, una de las ramas tenderá hacia el cero y las dos restantes
tenderán a infinito.
3. Lugares geométricos en el eje real. Debido a la existencia de dos elementos en el eje real, habrá un LG entre el
cero en el origen y el polo ubicado en s
  1.
4. Simetría de los lugares geométricos complejos. La existencia de polos complejos es motivo suficiente para
concluir que el LG respectivo tendrá ramas complejas.
Ing. Humberto Hernandez Sing
𝑘𝑠
𝑠
1 𝑠
5
1.5
Para la siguiente funcione de transferencia de lazo abierto, obtenga los lugares
geométricos. Para ello, considere que la ganancia varía de cero a infinito:
1. Número de ramas del LGR. El LGR tendrá tres ramas.
2. Principio y fin del LGR. Los LG inician en los polos, una de las ramas tenderá hacia el cero y las dos
restantes tenderán a infinito.
3. Lugares geométricos en el eje real. En el eje real existen tres polos y un cero. A la izquierda de los
elementos impares habrá lugar geométrico, el cual se presentará entre el polo p   1 y el cero z   0.5.
4. Simetría de los lugares geométricos complejos. La existencia de polos repetidos (p2,3   2),
denominados polos adyacentes, ocasionará que, con incrementos de ganancia, los LG respectivos tengan ramas
complejas.
5. Asíntotas y centroide.
Ing. Humberto Hernandez Sing
6. C
Cruce ddell LG con ell eje
j iimaginario.
i i
Los puntos en los cuales los lugares geométricos cruzan el eje imaginario jw, así
como el valor de la ganancia K en dicho punto, se obtienen sustituyendo s por jw
en la ecuación característica. Esta regla es de gran importancia, ya que los
valores de ganancia en el cruce del eje jw, así como la frecuencia en dicho punto
obtenga la ganancia con la cual el LG cruza el eje
jw, así como la frecuencia de cruce en dicho punto.
( jw)3  2( jw)2  2.5 jw  (1.5  K )  0
Ing. Humberto Hernandez Sing
Ing. Humberto Hernandez Sing
7.‐ Angulos de Salida y angulos de llegada en polos complejos
ANGULOS DE SALIDA
Cuándo se aplica esta regla
La presencia de polos complejos origina la existencia del ángulo de salida y corresponde al ángulo con el cual la rama asociada abandona al
polo complejo con incrementos de ganancia. Por lo tanto, dicha regla se aplica cuando hay polos complejos
EJEMPLO
Ing. Humberto Hernandez Sing
OTRO METODO
Ing. Humberto Hernandez Sing
ANGULO DE LLEGADA
Cuándo se aplica esta regla
La presencia de ceros complejos origina la existencia de ángulos de llegada y corresponde al ángulo
con el cual la rama asociada, procedente de algún polo, llega al cero complejo bajo consideración. Por
lo tanto, dicha regla se aplica cuando hay ceros complejos.
Ing. Humberto Hernandez Sing
OTRO METODO
Ing. Humberto Hernandez Sing
8.- Puntos de salida y puntos de llegada sobre el eje real.
Concepto de polos adyacentes.
Primer método.
Para determinar el punto de salida o entrada, simplemente hay
que aplicar el concepto de máximos y mínimos a la ecuación
K=P(s) La cual se obtiene despejando k de la ecuación
1+G(s)H(s)=0.
Si P(s) tiene un máximo es un punto de salida y si tiene
Un mínimo es un punto de entrada al eje real.
Segundo método.
Consiste en evaluar la condición de magnitud, expresada por la
ecuación (1), para determinar el punto s, donde se presenta la
ganancia máxima para la región acotada por los polos
adyacentes:
G (s)H(s)  1180n
Cuándo se aplica esta regla
Al rescribir la ecuación anterior, obtenemos:
La presencia de polos adyacentes asegura la existencia de puntos de
salida.
Ing. Humberto Hernandez Sing
G (s)H(s)  1
(1)
Obtenga el punto de separación para un determinado sistema
cuya función de transferencia de lazo abierto es:
G(s)H(s) 
K
(s  1)(s  6)(s  8)
Ing. Humberto Hernandez Sing
G(s)H(s) 
s
 2.89
 2.90
 2.91
 2.92
 2.93
 2.94
K
(s  1)(s  6)(s  8)
K
30.0361
30.0390
30.0407
30.0411
30.0403
30.0382
Ing. Humberto Hernandez Sing
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Número de ramas del LGR.
Principio y fin del LGR.
Lugares geométricos en el eje real.
Simetría de los lugares geométricos complejos
Asintotas y centroide.
CrucedelLGconelejeimaginario
Angulodesalidayangulodellegadadepolosyceroscomplejos
Puntosdesalidaydeentradasobreelejereal
Encontrar el lugar geometrico de las raíces de la siguiente función:
𝑘
𝐺 𝑠 𝐻 𝑆
𝑠 1 𝑠 6 𝑠 8
Ing. Humberto Hernandez Sing
𝐺 𝑠 𝐻 𝑆
𝑘
𝑠
1 𝑠
6 𝑠
6.-Cruce del LG con el eje imaginario
𝑘
𝑠 1 𝑠 6 𝑠 8
𝑘
𝑠
1 𝑠
6 𝑠
8
Ing. Humberto Hernandez Sing
8
7.-Angulo de salida y angulo de llegada de polos y ceros complejos
8.-Puntos de salida y de entrada sobre el eje real
Ing. Humberto Hernandez Sing
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Número de ramas del LGR.
Principio y fin del LGR.
Lugares geométricos en el eje real.
Simetría de los lugares geométricos complejos
Asintotas y centroide.
CrucedelLGconelejeimaginario
Angulodesalidayangulodellegadadepolosyceroscomplejos
Puntosdesalidaydeentradasobreelejereal
OBTENER EL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES PARA EL SISTEMA CON
RETROALIMENTACION UNITARIA, CUYA FUNCION DE TRANSFERENCIA EN
TRAYECTORIA DIRECTA ES
𝑘
𝐺 𝜍
𝑠 𝑠
6𝑠 10
Ing. Humberto Hernandez Sing
𝐺 𝜍
𝑠 𝑠
𝑘
6𝑠
6.-Cruce del LG con el eje imaginario
Ing. Humberto Hernandez Sing
10
7.‐ ANGULO DE SALIDA DE POLOS COMPLEJOS
Ing. Humberto Hernandez Sing
8.‐ PUNTO DE SALIDA Y ENTRADAS EN EL EJE REAL
Ing. Humberto Hernandez Sing
𝐺 𝜍
𝑠 𝑠
𝑘
6𝑠
10