CENTRO DE ESTUDIOS SUPERIORES C.T.M. JUSTO SIERRA O’REILLY. Escuela de Contaduría LICENCIATURA EN CONTADURIA. Investigación de operaciones. Proyecto integrador primer parcial “Método Simplex” PROF: Ing. Rafael José Ruiz Sánchez Semestre 5 Grupo A Integrantes: Cen Tut Juan Carlos Cocom Chimal Jorge Alberto FECHA DE ENTREGA 05 de octubre de 2021 Índice Introducción .................................................................................................................................... 3 Caso Práctico .................................................................................................................................. 4 Método Simplex .............................................................................................................................. 9 Método Simples – dual ................................................................................................................... 9 Obtención de la solución de un MPL por el método Simplex .................................................. 10 Conclusión ..................................................................................................................................... 12 Introducción El objetivo del presente trabajo integrador es aplicar el método simplex visto (durante el primer parcial) en la resolución de un caso práctico de un modelo de programación lineal, el cual, es importante retomar la definición del concepto, entendiendo por programación lineal como un método mediante el cual se optimiza, ya sea maximizando o minimizando, una función objetivo, donde las variables están elevadas a la potencia 1, es decir, aquel método por el cual se puede determinar si aumentan los ingresos o disminuyen los costos en una empresa, por poner un ejemplo. La importancia del presente trabajo es el reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo, así como el tener las habilidades para aplicarlo en el futuro en el ámbito laboral. El presente trabajo está integrado por dos partes, una parte práctica, la cual está integrada por la resolución de un ejercicio mediante el método simplex, aplicando los pasos que lo integran, los cuales son la presentación de la forma estándar, presentación de una tabla simplex de acuerdo a la forma estándar previamente realizada, introducción de la variable de salida, posteriormente la presentación de una nueva tabla simplex, el método de eliminación de Gauss-Jordan, presentación de una nueva tabal simplex y la comprobación. También lo integra una parte teórica, en la cual se encuentra el significado de modelo de programación lineal, explicado a más a profundidad, también la mención de cual es método simplex, así como el método simplex – dual, continuando con la explicación de cómo se calcula la solución de un MPL por el método simplex, describiendo paso por paso de ese procedimiento. De igual manera, se presenta al final del desarrollo, una conclusión en la cual se explica con las palabras de los integrantes el método simplex, mencionando los resultados que se obtienen de la resolución del caso práctico, concluyendo con una reflexión personal respecto a los aprendizajes obtenidos para la aplicación en el ámbito profesional. A continuación, se presentan el caso práctico, las explicaciones de la teoría y una reflexión personal Caso Práctico Resolver el siguiente modelo de programación lineal por el método simplex. Maximizar Z = 6X1 + 5X2 + 4X3 Sujeto a: 2X1 + 2X2 + X3 ≤ 90 X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 150 2X1 + X2 + 2X3 ≤ 120 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 1.- Forma estándar Maximizar Z = -6X1 - 5X2 - 4X3 + s1 + s2 + s3 2X1+2X2+ X3 +S1+0S2+0S3 = 90 X1+3X2+2X3+0S1+S2+0S3 =150 2X1+X2+2X3+0S1+0S2+S3 =120 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 S1 ≥ 0 S2 ≥ 0 S3 ≥ 0 2.- Tabla simplex (inicio) No básicas Básicas Básicas Solución X1 X2 X3 S1 S2 S3 S1 2 2 1 1 0 0 90 S2 1 3 2 0 1 0 150 S3 2 1 2 0 0 1 120 z -6 -5 -4 0 0 0 0 3.- Introducción de variable de salida No básicas Básicas Básicas Solución Razón 0 90 90/2= 45 1 0 150 150/1= 150 0 0 1 120 120/2= 60 0 0 0 0 X1 X2 X3 S1 S2 S3 2 2 1 1 0 S2 1 3 2 0 S3 2 1 2 z -6 -5 -4 (X1) S1 4.- Presentación nueva tabla simplex No básicas Básicas Básicas Solución Razón 0 90 45 1 0 150 150 0 0 1 120 60 0 0 0 0 X1 X2 X3 S1 S2 S3 X1 2 2 1 1 0 S2 1 3 2 0 S3 2 1 2 z -6 -5 -4 5.- Método de eliminación Gauss-Jordan X1 2 2 1 1 0 0 90 X1 1 1 1/2 1/2 0 0 45 X1 -1 -1 -1/2 -1/2 0 0 -45 S2 1 3 2 0 1 0 150 S2 0 2 3/2 -1/2 1 0 105 X1 -2 -2 -1 -1 0 0 -90 S3 2 1 2 0 0 1 120 S3 0 -1 1 -1 0 1 30 ÷2, X (-1)+S2, X(-2)+S3, X(6)+Z X1 6 6 3 3 0 0 270 Z -6 -5 -4 0 0 0 0 Z 0 1 -1 3 0 0 270 6.- Nueva tabla simplex. No básicas Básicas Básicas Solución Razón 0 45 45/1/2= 90 1 0 105 105/3/2 = 70 -1 0 1 30 30/1= 30 3 0 0 270 270/-1= -270 X1 X2 X3 S1 S2 S3 X1 1 1 1/2 1/2 0 S2 0 2 3/2 -1/2 0 -1 1 0 1 -1 (X3) S3 z X3 0 X3 0 X1 -1 1 -1 0 1 30 1/2 -1/2 1/2 0 -1/2 -15 1 1 1/2 1/2 0 0 45 X1 1 3/2 0 1 0 -1/2 30 X3 0 3/2 -3/2 3/2 0 -3/2 -45 S2 0 2 3/2 -1/2 1 0 105 S2 0 7/2 0 1 1 -3/2 60 X3 0 -1 1 -1 0 1 30 Z 0 1 -1 3 0 0 270 Z 0 0 0 2 0 1 300 X3(-1/2)+x1, x3+(-3/2)+s2, x3+z 7.- Comprobación. Resultados X1 30 X2 0 X3 30 S1 0 S2 60 S3 0 Z 300 Z = 6X1 + 5X2 + 4X3 2X1 + 2X2 + X3 ≤ 90 X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 150 2X1 + X2 + 2X3 ≤ 120 Z=6(30) +5(0) +4(30) 2(30) +2(0) + (30) ≤ 90 30 +3(0) +2(30) ≤ 150 2(30) +0 +2(30) ≤ 120 Z= 300 90 ≤ 90 90 ≤ 150 120 ≤ 120 Método de Programación Lineal La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa, los modelos de programación lineal, por su sencilles, son usados con mayor frecuencia para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real, es decir, de la vida real en ciencias como la ingeniería y ciencias sociales. Lo que ha permitido a empresas y organizaciones grandes beneficios vinculados a su aplicación. Un Modelo de Programación Lineal (MPL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como en las restricciones del problema, por lo que la hace una herramienta más fácil de utilizar porque se facilitan los cálculos y permite una mejor aproximación de la realidad. Otros autores como Fedossova, Buitrago y Britto (2011) mencionan que: la Programación Lineal es un conjunto de técnicas de modelado y solución de problemas en los que todas las funciones involucradas son lineales. La estructura típica de un problema de Programación Lineal consta de una función objetivo que debe ser maximizada o minimizada y de una serie de restricciones que deben cumplirse. En otros términos, es el nombre que se le da al cálculo de la mejor solución a un problema modelado, con un conjunto de relaciones lineales, cuyo objetivo primordial es el de optimizar (maximizar o minimizar) funciones lineales, en varias variables lineales, con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal. A grandes rasgos se hace una mención de los elementos que integran el Modelo de Programación Lineal, los cuales son: -Variables de decisión: son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar. -Función objetivo: es la ecuación que será optimizada dadas las limitaciones o restricciones determinadas y con variables que necesitan ser minimizadas o maximizadas usando técnicas de programación lineal o no lineal -Restricciones de no negatividad: a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión, es decir, solo pueden tener valores no negativos (positivos o nulos). Método Simplex El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal, capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. También es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto, habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de este proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases. Método Simples – dual El método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que, como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima. Obtención de la solución de un MPL por el método Simplex Para determinar el resultado de un Modelo de Programación Lineal, al utilizar el método Simplex, se deben realizar los siguientes pasos: 1.- El primer paso consiste en convertir las desigualdades en igualdades al sumarles una variable de holgura S. esta variable representa la cantidad que le falta a la desigualdad para ser igualdad, estas variables de holgura, siempre son positivas. Como se muestra en el paso 1 del ejercicio anterior. 2.- Posteriormente, se procede a hacer una tabla simplex, para ello se procede a: a) en la primera celda se escribe la etiqueta de Básicas (haciendo referencia a las variables, posteriormente se coloca en la segunda columna la etiqueta de No básicas (haciendo referencia a las restricciones) después de terminar de colocar el número correspondiente de restricciones, se coloca en la columna siguiente la etiqueta de Básicas (haciendo referencia a las variables de holgura), y en la columna final se coloca el nombre de Solución. Como se muestre en el paso 2 del ejercicio anterior. b) en el segundo renglón se escriben cada una de las restricciones, en la primera columna de las Básicas se colocan las variables que corresponden a las variables de holgura (S). Como se muestra en el paso 2 del ejercicio anterior. Posteriormente se llenan las demás celdas con los valores de cada restricción. c) en el último renglón se coloca la función objetivo escrita con el signo contrario, es decir, Z = X1 -X2 +0S1 +0S2 +0S3 = 0, las 0S son las variables de holgura, colocándoles como coeficiente cero. Como en el paso 2 del ejercicio anterior. Una vez que se obtiene la tabla inicial simplex asociada al MPL (Modelo de Programación Lineal), se continúa para encontrar la solución óptima (si es que existe) o bien determinar que el problema no tiene solución óptima. 3.- Se elige el valor de Z más negativo y la fila con la razón menor (para obtener la razón se divide la solución entre el número que le corresponde de la columna de Z más negativa, así se obtiene la variable de salida de la tabla simplex. Como en el paso 3 del ejercicio anterior. 4.- Se hace la presentación de la nueva tabla simplex, en este paso, se cambia en la primera columna de las Básicas la variable de holgura por la X donde se encuentra la Z más negativa. Y se localiza el Pivote (es donde se cruzan la columna con la Z elegida y la fila con la menor razón). Como en el paso 4 del ejercicio anterior. 5.- El pivote se convierte en 1 y los demás valores de la columna de entrada se convierten en 0 por el método de eliminación de Gauss-Jordán. Como en el paso 5 del ejercicio anterior. 6.- Después de realizar el método de eliminación de Gauss-Jordán, se procede a presentar la nueva tabla simplex. Como en el paso 6 del ejercicio presentado anteriormente. 7.- El proceso termina cunado Z no existen valores negativos y la variable que no aparece en la segunda columna básica es 0. Si Z es todavía negativo, se vuelve a realizar todo el proceso de iteración, y se efectúan los siguientes pasos correspondientes. Como se muestra en el paso 7 del ejercicio previamente resuelto. Posteriormente se realiza la comprobación para determinar que los valores son los correctos y que cumplen con las restricciones. Conclusión El método simplex, es un procedimiento que permite la solución de problemas de programación lineal, problemas de grandes dimensiones que presentas resultados eficaces, es decir, este es un algoritmo que nos ayuda a determinar de manera eficaz una solución cuando esta existe en el problema presentado. El método simplex mejora la solución hasta donde sea posible, como mencionamos anteriormente siempre busca la solución mas optima para resolver el problema en cuestión (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar). Todo este proceso como mencionamos antes trabaja con ecuaciones y restricciones, las cuales deben transformase en variables de holgura para seguir con el proceso. Una vez mencionado cabe recalcar la importancia de la aplicación de este método en el ámbito empresarial, nos ayuda a obtener soluciones de problemas sobre los inventarios, ganancias y pérdidas; nos permite tener una visión amplia de cuando se debe vender, cuanto se debe producir o cuanto se debe comprar según sea el caso para que la empresa obtenga las ganancias óptimas y suficientes para competir en un mercado. De igual manera para fines prácticos del proyecto realizamos un ejercicio buscando la solución óptima mediante el método simplex, primero se presentó la función objetivo y las restricciones correspondientes como mencionamos anteriormente había que convertir estas inecuaciones en ecuaciones, apoyándonos en las variables de holgura, posteriormente identificar el pivote y variable de salida, aplicar el método de eliminación de Gauss- Jordán; al no encontrar la solución optima dentro de la primera eliminación se tuvo que repetir el proceso hasta encontrar que tuvimos como resultado X1=30, X2=0, X3=30, S1=0, S2=60, S3=0 Y Z=300; en términos de análisis podemos poner como ejemplo una empresa que produce 3 productos, necesitamos maximizar para obtener utilidades, tendríamos que vender o producir de X1=30, X2=0, X3=30; y que no ocupamos todo el material para fabricar porque nos queda S1=0, S2=60, S3=0, y necesitamos vender a un precio de z=300 para poder maximizar la producción o ventas, y generar la mayor utilidad posible. Durante la realización de este proyecto aprendimos, aplicar el método simplex y dual simplex para resolver un problema determinado, en este caso de maximizar, se tuvieron limitaciones en la compresión de algunos pasos a seguir; en el ámbito profesional aprender a resolver el método simplex nos será de gran ayuda en el futuro al momento de laborar en alguna empresa que requiera de una maximización para aumentar sus utilidades y nosotros mediante este proceso podemos aplicarlo para cumplir el objetivo, ya que fue parte de nuestra formación académica.
