Campo de la gravedad

La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y
gravedad del modelo. Anomalía y perturbación de la
gravedad. Desviación de la vertical.
*Bibliografía
-Bernhard Hoffman – Wellenhof Helmut Moritz (2005). Physical
Geodesy. Springer WienNewYork.
-Torge W., 2001. Geodesy. 3rd Edition. Walter de Gruyter – Berlin –
New York.
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
*La Tierra y su campo de gravedad
*Gravedad real y gravedad del modelo
*Anomalía y perturbación de la gravedad
*Desviación de la vertical
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
¿Porque requiere la Geodesia el conocimiento del campo de
la gravedad?
La figura de la Tierra ha sido modelada por el campo de la
gravedad
Es la referencia natural para muchas mediciones geodésicas
Los satélites artificiales se mueven en torno de la Tierra
según su campo de la gravedad
Aportará al conocimiento de la estructura interna de la Tierra
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
F = −G ⋅
m1.m2 l
⋅
2
l
l
Para una masa puntual m1=m y m2=1
G.m
G.m
l
V
=
l2
l
⎛ ∂V ⌣ ∂V ⌣ ∂V ⌣ ⎞ lim V = 0
F = ⎜⎜
i;
j;
k ⎟⎟ r → ∞
∂
x
∂
y
∂
z
⎝
⎠
F=
Para todo el planeta
Es la clave del problema …. Densidad(x,y,z)
ρ
V (r) = G. ∫∫∫ dv
l
Tierra
Potencial gravitacional
lim
V =0
r →∞
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Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
ΔV = Vxx + Vyy + Vzz
Laplaciano
En el interior de la Tierra:
ΔV = −4.π .G.ρ
Ecuación de Poisson
En el exterior de la Tierra:
ΔV = 0
Ecuación de Laplace
V es armónica en el exterior de las
masas
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
La aceleración de la gravedad es el resultado de la atracción gravitatoria (a) más la
aceleración centrífuga (c) debida a la rotación terrestre.
g=a+c
a = grad V
c = grad Z
Potencial de la Gravedad
g = grad W
Potencial Centrífugo
Potencial Gravitacional
ρ
ω2 2
W=V+Z=G
dv +
p
l
2
Tierra
∫∫∫
W: Potencial de la Gravedad
Vertical del Lugar
La aceleración de la gravedad es el resultado de la atracción gravitatoria (a) más la
aceleración centrífuga (c) debida a la rotación terrestre.
g=a+c
a = grad V
c = grad Z
Potencial de la Gravedad
g = grad W
Potencial Centrífugo
Potencial Gravitacional
ρ
ω2 2
W=V+Z=G
dv +
p
l
2
Tierra
∫∫∫
W: Potencial de la Gravedad
ΔW = Δ(V + Z) = ΔV + ΔZ
Z No es armónico y por lo tanto, tampoco W. Pero Z es
conocido … Luego, nuestro interés se limita a determinar V
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Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
ρ
V (r) = G. ∫∫∫ dv
l
Tierra
La función 1/l es armónica y se desarrolló en
términos de Legendre
central
En Término
el exterior
de la Tierra, la solución de la
ecuación de Laplace :
Funciones asociadas
de Legendre
l
∞
l
Zonales
⎞
G ⋅ M ⎛⎜
⎛ a(Lat)
⎞
V(P ) =
1 + ∑∑ ⎜ ⎟ (Cl,m . cos mλ + Sl,m sin mλ ).P lm (cos ϑ )⎟
⎜
⎟
r ⎝ l=1 m=0 ⎝ r ⎠
⎠
Si el origen del sistema coincide
con el Geocentro, l=2
Tesserales (Lat, Long)
Coeficientes armónicos
esféricos
Térm Central = 1
Sectoriales (Long)
C 20 = 10 −3
Resto …10-6
http://www.uni-stuttgart.de/gi/research/projects/project8/fig2_Spherical_Harmonics.png
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Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
*Las superficies equipotenciales del campo de la gravedad (W =
cte) no son paralelas entre sí. Tienden a separarse en el Ecuador,
indicando un gradiente menor que en los polos.
g = grad W
g ecuador < g polo
*Las sup equipotenciales son
interceptadas perpendicularmente por
la línea de la plomada
9,80 m/s2 = 980 Gal
Geoide: es la superficie equipotencial (W = Wo) que mejor
ajusta al nivel medio del mar de una determinada época
(Mather, 1978; Rapp, 1995).
9.83 m/s2
9.78 m/s2
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Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal
N
Geoide (Wo)
Ondulación del
Geoide
Elipsoide
de nivel (Uo)
Es la forma de aproximarnos al campo de la gravedad real …
desde el “campo del modelo”. Lo hacemos a partir de un
elipsoide de nivel cuyo potencial es idéntico al del Geoide.
W0 = U0
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal
Análogamente al campo real:
U = Ve + Ze
Este potencial U se genera a partir de:
*un elipsoide de revolución (a, b)
*de masa total M (igual a la Tierra)
Surge la relación con el
Sistema de Referencia
Geodésico (ej. WGS84)
*velocidad angular (rotación de la Tierra)
γ = grad ( U)
∂U
γ=
∂h
g = grad ( W)
∂W
g=
∂H
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal
U = Ve + Ze
Surge la relación con el
Sistema de Referencia
Geodésico (ej. WGS84)
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal
*Expresando la Ec. de Laplace en coordenadas elipsoidales se obtiene una
solución de Ve en armónicos elipsoidales.
*Pero lo más usual es expresarlo en armónicos esféricos. En términos de los
Polinomios de Legendre:
2n
⎤ ω2 2 2
GM ⎡ ∞ ⎛ a ⎞
U=
⎢1 − ∑ ⎜ ⎟ J 2 n P2n (cos θ)⎥ + r sin θ
r ⎣⎢ n =1 ⎝ r ⎠
⎦⎥ 2
Para n=1 (l=2, m=0)
ω2 a
m=
γa
f+β=
Aprox. al Teorema de Pizetti
5
m
2
Aprox. al Teorema de Clairaut
3 ⎞
⎛
GM = a 2 γ a ⎜1 − f + m ⎟
2 ⎠
⎝
2
γ 0 = γ a (1 + β sin ϕ)
Conocidos valores de γ sobre el elipsoide (reducciones …) podemos
determinar γa ,γb y β. A partir de un valor de “a” se calcula “m” y el T de
Clairaut permite obtener el aplanamiento geométrico.
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal
*Expresando la Ec. de Laplace en coordenadas elipsoidales se obtiene una
solución de Ve en armónicos elipsoidales.
*Pero lo más usual es expresarlo en armónicos esféricos. En términos de los
Polinomios de Legendre:
2n
⎤ ω2 2 2
GM ⎡ ∞ ⎛ a ⎞
U=
⎢1 − ∑ ⎜ ⎟ J 2 n P2n (cos θ)⎥ + r sin θ
r ⎣⎢ n =1 ⎝ r ⎠
⎦⎥ 2
Para n=1 (l=2, m=0)
f=
2
GM ⎡
1 ⎞ ω2 3 2 ⎤
⎛a⎞ ⎛3
2
cosa) θ/ −γa ⎟ −
r sin θ⎥
(a-b)γ(ϕ
/ )a= 2 ⎢1 − 3.⎜β ⎟=J(γ
2 ⎜ b -γ
r ⎢⎣
2 ⎠ GM
⎝r ⎠ ⎝2
⎥⎦
ω2 a
m=
γa
f+β=
Aprox. al Teorema de Pizetti
5
m
2
Aprox. al Teorema de Clairaut
3 ⎞
⎛
GM = a 2 γ a ⎜1 − f + m ⎟
2 ⎠
⎝
2
γ 0 = γ a (1 + β sin ϕ)
Conocidos valores de γ sobre el elipsoide (reducciones …) podemos
determinar γa ,γb y β. A partir de un valor de “a” se calcula “m” y el T de
Clairaut permite obtener el aplanamiento geométrico.
La primera expresión de Clairaut ( de Newton), toma un valor aproximado de:
g ≈ 978gal (1+0.0053.sen2φ)
Bruns y Helmart a principios del siglo XX (y fines del anterior) establecieron formulas mas precisas
tanto en el establecimiento de tÈrminos como en la determinación de sus constantes; el profesor
G. CASSINIS en base a esos antecedentes obtuvo una expresión, que fue adoptada por la Unión
Geodésica y Geofísica Internacional (UGGI), reunida en Estocolmo, en 1930. La misma reducida
al elipsoide adoptado en Madrid 1924 por la misma Unión (a = 6378388 m; 1/f = 297) y fue
denominada expresión de la gravedad normal.
γ = 978.0490 gal (1+0.0052884 sen2φ - 0.0000059 sen2 (2φ))
Posteriormente (en 1978) en Canberra (Australia) se consideró que debÌa actualizarse y de allí
surgió el SISTEMA DE REFERENCIA GEODESICO 1980 (GRS80) con lo parámetros
elipsódicos
a = 6378137m
1/f = 298.2572
γ =978.0327gal(1+0.0053024.sen2φ−0.0000058.sen2(2φ))
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal
*A partir del desarrollo en serie γ en potencias de h (próx a la superficie), en el
espacio exterior obtuvimos:
3 ⎤
⎡ 2
γ 0 = γ a ⎢1 − 1 + f + m − 2f sin 2 ϕ .h + 2 h 2 ⎥
a
⎣ a
⎦
(
)
*Para γ=9,81 ms-2 y a=6378 km se obtiene:
∂γ
= −0.3086 mGal / m
∂h
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo Perturbador
T(P) = W(P) − U(P) = (V + Z) − (Ve + Ze )
T(P) = V − Ve
*Las diferencias entre W y U se limitan a la componente
gravitacional V y reflejan la diferencia entre la Tierra Real y el
modelo.
*El campo normal Ve contiene únicamente términos Zonales (Lat)
*En consecuencia, T(P) no contendrá el término central y diferirá de
W(P) solo en los términos Zonales pares (simétricos con respecto al
Ecuador)
*En el exterior de las masas:
ΔT = 0
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
OBSERVABLES
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Anomalía de la gravedad
n
Vector anomalía de la gravedad
Δg = g Po − γ Qo
La diferencia de dirección es la
Desviación de la Vertical
n’
Po
W=Wo
Anomalía de la gravedad
Δg = g Po − γ Qo
P
N
Geoide
g
ε
U=Wo
Qo
Elipsoide
γ
ζ = Φ−ϕ
Normal elipsoidal n’ (ϕ, λ)
η = (Λ − λ)cos ϕ
Normal geoidal n (Φ, Λ)
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
OBSERVABLES
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Perturbación de la gravedad
n
Definimos además, el vector
perturbación de la gravedad
δg = g P − γ P(h)
Perturbación de la gravedad
δg = g p − γ P
P
H
n’
Po
h (GPS)
W=Wo
N
U=Wo
ε
Geoide
g
Qo
Elipsoide
γ
La diferencia de dirección es la
misma Desviación de la Vertical, pues
Normal elipsoidal n’ (ϕ, λ)
la dirección de γP coincide con la de
Normal geoidal n (Φ, Λ)
γQ
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Fórmula de Bruns
U Po
n
∂U
= U Qo +
= U Qo − γ Qo .N
∂n'
n’
Po
W=Wo
WPo = U Po + TPo = U Qo − γ Qo .N + TPo
N
U=Wo
ε
g
Elipsoide
Qo
Pero WP = UQ
TP = γ Q .N
γ
T
N=
γ
Fórmula de Bruns
Geoide
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Ecuación Fundamental de la Geodesia Física
δg = g p − γ P = grad ( W ) − grad ( U) = grad (T)
∂W ∂U
∂W ∂U
δg = g p − γ P = −
+
≈−
+
∂n ∂n '
∂n ∂n
∂T
∂T
δg = −
=−
∂n
∂h
∂T
∂γ
−
= g P − γ P = g P − ( γ Q + N)
∂n
∂h
−
∂T
∂γ
= Δg − N
∂n
∂h
∂T 1 ∂γ
Δg = −
+
T
∂h γ ∂h
Por Bruns …
T
=N
γ
δg = −
∂T
∂h
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Ecuación Fundamental de la Geodesia Física
*Relaciona la cantidad medible (g) con el Potencial Perturbador
P
(incógnita) p
δg = g − γ = grad ( W ) − grad ( U) = grad (T)
*Pero g es conocida sobre la Tierra y puede reducirse al Geoide. Es
decir, no es conocida en todo el espacio exterior. La ecuación puede
ser usada solo
p como
P una condición de contorno y no es suficiente por
si sola para calcular T
∂W ∂U
∂W ∂U
δg = g − γ = −
+
≈−
+
∂n ∂n '
∂n ∂n
*Pero fuera del Geoide, es válida la Ec de Laplace
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
ΔT = 2 + 2 + 2 = 0
∂x
∂y
∂z
*Con ambas es posible determinar T a partir de observaciones
gravimétricas. Aplicando Bruns, se obtiene el parámetro geométrico
más importante de la Geodesia Física (N).
∂T 1 ∂γ
Δg = −
+
T
∂h γ ∂h
T
N=
γ