Método Simplex: Proyecto Integrador de Investigación de Operaciones

CENTRO DE ESTUDIOS SUPERIORES C.T.M.
JUSTO SIERRA O’REILLY.
Escuela de Contaduría
LICENCIATURA EN CONTADURIA.
Investigación de operaciones.
Proyecto integrador primer parcial
“Método Simplex”
PROF: Ing. Rafael José Ruiz Sánchez
Semestre 5
Grupo A
Integrantes:
Cen Tut Juan Carlos
Cocom Chimal Jorge Alberto
FECHA DE ENTREGA
05 de octubre de 2021
Índice
Introducción .................................................................................................................................... 3
Caso Práctico .................................................................................................................................. 4
Método Simplex .............................................................................................................................. 9
Método Simples – dual ................................................................................................................... 9
Obtención de la solución de un MPL por el método Simplex .................................................. 10
Conclusión ..................................................................................................................................... 12
Introducción
El objetivo del presente trabajo integrador es aplicar el método simplex visto (durante el primer
parcial) en la resolución de un caso práctico de un modelo de programación lineal, el cual, es
importante retomar la definición del concepto, entendiendo por programación lineal como un
método mediante el cual se optimiza, ya sea maximizando o minimizando, una función objetivo,
donde las variables están elevadas a la potencia 1, es decir, aquel método por el cual se puede
determinar si aumentan los ingresos o disminuyen los costos en una empresa, por poner un
ejemplo. La importancia del presente trabajo es el reforzar los conocimientos adquiridos a lo
largo, así como el tener las habilidades para aplicarlo en el futuro en el ámbito laboral.
El presente trabajo está integrado por dos partes, una parte práctica, la cual está integrada por la
resolución de un ejercicio mediante el método simplex, aplicando los pasos que lo integran, los
cuales son la presentación de la forma estándar, presentación de una tabla simplex de acuerdo a la
forma estándar previamente realizada, introducción de la variable de salida, posteriormente la
presentación de una nueva tabla simplex, el método de eliminación de Gauss-Jordan,
presentación de una nueva tabal simplex y la comprobación.
También lo integra una parte teórica, en la cual se encuentra el significado de modelo de
programación lineal, explicado a más a profundidad, también la mención de cual es método
simplex, así como el método simplex – dual, continuando con la explicación de cómo se calcula
la solución de un MPL por el método simplex, describiendo paso por paso de ese procedimiento.
De igual manera, se presenta al final del desarrollo, una conclusión en la cual se explica con las
palabras de los integrantes el método simplex, mencionando los resultados que se obtienen de la
resolución del caso práctico, concluyendo con una reflexión personal respecto a los aprendizajes
obtenidos para la aplicación en el ámbito profesional.
A continuación, se presentan el caso práctico, las explicaciones de la teoría y una reflexión
personal
Caso Práctico
Resolver el siguiente modelo de programación lineal por el método simplex.
Maximizar Z = 6X1 + 5X2 + 4X3
Sujeto a: 2X1 + 2X2 + X3 ≤ 90
X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 150
2X1 + X2 + 2X3 ≤ 120
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
X3 ≥ 0
1.- Forma estándar
Maximizar Z = -6X1 - 5X2 - 4X3 + s1 + s2 + s3
2X1+2X2+ X3 +S1+0S2+0S3 = 90
X1+3X2+2X3+0S1+S2+0S3 =150
2X1+X2+2X3+0S1+0S2+S3 =120
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
X3 ≥ 0
S1 ≥ 0
S2 ≥ 0
S3 ≥ 0
2.- Tabla simplex (inicio)
No básicas
Básicas
Básicas
Solución
X1
X2
X3
S1
S2
S3
S1
2
2
1
1
0
0
90
S2
1
3
2
0
1
0
150
S3
2
1
2
0
0
1
120
z
-6
-5
-4
0
0
0
0
3.- Introducción de variable de salida
No básicas
Básicas
Básicas
Solución
Razón
0
90
90/2= 45
1
0
150
150/1= 150
0
0
1
120
120/2= 60
0
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
2
2
1
1
0
S2
1
3
2
0
S3
2
1
2
z
-6
-5
-4
(X1) S1
4.- Presentación nueva tabla simplex
No básicas
Básicas
Básicas
Solución
Razón
0
90
45
1
0
150
150
0
0
1
120
60
0
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
X1
2
2
1
1
0
S2
1
3
2
0
S3
2
1
2
z
-6
-5
-4
5.- Método de eliminación Gauss-Jordan
X1
2
2
1
1
0
0
90
X1
1
1
1/2
1/2
0
0
45
X1
-1
-1
-1/2
-1/2
0
0
-45
S2
1
3
2
0
1
0
150
S2
0
2
3/2
-1/2
1
0
105
X1
-2
-2
-1
-1
0
0
-90
S3
2
1
2
0
0
1
120
S3
0
-1
1
-1
0
1
30
÷2, X (-1)+S2, X(-2)+S3, X(6)+Z
X1
6
6
3
3
0
0
270
Z
-6
-5
-4
0
0
0
0
Z
0
1
-1
3
0
0
270
6.- Nueva tabla simplex.
No básicas
Básicas
Básicas
Solución
Razón
0
45
45/1/2= 90
1
0
105
105/3/2 = 70
-1
0
1
30
30/1= 30
3
0
0
270
270/-1= -270
X1
X2
X3
S1
S2
S3
X1
1
1
1/2
1/2
0
S2
0
2
3/2
-1/2
0
-1
1
0
1
-1
(X3) S3
z
X3
0
X3
0
X1
-1
1
-1
0
1
30
1/2
-1/2
1/2
0
-1/2
-15
1
1
1/2
1/2
0
0
45
X1
1
3/2
0
1
0
-1/2
30
X3
0
3/2
-3/2
3/2
0
-3/2
-45
S2
0
2
3/2
-1/2
1
0
105
S2
0
7/2
0
1
1
-3/2
60
X3
0
-1
1
-1
0
1
30
Z
0
1
-1
3
0
0
270
Z
0
0
0
2
0
1
300
X3(-1/2)+x1, x3+(-3/2)+s2, x3+z
7.- Comprobación.
Resultados
X1
30
X2
0
X3
30
S1
0
S2
60
S3
0
Z
300
Z = 6X1 + 5X2 + 4X3
2X1 + 2X2 + X3 ≤ 90
X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 150
2X1 + X2 + 2X3 ≤ 120
Z=6(30) +5(0) +4(30)
2(30) +2(0) + (30) ≤ 90
30 +3(0) +2(30) ≤ 150
2(30) +0 +2(30) ≤ 120
Z= 300
90 ≤ 90
90 ≤ 150
120 ≤ 120
Método de Programación Lineal
La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa, los
modelos de programación lineal, por su sencilles, son usados con mayor frecuencia para abordar
una gran variedad de problemas de naturaleza real, es decir, de la vida real en ciencias como la
ingeniería y ciencias sociales. Lo que ha permitido a empresas y organizaciones grandes
beneficios vinculados a su aplicación.
Un Modelo de Programación Lineal (MPL) considera que las variables de decisión tienen un
comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como en las restricciones del problema, por
lo que la hace una herramienta más fácil de utilizar porque se facilitan los cálculos y permite una
mejor aproximación de la realidad. Otros autores como Fedossova, Buitrago y Britto (2011)
mencionan que: la Programación Lineal es un conjunto de técnicas de modelado y solución de
problemas en los que todas las funciones involucradas son lineales. La estructura típica de un
problema de Programación Lineal consta de una función objetivo que debe ser maximizada o
minimizada y de una serie de restricciones que deben cumplirse.
En otros términos, es el nombre que se le da al cálculo de la mejor solución a un problema
modelado, con un conjunto de relaciones lineales, cuyo objetivo primordial es el de optimizar
(maximizar o minimizar) funciones lineales, en varias variables lineales, con restricciones
lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal. A
grandes rasgos se hace una mención de los elementos que integran el Modelo de Programación
Lineal, los cuales son:
-Variables de decisión: son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del
modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden
controlar.
-Función objetivo: es la ecuación que será optimizada dadas las limitaciones o restricciones
determinadas y con variables que necesitan ser minimizadas o maximizadas usando técnicas de
programación lineal o no lineal
-Restricciones de no negatividad: a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden
tomar las variables de decisión, es decir, solo pueden tener valores no negativos (positivos o
nulos).
Método Simplex
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación
lineal, capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin
restricción en el número de variables.
También es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón
matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro
a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función
objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro
solución es finito siempre se hallará solución.
Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del
problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes
sean mayores o iguales a 0. Por tanto, habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan
estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de este proceso
aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar,
será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos
Fases.
Método Simples – dual
El método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no
óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima
(sí esta existe). Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la
optimalidad. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que, como
contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la
inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la
solución óptima.
Obtención de la solución de un MPL por el método Simplex
Para determinar el resultado de un Modelo de Programación Lineal, al utilizar el método
Simplex, se deben realizar los siguientes pasos:
1.- El primer paso consiste en convertir las desigualdades en igualdades al sumarles una variable
de holgura S. esta variable representa la cantidad que le falta a la desigualdad para ser igualdad,
estas variables de holgura, siempre son positivas.
Como se muestra en el paso 1 del ejercicio anterior.
2.- Posteriormente, se procede a hacer una tabla simplex, para ello se procede a:
a) en la primera celda se escribe la etiqueta de Básicas (haciendo referencia a las variables,
posteriormente se coloca en la segunda columna la etiqueta de No básicas (haciendo referencia a
las restricciones) después de terminar de colocar el número correspondiente de restricciones, se
coloca en la columna siguiente la etiqueta de Básicas (haciendo referencia a las variables de
holgura), y en la columna final se coloca el nombre de Solución.
Como se muestre en el paso 2 del ejercicio anterior.
b) en el segundo renglón se escriben cada una de las restricciones, en la primera columna de las
Básicas se colocan las variables que corresponden a las variables de holgura (S). Como se
muestra en el paso 2 del ejercicio anterior. Posteriormente se llenan las demás celdas con los
valores de cada restricción.
c) en el último renglón se coloca la función objetivo escrita con el signo contrario, es decir, Z = X1 -X2 +0S1 +0S2 +0S3 = 0, las 0S son las variables de holgura, colocándoles como coeficiente
cero. Como en el paso 2 del ejercicio anterior.
Una vez que se obtiene la tabla inicial simplex asociada al MPL (Modelo de Programación
Lineal), se continúa para encontrar la solución óptima (si es que existe) o bien determinar que el
problema no tiene solución óptima.
3.- Se elige el valor de Z más negativo y la fila con la razón menor (para obtener la razón se
divide la solución entre el número que le corresponde de la columna de Z más negativa, así se
obtiene la variable de salida de la tabla simplex. Como en el paso 3 del ejercicio anterior.
4.- Se hace la presentación de la nueva tabla simplex, en este paso, se cambia en la primera
columna de las Básicas la variable de holgura por la X donde se encuentra la Z más negativa. Y
se localiza el Pivote (es donde se cruzan la columna con la Z elegida y la fila con la menor
razón). Como en el paso 4 del ejercicio anterior.
5.- El pivote se convierte en 1 y los demás valores de la columna de entrada se convierten en 0
por el método de eliminación de Gauss-Jordán.
Como en el paso 5 del ejercicio anterior.
6.- Después de realizar el método de eliminación de Gauss-Jordán, se procede a presentar la
nueva tabla simplex.
Como en el paso 6 del ejercicio presentado anteriormente.
7.- El proceso termina cunado Z no existen valores negativos y la variable que no aparece en la
segunda columna básica es 0. Si Z es todavía negativo, se vuelve a realizar todo el proceso de
iteración, y se efectúan los siguientes pasos correspondientes.
Como se muestra en el paso 7 del ejercicio previamente resuelto.
Posteriormente se realiza la comprobación para determinar que los valores son los correctos y
que cumplen con las restricciones.
Conclusión
El método simplex, es un procedimiento que permite la solución de problemas de programación
lineal, problemas de grandes dimensiones que presentas resultados eficaces, es decir, este es un
algoritmo que nos ayuda a determinar de manera eficaz una solución cuando esta existe en el
problema presentado. El método simplex mejora la solución hasta donde sea posible, como
mencionamos anteriormente siempre busca la solución mas optima para resolver el problema en
cuestión (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar). Todo este
proceso como mencionamos antes trabaja con ecuaciones y restricciones, las cuales deben
transformase en variables de holgura para seguir con el proceso.
Una vez mencionado cabe recalcar la importancia de la aplicación de este método en el ámbito
empresarial, nos ayuda a obtener soluciones de problemas sobre los inventarios, ganancias y
pérdidas; nos permite tener una visión amplia de cuando se debe vender, cuanto se debe producir
o cuanto se debe comprar según sea el caso para que la empresa obtenga las ganancias óptimas y
suficientes para competir en un mercado.
De igual manera para fines prácticos del proyecto realizamos un ejercicio buscando la solución
óptima mediante el método simplex, primero se presentó la función objetivo y las restricciones
correspondientes como mencionamos anteriormente había que convertir estas inecuaciones en
ecuaciones, apoyándonos en las variables de holgura, posteriormente identificar el pivote y
variable de salida, aplicar el método de eliminación de Gauss- Jordán; al no encontrar la solución
optima dentro de la primera eliminación se tuvo que repetir el proceso hasta encontrar que
tuvimos como resultado X1=30, X2=0, X3=30, S1=0, S2=60, S3=0 Y Z=300; en términos de
análisis podemos poner como ejemplo una empresa que produce 3 productos, necesitamos
maximizar para obtener utilidades, tendríamos que vender o producir de X1=30, X2=0, X3=30; y
que no ocupamos todo el material para fabricar porque nos queda S1=0, S2=60, S3=0, y
necesitamos vender a un precio de z=300 para poder maximizar la producción o ventas, y generar
la mayor utilidad posible.
Durante la realización de este proyecto aprendimos, aplicar el método simplex y dual simplex
para resolver un problema determinado, en este caso de maximizar, se tuvieron limitaciones en la
compresión de algunos pasos a seguir; en el ámbito profesional aprender a resolver el método
simplex nos será de gran ayuda en el futuro al momento de laborar en alguna empresa que
requiera de una maximización para aumentar sus utilidades y nosotros mediante este proceso
podemos aplicarlo para cumplir el objetivo, ya que fue parte de nuestra formación académica.