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PRUEBA DE DEFINICIÓN
DE NIVELES
MATEMÁTICA
Facultad de Economía y Facultad de Ingeniería
CUADERNO
AUTOINSTRUCTIVO DE
PREPARACIÓN
SUMARIO:
Unidad
1
Página
Revisión de temas de Precálculo
Ecuaciones cuadráticas
Ecuaciones polinómicas
Ejercicios y problemas
Conjunto de valores admisibles
Ecuaciones racionales
Ecuaciones irracionales
Ecuaciones bicuadráticas
Ejercicios y problemas
Intervalos
Inecuaciones
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones racionales
Ejercicios y problemas
2
Funciones básicas
Introducción
Definición de función
Gráfica de una función
Propiedades de las funciones
Funciones básicas y sus características
Funciones seccionadas
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
3
49
50
52
54
63
66
69
71
Graficación de funciones: transformaciones
Técnicas de transformación
A. Desplazamientos
B. Reflexiones
C. Estiramientos
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
4
1
10
13
17
20
23
25
28
31
34
39
42
45
73
73
75
77
82
83
Funciones exponencial y logarítmica
Función exponencial
Gráfica de función exponencial
Propiedades de la función exponencial
Transformaciones de funciones exponenciales
86
87
89
89
La función exponencial natural
Función logarítmica
Gráfica de la función logarítmica
Propiedades de la función logaritmo
Leyes de logaritmos
Modelación con funciones exponencial y logarítmica
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
5
Operaciones con funciones
Introducción
Definición de adición, diferencia, producto, cociente
Composición de funciones
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
6
9
112
112
113
114
115
117
118
Funciones trigonométricas
La circunferencia trigonométrica (C.T.)
Puntos terminales notables
Funciones trigonométricas
Gráficas de las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente)
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
8
99
100
105
109
110
Función inversa
Función uno a uno
Criterio de la recta horizontal
Definición: función inversa
Principio de reflexión inversa
Regla de composición de la inversa
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
7
90
91
92
93
93
95
96
97
120
122
123
125
131
132
Ecuaciones trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
2
3
135
145
146
Magnitudes escalares y vectoriales
Operaciones con vectores
Vectores coordenados unitarios
Producto escalar
148
150
151
152
Vectores en R y R
153
154
156
156
Ángulo entre vectores
Producto vectorial en R3
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
10
Matrices
158
161
164
165
166
167
167
Conceptos básicos
Algunas operaciones con matrices
Matrices escalonadas
Transformaciones elementales
Matrices equivalentes
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
11
Sistema de ecuaciones lineales
Conceptos básicos
Conjunto solución
Transformaciones elementales en un SEL
Operaciones o transformaciones elementales por filas en una matriz
Representación matricial de un SEL
Matriz ampliada del sistema
Método de eliminación de Gauss
Problemas de modelación que se resuelven con SEL
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos
Ejercicios y problemas
169
170
171
172
172
173
174
176
179
179
Este material fue preparado por
los profesores del Área de Ciencias:
Mg. Lic. Jose Cuevas
Lic. Walter Figueroa
Mg. Ing. Armando Novoa
Lic. Alejandro Serquén
UPC, 2010
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1:
REVISIÓN DE TEMAS DE INTRODUCTORIOS
ECUACIONES CUADRÁTICAS. ECUACIONES POLINÓMICAS.
Ecuaciones cuadráticas:
La ecuación
3x 2  5 x  2  0
es un ejemplo de ecuación cuadrática, estas ecuaciones pertenecen a la familia de
ecuaciones polinómicas que estudiaremos con mayor profundidad más adelante.
Resolveremos este tipo de ecuaciones de dos formas:

Algebraicamente, a través los métodos de factorización, completando el
cuadrado y el uso de la fórmula cuadrática.

Geométricamente, usaremos el GeoGebra para mostrar que las respuestas
obtenidas algebraicamente también se pueden aproximar de forma gráfica, a
través de las intersecciones de la ecuación con el eje x del plano cartesiano,
dichas aproximaciones por lo general son muy buenas.
Definición: Una ecuación cuadrática en la variable x es cualquier ecuación que se
puede escribir en la forma
ax 2  bx  c  0
donde a, b y c son números reales y a  0 .
Una solución cuadrática en x se resuelve determinando sus raíces (soluciones). Las
raíces de una ecuación cuadrática en x son todos los valores de x que satisfacen a
dicha ecuación.
Importante saber:
En el siguiente curso de matemática de cada carrera, se trabaja con funciones de la
forma y  f (x) y dentro del análisis de funciones se requiere determinar los ceros de
la función, los ceros son los valores de x en la cual la función se anula, es decir, son
1
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
los valores en el eje X por la cual pasa la gráfica de la función. Si se trata de una
función cuadrática los ceros serían determinados al resolver una ecuación cuadrática.
A. Solución por factorización
El método de solución de ecuaciones cuadráticas por factorización se basa en la
siguiente propiedad del factor cero de números reales.
Propiedad del factor cero
Si a y b son números reales y a  b  0 entonces a  0 ó b  0 ó bien a, b  0
En otras palabras, la propiedad del factor cero dice que el producto de dos números
reales es cero si y sólo si uno de los factores (ó ambos) es cero.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1. Determine el conjunto solución de
factorización.
3x 2  5 x  2  0
por
Solución algebraica.
Para lograr la factorización nos ayudamos del aspa simple
3x 2  5 x  2
3x
x
1
2
luego 3 x  1 x  2   0 y aplicando la propiedad del factor cero se tiene:
3 x  1  0 ó bien x  2  0
de donde las soluciones de la ecuación son x  
1
y x  2.
3
Comprobando:
2
1
 1
 1
Para x   entonces 3    5    2  0
3
 3
 3
Para x  2 entonces 32   52   2  0
2
 1
 3


Así el C.S   ; 2 .
2
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Solución gráfica. Comencemos por escribir y  3 x 2  5 x  2 en la opción de
entrada del GeoGebra, obteniendo su gráfica tal como se muestra en la figura
adjunta, luego escribimos la opción Interseca[c,EjeX], esta opción nos
permite localizar las intersecciones x de la gráfica con el eje X, donde c
representa a la curva y  3 x 2  5 x  2 .
De la gráfica podemos concluir que las soluciones de esta ecuación son
x1  0,33 y x 2  2 , siendo la primera solución una buena aproximación a la
obtenida algebraicamente.
Ejemplo 2. Determine el conjunto solución de 2 x 2  x  1 .
Solución algebraica: Primero le damos la forma canónica, es decir:
2x 2  x  1  0
Al factorizar se obtiene x  12 x  1  0 , de donde
x  1 ó bien x 


Así el CS   1,
1
2
1
.
2


Ejemplo 3. Determine el conjunto solución de 3 3 x 2  1  23 x  1 .
3
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Solución algebraica:
Desarrollamos los paréntesis para darle la forma canónica
9x 2  3  6x  2
9x 2  6x  1  0
Factorizando se tiene 3 x  13 x  1  0 , es decir 3 x  1  0 de donde x  1 / 3 .
2
1 
3
Así el CS    .
En los ejemplos anteriores no hubo mayor dificultad a la hora de factorizar, sin
embargo existen ecuaciones como por ejemplo 2 x 2  2 x  1  0 que no pueden ser
factorizadas como las anteriores. Las ecuaciones de este tipo se pueden resolver
mediante el método de completar cuadrados.
B. Solución completando cuadrados
Para utilizar este método debemos seguir los siguientes pasos:
1. Se debe escribir la ecuación en la forma
x2 
donde el coeficiente de x 2 es 1,
b
c
x   … (I)
a
a
b
c
es el coeficiente de x y 
es el termino
a
a
constante y debe estar al lado derecho de la ecuación.
2. Se eleva al cuadrado la mitad del coeficiente de x , es decir:
2
 b 
  … (II)
 2a 
3. Se suma el valor obtenido en (II) a ambos lados de la ecuación (I), luego se
factoriza y se despeja x .
La importancia de este método recae en el momento de la factorización, pues resulta
que siempre se tendrá un cuadrado perfecto.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 4. Determine el conjunto solución de 2 x 2  2 x  1  0 completando el
cuadrado.
Solución algebraica:
4
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Paso 1: Al dividir entre 2 y colocar el término constante al lado derecho se
tiene: x 2  x 
1
... (I)
2
2
1
 1
Paso 2: El coeficiente de x es – 1, luego     .
4
 2
Paso 3: Sumamos
1
en ambos lados de (I) y factorizamos el lado izquierdo
4
1 1 1
x x  
4 2 4
2
2

1
3

x  
2
4

Tal como lo habíamos mencionado al factorizar resulta un cuadrado perfecto,
finalmente nos queda despejar x
x
1
Así el CS   
2
1
3 1
3

 
2
4 2 2
3
3 1
, 
.
2 2 2 
Solución grafica: Escribimos y  2 x 2  2 x  1 en la opción de entrada del
GeoGebra, obteniendo la siguiente gráfica
5
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Luego escribimos la opción Interseca[c, EjeX], y tal como podemos observar en la
grafica las soluciones de la ecuación cuadrática son x1  0,37 y x 2  1,37 . Utilizando
una calculadora podemos comprobar que estos valores son una buena aproximación a
los encontrados de forma algebraica.
Ejemplo 5. Determine el conjunto solución de
1 2
1
x  x 0.
3
3
Solución algebraica:
Multiplicando por 3 y despejando el término constante, se tiene
x 2  3 x  1
luego el coeficiente de x es 3, entonces
2
3
3
x  3 x     1   
2
2
2
2
2
3
5

x  
2
4

x
3
5

2
4
x
3
5

2
2
 3
3
5
5

, 
 ó CS   2,618 ,  0,381
2 2 
 2 2
Así, CS  
Ejemplo 6. Determine el conjunto solución de 25 x 2  4  0 .
Solución algebraica:
Observamos que el coeficiente de x es cero, por tal razón la solución es
Inmediata, como antes, se escribe la ecuación en la forma
25 x 2  4 o sea x 2 
4
25
Sacando raíz cuadrada en ambos lados se tiene x  
2
2
ó bien x 
5
5
 2 2
, 
 5 5
Así, CS  
6
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C. Solución utilizando la fórmula cuadrática
En el método anterior explicamos el proceso para determinar las posibles soluciones
de ecuaciones cuadráticas completando cuadrados, este mismo método conduce a la
siguiente formula, la cual será demostrada más adelante en la sesión “Para saber
más”.
Fórmula General
Si ax 2  bx  c  0 ; ( a  0 ) entonces el discriminante  es:
  b 2  4ac
y dependiendo de este valor sabremos el número de soluciones que tendrá el conjunto
solución, es decir:
a. Si   0 entonces existen dos soluciones reales distintas x1 y x 2 , así
CS  x1 ; x 2  , donde x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
b. Si   0 entonces existen dos soluciones reales iguales x  x1  x 2 , así
CS  x , donde x  
b
2a
c. Si   0 entonces no existe ninguna solución real, así
CS   ó CS  

Por lo tanto, queda claro que dado una ecuación cuadrática, podemos tener 2 ó 0
soluciones reales (incluyendo el caso en que las 2 respuestas sean iguales).
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 7. Determine el conjunto solución de 3 x 2  5 x  1  0 usando la
formula general.
Solución algebraica:
Empezamos identificando los coeficientes de la ecuación, es decir a  3 ,
b  5 y c  1 . Luego tenemos dos alternativas, reemplazar directamente en
la formula ó analizar el discriminante para ver si existen o no soluciones, lo
dejamos a criterio del lector, aquí analizaremos el discriminante
   5  431  13  0
2
7
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Con lo cual sabemos la existencia de soluciones, luego reemplazamos en la
formula cuadrática, obteniendo
x1, 2 
  5  13 5  13

23
6
 5  13 5  13 
,
 ó CS  0,2324 , 1.4342
6 
 6
Así, el CS  
Ejemplo 8. Use la formula general para determine el conjunto solución de:
(a) x 2 
2
1
x
3
9
(b) 2 x 2  4 x  3
Solución algebraica
(a) Dándole la forma canónica se tiene 9 x 2  6 x  1  0 , con lo cual
   6   49 1  0 , luego la única solución es:
2
x1  x 2 
  6  0 1

18
3
1 
3
Así, CS   
2 x 2  4 x  3  0 , con lo cual
2
  4   42 3  8  0 . Por lo tanto el CS   .
(b) Dándole la forma canónica se tiene
Aplicaciones:
El siguiente ejemplo es un problema cuya solución implica plantear y resolver una
ecuación cuadrática, aquí el lector puede usar cualquier método para resolverlo.
Ejemplo 9. Trayectoria de un cohete de agua: Un nuevo modelo de cohete
de agua se lanza verticalmente hacia arriba, de modo que su altura (medida en
pies) t segundos después del lanzamiento está dada por
h(t )  16t 2  384t  4
a. Determine el instante en que el cohete alcanza una altura de 1 284 pies.
b. ¿Cuánto tiempo permanece el cohete en vuelo?
Solución:
a. Del enunciado planteamos h(t )  1 284 , entonces:
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 16t 2  384t  4  1284
16t 2  384t  1280  0
t 2  24t  80  0 ,
después de simplificar tenemos una ecuación cuadrática simple de resolver,
usando el método de factorización se tiene
t  20t  4  0 ,
de donde t  20 y t  4 .
Conclusión: El proyectil alcanza una altura de 1 284 pies, a los 4 y 20
segundos después de su lanzamiento.
b. El cohete estará en vuelo hasta cuando h(t )  0 , luego
 16t 2  384t  4  0
4t 2  96t  1  0 ,
usando la formula cuadrática se tiene x1, 2 
96  9232
, luego x1  0,01 y
8
x 2  24,01 . Veamos gráficamente
La grafica muestra la trayectoria del cohete, donde el punto A(0; 4) significa
que el cohete en el instante 0 esta a 4 pies del suelo (posición de lanzamiento),
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además podemos observar que el cohete permanece en vuelo hasta que toca
el suelo en el punto B (24, 01; 0) , en otras palabras después de
aproximadamente 24, 01 segundos el cohete impacta con el suelo.
Conclusión: El proyectil permanece en vuelo aproximadamente 24,01
segundos.
Ecuaciones polinómicas:
Sea n  N , decimos que P(x) es un polinomio de grado n si es de la forma
P ( x)  a n x n  a n 1 x n 1  a n  2 x n  2    a1 x  a0
donde a n , a n 1 , a n  2 ,, a1 , a 0 son números reales llamados coeficientes con a n  0
coeficiente principal y a 0 termino independiente.
Definición: Las ecuaciones polinómicas son igualdades de dos expresiones
algebraicas donde una de ellas es un polinomio y la otra es cero, así una ecuación
polinómica es de la forma
a n x n  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2    a1 x  a0  0
Ejemplo 10. ¿Cuáles son ejemplos de ecuaciones polinómicas?
1.
x 20  x 14  x 2  0 es una ecuación polinómica de grado 20.
2.  2 x 5  2 x 4  5 x 2  2  0 es una ecuación polinómica de grado 5.
3.
2
x  4  0 es una ecuación polinómica de grado 1.
3
4. 2  x  5 x 2  0 es una ecuación polinómica de grado 2.
5.
x 2  x 2  3 x  0 no es una ecuación polinómica porque hay un
exponente negativo.
1
6. 4  2 x  x no es una ecuación polinómica porque
x  x2 y
1
N .
2
Según la definición anterior, podemos decir que ya hemos estudiado dos ecuaciones
polinómicas importantes como son las ecuaciones de primer grado (ecuaciones
lineales) y las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Aquí
estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado mayor a 2 poniendo en práctica las
herramientas sobre factorización ya que si un polinomio de cualquier grado esta
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factorizado, es decir, esta expresado como un producto de polinomios de grado 1 o de
grado mayor pero sin raíces reales, el cálculo de sus soluciones son inmediatas, pues
sabemos que el producto de factores es igual a cero si y sólo si todos o algunos de los
factores es cero.
Veamos algunos ejemplos:


Ejemplo 11. Determine el conjunto solución de x 2  4 2 x  1 x   0 .
Solución algebraica:
Observamos que aplicando la diferencia de cuadrados en el primer término, el
polinomio queda totalmente expresado como un producto de factores lineales,
x  2x  22 x  1x   0
luego las soluciones de la ecuación son
x  2  0 ; x  2  0 ; 2x  1  0 ; x  0
1
x2
; x0
; x  2 ; x  
2


Así, el CS   2, 
1

; 0; 2
2

Solución gráfica:
Al igual que en los casos anteriores, las soluciones de dicha ecuación serán los
ceros o los valores del eje X donde la gráfica de P ( x)  x 2  4 2 x  1x se
intersecta con el eje X.


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Ejemplo 12. Determine los ceros del polinomio P ( x)  3 x 3  x 2  2 x
Solución algebraica:
Sabemos que parar determinar los ceros debemos resolver la ecuación
P( x)  0 , por tal razón pensamos en la factorización, de donde observamos
que x es un factor común, luego queda factorizar una expresión cuadrática
sencilla, es decir
P ( x)  x(3 x 2  x  2)  x(3x  2)( x  1)
igualando a cero cada factor lineal, tenemos x  0 , x 
2
y x  1 , con lo
3
cual concluimos que el polinomio tiene 3 ceros distintos y son -1, 0, 2/3.
Ejemplo 13. Determine los ceros del polinomio P ( x)  x 4  x 3  5 x 2  x  6 .
Solución algebraica:
Factorizando el polinomio por algún método ya estudiado, como por ejemplo el
método de Ruffini, luego


P ( x)   x  2  x  3 x 2  1
de donde los ceros del polinomio son 2 y -3.
Es importante recordar al lector que la expresión x 2  1 es estrictamente
positiva, es decir x 2  1  0 , geométricamente significa que la curva y  x 2  1
esta por encima del eje X y por tal razón no tenemos ceros reales en dicha
expresión (ver figura).
Ejemplo 14. Determine un polinomio de tercer grado, sabiendo que -1, 2 y 3
son sus ceros y que el coeficiente del término de mayor grado es 5.
Solución algebraica:
No es difícil darse cuenta que el polinomio factorizado sería
P ( x)  5x  1 x  2 x  3 .
12
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Ejercicios y problemas
1. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones.
Justifique adecuadamente su respuesta.
a. El conjunto solución de la ecuación 2 x 2  4 x es 2 .
b. El conjunto solución de la ecuación x 2  9  0 es  3; 3
c. El valor del discriminante en la ecuación 2  x  x 2  0 es 8.
d. Si la ecuación x 2  4 x  a  0 tiene una única solución real entonces el valor
de a es 4.


e. El polinomio P ( x)  (1  x 2 ) 1  x 2 es de grado 4 con coeficiente principal 1.
f.
Una de las soluciones de la ecuación x 3  4 x 2  4 x  0 es x  2 .
g. Sea P ( x)  2 x 2  kx  1 tal que P (2)  1 entonces el valor de k es – 3.
2. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante el
método de factorización:
a.
x  42  x   0
b. 2 x 2  x  6  0
c. 5 y 2  62 y  153
g.
w  2w  1  0
h. 4s 2  1
i.
1
x  12  102
2
j.
s (6 s  13)  5
d. 4t 2  5t  0
e.
1 2
z  z  12  0
2
k. 8 x 2  7 x  1
f.
t 2t  1  6
l.
 3x 2  3x  0
3. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante el
método de completar cuadrados:
a.
x 2  8 x  16  0
f.
b.
x  1x  2 xx  1
g. t 2  3t  2
c.
r 2  4  2r
h.
3x  22 x  1  2 x 2  7
d. 2 y 2  5 y  2  0
i.
2r  19r  1  4
j.
4  7z  2z 2  0
e.
x  2x  1  2 x 2  5 x  4
n 2  2n  4  0
13
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4. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante la
fórmula general:
a.
x 2  3x  2  0
b.
1 2
t  48t  80
4
h.
x2 1 x
 1
2
3
i.
s2 1 s  2

8
2
3
j.
2(1  t )  ( x  1) 2  2  t
c.
2 y  y  17   21  0
d.
8 x  1x  5 x
e.
 y  4 2  5 y  0
k.
1  2ww  3  5
f.
p 2  12 p  2080
l.
y y
  y2
2 5
2
4
g.  m 2  3m  14  0
m. 1,5 x 2  3,5 x  2,5  0
5. Utilice el discriminante para determinar el número de soluciones reales de las
siguientes ecuaciones:
a. 420  23 x  x 2  0
d. 6 z 2  2 z  4  0
b. 9 x 2  48 x  64  0
e. 25m 2  80m  64  0
c.
2x 2  4x  7  0
f.
 2n 2  3n  0
6. De las siguientes expresiones algebraicas identifique cuáles son polinomios. En
caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.
d.
f ( x)  2 x  2 x  5
b. Q (m)  1  m 2  3m 3
e.
g ( x)  e 2 x  2e x  1
1
f.
h( s ) 
a.
c.
P ( x)  x 21  20 x 2  3
R ( x) 

x 12  x 8  x

1
s  2  s 2  4
3

7. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones polinómicas,
utilice un método de factorización adecuado:
a.
1  x x  1x  0
4
b. 8m 3  1  0
c.
2x 4  7 x3  6x 2  x  2  0
d.
x  122 x 3  3x 2  2 x   0
e.
x 5  8x 2  0
f.
p 4  5 p3  5 p2  5 p  6  0
14
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8. Determine los ceros de los siguientes polinomios:
a.
P ( x)  x 4  x 3  6 x 2
c.
b. Q( x)  2 x 3  5 x 2  x  2
R (t )  t 8  1


d. S ( y )  2 y 2  3 y  2  y  2 
9. Determine un polinomio de grado cuatro, sabiendo que 1, -2 y 3 son sus ceros y
que el coeficiente del término de mayor grado es 2.
10. Asocie la ecuación con su gráfica:
A. y  x 2  x  2
B. y  0.5( x  2)( x  3)
C. y   x 2  6 x  8
11. Un arquitecto desea diseñar un plano para la construcción de una mansión, el
propietario le pide que incluya dentro del plano un jardín rectangular proyectado en
su patio, donde el largo del jardín debe medir el doble de su ancho y el área del
jardín debe ser de 200 m2. Si el propietario esta interesado en saber cuántos
metros de cerca necesita para cercar el jardín, ¿cuál es la respuesta del
arquitecto?
12. Un grupo de ingenieros desean diseñar un tanque de agua que consta de un
cilindro circular recto con extremos semiesféricos iguales. Ellos determinan que la
superficie del recipiente es S  2 rl  4 r 2 , donde l es el largo del cilindro y r
es el radio de los extremos semiesféricos. Determine la longitud del radio de cada
extremo semiesférico si se sabe que el largo del cilindro es de 8 pies y el área de
la superficie es de 180 pies2.
13. Un grupo de ingenieros determina que la producción de un pozo petrolero
dependiendo del tiempo que es explotado está modelado por la ecuación
P (t )  t 3  2t 2  8t donde P (t ) son millones de barriles de petróleo que se
producen por año y t representa la cantidad de años de explotación a partir del
año cero. Determine cuándo el pozo dejará de producir petróleo.
14. La constructora de las casas tiene departamentos en venta, se estima que a un
precio de $100 000 por departamento se venderán aproximadamente 180
departamentos por mes, se decide subir el precio por departamento y se estima
que por cada aumento de $10 000 se venderán tres departamentos menos
a. Sea x el número de veces que se aumenta el precio en $10 000. Determine la
ecuación que relacione los ingresos R (en cientos de miles) con x .
b. ¿Cuántas veces tendría que aumentarse el precio para en $10 000 para
reducir los ingresos a cero?
15
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15. El dueño de una ferretería compra cierta cantidad de varillas de fiero por S/. 120.
Decide guardar 3 unidades y vender el resto un precio unitario de S/ 3 más de lo
que le costó, obteniendo S/. 15 menos del monto invertido. Determine
a. El precio al cuál compró las varillas de fierro.
b. El número de varillas que compró.
16. Se desea construir un edificio para departamentos en un terreno rectangular cuyo
perímetro es de 90 m y 500 m2 de área. Determine las dimensiones sobre la cual
se construirá el edificio.
17. Un jardín tiene la forma de un triángulo rectángulo, el cual será cercado con
pequeñas flores en todo su contorno, determine el perímetro del jardín si los lados
del jardín vienen medidos (en metros) por tres números pares consecutivos
18. Una pequeña plancha metálica rectangular es 4 cm más larga que ancha, se corta
en cada esquina cuadrados de 6 cm de lado, luego se doblan los bordes
obteniendo una caja sin tapa. Determine
a. Una ecuación que modele el volumen V en términos del ancho x .
b. ¿Existe alguna restricción para los valores que pueda tomar el ancho x ?
c. Las dimensiones de la caja si se requiere que esta tenga un volumen de 840
cm3.
19. Se lanza directamente hacia arriba una pelota desde el balcón de un edificio, la
altura de la pelota medida desde el suelo después de t segundos está dada por
h(t )  16t 2  64t  768
Determine:
a. ¿en qué momento llega la pelota al suelo?
b. ¿cuál es el punto más alto que alcanza la pelota?, de ser necesario estime
dicho valor mediante algún graficador.
20. Cierta especie de aves que se encuentran en un zoológico aumenta y disminuye
según la ecuación


N  1 000 30  17t  t 2 ,
donde N es el número de aves que hay en el tiempo t , siendo t el número de
años desde el primero de enero de 2002 fecha en la cual la población de dichas
aves fue estimada por primera vez. Determine
a. ¿en qué fecha la población de aves volverá a ser la misma que cuándo se
estimo por primera vez?
b. ¿en qué fecha no habrá ningún ave de dicha especie en el zoológico?
16
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ECUACIONES RACIONALES, IRRACIONALES Y
BICUADRÁTICAS.
Vamos a estudiar algunas técnicas para resolver ecuaciones racionales, irracionales y
bicuadráticas. Para trabajar estas técnicas es necesario recordar el conjunto de
valores admisibles (C.V.A.) que será de gran utilidad para saber que valores son
aceptables en el conjunto solución (C.S.), este concepto toma mayor fuerza en el
siguiente curso, pues permitirá comprender y trabajar el concepto de dominio de una
función.
Sabemos que una expresión racional es de la forma
P( x)
Q( x)
donde tanto P( x) como Q( x) son polinomios con Q( x)  0 .

Si se trata de una expresión racional, observamos que es muy importante
saber que valores puede tomar la variable x tal que Q( x)  0 , por tal razón en
adelante se debe tener cuidado con las expresiones en términos de x que se
encuentren en el denominador de una expresión racional.

Si la expresión no es racional como por ejemplo
x3
1 x
El lector debe tener bien en claro el concepto siguiente.
Concepto:
Para cualquier expresión algebraica, recordemos que definimos al Conjunto de
Valores Admisibles (C.V.A.) como aquel en el que sus elementos son todos los
valores que puede tomar la variable.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 15. Determine el valor de verdad o falsedad de la siguiente
proposición, justificando su respuesta: “El C.V.A. de un polinomio P ( x)
siempre son los números reales”
Solución. Verdad. Cualquier polinomio P( x) puede tomar cualquier valor en
su variable x (porque no tiene restricción) por lo que su C .V . A.   .
17
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Ejemplo 16. Determine el C.V.A. de las siguientes expresiones racionales:
a.
2  x2
x2  4
b.
2x
1 x2
c.
1  2x
5

2 x  3x  2 x  2
2
Solución.
a. Observamos que el denominador es estrictamente mayor a cero, es decir
x 2  4  0 para todo número real, por lo tanto el:
C.V.A.  R
b. En este caso se tiene que 1  x 2  1  x 1  x   0 entonces x  1 y x  1 ,
así el C.V.A.  R   1;1
c. Tenemos una suma de dos expresiones racionales, para determinar el
C.V.A. nos centramos en el denominador de cada expresión, es decir
(2 x  1)( x  2)  0  x  2  0
de donde x  
1
 1
y x  2 , así el C.V.A.  R   ;
2
 2

2

Es importante que se tenga claro que para determinar el C.V.A. de una suma,
diferencia, producto y/o cociente de expresiones algebraicas, así como en el caso de
ecuaciones e inecuaciones, las expresiones son analizadas una por una sin hacer
algún tipo de operación, una vez determinado el C.V.A. de cada expresión se
intersectan los resultados para obtener el C.V.A. de expresión en general.
Para poder resolver las ecuaciones racionales se debe tener ciertas habilidades
operativas, vamos a repasarlas mediante los siguientes ejemplos:
Ejemplo 17. Determine el mínimo común múltiplo (MCM) de los siguientes
polinomios
a.
x 2  4 x; x  4
Solución. Factorizando el primer polinomio se tiene x x  4  , luego el menor
polinomio múltiplo común es x x  4  .
b.
x 2  3x  2; x 3  2 x 2  4 x  8
Solución. Factorizando los polinomios se tiene x  2  x  1 y x  2  x  2 
2
luego el menor polinomio múltiplo común es  x  2   x  1 x  2 
2
18
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Ejemplo 18. Determine el C.V.A. y simplifique
2
1

x  2x x  2
2
Solución. Como las expresiones son racionales, entonces para analizar el
conjunto de valores admisible nos preocupamos únicamente por los
denominadores de cada expresión, los cuales deben estar factorizados, esto
nos lleva a la siguiente expresión
2
1

x x  2  x  2
es así como podemos decir que x  0  x  2 , en otras palabras el
C.V.A.  R  0; 2 , luego efectuando la resta se obtiene la siguiente expresión
equivalente
 ( x  2)
2 x
1


x x  2  x x  2 
x
podemos observar para obtener la última expresión fue importante el manejo
de MCM de polinomios.
Ejemplo 19. Determine el C.V.A. y simplifique
x
3x 2  1

3
2
x 4 x2
Al igual que el ejemplo anterior factorizamos el primer denominador,
obteniendo
3x 2  1
x

3
x  2( x  2) x  2
de donde el C.V.A.  R   2; 2 , luego observamos que tenemos que sumar
y restar expresiones racionales, es decir sacamos el M.C.M. en el denominador
y efectuamos las operaciones
3x 2  1  x  x  2   3  x  2  x  2 
 x  2  x  2 


3x 2  1  x 2  2 x  3 x 2  12
 x  2  x  2 
x 2  2 x  13
( x  2)( x  2)
la última expresión se dice que es una expresión equivalente a la primera.
Habiendo revisado el C.V.A. y el M.C.M. y usándolo para luego simplificar una
expresión algebraica, podemos formalizar el proceso para resolver una ecuación
racional.
19
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Ecuaciones racionales
Son aquellas ecuaciones donde uno de sus miembros es una expresión racional
(formada por polinomios) y el otro es cero, es decir son de la forma
P( x)
0.
Q( x)
Ejemplo 20. Son ejemplos de ecuaciones racionales las siguientes:



3x  4
0
1  x 20
1  x3
x 5  12 x  2
0
x 2  3x  2
0
x 17  5 x 4  24 x  1
No son ejemplos de ecuaciones racionales las siguientes (tomándose en
cuenta que no están formadas por polinomios):

x2
20
x4

cos x  2 x
0
x  sen x
Veamos algunos ejemplos en los cuales resolvemos ecuaciones racionales paso por
paso:
Ejemplo 21. Determine el C.V.A. y el C.S. de
3
1
2


2 x  1 x  3 2 x  1 x  3
Solución algebraica:
Paso 1: Determinar el C.V.A.
Rápidamente observamos que x  
1
 1 
 x  3 , así el C.V.A.  R   ; 3 .
2
 2 
Paso 2: Determinar el MCM de los polinomios que están en el denominador
El MCM es 2 x  1 x  3 .
20
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Paso 3: Multiplicar el MCM a ambos miembros de la ecuación
2 x  1x  3

3
1
2



 2 x  1 x  3 2 x  1 x  3 
3 x  3  2 x  1  2
3x  9  2 x  1  2
x  12
Paso 4: Verificamos si la solución satisface a la ecuación principal
Comenzamos observando que 12 pertenece al C.V.A. luego reemplazamos
en la ecuación principal para verificar que la igualdad se cumple, es decir
3
1
2


212   1 12  3 2(12)  112  3
2
2

225 225
esto nos garantiza que la solución pertenece al conjunto solución.
En caso de que no hubiera pertenecido al C.V.A. inmediatamente se le excluye
como elemento del C.S. La comprobación que se realiza reemplazando en la
ecuación principal no es obligatoria de hacer pero si es muy importante para
verificar nuestra respuesta.
Paso 5: Finalizamos expresando el conjunto solución
C.S   8
Los pasos anteriores ilustran el proceso para llegar al conjunto solución, no es
una receta estricta a cumplir, sin embargo se aconseja seguirlos siempre.
Ejemplo 22. Determine el C.V.A. y el C.S. de
x4
2 1 x
 
2
x  2x x x  2
Solución algebraica:
Paso 1: Observamos que x 2  2 x  0  x  0  x  2  0 , factorizando, esto se
reduce a x  0  x  2 , de donde el C.V.A.  R  0; 2 .
Paso 2: El MCM de los polinomios del denominador es x x  2  .
Paso 3:
 x4
2 1 x 
 
x x  2 

 xx  2 x x  2 
21
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x  4  2 x  2   x1  x 
x  4  2x  4  x  x 2
x2  2x  0
x x  2   0
Tenemos dos posibles soluciones x  0 y x  2 .
Paso4: Observamos que 0  C.V.A. y  2  C.V.A , con lo cual descartamos a
0 como parte del conjunto solución quedando únicamente -2, siendo este valor
parte del conjunto solución, pues
24
 2
2
 2(2)


2
1  (2)

(2) (2)  2
3
3

4
4
Paso 5: C.S .   2
Solución geométrica:
x4
2 1 x
 
, donde
2
x  2x x x  2
podemos apreciar que en x  0 hay un hueco y en x  2 la curva se va hacia
La grafica muestra la curva de la ecuación y 
el menos y más infinito (a la izquierda y derecha de dos respectivamente), esto
22
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significa que la curva no toma ningún valor en el eje Y para dichos valores del
eje X y por lo tanto x  0  x  2 tal como lo afirmó el C.V.A., además
muestra que el único cero es -2, con lo cual comprobamos que el C.S. obtenido
algebraicamente es correcto.
En el ejemplo anterior podemos observar el C.V.A. nos sirve para descartar soluciones
que no serán parte del conjunto solución y evitar la tarea de comprobación de algunos
valores, además podemos establecer como regla general en ecuaciones polinómicas y
racionales que todos los valores que pertenecen al conjunto de valores admisibles
(C.V.A.) son parte del conjunto solución (C.S.), evitando también la tarea de
comprobación del resto de valores y simplemente (a menos que el lector cometa
errores en el proceso de desarrollo) podemos colocar de manera directa el conjunto
solución.
Sin embargo las ecuaciones siguientes no cumplen con esta regla, pero el C.V.A.
sigue ayudando a discriminar valores.
Ecuaciones irracionales
Son aquellas en las que alguna de sus incógnitas está afectada del símbolo radical.
Veamos algunos ejemplos en los que se explica el método de solución:
Ejemplo 23. Determine el C.V.A. y el C.S. de
x  3  x  5.
Solución algebraica:
Paso 1: Determinar el C.V.A.
Si el índice del radical es par entonces la expresión que esta en el interior debe
ser positivo e incluso cero, esto indica que para determinar el C.V.A. debemos
plantear la siguiente desigualdad
x3 0

x3
es decir son todos los valores reales mayores e iguales a 3.
Paso 2: Este paso tiene como estrategia dejar en un lado de la ecuación el
radical y en el otro lado el resto de términos, luego elevar al cuadrado y
resolver

x3

2
 5  x 
2
x  3  25  10 x  x 2
x 2  11x  28  0
23
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x  4x  7   0
tenemos como posibles soluciones a x  4 y x  7 , ambos valores pertenecen
al C.V.A. ya que son mayores a 3, sin embargo el hecho de elevar al cuadrado
hace que algunas o todas las soluciones obtenidas puedan no pertenecer al
C.S., por tal motivo en este tipo de ecuaciones siempre hay que comprobar
reemplazando los valores obtenidos en la ecuación principal:
Para x  4 se tiene que
4  3  4  5  5  5 , es decir es parte del C.S.
Para x  7 se tiene que
7  3  7  5  9  5 , es decir no es parte de C.S.
Paso 3: C.V.A.  3;  ; C.S.  4
Solución geométrica:
En general, para ecuaciones irracionales no es necesario calcular el C.V.A a menos
que sea pedido.
Ejemplo 24. Determine el C.S. de
x  x4  2.
Solución algebraica:
Paso 1: Elevando al cuadrado y haciendo las operaciones necesarias para
eliminar el radical, se tiene

x  x4

2
 2
2
24
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x  2 xx  4  x  4  4
2 x x  4   8  2 x

x x  4 

2
 4  x 
2
x 2  4 x  16  8 x  x 2
4 x  16
x4
Paso 2: Comprobando se tiene
4  4  4  2  2  2 , es decir C.S.  4 .
Ecuaciones Bicuadráticas
Una ecuación bicuadrática es una ecuación polinómica de grado cuatro de la forma
ax 4  bx 2  c  0 con a  0 .
Si hacemos
y  x 2 y reemplazamos en la ecuación original transformamos una
ecuación de grado 4 en una equivalente de grado 2, es decir de la forma
ay 2  by  c  0 , esta última ecuación es una ecuación cuadrática que puede ser
resuelta por cualquiera de los métodos aprendidos en la sesión anterior, sin olvidar
que x   y . Por ejemplo:
Ejemplo 25. Determine el C.V.A y el C.S. de x 4  3x 2  4  0 .
Solución algebraica:
Como se trata de una ecuación polinómica entonces el C.V.A.  R , luego
haciendo y  x 2 , reemplazando y factorizando se tiene
y 2  3y  4  0
y
4
y
1
 y  4 y  1  0
x
2


 4 x2 1  0
x  2x  2x 2  1  0.
25
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Como x 2  1  0 entonces x  2 y x  2 son parte del conjunto solución ya
que la ecuación es polinómica y ambos valores pertenecen al C.V.A, por lo
tanto C.S.   2; 2.
Solución geométrica:
Según la gráfica queda claro que los ceros de la ecuación y  x 4  3 x 2  4 son
-2 y 2.
Existe otro tipo de ecuaciones que al hacer un cambio de variable la ecuación
equivalente que resulta es una ecuación cuadrática, por ejemplo
Ejemplo 26. Determine el C.V.A y el C.S. de 18 x  17 x  4  0
Solución algebraica:
Como tenemos un radical con índice par entonces el conjunto de valores
admisibles son todos los valores mayores e iguales a cero, el cual lo
expresamos en la forma siguiente
C.V.A.  x / x  0
Por otro lado, haciendo y 
x entonces y 2  x , con lo cual se tiene la
siguiente ecuación equivalente
18 y 2  17 y  4  0 .
26
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Factorizando se tiene 9 y  4 2 y  1  0 luego
y
4
9
; y
x
4
9
;
x
16
81
; x
1
2
x
1
2
1
4
Ambos valores pertenecen al C.V.A., pero por la presencia del radical hay que
comprobar si satisfacen la ecuación principal
Para x 
16
16
16
 16 
 4  0  0  0 , es decir
 C.S.
se tiene 18   17
81
81
81
 81 
Para x 
1
1
1
1
 4  0  0  0 , es decir  C.S.
se tiene 18   17
4
4
4
4
16 1 
; 
 81 4 
Por lo tanto el C.S .  
27
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Ejercicios y problemas:
21. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
Justifique su respuesta.
a. El C.V.A. de la expresión
b. El C.S. de la ecuación
1
es   1
x 1
2
x2
 1 es R
x2
x2 1
no es racional
c. La expresión
x 1
d. El C.S. de la ecuación
e. Sea P ( x) 
2x
 2 es R  1.
x 1
ax  1
tal que P (1)  3 entonces el valor de a es 14.
2x  3
22. Determine el C.V.A. de las siguientes expresiones:
2x
1 x2
4x  1
2
x2

 2
2
x  4 x x  2 x  3x  2
a.
E ( x) 
b.
F ( x)  2 x  1
g.
c.
E ( s) 
2s  1
s
2
4
x2
h.
x  1 2x  1
 4
3x
x 1
210
x
d. P ( x) 
2x  5
2
x  6x  9
e.
F (t ) 
f.
i.
x
G ( x)  2 x  4
x 1
x2  4
1
1
 2
t  2 t  3t  5
23. Determine el C.V.A. y el C.S. de las siguientes ecuaciones racionales:
a.
1
1
x 1
c.
1
x
x4

 2
x 4 x2 x 4
b.
2x
1
x2
d.
1
2
3

 2
2
x  1  x  1
x 1
2
28
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
e.
3  2x  x 2 3
 2 x
x
x
f.
3 x
1
1

 2
2
x  2 x  2x
x  2x
3
24. Determine el C.V.A. y C.S. de las siguientes ecuaciones irracionales:
a.
x 1  x  3
c.
x  x  36  2
b.
x  5x  3  2 x
d.
t 2  t 3  4
25. Determine el C.V.A. y C.S. de las siguientes ecuaciones bicuadráticas:
a.
x4  x2  6  0
c.
2 x 4  3x 2  35  0
b.
x  14 81  0
d.
t
e.
2
x
x  13

 2
x  2 x  3 x  5x  6
f.
2m 4  4m 2  1
2

2


1  7 t2 1  6  0
26. Determine el C.V.A. y C.S. de:
a. w
d.
3
 5w
2
3
60
x2  2  x  2
b.
c.
4
5x  5
6
3
 2

 2
x  3 x  4x  3 x  1
x
1
2
 3x
1
3
 3x
1
6
g. t  5 t  6  0
h.
 9
10
22
10 x  44
 2

2
x 3x  x
x  6x  9
27. Se va ha construir una casa sobre un terreno rectangular cuya área es de 300 m2,
determine:
a. Una ecuación que exprese el perímetro del terreno en términos de su largo x .
b. El perímetro, si el largo del terreno es de 25 m.
c. Las dimensiones del terreno, si se sabe que el terreno tiene como perímetro
70 m.
28. Se desea diseñar nuevos envases de yogurt, el yogurt será envasado en un
recipiente cilíndrico de radio r y altura h (ambos en centímetros) y como tapa se
usará una capa semiesférica de radio igual a la del cilindro, esta será enroscada a
la parte cilíndrica. Se sabe que el total de material plástico a emplear en cada
envase esta determinado por la ecuación S  2rh  2r 2 y que además el
contenido neto de yogur es de 200 g.
a. Se desea emplear 52,5  cm2 de material plástico. Plantee una ecuación que
permita determinar las dimensiones del nuevo envase. (use 1g de material
tiene un área de 1 cm2)
b. ¿Cuáles son las dimensiones del nuevo envase?, estime mediante geogebra o
una calculadora adecuada.
29
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
29. Si dos motores de agua trabajan al mismo tiempo, tardan 15 horas en desaguar un
pozo. Si solo trabaja el de menor capacidad tardaría en vaciar el pozo 16 horas
más que si trabajara sólo el de mayor capacidad. Si solo funciona el de mayor
capacidad, determine cuántas horas demorara en vaciar el pozo.
30. Un tanque de petróleo puede ser llenado por una llave en 20 minutos. Si después
de cinco minutos que esta llave ha estado trabajando, se abre una segunda llave,
llenando el tanque en tres minutos más. ¿Cuánto tiempo tardaría la segunda llave
sola en llenar el tanque?
31. El gobierno esta realizando en la cuidad B un gran proyecto que debe ser
entregado lo antes posible, la constructora ganadora de la licitación urge de los
materiales de construcción que son fabricados en la cuidad A. Se sabe que las
ciudades están separadas 900 km y que para poder iniciar la obra los materiales
solicitados deben llegar en 12 horas a su destino, el camión que traslada los
materiales desde la ciudad A recorre 540 km hasta que por razones del mal clima
el chofer debe bajar la velocidad, aún así logra llegar a tiempo. Si la velocidad en
el primer tramo fue mayor en 30 km/h a la del segundo tramo. Determine las
velocidades a la cuál recorrió el camión para llegar justo a tiempo.
30
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
INTERVALOS E INECUACIONES
Intervalos:
Llamamos intervalo a todo subconjunto de números reales sin huecos en su interior.
Ejemplo 27. Son ejemplos de intervalos los conjuntos A  2; 4 ; B   4; 5 y
C   ;14 pues en cada uno de ellos no hay ningún valor que falte en su
interior, en otras palabras no hay saltos ni huecos en el interior de cada uno de
ellos, en cambio el conjunto D   2;    4  2; 4  4;  no es un
intervalo pues tiene un hueco en 4 .
Los intervalos son clasificados como acotados y no acotados y se pueden representar
en tres formas equivalentes, la primera es llamada notación de intervalo, colocando
en los extremos los números reales a y b con a  b , la segunda es llamada
notación de desigualdad pues se hace uso de las desigualdades  ;  ;  o  y la
tercera es llamada notación gráfica pues recordemos que se usa una recta para
representar al conjunto de los números reales y por consiguiente cualquier
subconjunto puede ser representado sobre la recta real, en particular los intervalos. En
seguida hacemos una descripción rápida de los 8 tipos de intervalos con los que
vamos a trabajar.
Intervalos acotados de números reales:
Sean a y b números reales con a  b .
Notación de
intervalo
Tipo de
intervalo
Notación de desigualdad
a; b
Cerrado
a xb
 a; b
Abierto
a xb
Notación gráfica
a
b
a
b
31
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a; b
Semi abierto
a xb
a
b
 a; b 
Semi abierto
a xb
a
b
Intervalos no acotados de números reales:
Sean a y b números reales con a  b .
Notación de
intervalo
Tipo de
intervalo
Notación de desigualdad
Notación gráfica
 x  / a  x  
a; 
Cerrado por
izquierda
o
x
a
 x  / x  a
 x  / a  x  
 a; 
Abierto por
izquierda
o
a
x
 x   / x  a
 x  /   x  b
 ; b
Cerrado por
derecha
o
x
b
x
b
 x  / x  b
 x  /   x  b
 ; b
Abierto por
derecha
o
 x  / x  b
32
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Operaciones con intervalos (unión e intersección). Revisemos las operaciones
mediante algunos ejemplos:
Ejemplo 28. Determine cuál de los siguientes conjuntos es un intervalo.
a.
A   2; 5  4; 8
b.
B   4; 0  1; 3
c. C   1; 2   0; 4
d.
D   ;1  2; 5
Solución:
Apoyándonos en la notación gráfica,
a.
4
4 5
8
queda claro que A   2; 5  4; 8   4; 8 es un intervalo cerrado.
b.
4
0 1
8
luego B   4; 0  1; 3 no es intervalo.
c.
1
0 2
4
luego C   1; 2   0; 4   0; 2 es un intervalo semi abierto.
d.

1 2
5
luego D   ;1  2; 5   no es un intervalo.
Conclusión: En general la unión y la intersección de intervalos no
necesariamente es un intervalo.
Ejemplo 29. Exprese  2; 5 en notación de desigualdad y notación gráfica.
33
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Solución:
a. Notación de desigualdad:
b. Notación gráfica:
 x  / 2  x  5
2
5
Ejemplo 30. Exprese  x  / 3  x  1 en notación de intervalo y gráfica.
Solución:
a. Notación de intervalo:  3;  1
b. Notación grafica:
3
1
Ejemplo 31. Exprese en notación de intervalo y de desigualdad al intervalo
dado en notación gráfica

Solución:
a. Notación de intervalo:   ; 
b. Notación de desigualdad:  x  / x   
Inecuaciones:
Entendemos por inecuación a dos expresiones algebraicas conectadas por los signos
de desigualdad:
E.A.1 >E.A.2 ;
E.A.1  E.A.2 ;
E.A.1 <E.A.2 ;
E.A.1  E.A.2
Un número real es una solución de una inecuación si se obtiene un enunciado
verdadero al reemplazar la variable (incógnita) por dicho número.
El conjunto de todos los números reales que satisfacen una inecuación es llamado
conjunto solución (C.S.), y será representado mediante los intervalos.
34
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Se empleará como método para obtener el conjunto solución el método de los puntos
referenciales o puntos de referencia (P.R.), llamado también método de los puntos
críticos, este método consiste en trabajar con los signos (+ ó -) sobre la recta real, el
cual detallaremos al detalle más adelante.
A continuación se presenta algunas propiedades que serán usadas como
herramientas en el proceso de solución de una inecuación.
Propiedades:
Sean a ; b y c números reales.
1. a  b
 ac bc.
Ejemplo 32. 2  5 entonces 2+8  5+8
2. a  b
 ac bc.
Ejemplo 33.
2  5 entonces 2 - 8  5 – 8, es decir -5  -3
3. Si c  0 entonces a  b
Ejemplo 34.
2  5 entonces (10)(2)  (10)(5), es decir 20  50
4. Si c  0 entonces a  b
Ejemplo 35.
 ca  cb .
 ca  cb .
2  5 entonces (-4)(2)  (-4)(5), es decir -8  -20
Esta propiedad nos dice que al multiplicar en una desigualdad por un número real
negativo, la desigualdad debe cambiar. Frecuentemente se comete errores por tal
razón debemos ser muy precavido cuando se aplique esta propiedad.
5. Si a  b y b  c entonces a  c .
Ejemplo 36.
- 2  3 y 3  7 entonces -2  7.
6. Si a  b y c  d entonces a  c  b  d .
Ejemplo 37.
-3  0 y 2  5 entonces (-3) + 2  (0) + (5), es decir -1  5
Para el resto de desigualdades  ,  o  , las propiedades anteriores se cumplen de
manera similar.
Se va a estudiar inecuaciones polinómicas, poniendo mayor énfasis en las lineales y
cuadráticas y las reducibles a lineales o cuadráticas, finalizando con las inecuaciones
racionales.
35
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Estrategia de solución:
A diferencia de las ecuaciones, en inecuaciones es aconsejable seguir con la siguiente
estrategia de solución comenzando por transformar la inecuación al siguiente orden:
Expresión algebraica
Desigualdad
Cero
; ; ; 
0
E(x)
Es decir, colocar todos los términos en un lado de la desigualdad (derecha o
izquierda), luego la expresión algebraica debe ser factorizada y finalmente aplicar el
método de los valores críticos.
Inecuaciones lineales:
Son aquellas que involucran a polinomios de primer grado o reducibles a algunas de
las formas
ax  b  0 ; ax  b  0 ; ax  b  0 o ax  b  0
donde a y b son números reales con a  0 .
Obtener el conjunto solución no es tarea difícil ya que sólo consiste en despejar la
variable teniendo en cuenta las propiedades anteriores, para determinar el C.V.A. hay
que analizar la expresión tal y como es dada.
Se analizará a continuación algunos ejemplos:
Ejemplo 38. Determine el conjunto solución de 2 x  5  0
Solución algebraica:
Al despejar se obtiene x  
5
, en notación gráfica tenemos
2

5
2
 5 
;  es el conjunto solución y el C.V.A.  R .
 2 
De donde el intervalo  
Para confirmar tomemos un valor dentro del intervalo, por ejemplo el valor de
3 y reemplazamos en la inecuación dada 2(3)  5  11  0 , esto quiere decir
que 3 es parte del conjunto solución.
36
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Solución geométrica:
Que se pueda interpretar los valores obtenidos al resolver una inecuación es
de mucha importancia sobre todo cuando tenga que enfrentarse a problemas
de aplicaciones en cursos posteriores, por ello desde ahora empezamos a
impulsar esta forma de pensar.
Usando GeoGebra, se traza la gráfica de la ecuación y  2 x  5 , obteniendo
la curva que se muestra en la figura, donde se observa que la curva está por
encima del eje X a partir del punto A, es decir valores mayores a -2,5 en eje
X.
Podemos concluir que resolver 2 x  5  0 implica determinar los valores en el
eje X tal que la curva este por encima del eje X, es así como demostramos
geométricamente que el conjunto solución es efectivamente el intervalo
 5 
  2 ;   hallado de forma algebraica.
A partir de la gráfica también podemos sacar como conclusión que el C.S. de la
inecuación 2 x  5  0 son todos los valores del eje X tal que la curva se


5
encuentre por debajo del eje X, es decir el intervalo   ;   .
2

37
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En adelante se aconseja comprobar las soluciones algebraicas mediante el
uso de GeoGebra.
Ejemplo 39. Determine el conjunto solución de 21  x   2 x  2 x  5
Solución Algebraica:
2  2x  2x  2x  5
2  5  2x
7
x
2
Cuya notación grafica es
x


Luego C.S    ;
7
2
7
y C.V.A.  R .
2 
Ejemplo 40. Determine el conjunto solución de  x  2  x  1  x 2  15
Solución algebraica:
x 2  x  2 x  2  x 2  15
 x  17
x  17
Cuya notación gráfica es
17
Luego, C.S   17;  y C.V.A.  R .
Ejemplo 41. Determine el conjunto solución de  2 
x2
3
3
Solución algebraica:
Multiplicando por 3 en cada término:  6  x  2  9
Súmanos 2 en cada término:  6  2  x  2  2  9  2
Obtenemos  4  x  11 , luego C.S   4; 11 y C.V.A.  R .
38
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Ejemplo 42. Determine el conjunto solución de
x2 x
  x4
3
2
Solución algebraica:
Observamos que el C.V.A.  R . Luego aplicamos la siguiente propiedad
A B C  A B  BC
De donde se tiene:
x2 x
x


 x4
2
3
2
x2 x
x
 0  x40
3
2
2
2 x  4  3x
x  2x  8
0 
0
6
2
 4 x  0   x 8  0
4  x  8  x
8
4
Así, el C.S   4; 
Inecuaciones cuadráticas:
Son aquellas que involucran a polinomios de segundo grado o reducibles a algunas de
las formas
ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 o ax 2  bx  c  0
donde a , b y c son números reales con a  0 .
En adelante se usará el método de los Puntos de Referencia para obtener el conjunto
solución.
A continuación se analizan algunos ejemplos en donde se utiliza el método nombrado.
39
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Ejemplo 43. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación 2 x 2  3 x  2  0
Solución algebraica:
Es fácil ver que el C.V.A.  R , al factorizar tenemos
2 x  1x  2  0 … (I)
Igualando a cero cada término se obtiene los Puntos de Referencia que son

1
y 2, luego se ubican en la recta real, y se elige un valor cualquiera que
2
esté entre los Puntos de Referencia y se reemplaza en la inecuación (I)
colocando sobre la recta el signo resultante, resumimos todo en el siguiente
cuadro:
Intervalo
Elegimos
Signo en
Signo en
x  2
2 x  1x  2
   x   12
-2
2(-2)+1 = (-)
-2 – 2 = (-)
(-)(-) = +
 12  x  2
0
2(0)+1 = (+)
-2 – 2 = (-)
(+)(-) = -
2x
3
2(3)+1 = (+)
3 – 2 = (+)
(+)(+) = +
2 x  1
Signo en
En adelante el proceso se puede hacerse de manera mental colocando
únicamente los signos, es decir

()()


1
2
( )()

2
( )( )
En este caso, la desigualdad en (I) indica tomar todos los signos positivos
resultantes, es decir los signos que están por encima de la recta que sean
positivos





1
2

2
1
Luego el C.S    ;     2; 
2

Ejemplo 44. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación x 2  4
Solución algebraica:
x2  4  0
40
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x  2x  2  0
De donde se tiene a -2 y 2 como valores críticos (o puntos de referencia) y
además la desigualdad indica tomar el signo negativo, es decir


2

2
El C.S .   2; 2
Solución geométrica.
Trazamos la grafica de ecuación y  x 2  4 , la cual se muestra en la figura
adjunta
a. a
b. a
De donde observamos que resolver x 2  4 implica determinar los valores en el
eje X tal que la gráfica de y  x 2  4 este por debajo del eje X.
Ejemplo 45. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación x  3  0
2
Solución algebraica:
El C.V.A.  R , además se observa que no existe ningún valor real tal que
elevado al cuadrado sea menor que cero, así el C.S.   .
41
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Ejemplo 46. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación x  2   0
2
Solución algebraica:
El C.V.A.  R , además observamos que excepto cuando x  2 la expresión
es verdadera, pues todo número real elevado al cuadro siempre es positivo o
cero, luego C.S.  R   2.
2
Ejemplo 47. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación 2 x  1  3 x  x 2
Solución algebraica:
El C.V.A.  R , desarrollando se tiene:


2 x 2  2 x  1  3x  x 2  0
2 x 2  4 x  2  3x  x 2  0
x2  x  2  0
2
1
7

x     0
4

2

Positivo siempre
De donde C.S.   .
Inecuaciones racionales:
Son aquellas expresiones que tienen una de las formas
P ( x)
P( x)
P( x)
P( x)
0 ;
 0;
0 o
0
Q( x)
Q( x)
Q( x)
Q( x)
donde P(x) y Q(x) son polinomios con Q( x)  0 .
Se analiza a continuación algunos ejemplos en donde se revisará la técnica de
solución usando Puntos de Referencia (o Puntos Críticos):
42
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Ejemplo 48. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación
x 1
0
x2
Solución algebraica:
El C.V.A.  R  2, los valores críticos son -1 y 2, luego analizamos los signos
en la recta, obteniendo:


( )
( )
1
()
( )

2 ()
()
Luego, el C.S.   ;  1   2; 
Ejemplo 49. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación
2x  1
2
x3
Solución algebraica:
El C.V.A.  R   3 , efectuando se tiene:
2x  1
20
x3
2 x  1  2( x  3)
0
x3
2x  1  2x  6
0
x3
7
0
x3
7
0
x3

()
( )
3

()
()
Luego, el C.S.    3; 
Ejemplo 50. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación
3x 2  10 x  3
x 2  2x  3
0
Solución algebraica:
Factorizando se tiene:
43
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x  33x  1  0
x  3x  1
El C.V.A.  R   3;1 , los valores críticos son: -3, 1/3, 1 y 3


()()  3
()()


Luego, el C.S.    3;
()()
( )()


1
3

()( ) 1 ( )( ) 3 ( )( )
( )( )
( )() ( )( )
1
 1; 3
3 
Aplicaciones:
Ejemplo 51. Un nuevo modelo de cohete se lanza verticalmente hacia arriba,
de modo que su altura (medida en pies) t segundos después del lanzamiento
está dada por
h(t )  16t 2  384t  4
c.¿Durante qué tiempo el cohete esta por encima de los 1 284 pies?
d. ¿Durante qué tiempo el cohete esta por debajo de los 1 284 pies?
Solución:
a. Se pide los valores de t (en segundos) tal que h(t )  1 284 , de donde
 16t 2  384t  4  1 284
16t 2  384t  1280  0
t  20t  4  0

0
()()

4
()( )

20
24,01
( )( )
Con lo cual concluimos que el cohete esta por encima de los 1 284 pies entre
los 4 y 20 segundos.
b. Se pide los valores de t (en segundos) tal que h(t )  1 284 , analizando lo
hecho en el ítem (a) se concluye a partir de la gráfica que el cohete esta por
debajo de los 1 284 pies de altura en dos momentos, primero entre los 0
44
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(incluido 0) y 4 segundos y finalmente entre los 20 y 24,01 (incluido 24,01)
segundos.
Las parte a y b son
presentadas
gráficamente en la
gráfica adjunta.
Ejercicios y problemas
32. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
Justifique adecuadamente su respuesta.
a. Si  x  2 entonces x  2 .
b. Si x 2  3 entonces x   3 .
c. El C.V.A. de la inecuación x 2  0 es R .
d. El C.S. de la inecuación x 2  0 es R .
e. El C.S. de la inecuación
f.
1
 0 es 1;  .
x  12
Los conjuntos 2; 4 y 2  x  4 representan al mismo intervalo.
g. Sea x  N luego x puede tomar 5 valores en el intervalo  1; 4 .
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33. Determine cuál de los siguientes conjuntos es un intervalo y de serlo expréselo en
sus diversas notaciones.
a.
A   3; 2  2; 3
b.

B    2;

1 1 
 ;6
2   2 
c.
C  R  4
d.
D  3; 1  0; 
34. Grafique los siguientes intervalos
a.
  ; 25
c.
 ; 47
b.
  21; 24
d.
0; 
35. Determine el C.V.A y el C.S. de las siguientes inecuaciones:
a.
2x  1  3  1  2 x
g.
2 x 4  5 x 2  12  0
b.
x  12  x  12
h.
c.
1 x
x 1
 3x  
2
3 5
3 x  4 5 x  2
2 x  5

 1
2
3
5
i.
5 x 3  125 x  0
d.

j.
x 1 x  3

x2
x
e.
x 2  4 x  3
k.
2x 2  2
0
 x 2  6x  9
f.
3 2
l.
1
x
 2x   x
3
x2
3 x3 1


5
2
2
1
5
x
36. La figura muestra la gráfica de la
ecuación
y
2
8
x3
 x2  x 
5
5
5
Determine los valores en el eje X
tal que:
a.
y0
c. y  0
b. y  0
d. y  0
e. y  0
Además, explique con sus propias
palabras el significado de cada uno de
los resultados obtenidos.
46
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37. En la gráfica adjunta trace la recta y  2
y determine los valores en el eje X tal
que:
a.
 x2  6  2
b.
 x2  6  2
Verifique los resultados obtenidos en las
partes a. y b. mediante el desarrollo
algebraico.
38. Se lanza directamente hacia arriba una pelota desde el balcón de un edificio, la
altura (en metros) de la pelota medida desde el suelo después de t segundos está
dada por
h(t )  16t 2  64t  768
a. Determine durante que tiempo la pelota estuvo por encima de los 768 m.
b. Plantee una inecuación que permita saber cuánto tiempo demoro la pelota en
caer al suelo.
c. Determine el intervalo de tiempo en qué la pelota estuvo en vuelo.
39. La empresa A&S dedicada a la producción y venta de máquinas para
construcción, hace un estudio en sus ingresos, obteniendo la siguiente ecuación
I  40 x  0,2 x 2
donde I representa el ingreso mensual en miles de dólares y x el número de
maquinas producidas y vendidas cada mes, además el costo de producción al por
mayor de cada maquina es de 28 mil dólares. Determine el número de maquinas
que debe producir y vender a la vez A&S para obtener una ganancia (ingreso costo) de al menos 100 mil dólares.
40. Una competencia de autos a realizarse en nuestro país indica que el recorrido
será por dos tramos distintos, el primer tramo se recorrerá en una pista asfaltada y
el segundo tramo es una carretera arenosa, cierto auto fue diseñado para rendir
50 kilómetros por galón en la pista asfaltada y 35 kilómetros por galón en la
carretera arenosa. Se sabe que la capacidad del tanque de gasolina de dicho auto
es de 17,6 galones. Suponga que existen condiciones ideales de manejo y
determine un intervalo para la distancia que pueda recorrer un auto de estas
características con el tanque lleno. Interprete el resultado.
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41. La relación entre las temperaturas Celsius (ºC) y Fahrenheit (ºF) está dada por la
ecuación
C
5
F  32
9
a. En Lima, se pronostica que para este mes la temperatura variará entre 20ºC y
35ºC. Determine el intervalo en grados Fahrenheit para el mismo periodo.
b. El pronostico de la temperatura en la cuidad de Chiclayo, se dice que esta en
el intervalo 77º  º F  86º . Determine la temperatura en grados Celsius para
este mismo periodo.
42. Cierto cultivo ha sido atacado por una fuerte plaga, se pide producir un bactericida
que permita eliminar dicha plaga, un experimento indica que a t horas de ser
aplicado el nuevo bactericida, el número de bacterias que quedan esta dado por la
ecuación:
N (t ) 
10 000
 2 000
t 2 1
Determine:
a. Después de cuántas horas el número de bacterias está por debajo de 4 000.
b. Si es posible saber si el bactericida puede eliminar la totalidad de bacterias en
dicho cultivo.
43. Un ingeniero gana $7 000 en cierto negocio, decide prestar por un año parte de su
dinero al 10% y el resto lo deposita en una cuenta a plazo fijo en un banco que le
paga 4% anual. ¿Cuál es el monto mínimo que debe prestar si al cabo de un año
desea obtener un ingreso por interés de al menos $ 400?
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 2:
FUNCIONES BÁSICAS
OBJETIVOS:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Identificar si una curva representa una función mediante el Criterio de la Recta Vertical.
Determinar el dominio y el rango.
Identificar y clasificar gráficamente los puntos de discontinuidad.
Determinar gráficamente los intervalos de monotonía.
Determinar gráficamente las cotas de una función.
Identificar y determinar en forma grafica los valores extremos (locales y absolutos) de una
función.
Determinar la paridad y la simetría de una función.
Determinar gráficamente las ecuaciones de las asíntotas de una función.
Determinar los ceros de una función.
Conocer características y gráfica de 8 funciones básicas.
Graficar funciones seccionadas.
Introducción:
En esta Unidad presentaremos el concepto de función y estudiaremos las
principales propiedades de las funciones básicas; se recomienda a los interesados
estar dispuestos a habituarse a la terminología que se utiliza para describir a las
funciones. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de
la vida diaria, problemas de ingeniería, finanzas, economía, estadística, medicina,
química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya
que relacionar variables. Por ejemplo cuando se va al mercado o a cualquier centro
comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos
alimenticios, con el costo en soles, ello nos permite saber cuántas unidades de
determinado producto podemos comprar; si lo llevamos al plano cartesiano,
podemos escribir esta correspondencia como una ecuación de función " x “, en
otras palabras:
y  f (x)
donde “ y ” representa la cantidad de productos o artículos comprados a un precio
“ x ” en soles. Si asumimos que en plano cartesiano la curva que describe a f
esta dada por:
49
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entonces podemos interpretar los puntos
sobre la grafica, por ejemplo el punto
2; 4 representa que cuando el precio
por unidad es 2 soles se adquieren 4
unidades de un determinado producto; el
punto 5;1 indica que cuando el precio
es 5 soles se puede adquirir una unidad
de dicho producto.
Tal como podemos notar el lenguaje y la notación de funciones son ideales para
describir esta situación, por tal razón su importancia dentro de la matemática. A
continuación se define el concepto de función.
Definición de función:
Una función de un conjunto D a un conjunto R , es una regla que asigna a cada
elemento de D un único elemento en R .
El conjunto D de todos los valores de entrada es llamado dominio de la función y
el conjunto R de todos los valores de salida es llamado rango de la función.
Observación: Una función puede verse como una asignación o transformación de
los elementos del dominio en elementos del rango.
f
f
a
1
b
2
c
3
a
1
b
2
c
3
4
d
d
rango
dominio
Fig. 1
dominio
rango
Fig. 2
En la figura 1, podemos observar que se trata de una función pues para cada
elemento del dominio se le asigna un único elemento del rango, en cambio en la
50
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figura 2 observamos que para b en el dominio se le asignan 2 y 4 en el rango,
por lo cual concluimos que no se trata de una función.
Notaciones:
 Variables: Las funciones que estudiaremos relacionan a dos variables,
mayormente denotadas por x e y , donde “ x ” recibe el nombre de variable
independiente y “ y ” variable dependiente.
 Forma explicita de una función: Llamamos regla de correspondencia de
una función a la expresión y  f (x) , donde y depende de x .
 Dominio: Dada y  f (x) la regla de correspondencia de una función, el
dominio será denotado por:
Dom( f )  x   / condición
Al resolver la “condición”, se obtiene los valores “ x ” para la cual la función
esta bien definida, es decir, al introducir un valor x (valor de entrada) en
f ( x) se obtiene otro valor (valor de salida), está es la forma algebraica de
obtener el dominio, la otra forma de obtener el dominio es a partir de su
gráfica.
 Rango: El rango será determinado mayormente a partir de su gráfica, y
escribiremos Ran( f )   f ( x) / x  Dom( f ) .
Ejemplo 1 (Forma algebraica de determinar el dominio): Dada la regla de
correspondencia, determine el dominio de cada función:
a.
f ( x)  2 x  6
b. g ( x) 
2x
4  x2
c. h(t )  t 4  8t 2  4
d. u (r ) 
r3
1 r
e. w( x)  2  x  x 2
Solución: En cada caso debemos preguntarnos ¿qué valores debe tomar la
variable independiente? de tal manera que la regla de correspondencia este bien
definida, es decir: si x  Dom f  entonces f  x  existe.
51
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a. Como se trata de una raíz cuadrada tenemos Dom f   x   / 2 x  6  0 ,
donde la condición es la inecuación 2 x  6  0 , al resolverla tenemos x  3 ,
así el dominio de f es el conjunto:
Dom f    3; 


b. Se sabe que Dom g   x   / 4  x 2  0 , debemos resolver la ecuación
4  x 2  0 para saber que valores hay que discriminar en el dominio,
4  x2  0
(2  x)(2  x)  0
x  2  x  2
Luego Domg   x   / x  2  x  2     2; 2
c. Tal como podemos observar en esta función no existe ninguna restricción
para la variable independiente por lo tanto Domh   t   / t     .
d. En el numerador no tenemos ninguna restricción, en el denominador tenemos
una raíz cuadrada entonces
Domu   r   / 1  r  0= r   / r  1=  ;1
e. La condición es 2  x  x 2  0 entonces 2  x 1  x   0 , usando el método
de los puntos críticos tenemos:

2
1
Luego el Domw   2; 1 .
Gráfica de una función
Si f es una función con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de
puntos
x; f ( x)  / x  Dom f .
En otras palabras, llamaremos gráfica de una función a la curva que describe la
unión de todos los puntos x; f ( x )  .
Criterio de la recta vertical: Una gráfica (conjunto de puntos x; y  ) en el
plano XY define a y como una función de x , si y sólo si, ninguna recta vertical
intersecta a la gráfica en más de un punto.
52
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Ejemplo 2: De las cuatro gráficas que se muestran, ¿cuáles no corresponden a
la gráfica de una función?
Fig. 2
Fig. 1
Fig. 3
Fig. 4
Al trazar una recta vertical en cada una de las gráficas podemos observar que las
curvas de las figuras 1 y 3 no corresponden a la gráfica de una función.
Si conocemos la gráfica de una función f y deseamos conocer su dominio,
entonces debemos observar los valores en el eje X donde f exista, para el
rango debemos observar los valores f (x) , en el eje Y, tal que x  Dom f  .
Ejemplo 3 (Forma gráfica de determinar el dominio): Determine el dominio y
el rango a partir de la gráfica de las siguientes funciones:
a. La figura siguiente muestra la gráfica de una función f .
53
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Observando los valores del eje X tenemos Dom f    3; 2  2; 6  6; 8 , o
también se puede escribir Dom f    3;12  6, el rango es Ran f    5; 5
b. La figura muestra la gráfica de una función g .
Observando el eje X tenemos Dom( g )     2; 2 y al observar el eje Y
podemos decir que el Ran(g )   ; 0  2;  .
Propiedades de las funciones
Analizar una función no es únicamente analizar el dominio y el rango, sino
existen otras propiedades muy importantes, tales como: continuidad, intervalos
de monotonía, acotamiento, extremos locales y absolutos, simetrías, asíntotas,
los ceros, entre otras.
A. Continuidad
La continuidad es una propiedad importante de la mayoría de las funciones que
modelan comportamiento del mundo real, haremos un estudio desde el punto de
vista gráfico con el deseo de alimentar lo que será la parte algebraica en el curso
posterior; gráficamente, podemos decir que una función es continua en un punto
si la gráfica no se separa en ese punto. Para clasificar el tipo de discontinuidad
en una función, ilustraremos el concepto con algunas gráficas.
 Continuidad en toda x:
54
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Obsérvese que la gráfica no se rompe. Esto significa que si estudiamos el
comportamiento de la función f para valores de x cercanos a cualquier número
real particular a , podemos estar seguros que los valores f ( x) serán cercanos a
f (a) .
 Discontinuidad removible:
En la primera gráfica, observamos que es continua en todas partes, excepto en
el “agujero” x  a . Si estudiáramos el comportamiento de esta función f para
valores x cercanos al número a , no podemos asegurar que los valores f ( x)
serán cercanos a f (a ) . En este caso f (x) es menor que f (a ) para x cerca
de a . Este tipo de discontinuidad es llamado removible, ya que podríamos
redefinir f (a) de tal manera que desaparezca el agujero y haga que f sea
continua en a .
En la segunda gráfica, también existe una discontinuidad removible en x  a . Si
estamos estudiando el comportamiento de esta función f para valores x
cercanos a a , no aseguramos que los valores f ( x) serán cercanos a f (a) , ya
que en este caso f (a ) ni siquiera existe. Es removible, ya que podríamos definir
f (a) de tal manera que se tape el agujero y se haga f continua.
 Discontinuidad de salto:
Tal como podemos observar f es discontinua en x  a , pero la discontinuidad
no es del tipo removible; este tipo de discontinuidad es llamado de salto, ya que
más que un agujero en x  a , existe un salto en los valores de la función que
forma
un
espacio
imposible
de
llenar
con
solo
un
punto
a; f (a)  ,
independientemente de cómo tratemos de redefinir f (a) .
55
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 Discontinuidad infinita:
En este caso observamos una discontinuidad en x  a , que no es del tipo
removible ni de salto; este tipo de discontinuidad es llamada infinita, ya que los
valores x próximos a a hacen que f  x  tienda a ser un valor infinito positivo o
negativo.
Debe quedar claro que la discontinuidad de una función la hemos definido en un
punto x  a y no en intervalos y que existen tres tipos posibles de discontinuidad
los cuales podemos clasificarlos como removibles, de salto o infinita.
Ejemplo 4: En base a la gráfica, diga si existen puntos de discontinuidad y
clasifíquelos.
Solución:
Nuestra visión debe estar tanto en la gráfica como en los valores del eje X,
tenemos que la función es discontinua:

En x  3 y es del tipo infinita.

En x  2 y es del tipo de salto.

En x  6 y es del tipo removible.
56
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B. Funciones crecientes y funciones decrecientes
Ahora estamos interesados en los intervalos (valores del dominio) en la cual la
función es creciente o decreciente, estos intervalos definen la monotonía de una
función.
Definiciones:

Una función f es creciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en
el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio positivo en f (x) .

Una función f es decreciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos
en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio negativo en
f ( x) .

Una función f es constante en un intervalo si, para cualquier dos puntos
en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio nulo en f (x) .
Ejemplo 5: En base a la gráfica, determine los intervalos de monotonía de f ,
así como los intervalos donde f es constante.
Solución: A diferencia del dominio y el rango, los intervalos pedidos hay que
separarlos mediante una coma (,).
Intervalos de monotonía:

Los intervalos donde f es creciente son:  ;  3, 8; 12

Los intervalos donde f es decreciente son:  3; 2, 6; 8
Por otro la función f es constante en el intervalo 2; 6 .
57
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C. Acotamiento
Definiciones:

Cota inferior: Una función f está acotada por debajo si existe algún número
a que sea menor o igual a todo número en el rango de f . Cualquiera de
estos números b se denomina cota inferior de f .

Cota superior: Una función f
está acotada por arriba si existe algún
número b que sea mayor o igual a todo número en el rango de f .
Cualquiera de estos números b se denomina cota superior de f .

Función acotada: Una función f está acotada si y sólo si está acotada por
arriba y por debajo.
Observación: Si no existe ninguna cota, entonces se dice que la función no está
acotada.
Ejemplo 6: Dada la gráfica de una función, determine en cada caso si la función
esta acotada inferiormente, acotada superiormente o es acotada.
Como el Ran( f )  0; 
entonces existe más de un valor
menor a cualquier valor en el
rango. Por lo tanto f esta
acotada inferiormente.
Como el Ran( f )   ; 2
entonces existe más de un valor
mayor a cualquier valor en el
rango. Por lo tanto la función esta
acotada superiormente.
58
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En este caso el Ran( f )   1;1
entonces existen valores menores
a -1 y valores mayores a 1, es
decir existen cotas inferiores e
inferiores a la vez. Por lo tanto la
función está acotada.
Como el Ran( f )    0
entonces no existen cotas
inferiores ni superiores.
D. Valores extremos de una función
Muchas gráficas se caracterizan por tener picos y están cambiando de crecientes
a decrecientes y viceversa, a continuación definimos lo que llamaremos extremos
locales y absolutos de una función.
Valores extremos absolutos:
Sea f una función y c  Dom( f ) :

Si f (c)  f ( x) para todo x  Dom( f ) entonces el número f (c) se llama
valor máximo absoluto de f alcanzado en x  c .

Si f (c)  f ( x) para todo x  Dom( f ) entonces el número f (c) se llama
valor mínimo absoluto de f alcanzado en x  c .
A estos valores se les conocen como valores extremos absolutos de f .
59
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Valores extremos locales:

Al número f (c) se llama valor máximo relativo o local de f alcanzado en
x  c si f (c)  f ( x) para todo x en algún intervalo abierto dentro del
dominio de f que contiene a c .

Al número f (c) se llama valor mínimo relativo o local de f alcanzado en
x  c si f (c)  f ( x) para todo x en algún intervalo abierto dentro del
dominio de f que contiene a c .
A estos valores se les conocen como valores extremos locales de f .
Ejemplo 7: Dada la gráfica de una función f , si existen, determine los extremos
locales y absolutos de f .
Después de haber leído e interpretado la definición sobre los valores extremos de
una función, podemos entender la siguiente respuesta:
Valores extremos absolutos:

El máximo absoluto de f es 6 alcanzado en x  4 .

Tal como podemos observar no hay mínimo absoluto.
Valores extremos locales:
60
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
Tal como podemos observar en la gráfica existen dos máximos locales, el
primero es 2 alcanzado en x  1 y el segundo es 0 alcanzado en
x  5 (observe claramente que en ambos existen intervalos abiertos
conteniendo a 1 y 5 respectivamente).

Tal como podemos observar el único mínimo local es –1 alcanzado en x  4 .
Nota:
1. De existir, los valores extremos absolutos son únicos; pero pueden ser
alcanzados en muchos (o infinitos) valores x del dominio de f .
2. De existir, los valores extremos locales no necesariamente son únicos.
E. Paridad y simetría de una función
Definiciones:

Una función f se le dice función par si y sólo si f ( x)  f ( x) .

Una función f se le dice función impar si y sólo si f ( x)   f ( x) .
Nota: Geométricamente, cuando una función es par su gráfica es simétrica
respecto al eje de las ordenadas; cuando la función es impar su gráfica es
simétrica respecto al origen de coordenadas.
Ejemplo 8: En cada una de las funciones determine la paridad.
a.
f ( x)  x
2
b. f (t )  t
3
x
c. g ( x) 
x
u2
d. g (u ) 
u
Solución:
a. Como f (  x)  ( x) 2  x 2  f ( x) . Por lo tanto f es una función par.
b. Como f ( t )  ( t ) 3  t 3   f (t ) . Por lo tanto f es una función impar.
c. Como g ( x) 
d. Como g ( u ) 
x
x

  g ( x) . Por lo tanto g no es par ni impar.
x
x
(u ) 2 u 2

 g (u ) . Por lo tanto la función es par.
u
u
61
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F. Asíntotas

La recta y  b es una asíntota horizontal de la gráfica de una función f , si
f (x) se aproxima a b como límite, cuando x tiende a   o   .

La recta x  a es una asíntota vertical de la gráfica de una función f , si
f (x) tiende a   o   , cuando x se aproxima a a por cualquier
dirección.
Ejemplo 9: Dada la grafica de la función f ( x) 
x
x2  x  2
, determine las
ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.
La función f tiene como asíntotas verticales a las rectas x  1 y x  2 ; y como
asíntota horizontal a la ecuación y  0 tanto por derecha (cuando x tiende al
  ) como por izquierda (cuando x tiende a   ).
G. Ceros de una función:
Determinar los ceros de una función, es equivalente a determinar las
intersecciones x de la gráfica de y  f (x) , o las soluciones de la ecuación
f ( x)  0 teniendo en cuenta x  Dom( f ) .
Ejemplo 10: En cada una de las funciones, determine los ceros de la función.
a.
f ( x)  x 2  5
b. g ( x) 
x 3
x6
c. ht  
t 2  3t
t2
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Solución:
a. El Dom( f )   ; luego f ( x)  0 implica x 2  5  0 , al resolver se tiene
x   5 . Por lo tanto los ceros de la función son  5 y
b. El Dom(g )  3;  ; luego
5 .
x 3
 0 implica x  3  0 entonces el único cero
x6
de la función es 3.
c. El Dom(h)  2;  ; luego
t 2  3t
 0 implica t t  3  0 entonces t  0 y
t2
t  3 , como 0  Dom(h) entonces el único cero de la función es 3.
Funciones básicas y sus características
Hasta el momento hemos dado a conocer la definición de función, su dominio y
su rango, así como varias propiedades importantes; a continuación presentamos
gráficamente 8 funciones en las cuales queremos describir los atributos
explicados en las páginas anteriores.
1. Función constante: Es aquella cuya regla de correspondencia es f ( x)  k
con k   y su gráfica es:
Análisis de la función constante

Dom( f )   y Ran( f )  k 

Intervalos de crecimiento: No hay. Intervalos de decrecimiento: No hay.

Intervalos donde f es constante:  ; 

f es acotada por el valor de k .
63
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
El valor k es máximo y mínimo local y absoluto a la vez para todo x del
dominio.

f es par, pues f ( x)  k  f ( x) . Pero si f ( x)  0 entonces f es par e
impar a la vez, pues f (  x)  0   f ( x) .

f es simétrica respecto al eje Y para todo  . Pero para f ( x)  0 , f es
simétrica tanto con el eje Y como con origen.

Si k toma un valor positivo entonces f es positiva en todo  , pues la
gráfica estaría por encima del eje X.


Si k es negativo entonces f es negativa en todo R, pues su gráfica estaría
por debajo del eje X.
Si f ( x)  0 entonces f tiene infinitos ceros y si f ( x)  k con k  0
entonces f no tiene ceros.
En las 7 funciones restantes presentaremos, la regla de correspondencia, la
gráfica, su dominio y su rango, dejando como ejercicio el resto del análisis.
2. Función identidad: Es aquella cuya regla de correspondencia es f ( x)  x y
su gráfica es:
Dom( f )  
Ran( f )  
3. Función cuadrática:
Es aquella cuya regla de correspondencia es
f ( x)  x y su gráfica es:
2
Dom( f )  
Ran( f )  0; 
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4. Función cúbica: Es aquella cuya regla de correspondencia es f ( x )  x 3 y
su gráfica es:
Dom( f )  
Ran( f )  
5. Función raíz cuadrada: Es aquella cuya regla de correspondencia es
f ( x)  x y su gráfica es:
Dom( f )  0; 
Ran( f )  0; 
6. Función valor absoluto: Es aquella cuya regla de correspondencia es
 x, si x  0
f ( x)  x  
y su gráfica es:
 x, si x  0
Dom( f )  
Ran( f )  0; 
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7. Función raíz cúbica: Es aquella cuya regla de correspondencia es
f ( x)  3 x y su gráfica es:
Dom( f )  
Ran( f )  
8. Función reciproca: Es aquella cuya regla de correspondencia es f ( x) 
1
y
x
su gráfica es:
Dom( f )    0
Ran( f )    0
Funciones seccionadas
Llamaremos función seccionada a las funciones de la forma:
 f1 ( x), x  Dom( f1 )
 f ( x), x  Dom( f )

2
f ( x)   2

 f n ( x), x  Dom( f n )
Donde: Dom( f )  Dom( f1 )  Dom( f 2 )    Dom( f n ) y
Ran( f )  Ran( f1 )  Ran( f 2 )    Ran( f n )
66
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Ejemplo 11: En cada una de las funciones, trace su gráfica y determine su
dominio, rango, intervalos de monotonía, los puntos de discontinuidad
(clasificar), cotas, valores extremos y los ceros:
a.
4, si x  2
1
 x, si x  1
x
,
si
0



b. g ( x)   x
c. h( x)   x , si  2  x  4
f ( x)   2
 x , si x  1
 x , si x  1


 x , si x  4
Solución:
a. La gráfica de la función es:

El dominio es: 

El rango es:  ;  1  0; 

Intervalos de crecimiento:
 ;  1, 0; 

Intervalos de decrecimiento:
 1; 0

La función es discontinua en
x  1 y es del tipo salto.

Es una función no acotada.

El valor y  1 es un máximo local alcanzado en x  1 ; el valor y  0 es un
mínimo local alcanzado en x  0 .

f ( x)  0  x 2  0 , el único cero de la función es 0.
b. La gráfica de la función es:

El dominio es:  ; 0  1; 

El rango es:  ; 0  1; 

Intervalos de crecimiento:
1; 

Intervalos de decrecimiento:
 ; 0
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
Analizando el dominio, no tenemos puntos de discontinuidad, cotas, ni
valores extremos.

g ( x)  0  x  0  x  0 , sin embargo, 0 no pertenece al dominio de la
función. Por lo tanto la función no tiene ceros, esto se refleja en la gráfica
pues no se intersecta con el eje X.
c. La gráfica de la función es:

El dominio es: 

El rango es: 0; 

Intervalos de crecimiento:
0; 4, 4; 

Intervalos de decrecimiento:
 2; 0

La función es discontinua en
x  2 y en x  4 , ambos de salto.

Como el rango es 0;  , entonces la función esta acotada inferiormente.

Analizando los valores –2, 0 y 4 del dominio, el único valor extremo es el
valor y  0 alcanzado en x  0 y es un mínimo absoluto.

h( x)  0  x  0 , de donde el único cero de la función es 0.
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
OBJETIVO1:
De las gráficas siguientes, ¿cuáles no corresponden a la gráfica de una función?
Justifique su respuesta.
OBJETIVOS 2 Y 8:
Dada las funciones f ( x)  2 
x
x2
y g ( x)  1  x 2  3 , en cada una de ellas
determine el dominio y los ceros.
OBJETIVOS DEL 2 AL 11:
Trace la gráfica de la función f cuya regla de correspondencia es:

 x 2 , x  1

f ( x )   x,  1  x  1
1
 , x 1
x
y (de ser posible) a partir de ella determine:
a. Su dominio y rango.
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b. Clasifique los puntos de discontinuidad.
c. Los intervalos de monotonía y los intervalos donde f es constante.
d. Si f es acotada inferiormente, superiormente o acotada.
e. Los valores extremos.
f.
Las ecuaciones de las asíntotas verticales y/o horizontales.
g. Los ceros de la función.
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Ejercicios y problemas:
1. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones. Justifique su respuesta.
a. Si g (x) es una función par entonces f ( x) 
b. El dominio de la función f ( x) 
x
es una función impar.
g ( x)
x  1 es  1;1 .
c. La función f ( x)  3 x es una función acotada.
d. Los ceros de la función h( x)  1  x 2 son –1 y 0.
2. Determine el dominio de las siguientes funciones:
a.
f ( x) 
2x  1
2 x 2  5x  3
b. g ( x)  1 
3
x2
 x  1, x  2
c. h( x)  
 x, x  0
3. Trace la gráfica de las siguientes funciones e indique su dominio y rango.
a.
 x ,  5  x  1
 x, x  4

2, x  2

b. g ( x)   1
c. h( x)   x 2 ,  1  x  2
f ( x)  
 x, x  2
3
 , x4
x
 x , 2  x  6
4. A continuación presentamos la gráfica de la función f :
71
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A partir de ella, determine:
a. Dominio y el rango.
b. Y clasifique los puntos de discontinuidad.
c. Los intervalos de monotonía y los intervalos donde f es constante.
d. Si f es acotada inferiormente, superiormente o acotada.
e. Los valores extremos.
f.
Las ecuaciones de las asíntotas verticales y/o horizontales.
5. Determine los ceros de las siguientes funciones:
a. h(t )  2t 3  5t 2  3t
b. g (u ) 
x  12
x4  4
6. Determine la paridad de las siguientes funciones:
a. r (t ) 
t
t  4t
3
b. s (t )  2 
t
t 1
7. Realice el análisis detallado de las funciones básicas: identidad, cuadrática,
cúbica, raíz cuadrada, valor absoluto, raíz cúbica y reciproca; tal como se hizo
con la función constante.
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 3:
GRAFICACIÓN DE FUNCIONES: TRANSFORMACIONES
OBJETIVOS:
1. Partiendo de una función básica y conociendo su gráfica, desplazarla.
2. Partiendo de una función básica y conociendo su gráfica, reflejarla.
3. Partiendo de una función básica y conociendo su gráfica, estirarla.
4. Conociendo una gráfica de una función básica transformada, determinar su regla de
correspondencia.
5. Determinar las características de una función a partir de su transformación.
Técnicas de transformación:
Si se tiene una función básica f y se conoce la gráfica de la ecuación y  f ( x)
entonces
se
puede
esbozar la gráfica de la ecuación de la forma:
y  A  B  f (C  ( x)  D) y para hacerlo se utiliza las técnicas de transformación
siguientes:
A. Desplazamientos:
Sea A y D números reales, entonces:
A.1. Desplazamientos Verticales:
La gráfica de y  A  f ( x) desplaza A unidades la gráfica de y  f ( x) ,
si A  0 el desplazamiento será hacia arriba y si A  0 el desplazamiento
será hacia abajo.
A.2. Desplazamientos Horizontales:
La gráfica de y  f ( x  D) desplaza D unidades la gráfica de y  f ( x) ,
si D  0 el desplazamiento será hacia la izquierda y si D  0 el
desplazamiento será hacia la derecha.
Ejemplo 1: Trace la gráfica de:
a. y  x 2  5
b. y  ( x  5) 2
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Solución: ambas gráficas parten de la gráfica de la
función básica y  x 2
En el primer caso, la gráfica sube 5 unidades:
En el segundo caso, la gráfica se mueve a la izquierda 5 unidades:
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
Ejemplo 2: Trace la gráfica de la ecuación y 
x  3  2 , luego determine su
dominio y rango.
Solución: se parte de la gráfica de la función básica y 
desplazarla 3 unidades a la derecha y 
2 unidades hacia arriba y 
x (curva A) para luego
x  3 (curva B) y finalmente desplazarla
x  3  2 (curva C)
De la gráfica podemos indicar que: Dom f  3; 
y Ran f   2; 
B. Reflexiones:
B.1. Reflexión en el eje x :
La gráfica de y   f ( x) refleja la gráfica y  f ( x) en el eje x .
B.2. Reflexión en el eje y :
La gráfica de y  f ( x) refleja la gráfica y  f ( x) en el eje y .
75
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
Ejemplo 3: Trace la gráfica de:
a. y   x
b. y   x
Solución: la primera gráfica se refleja en el eje x , la segunda se refleja en el
eje y , veamos:
a.
b.
Ejemplo 4: Trace la gráfica de: y  (2  x)3  3
Solución: vamos a graficar la función con regla de correspondencia
y     x  2    3 que es equivalente a lo pedido, los pasos seguidos son los
3
siguientes:
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(A) gráfica de la función básica: y  x 3
(B) desplazamiento de 2 unidades a la derecha: y  ( x  2)3
(C) reflexión sobre el eje x : y  (( x  2))3
(D) desplazamiento de 3 unidades hacia arriba: y  (( x  2))3  3
C. Estiramientos:
Sea C un número real, entonces:
C.1.Estiramiento vertical:
La gráfica de y  C  f ( x) estira verticalmente la gráfica de y  f ( x)
alargándola si C  0 y acortándola si 0  C  1 .
C.2.Estiramiento horizontal:
La gráfica de y  f (C  x) estira horizontalmente la gráfica de y  f ( x)
alargándola si 0  C  1 y acortándola si C  0 .
77
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
Ejemplo 5: Trace la gráfica de:
a. y  2 x 2
b. y   4 x 
3
Solución: En el primer caso, la gráfica tiene un alargamiento vertical con factor
2, en el segundo caso, la gráfica tiene un acortamiento horizontal a ¼ del
tamaño original, veamos:
a.
b.
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Ejemplo 6: Trace la gráfica de: y  3  2  3 1  x
Solución:
Veamos algunos otros problemas que se pueden resolver con lo estudiado en esta
Unidad:
Ejemplo 6: Si la gráfica de la función f es la que se muestra a continuación:
Determine la gráfica de y   f ( x  1)  1
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Solución: La gráfica de la función pedida deberá seguir los siguientes pasos:
1. desplazar una unidad a la derecha: y  f ( x  1)
2. reflejar en el eje x: y   f ( x  1)
3. desplazar una unidades hacia arriba: y   f ( x  1)  1
Ejemplo 7: Si la gráfica siguiente corresponde a una función cuadrática,
determine su regla de correspondencia.
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Solución: observamos que la gráfica se ha desplazado 3 unidades a la
derecha, luego se ha reflejado en el eje x y finalmente se ha desplazado 2
unidades hacia arriba, luego, la regla de correspondencia es:
f ( x)  ( x  3) 2  2
Podemos comprobarlo con un par de puntos, por ejemplo:

el vértice:  3; 2 

el punto: 1; 2 
(3  3) 2  2  0  2  2  y
 1  3  2    2   2  4  2  2  y
2
2
Ejemplo 7: Si el dominio de una función f es 
 3; 2 y su rango 4;6 ,
determine el dominio y rango de la función g con regla de correspondencia
g ( x)  2  f ( x)  3
Solución: Analicemos paso por paso:

g ( x)  2  f ( x) , la gráfica de la función se estiró verticalmente al doble,
luego, el dominio sigue siendo 
 3; 2 y el rango ahora es: 8;12

g ( x)  2  f ( x) , la gráfica de la función se reflejó en el eje x , luego, el
dominio sigue siendo 
 3; 2 y el rango ahora es: 12;8

g ( x)  2  f ( x)  3 , la gráfica de la función se desplazó 3 unidades
hacia arriba, luego, el dominio sigue siendo 
 3; 2 y el rango ahora es:
9;11 .
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
OBJETIVO 1:
1. Determine el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
justificando sus respuestas:
a. La gráfica de la función con regla de correspondencia f ( x)  ( x  2) 2
corresponde a la gráfica de la función básica f ( x)  x 2 desplazada 2
unidades hacia la derecha.
b. La gráfica de la función con regla de correspondencia f ( x)  ( x) 2  2
corresponde a la gráfica de la función básica f ( x)  x 2 desplazada 2
unidades hacia la derecha.
OBJETIVO 2:
c. No se puede graficar la función con regla de correspondencia f ( x)   x
porque en los reales no está definida la raíz cuadrada de un número
negativo.
d. La gráfica de la función con regla de correspondencia
corresponde a la gráfica de la función básica f ( x) 
f ( x)   x
x reflejada en el eje
y.
OBJETIVO 3:
e. Si el punto
 2; 3
pertenece a la gráfica de
y  f ( x) , entonces
necesariamente el punto (4; 3) pertenece a la gráfica de y  2  f ( x)
f.
La
gráfica
de
y  f (3  x)
es
la
gráfica
de
y  f ( x)
alargada
horizontalmente 3 veces.
OBJETIVO 4:
2. Determine una ecuación de las siguientes gráficas si:
a. Parte de la función básica f ( x)  x
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b. Parte de la función básica f ( x)  x 3
OBJETIVO 5:
3. Si la función f está definida por f ( x) 
3
x con Dom f  2; 4 , determine el
dominio de la función con regla de correspondencia g ( x)  f ( x  2)  3
Ejercicios y problemas:
1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas:
a. Completando
cuadrados,
se
puede
observar
que
la
gráfica
de
y  x  2 x  4 es una parábola con vértice en 1;3 , tomando en cuenta el
2
desplazamiento vertical y horizontal de la función básica cuadrática.
b. La gráfica de y  x  4  2 es creciente en el intervalo 4; 
2. Trace la gráfica, utilizando las técnica de transformación enseñadas, de:
a.
f ( x) 
1
2
  x  4  2
2
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 x  3
3
b.
g ( x) 
c.
h( x )  2   x  3  1
2
d. i ( x)  2  x 2
e.
j ( x)  1  x
f.
k ( x)  1   x
g. l ( x)   3 3  x  2
h. m( x) 
i.
x 1  2
n( x )  x 2  4  1
3. Siendo la gráfica y  f ( x) la que se muestra a continuación:
Determine la gráfica de:
a. y  f ( x  3)
b. y  3  f ( x  2)
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c. y  2  f (3  x)
d. y  3  f ( x  2)
4. Siendo la función f con regla de correspondencia f ( x) 
x y dominio 3;6 ,
determine el dominio y rango de la función g con regla de correspondencia
g ( x)   f ( x)  2
5. Siendo la función f con regla de correspondencia f ( x)  x y dominio 2;5 ,
determine el dominio y rango de la función g con regla de correspondencia
g ( x)  2 3  x  1
6. Determine la ecuación de las siguientes gráficas si:
a. Es una función cuadrática
b. Es una función valor absoluto
85
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 4:
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
OBJETIVOS:
1. Determinar cuándo una función es exponencial y cuándo logarítmica.
2. Graficar las funciones exponencial y logarítmica en cualquier base.
3. Utilizar las propiedades de los logaritmos para resolver problemas de
modelación.
4. Reconoce el dominio, rango e intervalos de crecimiento y decrecimiento de las
funciones exponencial y logarítmica.
FUNCIÓN EXPONECIAL:
Definición:
Una función exponencial en x está definida por la regla de correspondencia:
f ( x)  b x
donde b  0 , b  1 , con x cualquier número real.
Notas:
1) Si b  1 , entonces f ( x)  1x  1 , que no representa una función exponencial,
sino una función constante.
2) La condición que b  0 , es porque x puede tomar cualquier valor real y puede
ocurrir el caso en que no exista tal expresión. Ejemplo si b  2 y x 
1
2
tiene (2) 
1
se
2
 2 lo cual no tiene sentido en los reales.
Cuando se trabaja con funciones exponenciales puede ser necesario aplicar algunas
reglas de la teoría de exponentes. Siendo x e y números reales y a, b números
positivos.
a) a a  a
x
y
e) a  n 
1
an
x y
.
ax
b) y  a x  y
a
a
b
x
f)   
ax
bx
c) (a x ) y  a x. y
d) (a.b) x  a x b x
g) a 1  a
h) a 0  1
86
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Gráfica de función exponencial
A. Gráfica de funciones exponenciales cuando b  1 .
Ejemplo 1. Graficar la función exponencial f ( x)  3 x .
Solución: Para trazar la gráfica de la función f ( x)  3 x , podemos tabular
algunos puntos. La gráfica se muestra en la figura adjunta.
x
3x
-2
1
9
-1
1
3
0
1
1
3
2
9
3
27
Observaciones sobre la gráfica.
1. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango el intervalo
0;  .
2. La gráfica corta al el eje “y” en el punto (0;1).
3. La gráfica de la función es estrictamente creciente, es decir conforme x
aumenta, f(x) también aumenta.
4. El eje x se comporta como una asíntota horizontal de la gráfica de la función
exponencial.
Las observaciones dadas son ciertas para funciones exponenciales cuya base b es
mayor que 1 ( b  1 ). Ahora veremos un ejemplo cuando la base b está entre 0 y 1.
87
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B. Gráfica de una función exponencial con 0  b  1 .
1
Ejemplo 2. Graficar la función exponencial f ( x)   
3
x
Solución: Para trazar la gráfica se puede tabular algunos puntos. La gráfica se
muestra en la siguiente figura.
x
1
 
3
-3
27
-2
9
-1
3
0
1
1
1
3
2
1
9
x
Observaciones sobre la gráfica.
1. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango el intervalo
0;  .
2. La gráfica corta al el eje “y” en el punto (0;1).
3. La gráfica de la función exponencial es estrictamente decreciente, es decir si x
aumenta, f(x) disminuye.
4. El eje x se comporta como una asíntota horizontal de la gráfica de la función
exponencial.
En general la gráfica de una función exponencial tiene una de las dos formas descritas
anteriormente dependiendo del valor de la base b.
88
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Propiedades de la función exponencial
1. El Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números
reales y el rango es el intervalo 0;  .
2. La gráfica corta al eje y en el punto (0;1), no tiene intersecto con el eje x.
3. Si b  1 , la gráfica es estrictamente creciente.
Si 0  b  1 , la gráfica es estrictamente decreciente.
4. Si b  1 , La gráfica se aproxima al aje x conforme x toma valores negativos
cada vez más grandes.
Si 0  b  1 , la gráfica se aproxima al eje x conforme x toma valores positivos
cada vez más grandes.
Transformaciones de funciones exponenciales.
En esta parte usaremos las técnicas de graficación para trazar gráficas de funciones
exponenciales que se trasladan vertical y horizontalmente.
A. Traslación vertical.
Ejemplo 3. Usando la gráfica de la función f ( x)  3 x , graficar f ( x)  3 x  2 y
f ( x)  3 x  2 .
Solución: Las funciones tienen la forma f ( x)  c , cuando c  2 , la gráfica
se obtiene recorriendo la gráfica de f ( x)  3 x dos unidades hacia abajo. Y
cuando c  2 la gráfica se obtiene recorriendo la gráfica de f ( x)  3 x dos
unidades hacia arriba.
89
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B. Traslación horizontal.
x
Ejemplo 4. Usando la gráfica de la función
1
f ( x)   
3
x2
1
y f ( x)   
3
1
f ( x)    , graficar
3
x2
Solución: Las funciones tienen la forma f ( x  c) , cuando c  2 , la gráfica se
x
1
obtiene desplazando la gráfica f ( x)    dos unidades hacia la derecha.
 3
1
Y cuando c  2 la gráfica se obtiene desplazando la gráfica f ( x)   
3
x
dos unidades hacia la izquierda.
La función exponencial natural
Como e  1 , la función
f ( x)  e x
f ( x)  e x tiene propiedades análogas
a la grafica
f ( x)  3 x , cuando la base de la función exponencial es e  2,718281828459 , la
función es llamada función exponencial natural. Aunque e puede parecer una
base extraña, la función exponencial natural tiene una gran importancia en el
cálculo.
90
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Ejemplo 5. Esboce la gráfica de las funciones f ( x)  e x y f ( x)  e  x
Solución: Para graficar la función f ( x)  e x podemos usar la calculadora para
tabular algunos puntos, vemos que se comporta como las funciones con la base
b  1 y la función f ( x)  e  x se comporta como las funciones cuya base está
0
1
 1.
e
FUNCIÓN LOGARÍTMICA:
Si x  0 y b  0 , b  1 , entonces
y  log b x si y solo si x  b y .
Ejemplo 6:
1) log 2 8  3 porque 2 3  8
2) log10 1 000  3 porque 10 3  1 000
3) 5 2  25 entonces log 5 25  2
Definición:
Una función cuya regla de correspondencia es
f ( x)  log b x la llamaremos
función logarítmica de base b, donde b  0 , b  1 .
91
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
Grafica de una función logarítmica con b  1
Ejemplo 7: Graficar la función f ( x)  log 2 x .
Solución: si queremos tabular algunos valores es más fácil tabular la función
x  2 y , es decir dar valores a y para encontrar los valores de x.
y  log 2 x
y
2 y
-3
1
8
-2
1
4
-1
1
2
0
1
1
2
2
4
x
A partir de la gráfica, puede observarse que el dominio de f ( x)  log 2 x son todos los
números reales positivos

0;
 y el rango consiste en todos los números reales. La
gráfica corta al eje x en el punto (1; 0) y es estrictamente creciente.
Grafica de una función logarítmica con 0  b  1
Ejemplo 8: Graficar la función f ( x)  log 12 x
Solución: si queremos tabular algunos valores es más fácil tabular la función
y
1
x    , es decir dar valores a y para encontrar los valores de x.
2
92
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
y  log 12 x
y
1
 
2
y
 x
-3
8
-2
4
-1
2
0
1
1
1
2
2
1
4
Propiedades de la función logaritmo
1. El dominio de una función logaritmo es el intervalo 0;  . Esto es, no existe
logaritmo de números negativos ni del cero.
2. El rango es el intervalo  ;  .
3. Su gráfica corta al eje x en el punto (1; 0), no existe intersección con el eje y.
4. Tiene al eje y como una asíntota vertical.
Leyes de logaritmos
Sea b  0 , b  1 , A, B y C números reales con A  0 y B  0 .
1. log b  A  B   log b A  log b B
 A
  log b A  log b B
B
2. log b 
3. log b AC  C  log b A
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Observación
Los logaritmos de base 10 son llamados logaritmos comunes. Generalmente se omite
el subíndice 10 de la notación: es decir:
log x = log10 x
Los logaritmos de base e son muy importantes en el cálculo y se le conoce como
logaritmos naturales. Para tales logaritmos se utiliza la notación “ln”. Es decir:
ln x = log e x
Grafica de la función logaritmo natural.
94
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Modelación con funciones exponencial y logarítmica:
Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen muchas aplicaciones
Ejemplo 9. (Crecimiento de bacterias) El número B de bacterias en el cultivo de
una caja de Petri al cabo de t horas está dado por B  100  e0,693t .
a) ¿Cuál fue el número inicial de bacterias en el cultivo?
b) Después de 6 horas. ¿Cuántas bacterias estarán presentes?
c) ¿Cuándo el número de bacterias será 200?
Solución: a) El número inicial de bacterias se da cuando t  0 , es decir:
B  100  e0  100 .
El número inicial de bacterias fue de 100.
b) Cuando t  6 se tiene B  100  e0,693(6)  6 394,36
Al cabo de 6 horas hay aproximadamente 6 394 bacterias.
c) Observe B  200 por lo tanto 200  100  e0,693t
200
 e 0, 693t
, aplicando logaritmos se tiene
100
0,693t  ln 2
ln 2
1
t
0,693
Aproximadamente en una hora la cantidad de bacterias serán de 200.
Ejemplo 10. (Modelación de rumor) Un rumor se propaga en forma logística de
modo que S (t ) 
789
modela el número de personas que han escuchado el
1  16e 0,8t
rumor al final de t días.
a) ¿Inicialmente cuantas personas han escuchado el rumor?
b) ¿Cuántas personas han escuchado el rumor acabo de 6 días?
Solución: a) El número inicial que escucharon el rumor se encuentra
reemplazando t  0 es decir:
S (0) 
789
 46
1  16e 0
Aproximadamente escucharon inicialmente el rumor 46 personas.
95
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b) Al reemplazar t  6 se obtiene.
S (6) 
789
 697
1  16e 0,8( 6)
Acabo de 6 días escucharon el rumor aproximadamente 697 personas.
Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
1. Determine el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
justificando sus respuestas:
OBJETIVO 1:
a. La función f con regla de correspondencia f ( x)  x
5
2
define una función
exponencial.
b. La base de una función logaritmo puede tomar cualquier valor real. Justifique
su respuesta.
OBJETIVO 2:
c. La grafica de la función f , con regla de correspondencia f ( x)  e x  2 se ha
trasladado 2 unidades hacia la izquierda, respecto a la grafica de la función
f ( x)  e x .
d. La gráfica de la función f , con regla de correspondencia f ( x)  2  ln x se ha
trasladado 2 f ( x)  ln x .
OBJETIVO 3:
2. Para cierta población de células, el número de ellas en el instante t está dada por
N  N 0 (2 k ) , donde N 0 es el número de células en t  0 y k es una constante
t
positiva. ¿entonces el tiempo necesario para tener una población N 1 es
t  k  log 2
 ?
N1
N0
OBJETIVO 4:
3. Trace la gráfica y  f ( x) donde f ( x)  log( x  2)  3 . Determine su dominio,
rango e intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente.
4. Trace la gráfica y  f ( x) donde f ( x)  1  e x 3 . Indique dominio, rango y a partir
de que punto la función es negativa.
96
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Ejercicios y problemas:
1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas:
a. La función exponencial es estrictamente decreciente en todo su dominio.
b. El rango de la función logarítmica es  ; 
c. La función cuya regla de correspondencia es f ( x)  e x  2 se ha trasladado
2 unidades hacia la derecha respecto a la gráfica de f ( x)  e x .
d. La asíntota vertical de la función con regla de correspondencia:
f ( x)  3  ln( x  2) es la recta x  3 .
2. Graficar las siguientes funciones indicando dominio, rango e intervalos donde la
función es creciente y donde es decreciente:
a. f ( x)  2 x
b. f ( x)  3  2 x
c. f ( x)  2 x 3
3. Graficar las siguientes funciones con regla de correspondencia que se indica.
Determine su dominio, rango e intervalos donde la función es positiva o negativa.
a. f ( x)  ln x
b. f ( x)  3  ln x
c. f ( x)  3  ln( x  2)
4. Evalué las siguientes expresiones sin usar calculadora.
a. log 5 5
b. log 1 000
c. ln
1
e
5. Resuelva las ecuaciones pasando a su forma exponencial.
a. log x  3
b. ln x  0
c. log ( x 2  3 x)  1
6. ¿Cuál de los enunciados es Falso?
a. log 3 81  4
b. ln e  1
c. log 5  log 10  log 2
d.
log10
 log 5
log 2
97
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7. Sean todas las funciones con regla de correspondencia de la forma f ( x)  b x con
0  b  1 , ¿qué punto tienen en común?
a. (0; 0)
b. (1; 0)
c. (1; 1)
d. (0; 1)
8. La asíntota vertical de la función con regla de correspondencia f ( x)  log 12 ( x  3)
es la recta:
a. x 
1
2
b. x  3
c. x  0
d. x  3
9. Al resolver la ecuación ln( x  2)  1 se tiene:
a. e
c. e  2
b. 3
d. 0
10. ¿Cuál de las siguientes funciones es exponencial?
a. f ( x)  b 3
b. f ( x) 
x
c. f ( x)  x
2
3
d. f ( x)  5 x  2
98
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 5:
OPERACIONES CON FUNCIONES
OBJETIVOS:
1. Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación y división de funciones.
2. Determina la composición de funciones.
3. Descompone una función.
Introducción:
La experiencia con los conjuntos numéricos, como por ejemplo el conjunto de los
números reales nos dice que; para cualquier par de números reales a y b
podemos realizar con ellos las siguientes operaciones básicas:
Suma: a  b
Diferencia: a  b
Multiplicación: a b
Cociente:
a
; b0
b
Se dice que estas operaciones están bien definidas pues la suma, resta,
multiplicación y división de números reales es otro número real, por ejemplo:

3+2=5

8 – 16 = – 8

(12)(6) = 72

14
2
7
Después de conocer el concepto de función, las funciones básicas, así como sus
principales propiedades; ahora se estudiará como las funciones se pueden
“mezclar” entre ellas; para ello nos preguntamos: ¿al igual que en los números
reales podemos realizar operaciones con funciones?, ¿qué condición o
condiciones se deben cumplir para que estas operaciones estén bien definidas?
Consideremos las funciones reales f y g de variable real definidas tal como
podemos observar en la siguiente figura:
99
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
De la figura observamos que cuando x  0 ,
f (0)  g (0)  4 ,
f (0)  g (0)  2 ,
f (0) g (0)  3 ,
f (0)  3 y g (0)  1 , entonces
f (0)
3 y
g (0)
g (0) 1
 , así
f (0) 3
podemos ver que cuando x  0 , las operaciones en ese punto están bien
definidas, sin embargo cuando x  4 tenemos que g (4)  3 (existe) pero f (4) no
se puede determinar (no existe) por lo tanto cualquier operación en x  4 no se
puede realizar.
Con esta idea, dejamos en claro que una forma de construir nuevas funciones es
aplicar estas operaciones utilizando las siguientes definiciones:
Definición:
Sean f y g dos funciones reales de variable real con dominios Dom( f ) y
Dom( g ) respectivamente y con reglas de correspondencias
f ( x) y g ( x)
respectivamente, entonces:
Adición:

Dom( f  g )  Dom( f )  Dom( g )

f
 g ( x)  f ( x)  g ( x)
100
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Diferencia:

Dom( f  g )  Dom( f )  Dom( g )

f
 g ( x)  f ( x)  g ( x)
Producto:

Dom( f g )  Dom( f )  Dom( g )

 f g ( x) 
f ( x) g ( x)
Cociente:

f 
Dom   Dom( f )  Dom( g )  x / g ( x)  0
g

f 
f ( x)
 ( x) 
g ( x)
g
Observación: Es fácil observar que tanto en la suma, diferencia y producto de
funciones, la determinación del dominio es el mismo y se halla al intersectar los
dominios de las funciones, sin embargo, en el caso del cociente hay una diferencia
con respecto a las otras tres pues se sabe que el denominador de un cociente
debe ser distinto de cero.
Ejemplo 1: Dada las funciones f ( x) 
a.
x y g ( x) 
1
, determine:
x
f g
Solución:
Observando las funciones podemos determinar que: Dom( f )  x / x  0  0;  y
Dom( g )  x / x  0    0, luego aplicamos la definición

Dom( f  g )  Dom( f )  Dom( g )  0;    0  0; 

La regla de correspondencia es  f  g ( x) 
x
1
.
x
b. g  f
Solución:
Como ya tenemos los dominios de las funciones entonces simplemente
aplicaremos la definición
101
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c.

Dom( g  f )  Dom( g )  Dom( f )  0; 

La regla de correspondencia es g  f ( x) 
1
 x.
x
f g
Solución:
d.

Dom( f  g )  0; 

La regla de correspondencia es
 f  g  ( x) 
x
.
x
f
g
Solución:
A diferencia de los casos anteriores debemos resolver la ecuación g ( x)  0 , es
1
 0 de donde el C.S. =  , esto significa que no hay valores que debamos
x
excluir en la intersección de los dominios de f con g , luego
decir

f 
Dom   Dom( f )  Dom( g )  x / g ( x)  0  0; 
g

La regla de correspondencia es 
f
x
( x) 
x x
1
g
x
Nota: Muchas veces podemos cometer errores al determinar el dominio a partir de
la regla de correspondencia, esto puede ser válido siempre y cuando tengamos el
cuidado necesario para no caer en algún error a la hora de determinar el dominio,
un ejemplo claro es el siguiente: si tomamos la regla de correspondencia anterior
f
x
 ( x) 
x x,
1
g
x
f 
  x / x  0  0; 
g
podemos caer en el error de decir que el dominio es Dom
sin darse cuenta que x  0 ; por tal razón es recomendable seguir la definición.
102
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Ejemplo 2: Dada las funciones f ( x)  1  x y g ( x)  x 2  4 , determine:
a.
f
g
Solución:
Determinamos los dominios de f y g de forma separada, es decir:

Dom( f )  x / 1  x  0  x / x  1   ;1

Dom( g )  x / x     (por ser una función polinómica)
 Además resolvamos la ecuación g ( x)  0 , es decir x 2  4  0 de donde
x  2 .
Aplicamos la definición:


f
Dom   Dom( f )  Dom( g )  x / g ( x)  0   ;1   2 . El valor de
g
x  2 no se considera pues está fuera de la intersección de los dominios.
f
1 x
( x)  2
.
x 4
g
La regla de correspondencia es 
Geométricamente tenemos la siguiente gráfica:
103
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
En la gráfica, h representa a la función cociente de f entre g y queda claro que
su dominio es  ;1  2 , por ejemplo si tomamos x  0 tenemos f (0)  1 y
g (0)  4 luego h(0) 
f (0)
1
1

   0,25 cuyo valor efectivamente se ve
g (0)  4
4
reflejado en la gráfica; de igual manera el lector puede comprobar con otros
valores del dominio.
b.
g
f
Solución:
De la parte a. tenemos los dominios de f y g , nos resta resolver f ( x)  0 , es
decir
1  x  0 de donde x  1 , luego

g
Dom    ;1  1   ;1
f

La regla de correspondencia es 
g
x2  4
( x) 
.
1 x
f
Geométricamente tenemos:
104
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De la gráfica, se observa claramente que el dominio de g / f es  ;1 y que al
tomar cualquier valor del dominio, la curva h representa a la función g / f .
Ejemplo 3: Dada las funciones f (t )  e t  2 y g (t )  ln 2  t  , determine:
a.
fg
Solución:

Dom( f )   (por tratarse de una función exponencial)

Dom( g )  t / 2  t  0  t / t  2   ; 2
Luego, aplicando la definición tenemos:

Dom f g      ; 2   ; 2

La regla de correspondencia es  f g (t )  e t  2 ln 1  t 
b.


g
f
Solución:
Resolvemos f ( x)  0 , es decir e t  2  0 , de donde t  ln 2 , luego:

g
Dom    ; 2  ln 2
f

La regla de correspondencia es 
g
ln(2  t )
(t )  t
.
e 2
f
Composición de funciones
 
No es difícil intuir que la función f ( x )  cos x 3 podría construirse a partir de las
funciones básicas; g ( x )  cos  x  y h( x)  x 3 . Observamos que éstas funciones
no están unidas mediante suma, resta, multiplicación, ni división; en lugar de eso,
simplemente las funciones se combinan en orden: primero la función cúbica y
luego la función trigonométrica coseno; esta forma de combinar funciones, que no
105
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
tiene contraparte en el álgebra de los números reales, se denomina función
composición.
Definición:
Sean f y g dos funciones reales de variable real tal que Ran( g )  Dom( f )   .
La composición f de g , denotada por f  g se define mediante la regla
 f  g ( x)  f g ( x) 
donde su dominio está representado por el conjunto
Dom f  g   x / x  Dom( g )  g ( x)  Dom( f )
Observaciones:
1. Una forma de recordar está definición es haciendo el siguiente diagrama
adjunto:
Dom(g )
Ran( g )  Dom( f )  
Ran( f )
2. Para obtener la regla de correspondencia de la función f  g , según la
definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente
de la función f . Por ejemplo dada las funciones f ( x) 
entonces  f  g ( x)  f  x  1 
x y g ( x)  x  1
x 1 .
3. El dominio de f  g consiste en todos los valores x del dominio de g que se
asignan a los valores g (x) en el dominio de f . Considerando las funciones
del ítem anterior tenemos que el Dom( f )  0;  y Dom(g )   , de donde
Dom f  g   x / x    g ( x)  0; 
 x / x    x  1  0
 x / x    x  1
 1; 
Es la forma algebraica de obtener el dominio de la composición de funciones,
tal como podemos observar ésta forma puede resultar algebraicamente
106
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tediosa, por tal razón para obtener el dominio usaremos la regla de
correspondencia, siempre que seamos capaces de no realizar
“simplificaciones” que puedan llevarnos a dar un dominio incorrecta (ver
ejemplos más adelante).
4. La composición g de f , denotada por g  f , se define de manera similar, su
g  f ( x)  g  f ( x)  y su dominio se obtiene
Domg  f   x / x  Dom( f )  f ( x)  Dom( g ) (forma
regla de correspondencia es
mediante la expresión
algebraica).
5. En la mayoría de los casos f  g y g  f son funciones diferentes, en otras
palabras (en el lenguaje algebraico) la composición de funciones no es
conmutativa.
Ejemplo 4: Dada las funciones f ( x)  x 2  1 y g ( x) 
a.
x , determine:
f  g con su respectivo dominio.
Solución:
Siguiendo las pautas dadas en las observaciones 2 y 3. La regla de
correspondencia es
 f  g ( x) 
f ( x) 
 x 2  1  x  1 ; para hallar el dominio
debemos (ser capaces) de percatarnos (antes de simplificar) que x  0 y no todos
los reales como indica la regla obtenida (ya simplificada), en otras palabras la
respuesta es

 f  g ( x)  x  1

Dom f  g   0; 
b. g  f con su respectivo dominio.
Solución:

g  f ( x)  g x 2  1 
Regla de correspondencia
x 2  1 , en este caso
no hay nada que simplificar y por lo tanto no existe posibilidad de cometer
algún error en la determinación del dominio.

c.


Dom g  f   x / x 2  1  0  x / x  1 x  1  0   ;1  1;  .
g  g con su respectivo dominio.
Solución:
La regla es g  g ( x)  g
 x 
x  4 x y su Dom g  g   0;  .
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Ejemplo 5: Dada las funciones f ( x) 
g  f ( x)  con sus respectivos dominios.
1
1
y g ( x) 
, determine f  g ( x)  y
x 1
x 1
Solución:

 1 
f  g ( x)   f 

 x 1
implica que
1
1
1
x 1
, de donde
1
 1  0  x  1  0 , el cual
x 1
f  g ( x)  
x  0  x  1 , al simplificar tenemos
Dom f  g     0;1 .

 1 
g  f ( x)   g 

 x 1
1
1
1
x 1
, de donde
x 1
con
x
1
 1  0  x  1  0 , el cual
x 1
implica que x  0  x  1 , al simplificar tenemos g  f ( x)   
Dom f  g     0;  1 .
x 1
con
x
Ejemplo 6 (Descomposición de funciones): Para cada función h , determine
funciones f y g , tal que h( x)  f  g ( x)  .
 
a. h( x)  cos x 3
Solución:
 
 
Considerando f ( x)  cos x  y g ( x)  x 3 tenemos h( x)  f x 3  cos x 3 .
b. h( x) 
3
x5  2
Solución:


3
Considerando f ( x)  3 x y g ( x)  x 5  2 tenemos h( x)  f x 5  2  x 5  2 .
Observación: Observamos que existe más de una forma de descomponer una
función. Por ejemplo en la parte (b), podemos también descomponer a la función
 
h considerando f ( x)  3 x  2 y g ( x)  x 5 entonces h( x)  f x 5  3 x 5  2 .
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los
“Ejercicios” finales:
OBJETIVO 1:
1. Dada las funciones
f ( x)  3 x  4
,
g ( x)  1  2 x
y
h( x )  x 2  2 x  3 ,
determine:
a. los dominios de f , g y h .
b. las reglas de correspondencia y dominios de f  g , g  h , f g y
g
h
OBJETIVO 2:
2. Dada las funciones f ( x) 
x  1 , g ( x) 
1
x 1
2
y h( x ) 
4
x 4
2
, determine:
a. los dominios de f , g y h .
b. las regla de correspondencia y dominios de f  g , g  f , f  h y h  h
OBJETIVO 3:
3. En cada caso, determine funciones f y g tal que h( x)  f  g  x  :
a. h( x) 
b. h( x) 
x3  2
2
x  12  4
2
c. h( x)  e x 1
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Ejercicios y problemas:
1. A partir de la gráfica adjunta
Determine el valor de verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a. Si f (0)  2,5 entonces  f  g (0)  2,5 .
f 
(3) existe y su valor es – 1.
g
 
b. 
c.
f  g 3 existe y su valor es 1.
d. El valor de  f  f (8) es 4.
2. Dada las funciones f ( x)  2 x  1 y g ( x)  x 3  1 , determine en cada caso la
regla de correspondencia y su respectivo dominio de:
a. g  f
b.
f
g
c. f g
d.
g
f
3. Dadas las funciones f ( x)  ln( x) y g ( x)  e x  1 , de ser posible, determine:
a.
f
 g (e)
b. g  f e indique su dominio.
c.
g  f (3)
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4.
f ( x)  x
Sea
y
g ( x)  x 2  1 , determine el dominio y la regla de
correspondencia de:
a.
f g
b. g  f
5. En cada ítem determine funciones f y g tal que h( x)  f  g ( x)  :
a. h( x)   x  1  4 x  1  8
2
b. h( x) 
4
x2  4
2
c. h( x)  e x  ln x
d. h( x)  ln(3 x  1)
6. Dada las funciones f ( x)  x 2  5 x  3 , g ( x) 
x  1 y h( x)  e 2 x 1 , determine la
regla de correspondencia con sus respectivos dominios de:
a.
f  3g  h
b.
f
h
c.
f  g h
7. De la figura adjunta:
a. Determine  f  g  1 y
f
 g 1 .
b. Trace la gráfica de  f  g (x) si se
sabe que es una recta.
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 6:
FUNCIÓN INVERSA
OBJETIVOS:
1. Reconoce analíticamente o gráficamente cuando una función es uno a uno.
2. Determina algebraicamente la regla de correspondencia de la inversa de una
función uno a uno.
3. Determina, a partir de la gráfica de f , la gráfica de su inversa utilizando el
principio de reflexión de la inversa.
4. Verifica si una función es inversa de otra función utilizando la regla de
composición de la inversa.
FUNCIÓN INVERSA:
Para invertir una función y que el resultado sea también una función, es necesario que
cumpla con una condición importante: que la función sea uno a uno:
Una función f es uno a uno (inyectiva) si para todo a, b:
f (a)  f (b) entonces a  b
Observe que esta condición no se cumple para muchas funciones simples.
Ejemplo 1: Probar si la función f ( x)  x 2 es uno a uno.
Solución: sean los números reales a y b.
f (a )  f (b) entonces a 2  b 2
de donde se obtiene a  b  a  b . Esto muestra que la función
cuadrática no es uno a uno
Existe un criterio geométrico que nos dice cuando una función es uno a uno.
Criterio de la recta horizontal.
Si una recta horizontal corta a la gráfica de una función en un sólo punto entonces la
función es uno a uno.
112
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Ejemplo 2. Verificar si las graficas de las funciones f ( x)  x 2 y f ( x)  x 3
cumplen el criterio de la recta horizontal.
Solución:
Definición: función inversa
Si f es una función uno a uno con dominio D y rango R, entonces la función inversa
denotada por f
1
, es la función con dominio R y rango D definida mediante:
f
1
(b)  a si y sólo si f (a )  b
Dada y  f (x) , podemos determinar algebraicamente la regla de correspondencia
para f
1
de la siguiente manera:
1. Verifique gráfica o algebraicamente que f es uno a uno.
2. Intercambie x por y en la regla de correspondencia y  f (x)
3. Despeje y para obtener la regla de correspondencia de y  f
4. El dominio de f
1
1
( x)
es igual al rango de f , el rango de f se puede determinar
de la gráfica y  f ( x) .
113
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Ejemplo 3: Determine la regla de correspondencia f 1 , si f ( x) 
x
.
x 1
Solución: Observe en el grafico que la función es uno a uno.
Intercambiar y por x en f ( x) 
x
y luego despejar y.
x 1
y
 x( y  1)  y
y 1
xy  x  y  y ( x  1)   x
x
x
y
 y
x 1
1 x
x
Por lo tanto f
1
( x) 
Dom f 1    1
x
y su dominio es el rango de f , es decir:
1 x
Veremos que es posible utilizar la gráfica de f para determinar una gráfica de f
1
sin
utilizar la parte algebraica descrita en el ejemplo anterior. Esto es posible por el
principio de reflexión de la inversa.
Principio de reflexión inversa.
Los punto (a; b) y (b; a) son simétricos en el plano coordenado, con respecto a la recta
y  x.
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Los puntos (a; b) y (b; a) son reflexiones uno del otro con respecto a la recta y  x .
Ejemplo 4: Dada la función f ( x)  x 3 bosqueje la gráfica de f
Solución: No necesitamos determinar la regla para f
1
( x) .
1
( x) . Solo necesitamos
encontrar la reflexión de la gráfica dada con respecto a la recta y  x . Esto
puede hacerse en forma geométrica. Imagine un espejo a lo largo de la recta
y  x y dibuje la reflexión de la gráfica dada en el espejo.
Existe una conexión natural entre inversa y composición de funciones que nos facilita
la comprensión de lo que es una inversa.
Regla de composición de la inversa
Una función f es uno a uno con función inversa g si y sólo si:
f ( g ( x))  x para toda x en el dominio de g , y
g ( f ( x))  x para toda x en el dominio de f
115
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1
3
Ejemplo 5: Muestre que f ( x)  x y g ( x)  x son inversas entre sí.
3
Solución: Observe que el dominio y el rango de f y g son los reales. Entonces
1
g ( f ( x))  g ( x 3 )   x3  3  x
3
 13   13 
f ( g ( x))  f  x    x   x
   
Luego por la regla de composición de la inversa, f y g son inversas entre sí.
Algunas veces necesitamos estudiar la inversa de funciones que no son uno a uno en
todo su dominio, pero si restringimos su dominio podemos encontrar su inversa.
Ejemplo 6: Determine la gráfica de la función inversa de f ( x)  x 2  2 para
x  0.
Solución: La función cuadrática para x  0 es uno a uno. Utilizaremos la reflexión
de la gráfica respecto a la recta y  x para determinar una gráfica de la inversa.
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
OBJETIVO 1:
1. Verifique algebraicamente si la función f ( x)  3x  2 es uno a uno.
2. Verifique graficamente si la función f ( x) 
x  3 es uno a uno.
OBJETIVO 2:
3. ¿La regla de correspondencia de la inversa de la función
f
1
f ( x) 
x5  3
es
2
( x)  (2 x  3) 5 ?
4. Determine
1
la
inversa
f ( x)  log( x  2)  3 .
de
la
función
con
regla
de
correspondencia:
OBJETIVO 3:
5. Determine a partir de la grafica de f ( x) 
x  3 la grafica de la inversa f
1
( x)
117
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OBJETIVO 4:
6. Muestre que las funciones f ( x)  x 3  1 y g ( x)  3 x  1 son inversas entre sí.
7. Muestre que las funciones f ( x) 
x3
2x  3
y g ( x) 
son inversas entre sí.
x2
x 1
Ejercicios y problemas:
1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas:
a. Todas las funciones tienen inversa.
b. El dominio de la función f
1
es el mismo que de la función f .
c. Si la función es uno a uno entonces existe su inversa.
d. El rango de la función f
1
es el mismo que de la función f
2. Determine algebraicamente la regla de correspondencia f
indicando dominio y rango de
f y
f
1
1
( x) de la función
. (NOTA: debe comprobar que las
funciones son uno a uno)
a. f ( x)  3x  6
b. f ( x) 
x3
x2
c. f ( x)  x 3  5
3. Determine si la función es uno a uno. Si es uno a uno bosqueje la gráfica de la
inversa.
a.
b.
118
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4. Determine si las funciones f y g dadas son inversas mostrando que f ( g ( x))  x
y g ( f ( x))  x .
a. f ( x)  3 x  2 y g ( x) 
x2
3
b. f ( x) 
x 1
1
y g ( x) 
x
x 1
5. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene inversa?
a. f ( x)  x 2
c. f ( x)  x 3
b. f ( x)  x
d) f ( x)  x  2  1
6. ¿Cuál función es la regla de correspondencia de la inversa de la función f si
f ( x)  x 3  1 ?
a. f ( x)  3 x  1
b. g ( x)  3 x  1
c. f ( x)  x 3  1
d. g ( x)  1  x 3
7. Suponga que f es una función uno a uno, si f (1)  5 entonces el valor de f
1
(5)
es.
a. 5
b. 0
c. 1
d. -5
8. ¿Cuál es la regla de correspondencia de la función inversa de f si f ( x)  e x ?
a. f ( x)  x
b. f ( x)  log x
c. f ( x)  ln x
9. El rango de la función inversa de f , siendo f ( x) 
a. todos los reales
b. 0;
d. f ( x)  3 x  1
x  3 , es
c.  3;
d. 3;
10. Determine si es posible la inversa de la función con regla de correspondencia
f ( x)  log 2 ( x  3)  2 .
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 7:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVOS:
1. Definir las Funciones Trigonométricas basados en la Circunferencia Trigonométrica.
2. Evaluar las Funciones Trigonométricas con valores notables utilizando la Circunferencia
Trigonométrica (y sus puntos notables) y en otros utilizando calculadora.
3. Resolver situaciones problemáticas donde se entregue condiciones y valores de Funciones
Trigonométricas y se pida otros valores.
4.


Graficar Funciones Trigonométricas de la forma: f (t )  A  B.sen Ct - D  , de la forma
f (t )  A  B.cosCt - D  y de la forma: f (t )  A  B.tanCt - D  y dado un gráfico de
5.
una Función Trigonométrica, determinar una ecuación que la modele.
Determinar las características de una Función Trigonométrica apoyándose en el gráfico de la
misma.
La circunferencia trigonométrica (C.T.):
La Circunferencia Trigonométrica es
aquella que tiene por centro el origen
de los ejes de coordenadas
cartesianas y cuyo radio es 1.
Su ecuación es:
x2  y 2  1
A todo punto sobre la circunferencia
trigonométrica se le conoce como
Punto Terminal y se le denota de la
siguiente manera:
P.T.  ( x, y )
Todo Punto Terminal está generado
por una longitud de arco de
circunferencia que parte del punto (1;0) y que termina en el Punto Terminal, dicha
longitud se denota como t , las características más importantes de t son que:
120
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
Como el radio de la Circunferencia
Trigonométrica es 1, entonces el
valor de t es igual al valor de la
medida del ángulo central (medido
en radianes) cuyos rayos pasan
por el origen y el punto (1;0) y el
otro por el origen y el P.T.

Para llegar al P.T. no existe un
único valor sino una familia de
valores generada por: t  k (2 )
donde k es un número entero y
2 se refiere a la longitud de una
vuelta sobre la circunferencia
trigonométrica para llegar al
mismo P.T.
1
2


Ejemplo 1: Siendo el P.T.   ; y  donde y  0 , determine el valor de y y
grafique dicho punto terminar en una C.T. indicando un valor gráfico de t .
Solución: Usando la ecuación de la C.T.: x 2  y 2  1 sabiendo que x 
2
tenemos:
1
2
   y 1
2
 
entonces y  
1
,
2
2
3
3
1
,
 y   1    

4
2
2
como
y0
3
.
2
121
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Puntos terminales notables:
Ejemplo 2: Determine el P.T. cuando t 
4
.
3
Solución: Observamos que t es familia de “los tercios”, así podemos relacionarlo
con el Punto Terminal notable t 

3
, veamos en el siguiente gráfico que:
 1
3
P.T.    ; 

 2
2 

122
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Definimos las Funciones Trigonométricas de la siguiente manera: siendo t un número
real equivalente a la longitud de un arco sobre la Circunferencia Trigonométrica y
siendo su Punto Terminal P.T.  ( x; y ) , definimos que:
sen  t   y
cos(t )  x
y
tan(t )  ; y  0
x
x
cot(t )  ; x  0
y
1
sec(t )  ; x  0
x
1
csc(t )  ; y  0
y
 
 7 
 y tan 

 4
 6 
Ejemplo 3: Determine sen  
Solución: son de la familia de los “cuartos” (en amarillo) y de los “sextos” (en
negro), veamos el siguiente gráfico:
123
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Observamos que cuando
t

4
, el
 2
2
P.T.  
;
 , luego, como
2
2


2
 
sen(t )  y tenemos que sen     
2
 4

3 1
7
y
;   , luego, como tan(t ) 
, el P.T.   
tenemos que


2
x
6
 2
1

 7 
2  1  3
tan 

3
3
3
 6 

2
Cuando t 
Ejemplo 4: Sabiendo que: cos  t   
1
y estando t en el segundo cuadrante,
4
determine tan(t )
Solución: sabiendo que cos(t )  x  
1
, determinemos el valor de y :
4
2
15
 1
2
y como t está en el IIC entonces y  0 , veamos:
   y 1  y  
4
 4
15
y
Luego: tan(t )   4   15
x 1
4
124
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Gráficas de las funciones trigonométricas (seno, coseno y
tangente):
Observamos en la siguiente gráfica la función trigonométrica seno: f (t )  sen(t )
¿Cómo se grafica la función seno transformada?, lo primero es poner la función en la
forma: f (t )  A  B  sen[C  t  D ] , los valores A; B; C y D nos darán información
importante sobre la forma y posición de la gráfica (partiendo de la función básica con
regla de correspondencia f (t )  sen(t ) , veamos:
A = desplazamiento vertical
B = amplitud
2
= período
C
D = desfasamiento o corrimiento de fase (desplazamiento horizontal)


Ejemplo 5: Trace la gráfica de: f (t )  3  4  sen  2t 


2
 
 
Solución: la ecuación puede expresarse como: f (t )  3  4  sen  2  t 
de lo anterior podemos deducir que:
periodo  
 

4  
(Paso 2)
3 = desplazamiento vertical
4 = amplitud
2
  = período
2

4
= desfasamiento

 4  5 4
4
2
3

4

4
 4  3 4
2
(Paso 5)


2
5
4
(Paso 3)
(Paso 4)
(Paso 1)
 
3  4  5 4

2
(Paso 5)
125
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Finalmente:
Ejemplo 6: Determine una ecuación de la siguiente gráfica:
Solución: de la gráfica podemos deducir que:
A =1
B =2
126
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2

 
C
2
D =
 C4

2
 
 
Una ecuación podría ser: f (t )  1  2  sen  4  t 
 

2  
 
 
Ejemplo 7: Trace la gráfica de: f (t )  1  2  sen  4  t 
 

4  
Solución: de la ecuación podemos deducir que:
A = desplazamiento vertical = 1

B = amplitud = 2
2
2
2 
= período =

C
4
2


4

= desfasamiento

4


8
0


8
4
Finalmente:
127
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Veamos ahora la gráfica de la función coseno: f (t )  cos(t )
Ejemplo 8: Determine los ceros de la función, intervalos positivos y negativos,
 
 
monotonía y los extremos de f (t )  3  cos  2  t 
 

4  
Solución: la gráfica es la siguiente:
128
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CEROS DE LA FUNCIÓN: podemos ver que en el período dibujado, existen
ceros cuando: t 

2
y cuando t   , como la gráfica se repite cada período
podríamos concluir que habrá ceros cuando:
t
t    k ; k  Z

2
 k ; k  Z
y en
INTERVALOS POSITIVOS: en el intervalo donde graficamos vemos que f (t )
 
;
4 2
es positivo cuando t  
y también cuando t   ;
5 
, aumentándole el
4 
resto de períodos tendremos que la función será negativa cuando:

5


t    k ;  k ; k  Z ; t    k ;
 k  ; k  Z . Trabajando de igual
2
4

4
manera:
INTERVALOS NEGATIVOS: t 
MONOTONÍA:

Crece en: t 
2
 k ;   k  ; k  Z
3
5
 k ;
 k ; k  Z
4
4
Decrece en: t 

4
 k ;
3
 k ; k  Z
4
EXTREMOS: Máximo relativos y absolutos: 3 y están ubicados en:

 k ; k  Z . Mínimos relativos y absolutos: -3 y están ubicados en:
4
3
t
 k ; k  Z
4
t
La función tangente tiene la siguiente gráfica:
129
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

Ejemplo 9: Grafique: f (t )  3  tan  t 


4
Solución: la gráfica ha subido 3 unidades, se ha reflejado en el eje y y se ha
desfasado (desplazamiento horizontal)

4
, la gráfica resultante se presenta a
continuación:
130
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
OBJETIVO 1:
1. Se ha definido que sen(t )  y . Si tenemos el punto (3;4), ¿podremos decir que
sen(t )  4 ?
2. Si el Punto Terminal de un valor t sobre la Circunferencia Trigonométrica es
1

 x;   , entonces el valor del cos t en el intervalo 0; 2
8

puede ser: 
3 7
ó
8
3 7
.
8
OBJETIVO 2:
3
11
 tan
(no use calculadora)
4
6
4. Determine, con calculadora, el valor de: sec(2,3658)
3. Determine el valor exacto de: sen
OBJETIVO 3:
5. Siendo cos(t )  
1
y estando t en el cuarto cuadrante, determine el valor de
2
csc(t ) .
6. Sabiendo que sen(t )  
2
2
y cos(t ) 
, determine el valor de tan(t   )
2
2
OBJETIVO 4:
7. Trace la gráfica, en un período, de:
a.
   
f (t )  2  3sen  4  t   
  8 
b.
 
g (t )  2 cos  t    1
 2
OBJETIVO 5:
8. Determine los ceros de la función: f ( x)  cos 3  x    
 
 
9. Determine los intervalos positivos de f ( x)  sen  2  x 
 

3  
10. Determine los extremos y la posición en los que se encuentran de la función con
 
 
regla de correspondencia: f ( x)  2  3cos  2  x 
 

2  
131
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Ejercicios y problemas:
1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas:
a. El punto  0, 27;0, 61 pertenece a la circunferencia trigonométrica
b. Cuando cos(t )  2,31 , t está en el primer o cuarto cuadrante


c. La función cuya regla de correspondencia es f (t )  3  2  sen  x 

 tiene
2
como máximo absoluto 5.
2. Siendo t 
3. Siendo t 

6
, determine el valor de tan(  t )
4
, determine el valor de:
3
4. Siendo cos(t )  
cos 2 t


tan   t 
2 
3
y además tan(t )  0 , determine sen(t )
5
5. Trace la gráfica de:
a.
   
f (t )  1  2sen  4  t   
  3 
b.
g (t )   cos(3t   )  2
c.
 
h(t )  1  2 cos  t  
 8


d. i (t )  sen 3t  
4

132
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6. Determine una ecuación de las siguientes gráficas:
a.
b.
 
 
7. Determine los extremos de: f (t )  2  4 cos  2  t 
 

3  
133
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   
sen 3  t   
  4 
8. Determine los intervalos de monotonía de: f (t )  2 
4


9. Determine los intervalos positivos y los negativos de f (t )  4  2  sen  2t 


3
x

 
3

10. Determine donde están los ceros de: f (t )  2  sen 
134
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 8:
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVOS:
1. Reconocer que una ecuación trigonométrica puede tener infinitas soluciones.
2. Determina los valores, dentro de un intervalo determinado, que cumplan con una ecuación
trigonométrica.
3. Usar las identidades trigonométricas para resolver ecuaciones trigonométricas.
4. Determinar los valores que cumplen con una ecuación sustentándose en medios gráficos
(cuando son notables) o en resultados de calculadora y luego generalizándolos apoyados en una
gráfica.
Ecuaciones trigonométricas:
Entendemos por Ecuaciones Trigonométricas a aquella que contiene funciones
trigonométricas como por ejemplo:
 
 
3
;
cos 3  x     
6 
2
 
tan( x)  sen( x) 
3 3
;
2
sen 2 ( x)  cos 2 ( x)  1
Para su solución, debemos tener en cuenta las siguientes características:

Las funciones trigonométricas son periódicas, por lo tanto muchos valores en la
variable darán el mismo resultado de la función, por ejemplo:
en el caso de la gráfica anterior
tenemos que:
sen  t  
2
2

t1 

4
 t2 
3
4
Los valores de t anteriores están en el
intervalo
t  0; 2 ,
generalizando,
sabiendo que el período de la función
seno es 2 , tendremos:
t1 

4
 k .2  t2 
3
 k .2 ; k  Z
4
135
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


Existen algunos valores de las variables que son notables 0;
   
; ; ;  y
6 4 3 2
sus familias (debemos relacionarlas con la Circunferencia Trigonométrica)
tienen valores para la variable, que podemos determinar sin necesidad de
calculadora, el resto de valores tendremos que determinarlos usando
calculadora, pero debemos tener en cuenta que los valores que nos entregue
la calculadora son los principales, usando la Circunferencia Trigonométrica
podremos determinar, la mayoría de veces, otro valor para luego
generalizarlos, por ejemplo:
Colocamos la calculadora en modo: Radian
(RAD ó R en la pantalla) y hacemos el
siguiente cálculo: sen 1  0,36  y esto nos
da como resultado: 0,368 2678934 , esto
quiere decir que:
sen(0,368 2678934)  0,36
y que por lo tanto: t1  0,368 2678934
para determinar el segundo valor:
t2 ,
recurrimos a la geometría básica en la
Circunferencia Trigonométrica, notando que
el arco HI tiene la misma medida que el
arco JK , luego:
t2    t1    0,368 2678934  2, 773324 76
habiendo entonces encontrado los dos valores entre
0; 2 de t que cumplen con que sen(t )  0,36
 
 
Ejemplo 1: Resuelva la ecuación: sen  2  x 
 
  0 a) de manera gráfica, b) de
2  
manera analítica y luego c) determine los valores que cumplen con la ecuación
cuando x   0; 2
136
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Solución:
a) para resolver la ecuación de una manera gráfica se deberá actuar de la
siguiente manera:
 
 
 

graficar y  sen  2  x 

en dicho gráfico buscar los ceros, es decir: los valore de x que hagan
que y  0
 
 
para graficar y  sen  2  x 
 ,
2  
 
 debemos notar que:
2  
desplazamiento vertical: 0
amplitud: 1
período:
2

2
desfasamiento:

2
, luego, la gráfica será:
notamos que en el período principal existen 2 raíces (o ceros), una pintada con
color rojo y la otra con azul que se repiten en los otros períodos (recuerde que
el período es en este caso  ), luego: el conjunto solución será:


C.S.    k   ;   k    ; k  Z
2

137
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b) también podremos resolverlo de la siguiente manera, tomando en cuenta la
Circunferencia Trigonométrica:
 
 
determinamos, de la gráfica anterior, que sen  2  x 
 
  0 cuando:
2  




2  x    0  k  2  2  x      k  2
2
2


y desarrollando estas dos ecuaciones llegamos a:
x

2
 0  k 
x

2
 x
 k 

2


2
 k 
 x    k 


 k  ;   k  ; k  Z
2

fnalmente: C.S.  
c) Para determinar el Conjunto Solución cuando x   0; 2 , usamos la siguiente


 k  ;   k  ; k  Z :
2

tabla, sabiendo que C.S.  
k=-2

2
 k 
  k 

3
2

k=-1
k=0
k=1
k=2


2
2
3
2
5
2

2
3

0
138
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finalmente, los valores que cumplen con la ecuación y que están dentro del


intervalo indicado son: 0;

; ;
2
3 

2 
Ejemplo 2: Resuelva la ecuación: cos(3 x) 
1
2
Solución: podemos ver, en la
Circunferencia Trigonométrica, que
existen dos valores principales con los
que 3 x hacen que: cos(3 x) 
3x 

3
 3x 
1
2
5
3
Generalizando, tomando en cuenta
que el período de la función coseno es
2 :
3x 

3
 k  2
luego: x 
finalmente:

9
k
 3x 
2
3
5
 k  2
3
 x
5
2
k
9
3
2 5
2 

 k  ; k  Z
C.S.    k 
;
3 9
3 
9
 8

sen  2 x   
8 3

Ejemplo 3: Resuelva la ecuación:
1
3
 8

sen  2 x   
 1
8 3


 1  sen  2 x    , el problema en este
Solución:
3
8 3

1
no es un valor notable, es decir, no podemos
ejercicio radica en que
3
encontrar el valor de
139
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2x 

8
directamente de la Circunferencia Trigonométrica por lo que tendremos
que recurrir de la calculadora para luego determinar el segundo valor principal,
veamos:
observamos que los valores de 2 x 

8
que cumplen con la ecuación
 1

sen  2 x    son:
8 3

2x 

8
 0,3398369095  2 x 

8
   0,3398369095
generalizando y resolviendo:
2x 

8
 0,3398369095  k  2
 2x 

8
 2,801755744  k  2
140
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2 x  0,3398369095 

8
 k  2
2 x  0, 732535991  k  2
x  0,366 267 995  k  
 2 x  2,801755744 

8
 k  2
 2 x  3,194 454825  k  2
 x  1,597 227 412  k  
finalmente, C.S.  0,366 267 995  k   ; 1,597 227 412  k    ; k  Z
Ejemplo 4: Resuelva la ecuación: 2sen 2t  3sent  5
Solución: factorizando, obtenemos:
2sen 2t  3sent  5  0
2sent
5 5sent
sent
 1  2sent
3sent
luego: 2sent  3sent  5  0

i. 2sent  5  0  sent  
 2sent  5 sent  1  0
5
 t  no definido
2
ii. sent  1  0  sent  1  t 

2
 k  2
finalmente:


C.S.    k  2  ; k  Z
2

141
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Ejemplo 5: Resuelva la ecuación: tan x  cos x  senx  0
Solución: Determinemos el Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.):
tan x 
senx

3
 cos x  0  x1   k  2  x2 
 k  2
cos x
2
2
3


 k  2 ;
 k  2  ; k  Z
2
2

luego: C.V.A.  R  
resolviendo la ecuación:
 1  cos 2 x 
senx
 senx  cos x  0  senx 
0
cos x
 cos x 
senx 1  cos x 1  cos x   0
i. senx  0  x1  0  k  2  x2    k  2
ii. cos x  1 
x3  0  k  2
x4    k  2
iii. cos x  1 
todos los valores anteriores están incluidos en el C.V.A, luego:
C.S.  0  k  2 ;   k  2  ; k  Z
Ejemplo 6: Resuelva la ecuación: cos(2 x)  5cos( x)  3
Solución: sabemos que:
cos(2 x)  cos 2 x  sen 2 x
 1  2sen 2 x
 2 cos 2 x  1
luego: cos(2 x)  5cos( x)  3 es equivalente a: 2 cos 2 x  1  5cos x  3  0
2 cos 2 x  5cos x  2  0 
i. 2 cos x  1  0  cos x  
 2 cos x  1 cos x  2   0
1
7
11
 x1 
 k  2  x2 
 k  2
2
6
6
ii. cos x  2  0  cos x  2  x  no definido
11
 7

 k  2 ;
 k  2  ; k  Z
6
 6

finalmente: C.S.  
142
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Ejemplo 7: Resuelva la siguiente ecuación: sec x  tan x  cos x
Solución: Determinemos el conjunto de valores admisibles:
sec x 
1
senx
; tan x 
, luego:
cos x
cos x
cos x  0  x 

2
 k  2  x 
3
 k  2
2
3


 k  2  ; k  Z
C.V.A.  R    k  2 ;
2
2

luego: sec x  tan x  cos x 
1  senx  cos 2 x , como
1
senx

 cos x , multiplicando por cos x :
cos x cos x
cos 2 x  1  sen 2 x , tendremos: 1  senx  1  sen 2 x ,
luego: 1  senx  1  sen 2 x  sen 2 x  senx  0  senx(senx  1)  0
i. senx  0 
x1  0  k  2  x2    k  2
ii. senx  1  0  senx  1  x3 

2
 k  2 valor no incluido en el C.V.A.
finalmente: C.S.  0  k  2 ;   k  2  ; k  Z
Ejemplo 8: Resuelva la siguiente ecuación: sen(2 x)  tan 2 (2 x)
Solución: Determinemos el conjunto de valores admisibles:
como tan 2 x 
sen 2 x
, entonces:
cos 2 x
cos 2 (2 x)  0  2 x1 
 x1 


4
2
 k  2  2 x2 
 k    x2 
3
 k  2
2
3
 k 
4
3


 k  ;
 k  ; k  Z
4
4

luego, C.V.A.  R  
resolviendo:
143
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sen(2 x) 

sen 2 (2 x)
sen 2 (2 x)
sen(2 x) 


 0  sen(2 x) 1 
x
sen(2
)
0
2
2
2
cos (2 x)
cos (2 x)
 cos (2 x) 
i. sen(2 x)  0  2 x1  0  k  2  2 x2    k  2
 x1  0  k    x2 
ii. 1 

2
 k 
sen(2 x)
 0  cos 2 (2 x)  sen(2 x)  0  1  sen 2 (2 x)  sen(2 x)  0
2
cos (2 x)
sen (2 x)  sen(2 x)  1  0  sen(2 x) 
2
1  12  4 1 1
2(1)

1  5
2
Usando calculadora tenemos:
ii.a. sen(2 x) 
ii.b.
sen(2 x) 
1  5
 2 x  no definido
2
1  5
 2 x3  0, 666 239  k  2 
2
2 x4    0, 666 239  k  2  2, 475353  k  2
x3  0,333119  k    x4  1, 237 676  k  


finalmente: C.S.  k   ;


 k   ; 0,333  k   ;1, 237  k    ; k  Z
2

144
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
OBJETIVO 1:
1. Indique el valor de verdad de la siguiente proposición, justificando su respuesta: la
ecuación cos t  1 tiene por CS    .
2. Resuelva la ecuación senx 
3
.
2
OBJETIVO 2:
3. Determine los valores de x que cumplan con la ecuación tan x  1 en el intervalo
0; 2 .


4. Determine los valores que cumplen con la ecuación sent  cos t 
1
  0 y que
2
estén dentro del intervalo 
  ;  .
OBJETIVO 3:
5. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a. sen 2t  cos t  1
b. tan t  cos t  0
OBJETIVO 4:
6. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a. cos x  0, 24
b. sen 2t  sent  1  0
145
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Ejercicios y problemas:
1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas:
a. Todo conjunto solución de una ecuación trigonométrica tiene infinitos
elementos.
 2  7
2
 7 
, entonces: cos 1 


 2  4
 4  2


b. Como cos 
2. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a. sen( x)  
1
2
b. tan(2 x)  tan( x)  0
c.
csc( x)  cot( x)  3
d. sec( x)  tan( x)  0
e. cos 2 ( x)  3sen( x)  3  0
f.
4sen 3 ( x)  2sen 2 ( x)  2sen( x)  1  0
3. Determine los valores de x  0; 2
que cumplen con la ecuación:
a. 2sen 2 ( x)  3cos( x)  0
b. 3cos 2 x  1
c.
tan(3x)  sen(3x)  0
d. cot( x)  sen( x)
 
 
4. Determine los ceros de f ( x)  2  3cos  2  x 
 

2  
146
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5. Determine los puntos de corte de las gráficas mostradas:
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 9:
VECTORES EN R2 Y R3
OBJETIVOS:
1. Definir un vector, resaltando su modulo y su dirección.
2. Determinar la resultante de un vector, utilizando las operaciones de suma y producto por un
escalar.
3. Expresar cualquier vector no nulo como combinación lineal de los vectores i, j y k.
4. Determinar el ángulo entre dos vectores.
5. Determinar el producto vectorial entre dos vectores.
Magnitudes escalares y vectoriales:
Hay fenómenos físicos cuya magnitud puede representarse con un número real. Esto
sucede por ejemplo con la longitud de una circunferencia, el área, el volumen, la
temperatura, la masa, el potencial o capacidad térmica, etc. Estas magnitudes que se
pueden representar con un número real, se denominan magnitudes escalares, y al
numero real se le llama escalar.
En cambio, otros fenómenos no es posible determinarlos en toda su extensión,
solamente con un escalar. Por ejemplo si hablamos de la velocidad de una partícula, el
solo hecho de conocer su rapidez (magnitud), no permite hacer referencia a la
velocidad, se necesita además un sentido de recorrido y una dirección. Lo mismo
ocurre con las fuerzas: su efecto no sólo depende de la magnitud sino también de la
dirección y el sentido en que actúan. Las magnitudes que se pueden representar con
un número real (magnitud), una dirección y un sentido se denominan magnitudes
vectoriales.
Definición de vector: Se llama vector a todo segmento de recta orientado en el que
se distingue un origen y un extremo.
El vector v, expresado en forma de componentes se denota por v  a, b .
La representación estándar del vector v  a, b es la flecha del origen al punto (a; b).
y
A(a; b)
b
inicial es el origen (0; 0) y punto final es (a, b).
v
Dirección: Es el ángulo medido desde el semieje positivo de
las x y la flecha. El ángulo se representa por θ.

O(0;0)
El vector v  a, b se llama vector de posición, cuyo punto
a
Magnitud: Está determinado por la longitud de la flecha y se
denota por v ó v .
148
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La longitud o la norma de un vector se define fácilmente a través de consideraciones
geométricas, por ejemplo para R2 se tiene que si v  a1,a2 , entonces aplicando el
Teorema de Pitágoras en el triángulo se tiene que la longitud del segmento OA está
dada por
2
2
a1  a2 . A este número no negativo también se le llama norma de v y se
2
2
denota por v  a1  a2 . Para R3 la idea es la misma solo que se aplica dos veces
el Teorema de Pitágoras y si v  (a1, a 2 , a3 ) , entonces v 
2
2
2
a1  a2  a3 .
Si un vector tiene punto inicial x1; y 1; z1  y punto terminal x 2 ; y 2 ; z 2  , entonces las
componentes del vector son
dada por v 
x 2  x1; y 2  y 1; z 2  z1
y la magnitud o norma está
x 2  x1 2  y 2  y 1 2  z2  z1 2 .
En lo que sigue denotaremos los vectores por letra negritas: u, v, w.
Ejemplo 1: Determine la dirección y magnitud de los siguientes vectores,
u  5;2 y v   4;3
Solución: La dirección se determina por el ángulo formado con el semieje
positivo de las x y la flecha, es decir tan  
magnitud u 
b
2
   arctan   21,8  ; la
a
5
25  4  29 .
Para el vector v, graficamos el vector posición y observamos que el ángulo
director pertenece al segundo cuadrante, con ello podemos determinar la
dirección y la magnitud.
3
4
  180   arctan   180   36,87  143 
u  16  9  5
Notas:
1. La tan  es periódica con período  , entonces si a  0 siempre existen dos
números en 0;2  tales que tan  
b
 
 5 
. Por ejemplo, tan   tan
  1.
a
4
 4 
Para determinar  de manera única es necesario determinar el cuadrante de
vector.
2. Cuando se afirma que el viento sopla con una velocidad de 30 km/h no se está
especificando completamente el fenómeno, pues es necesario precisar la
149
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dirección en que viaja el viento. Como la velocidad del viento no actúa en un
solo punto de aplicación, se trata de un vector libre y no localizado. A partir de
ahora los vectores lo vamos a considerar libres, es decir dos vectores son
equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección.
Todos los vectores que aparecen son iguales, ya que tienen la misma magnitud y la
misma dirección.
Operaciones con vectores:
Definición: Sean a  a1, a2 , a3 y b  b1, b2 , b3 , se define:

Igualdad: a  b
 ai  bi i  1, 2, 3
a  b  a1  b1, a2  b2 ; a3  b3

Suma:

Producto por un escalar: Si   IR, a  a1; a2 ; a3
OBSERVACIONES



El vector que tiene todas las componentes nulas se llama vector nulo y se denota
por 0.
El vector que se obtiene multiplicando a a por –1 se denota por – a y se llama el
opuesto de a.
La operación a + (- b) se llama diferencia de a y b y se denota por a - b.
Ejemplo 2: Determine la magnitud del vector u representado por PQ , donde
P 4,3  y Q2,5  .
Solución: El vector u  2  4;5  3   2,2 , entonces u 
Ejemplo
3:
Dados
los
siguientes
vectores
44 2 2.
u   1;2;3 ; v  3;0;1
y
w  2,2;1 , determine las resultantes de las siguientes operaciones:
a) u  2v
b) u  2v  3 w
Solución:
a) u  2v   1;2;3  2 3;0;1   7;2;5
150
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b) u  2v  3 w   7;2;5  3 2;2;1   1;4;2
Vectores coordenados unitarios.
En Rn existen determinados vectores que asumen un papel relevante en el Algebra
Vectorial ellos son los llamados vectores coordenados unitarios. Para n = 2, 3 ellos
se denotan por las i, j, k y están dados por
R2
R3
i  1;0
i  1;0;0
j  0;1
j  0;1;0
k  0;0;1
Notas:

Si u  ai  bj es unitario, entonces
u  a 2  b 2  1, de manera que
a 2  b 2  1 , esto significa que u se puede representar por un punto en el
círculo
unitario,
entonces
cualquier
vector
u
se
puede
escribir
u  cos i  senj .

Para determinar un vector unitario en una dirección dada, basta dividir el vector
dado entre su norma, es decir

u
. Este vector es unitario en la dirección de u.
u
Cualquier vector de R2 o R3 puede escribirse como una cierta suma de vectores
coordenados unitarios, esto es a, b,c  a 1;0;0  b 0;1;0  c 0;0;1  ai  bj  ck .
Ejemplo 4: Sean los puntos P (-2; 2), Q (3; 4), R (-2; 5) y S (2; -8).


a) Determine la forma de componentes y la magnitud del vector: 5 PQ  2 RS
b) Determine el vector unitario en la dirección del vector obtenido en la parte (a) y
exprese el resultado como una combinación lineal de los vectores unitarios
estándar i y j.
Solución:



 

a) 5 PQ  2 RS  5 3;4   2;2  2 2;8   2;5  17;36
Luego 17; 36  17 2  36 2  1585
151
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b) El vector unitario en la dirección del vector encontrado en la parte (a), es el


5 PQ  2 RS
1

17;36 
vector


1585
5 PQ  2 RS
17
36
;
,
1585 1585
Ahora, expresamos el vector como una combinación lineal de los vectores,
17
36
17
36
i
j
;

1585 1585
1585
1585
es decir
Producto escalar
Una de las operaciones más importante con vectores es el producto escalar o
producto interior de dos vectores. Aunque la definición es en general para vectores de
Rn no limitaremos a trabajar en R2 y R3 por el momento.
Definición
Sean a  a1; a2 ;...; an y b  b1; b2 ;...; bn
los vectores a y b y se define por a  b 
se denota por a  b al producto escalar de
n
a b
i 1
i
i
.
Algunas propiedades del producto escalar
Sean a, b y c vectores de Rn y  un número real entonces:
1. a  b  b  a
2. a  b  c   a  b  a  c
3.  a  b   a   b  a  b 
4. a  a  0 si a  0
5. a  a  0 si a = 0.
Notas:

Si el ángulo θ entre los vectores no nulos a y b se conoce y se encuentra
se define como
definido entre ( 0     ). El producto escalar
a  b  a b cos  .

El producto escalar, es un número real.

El producto escalar es positivo, si 0   

a b  0 , si

2

2
.
  .
152
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
a b  0 , si  


2
. En este caso se dice que los vectores son perpendiculares
(ortogonales).
Si a y b tienen la misma dirección y sentido, entonces   0 y el producto
escalar es igual al producto de las normas de ambos vectores.

Ejemplo 5: Si a  6i  2 j y b  i  3 j . Calcular 2 a  3b   a
Solución:
2 a  3b   a  12 i  4 j  3i  9 j)   6i  2 j 
9; 13  6; 2  54  26  80
Ángulo entre vectores.
En el espacio R2 el ángulo formado por dos vectores puede definirse de manera
natural de la siguiente forma:
Definición:
Sean a y b dos vectores no nulos. Se define el ángulo θ entre a y b como el ángulo no
negativo más pequeño entre las representaciones de a y b que tienen como punto
 a b
 a .b

inicial al origen coordenado y se calcula   arccos 

.


Notas:


Si el ángulo entre dos vectores es recto entonces se dice que son perpendiculares
u ortogonales.
Los vectores no nulos x;0 y 0; y son ortogonales para cualquier valor de x e y.

x;0  0; y  0 , luego si dos vectores son ortogonales su producto escalar es

cero.
Si a = b entonces se tiene que si >0 el ángulo formado es 0 y si <0 el ángulo
es .
Ejemplo 6: Si a  6i  2 j y b  i  3 j . Determine el ángulo que forman a y a +
b.
Solución:
Sea  el ángulo que forman a y a + b. Como a  b  7i  j , luego
cos  
6; 2  7;1
a  a  b 
40
2 5



, entonces
a b
5
6; 2 7;1
2 10 5 2


2 5 
  26 ,57 
  arccos 

 5 
153
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Ejemplo 7: Una fuerza constante está determinada por el vector F  7i  4 j .
Calcula el trabajo efectuado cuando el punto de aplicación de F se mueve a lo
largo del eje x, desde P(-5,0) hasta Q(3,0).
Solución: Como sabemos, el trabajo W está dado por W  F  D , el
desplazamiento D  PQ  OQ  OP  3;0   5;0  8;0 ,
luego W  7;4  8;0  56 Joule
Nota: Este resultado se puede interpretar teniendo en cuenta qué la unidad de
magnitud de fuerza se expresa en newton y la unidad de magnitud en metros,
entonces el trabajo efectuado es 56 newton-metro o 56 joule.
Ejemplo 8: Determinar el valor de k si los vectores a  3i  k j y
b  5i  6 j son perpendiculares.
Solución: Se sabe que si dos vectores a y b son perpendiculares, entonces
a  b  0 . 3;k  5;6  0 , 15  6 k  0  k 
15
 2,5 .
6
Producto vectorial en R3.
Otra operación que es posible realizar entre vectores, y en este caso exclusivamente
para n = 3, es el llamado producto vectorial o producto cruz. Esta operación a
diferencia del producto escalar que proporciona un número real, proporciona un nuevo
vector.
Definición:
Sean u  a1i  b1 j  c1k y v  a2i  b2 j  c 2k . El producto vectorial de u por v se
denota por u  v en ese orden, es un nuevo vector definido por
u  v  (b1c 2  c1b2 )i  (c1a2  a1c 2 ) j  (a1b2  b1a2 )k
Naturalmente que recordar esta definición en la forma en que está dado resulta algo
complicado, por lo que un recurso para recordar esta definición es escribir la parte de
la derecha como un cierto determinante el cual se ha desarrollado por la primera fila
i
j
u  v  a1
a2
b1
b2
k
c1 = (b1c 2  c1b2 )i  (c1a2  a1c 2 ) j  (a1b2  b1a2 )k
c2
Ejemplo 9: Considere los vectores a  1;4;3 y b   2;5;1 . Hallar el producto
vectorial
axb .
i
j k
4 3  4  15 i  1  6 j  5  8 k  11i  7 j  13k
2 5 1
Solución: a  b  1
Algunas propiedades del producto cruz, son las siguientes:
154
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a.
b.
c.
d.
u  v  ( v  u) (Simetría alternada)
u 0  0u  0
u  v   ( v  u) siendo  un numero real
u  v  0 si y solo si u y v son paralelos (si u y v no son vectores nulos)
Todas estas propiedades se demuestran fácilmente mediante el empleo de las
propiedades conocidas de los determinantes, que ustedes estudiaran más adelante.
Interpretación geométrica del producto vectorial y de su norma.
Si u y v son dos vectores no nulos que forman un ángulo θ
entre ellos, el vector resultante uxv, es perpendicular al
vector u y al vector v.
Esto significa que
u  v  u  u  v  v  0
Si  es el ángulo entre u y v (0     ), entonces el área del paralelogramo formado
por los vectores u y v, se determina por uxv  u v sen  .
v
u
Ejemplo 10: Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los
puntos A(5;2;2) ; B(7;3;8) y C(2;3;3) .
Denotemos por S el área del
C
Solución:
triángulo. Es claro que S es
B
igual a la mitad del área del
paralelogramo que se muestra
en la figura con líneas
discontinuas.
A
1
Luego S  ABx AC , como AB  2;1;6 y AC   3;5;1 , entonces
2
i
j k
1
S  ABx AC  ABx AC  2  1 6  31i  20 j  7k , entonces el área
2
3 5 1
del triángulo es
S
1
1
ABx AC 
2
2
 312   202  7 2

1410
 18,8 unidades
2
cuadradas.
155
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
1. ¿Qué es un vector de Rn?
2. ¿Cuáles son las operaciones que caracterizan al espacio Rn?
2. ¿A qué llamamos vector geométrico?, ¿Y dirección de un vector del plano?
¿Cuándo dos vectores son equivalentes?
3. ¿Cómo se define la longitud o norma de un vector?
4. ¿Cómo se define el producto escalar entre dos vectores?
5. ¿Cuáles son sus propiedades más importantes?
6. ¿A qué llamamos vectores unitarios?
7. ¿Qué se entiende por ángulo entre vectores?, ¿Cuándo dos vectores son
ortogonales?
8. ¿En qué espacio está definido el producto vectorial?
9. ¿Cuáles son sus propiedades más importantes?, ¿Cómo se interpreta
geométricamente su norma?
Ejercicios y problemas:
1.
Determine la dirección y la magnitud de los siguientes vectores:
a)  2 3;2
b)  3;3
2.
Determine un vector unitario que tenga la misma dirección del vector u  2i  3j .
3.
Sea P  c;d y Q  c  a; d  b . Encuentra un vector unitario en la dirección de
PQ..
4.
Encuentre un vector v que tenga la magnitud y la dirección dadas:
a) v  2;  
b) v  6;  

2
2
3
156
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5.
Sean u  3i  4j y v  i   j . Determine  tal que:
a) u y v sean ortogonales.
b) El ángulo entre u y v sea

4
.
c) u y v sean paralelos.
6.
Sean u  2i  7j y v   i  3 j . Determine  tal que:
a) u y v sean ortogonales.
b) El ángulo entre u y v sea
2
.
3
c) u y v sean paralelos.
d) El ángulo entre u y v sea
7.

3
.
Sean u  2i  3j  4k , v  2i  3 j  5k , w  1;7;3 y t  3;4;5
a) Calcule 3t  2u  5v  2w
b) Calcule u  w  w  t
c) Determine el ángulo entre los vectores u y w.
8.
Encuentre el producto cruz uxw, si:
a) u  i  7j  3k , v  i  7 j  3k
b) u  2i  7k , v  3i  4 j
9.
Encuentre dos vectores unitarios ortogonales tanto a u  2i  3j como a v  4 j  3k .
10. Utilice el producto cruz para encontrar el seno ángulo entre los vectores
u  2i  j  k y v  3i  2 j  4k
157
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 10:
MATRICES
OBJETIVOS:
1.
2.
3.
4.
5.
Describir el concepto de matriz.
Determinar los elementos relacionados con una matriz como: número de filas, número de columnas,
elemento y orden.
Definir las operaciones matriciales de adición, sustracción, producto por un escalar y producto entre
matrices y matriz transpuesta.
Definir la matriz escalonada.
Obtener una matriz equivalente utilizando las operaciones entre matrices.
Conceptos básicos:
Para prepararte para el examen de admisión, una primera recomendación es tener
claro que contenidos y habilidades debes adquirir y dominar para obtener buenos
resultados en dichas evaluaciones, por ejemplo hagamos un pequeño simulacro de
cómo organizarnos para el examen de Matemática Básica.
Habilidades/
Contenidos
Funciones.
Conceptos
básicos
Funciones
trigonométricas
Vectores
Matrices. S.E.L
Utilización de
conceptos.
Dominio, rango,
simetría,
monotonía,
acotamiento,
signos, ceros y
asíntotas.
Operaciones con
funciones.
Identifica las
propiedades básicas
de las funciones
trigonométricas.
Identifica,
magnitudes
escalares y
vectoriales.
Define las
diferentes
operaciones con
vectores.
Clasifica
los
sistemas según sus
soluciones.
Calculo.
Dominio.
Determina si es
posible una
operación
algebraica y
determina su
dominio.
Determina los ceros.
Resuelve
ecuaciones simples.
Determina el
período, la amplitud,
el ángulo de fase.
Determina
diferentes
operaciones
entre vectores.
Operaciones
matrices.
Usa técnicas de
graficación de
traslación vertical y
horizontal.
Grafica funciones de
la forma
Problemas de
trabajo.
Problemas sencillos
de modelos que se
reducen a SEL.
Graficación.
Resolución de
problemas.
Problemas
sencillos de
modelos con
funciones básicas.
con
Resuelve SEL.
y  Asenbx  c 
158
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Como vez, este grafico permite organizar los contenidos vs las habilidades más
relevantes, es decir listamos en la primera columna las cuatro habilidades más
importantes (Utilización de conceptos, cálculo, graficación y modelación), y en la
primera fila los contenidos escogidos para trabajar (Funciones. Conceptos básicos,
Funciones trigonométricas, vectores y Matrices y SEL). En general esta idea de
organizar los datos en una matriz (arreglo) de forma rectangular, es muy común, es
por ello que la matemática se preocupa de asignarle un nombre para estos
elementos.
Definición de matriz: Una matriz es un arreglo o disposición rectangular de número o
cosas. Si la matriz tiene m filas (horizontales) y n columnas (verticales), se llama
matriz de orden mxn.
 3 8 7
 , de qué orden es la
  1 4 2
Ejemplo 1: Dado el siguiente arreglo A  
matriz A.
Solución: La matriz A tiene dos filas y tres columnas, por tanto la matriz A es de
orden 2x3. Se representa A 2x 3 .
Ejemplo 2: Betty tiene dos tiendas de ropa deportiva, una de ellas está ubicada
en Lima y la otra en el departamento de Apurímac. La última semana, debido al
mundial de futbol, las tiendas registraron la venta de ropa deportiva para niños y
adultos de la siguiente manera. Lima: S/. 1500 en ropa de niños y S/. 1000 en
ropa de adultos. Apurímac: S/. 870 en ropa de niños y S/. 100 en ropa de
adultos.
Solución: La matriz correspondiente a la venta de ropa deportiva para niños y
adultos es: R 
Lima
Ropa de ninos
1500
Ropa de adultos
1000
Apurímac
870
100
Notas:





A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas.
Se emplean ( ) o corchetes [ ] para encerrar los elementos que conforman
a la matriz.
Los elementos de una matriz A se acostumbran a denotar por aij, la letra
en minúscula afectada por dos subíndices; el primero de ellos indica el
número de la fila y el segundo el número de la columna en la cual se
encuentra el elemento.
Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a
derecha.
El tamaño u orden se denota por mxn, donde m es el número de filas y n el
de columnas.
159
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 a11 a12  a1n 
a
a22  a2n 
21

A
 

 


am1 am 2  amn 

A  (aij )  A mxn
También son usuales las notaciones
Algunos ejemplos son los siguientes
 6 3 2 7 
A   7 0 1
2  Se trata de una matriz de 3 filas y 4 columnas.
1/ 2 4 0  3
3
0 x
2 5  7
B
0 3
8

z  1 4
1
y 
La matriz B tiene 4 filas y 4 columnas. El elemento b42 = -1.
9

5
3 8 7
 , determine los elementos b11, b22
 1  4 2
Ejemplo 3: Dada la matriz B  
y b23.
Solución: Los elementos que se piden se obtienen leyendo los subíndices y
sus significados: b11  3; b22  4 y b23  2 .
 
Ejemplo 4: Encuentre los componentes de la matriz A  aij , si A es de 2x3 y
los elementos de A responden a la siguiente ley de formación aij  2 i  3 j .
Solución: Los elementos que se piden se obtienen reemplazando i y j en la ley
dada:
a11  21  31  1; a12  2  3 2  7 y a13  2  3 3  25 .
a21  2 2  31  1; a22  2 2  3 2  3 y a23  2 2  3 3  23 , así entonces la
 1  7  25

 1  3  23
matriz A  
 
Ejemplo 5: Encuentre los componentes de la matriz C  c ij , si C es de 4x1 y
los elementos de C responden a la siguiente ley de formación c ij  i  j .
160
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
0
1
Solución: El procedimiento es similar al ejemplo 1, entonces C   
2 
 
3
Algunas operaciones con matrices

Igualdad: Dos marices A y B son iguales, si son ambas del mismo orden y todos
los elementos que ocupan las mismas posiciones en ambas marices son iguales.
2 3 
8 5
y B

.
5 8
3 2
Ejemplo 6: Diga si las siguientes matrices son iguales. A  
Solución: Si bien es cierto que las matrices están formadas por los mimos
elementos y tienen el mismo orden, las posiciones que ocupan los mismos no
coinciden, por ejemplo, el elemento a11  2  b11  8 , por tanto las matrices A y B
son diferentes.
a
3
1
1 4 c 
y N 


 2 b  1 2
2 1 2 
Ejemplo 7: Consideremos que las matrices M  
son iguales. Determine los valores de a, b y c.
Solución: Las matrices M y N son del mismo orden, entonces deben ser iguales
los elementos correspondientes, así entonces: a  4, c  3 y b  1  1, es decir
a  4, c  3 y b  2

Suma. Sean las matrices A y B del mismo orden, la suma A + B es una matriz del
mismo orden de A y se obtiene al sumar cada elemento de A con el elemento que
ocupa la misma posición en B.
Propiedades:
Si A, B, C y O son matrices del mismo orden, además O representa la matriz nula,
entonces:
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
A+O=A
 5  3 10
3 0,5 5

Ejemplo 8: Dadas las matrices: A  
;B 6
1
0  y


 1  1 3
 5 2
2 
  1  3 2
C
 , diga si se pueden realizar las siguientes operaciones, A +
 3 1 4
B y C + A, en caso afirmativo efectúe la operación.
161
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Cuaderno Autoinstrutivo de Definición de Niveles ‐ Matemática
Solución: A+ B, no se pueden sumar ya que el orden de A es 2x3 y el orden de B
es de 3x3, en cambio C + A es igual a:
  1  3 2 3 0,5 5  2  2,5 7
CA  


0
7
 3 1 4   1  1 3   2

Producto de un escalar por una matriz: Sea A es una matriz mxn y k un número
real, entonces kA es una matriz del mismo orden que A y donde todos sus
elementos estarían multiplicados por k, es decir kaij.
3 0,5 5
 y k = 2, obtenga 2A.
 1  1 3
Ejemplo 9: Dada la matriz: A  
23  20,5  25  6 1 10


 21 2 1 23  2  2 6 
Solución: 2A  

Producto de matrices: Sean las matices A  a11 a12
entonces A  B  a11 a12
b11 
b 

... a1n   21  a11b11  a12b21  ...  a1n bn1 .
 
 
bn1 
Ejemplo 10: Multipliquen la matriz: A  2
Solución: A B  2
... a1n 
b11
b 
21
y B   ,

 
bn1
3 
 3 y la matriz B    .
4
3 
 3     23   ( 3)( 4)   6
 4
Definición: Sea Amxn y Bnxp. El producto AB es la matriz de orden mxp, que resulta de
multiplicar la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B.
Notas:



El producto de dos matrices AB exige, que el número de columnas de A,
sea igual al número de filas de B, es decir si Amxn y Bqxp, entonces m = q.
El orden de la matriz, que resulta de multiplicar AmxnBqxp es Cmxp.
El producto de matrices no es conmutativo, es decir A  B  B  A
 1 3
 2 5 1
y N 

.
5 2
 3 4 0
Ejemplo 11: Dada las siguientes matrices M  
Analice si es posible efectuar el producto MN y NM, en caso afirmativo obtenga
la matriz resultante.
162
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Solución: M2x2 y N2x3, entonces la matriz MN es de orden 2x3,
 1 2  3 3 
M N  
5  2  23 
15  34 11  30   7

55  24 51  20  4
17 1
33 5
El producto NM, no es posible efectuarlo, ya que el número de columnas de N
es 3 y el número de fila de M es 2.
 1 3
 3 1
y B

.
  1 2
  1 5
Ejemplo 12: Dada las siguientes matrices A  
Analice si es posible efectuar el producto AB y BA, en caso afirmativo obtenga
la matriz resultante.
Solución: A2x2 y B2x2, entonces ambos productos se pueden efectuar y el
 1 3  3 1  6 16
;


9 
  1 2   1 5   1
orden en ambos casos será de 2x2, A  B  
 3 1  1 3  4  7
BA  


 . Noten que las matrices resultantes no
  1 5    1 2   6 7 
son iguales, lo que refuerza la idea del que el producto de matrices no es
conmutativo.

Matriz transpuesta y sus propiedades: A la matriz At se le llama transpuesta de
la matriz A, si el elemento aij de A es el elemento aji de At.
Nota:
Si A  aij y B  A t , entonces B  a ji .
 
 
Si el orden de A es mxn, entonces el orden de At es nxm.
2 3 
2 0 
y B

.
 1 4
 1 5
Ejemplo 13: Sean A  
 
a) Determine A t
t
b) Determine A  B y compare el resultado con Bt At.
t
2 1
t
t
2 3 
, luego A t  
 A , entonces A t  A .


3 4
 1 4
7 15 
7 6
t
, luego A  B  
, si multiplicamos Bt At,
b) A  B  


6 20
15 20
2 1 2 1  7 6 
t


Bt  A t  
, entonces A  B  B t  A t .



0 5 3 4 15 20
Solución: a) A t  
 
 
Propiedades de las matrices traspuestas:

A 

A  Bt
t t
A
 A t  Bt
163
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
A  Bt

kA t
 Bt  A t
 kA t , k  R
 
1  j , si i  j
de orden 2x4.
 0, si i  j
Ejemplo 14: Sea la matriz A  aij  
a) Determine A
b) Determine At.
2 0 0 0 
,
0 3 0 0
2 0 
0 3
.
b) A t  
0 0


0 0
Solución: a) A  
Matrices escalonadas
Por su relevante importancia en el tratamiento del algebra lineal y en especial en el
tema de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, dedicamos este espacio al
estudio de las matrices escalonadas, matrices equivalentes y al proceso de escalonar
matrices.
Definición
Una matriz se encuentra en la forma escalonada por filas si se cumplen las siguientes
condiciones:



Todas las filas nulas, si existen, se encuentran en las últimas filas de la
matriz.
Si dos filas consecutivas, i y i + 1 no son nulas, entonces el primer
elemento de la fila i + 1 diferente de cero se encuentra a la derecha del
primer elemento de la fila i diferente de cero.
Cualquier columna que contiene el primer elemento diferente de cero en
una fila, tiene ceros en el resto de la columna. El primer número diferente
de cero en una fila (si existe) se llama pivote para esa fila.
164
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 1  2 4 8
0 3 0 5
,
Ejemplo 15: Dadas las siguientes matrices A  
0 0 1 1


0 0 0 2
3 1 0
2 0 3  1 0 
0 2 1

3 2
 y C  0 0 1
B
, diga cuál de ellas es escalón.
0 0 0
0 0  3 0 2




0 0
0 0 0
0 0 0
Solución: Las matrices A, B son escalones, la matriz C no, ya que el elemento
pivot de la fila 3 no está a la derecha del pivot de la fila 2.
Transformaciones elementales.
Con las filas y con las columnas de una matriz se pueden realizar un grupo
operaciones que la transformarán en otra matriz, naturalmente diferente a la de
partida, pero con características adecuadas para nuestros propósitos. A estas
operaciones se les llama operaciones o transformaciones elementales por filas o por
columnas. En lo que sigue sólo nos ocuparemos por las operaciones elementales por
filas.
Definición
A las operaciones:
1. Multiplicar todos los elementos de una fila por un número diferente de cero.
2. Sumar los elementos de una fila previamente multiplicados por un número no nulo
a otra fila.
3. Intercambiar (permutar) filas.
Se llaman operaciones o transformaciones elementales por filas en una matriz
 0 1 2


Ejemplo 16: Dada la matriz A   1 3 2 , obtenga una matriz


 1 1 4
equivalente B que resulte de intercambiar la fila tres por la siguiente operación
f3  f3  2f1  f 2 .
 0 1 2


Solución: B   1 3 2 .


 2 0 6
165
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Matrices equivalentes
La matriz A se dice que es equivalente a una matriz B, si esta última ha sido obtenida
de A a través de operaciones elementales. En tal caso se escribe A~B.
Notas:
 Dos matrices equivalentes no son necesariamente iguales, pero dos
matrices iguales si son equivalentes.
 Las operaciones elementales no modifican el orden de una matriz.
 La equivalencia de matrices es una relación de equivalencia y por lo
tanto se verifican las siguientes propiedades.
Para matrices A, B y C se tiene:
1. A~A
2. Si A~B entonces B~A
3. Si A~B y B~C, entonces A~C
2 3  1 8 


Ejemplo 17: Dada la matriz A  6 7  6 4 , obtenga una matriz


2 5 1 0 
equivalente B que sea escalón.
Solución:
1. Se multiplica la fila 1 por – 3 y se suma a la fila 2.
8 
2 3  1 8 
2 3  1
6 7  6 4 

f2 f2 3f1
 0  2  3  20


2 5 1 0 
2 5
1
0 
2. Se multiplica la fila 1 por –1 y se suma a la fila 3.
8 
8 
2 3  1
2 3  1
0  2  3  20  

f3 f3 f1

0  2  3  20


2 5
0 2
 8 
1
0 
2
3. Se suma la fila 2 con la fila 3.
8 
8 
2 3  1
2 3  1
0  2  3  20 

f3  f3  f 2

0  2  3  20


0 2
0 0  1  28
 8 
2
y se obtiene una matriz escalón (no reducida).
166
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
1.
2.
3.
4.




5.
¿Qué es una matriz?
¿Qué es el orden de una matriz?
¿A qué llamamos matriz traspuesta?
¿Cómo se definen las operaciones:
Suma
Producto por un escalar
Producto matricial
Transposición?
¿A qué llamamos matrices equivalentes y que operaciones definen estas
equivalencias?
Ejercicios y problemas:
1. Dadas las matrices A3x2, B3x4, C4x2, D2x3 determine cuál de las siguientes
operaciones está definida. En caso afirmativo diga el orden de la matriz obtenida.
a) AB b) DA c) ADB d) DBA e) DBB f) AAC g) ABC h) DBD
1 2 
 0 1 2
1  2 0 


2. Dadas las matrices A  
; B  3 4  1; C  0  1 , realice las

1
2
5




0 4 
operaciones que sean posible
a) A  4B  C
b) A  B t
c) A t  C
 1  1 0 2
 0 3 5 1
.
3. Obtenga una MATRIZ ESCALON equivalente a la matriz 
 1 2 3 1


 0  1 2 0
2 6 
x
encuentre un vector no nulo B    tal que AB = 6B.

8  6
y 
4. Sea A  
167
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2 2 
 2  2
2
y B
, pruebe que A 2  B 2  A  B .


8  2
 4  2
5. Sean A  
6. Realice los cálculos que se piden:
 1 6
 0 4 7 1 4
a)

 2  3 5 

 2 3  
 1 4  2 0 1


3 0 4  2 3
b) 
 3  6
2
4 

c) 1 4 0 2
 1
0 


 2 3 
7. Una matriz A de nxn es normal si A  A t  A t  A . Pruebe que la siguiente matriz
es normal.
8. Una matriz cuadrada se denomina antisimétrica si A t   A (es decir aij  a ji ).
¿Cuál de las siguientes matrices son antisimétricas?
 1  6
a) 

6 0 
0  6 
b) 

6 0 
 2  2  2


c) 2 2  2


2 2
2 
1  1
0

d)  1 0
2 

 1  2 0 
168
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 11:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
OBJETIVOS:
1. Interpretar geométricamente la solución de un SEL.
2. Clasificar las soluciones de un SEL.
3. Resolver un SEL utilizando la matriz ampliada y los sistemas equivalentes.
Conceptos básicos:
Numerosos son los problemas que pueden ser modelados a través de un SEL
Supongamos que hay una red eléctrica como la que se muestra en la figura
I3
E1
R3
1
I1
I4
2
R2
I5
I6
R1
I2
E2
Las caídas de voltajes y las corrientes de un circuito se rigen por las siguientes leyes.
 Ley de corriente de Kirchohoff La suma de todas las corrientes en cualquier
nodo es cero.
 Ley de voltaje de Kirchohoff La suma algebraica de todos los cambios de
voltajes en cualquiera de las mallas (ciclo cerrado) es cero.
Una aplicación frecuente de estas leyes es cuando se especifica el voltaje de la fuerza
electromotriz (que por lo general es una batería o un generador) y la resistencia de los
resistores, y se pide calcular la corriente.
Mediante un sistema de ecuaciones lineales, establezca una relación entre las
corrientes i1, i2, i3...i6 si se conoce el voltaje de la batería es E1 = 6V, E2 = 12V y las
resistencias son R1  2 , R 2  2 y R 3  1
Definición
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, x2,
la forma:
...,
xn, es un sistema de
169
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 a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
,






am1x1  am 2 x 2  ...  amn x n  bm
donde
los
elementos aij (llamados
coeficientes) que aparecen multiplicando a las incógnitas y las constantes bi son
número reales (llamados términos independientes). Si todas las constantes bi son
nulas el SEL se llama homogéneo.
2a  2b  2c  0

Ejemplo 1: Dado el sistema 4a
 2d  0 , verifique que para los valores

4b
d  0

de
las
variables
dadas,
a  2; b  1; c  3 y d  4 .
son
solución
del
SEL,
cuando
Solución: Si reemplazamos en cada una de estas ecuaciones obtenemos las
 22  21  23   0

siguientes identidades: 42
 24   0 , es decir, los valores de las

41
 4   0

incógnitas satisfacen por separado cada una de las ecuaciones del SEL.
¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones lineales?
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar si, existen, valores de las
incógnitas que intervienen en el sistema, de modo que sustituidos estos valores en el
sistema reduzcan a identidades todas y cada una de la ecuaciones del sistema. A tal
conjunto de números reales se le denomina solución del sistema de ecuaciones
lineales. Es costumbre escribir las soluciones de estos sistemas a través de n-plas de
números reales, esto es, pares (x1, x2), ternas (x1, x2, x3), etc. Así para el ejemplo 1,
una solución del SEL es (2; 1; 3; 4), sin embargo esta no es la; única solución, también
(4; 2; 6; 8) es solución.
Conjunto solución
Al conjunto de todas y cada una de las soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales le llamaremos conjunto solución del sistema.
Nota: Observemos que el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales
puede ser vacío.
Ejemplo 2: Verifique que los SEL dados son compatibles:
 x  2 y  2z  0

a) 4 x  8 y  5z  0 , C.S =  2k ; k ,0 
3 x  6 y  6z  0

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 x  3 y  2z  17

b)   2 x  3 y  14 , C.S =  1
; 4,3 
  3 x  y  2z  2

Solución:
a) El SEL es compatible indeterminado, ya que si reemplazamos el conjunto
solución para cada una de las ecuaciones del SEL, lo convierte en tres
identidades, para k  R .
b) El sistema es compatible determinado, ya que si reemplazamos en cada una
de las ecuaciones, el SEL se convierte en una identidad y el SEL no tiene más
soluciones.
Entonces los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican según sus soluciones, en
consistente (compatibles) si al menos tiene una solución, e incompatibles si no
tiene solución.
Notas:
Si la solución del sistema es única, como en el ejemplo 2b, el sistema se dice
compatible determinado.
Si la solución del sistema no es única, como en el ejemplo 1 y 2a, el sistema se
dice compatible indeterminado.
Definición
Dos SEL con las mismas incógnitas se dicen equivalentes si
a. Ambos son consistentes y tienen el mismo conjunto solución o
b. Ambos son inconsistentes.
Transformaciones elementales en un SEL.
En esta sección estudiaremos la teoría que nos proporciona las herramientas
necesarias para abordar, de manera general, la resolución de sistema de ecuaciones
lineales.
A partir del siguiente ejemplo trataremos de ir sacando conclusiones que nos ayudaran
a establecer que operaciones son permisibles en los SEL y que nos permitan obtener
sistemas equivalentes.
Ejemplo 3: Resuelva el SEL:
 3
 x  2y

2 x  3 y  2z  10
 x
 6z  9

Solución: El SEL tiene tres ecuaciones denotemos por E1; E2 y E3, cada una de
las ecuaciones del sistema.
171
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 3
 x  2y

2 x  3 y  2z  10
 x
 6z  9

 3
 x  2y

  y  2 z  4
 2 y  6 z  2

E2 - 2E1
E3 + E1
E3 +2E2
 3
 x  2y

  y  2z  4 , el sistema ha tomado la forma de un escalón. Despejemos

2z  2

la variable z de la última ecuación y hagamos una sustitución a la inversa,
conforme ascendamos obtendremos el valor para cada una de las variables. Así
entonces obtenemos z = -1; y = 6 y x = - 15. Entonces el SEL es compatible
determinado y el C.S =  15;6,1
Definición
A las operaciones:
1. Multiplicar una ecuación (fila) por un número no nulo.
2. Sumar los elementos de una ecuación (fila) previamente multiplicados por un
número no nulo a otra fila.
3. Intercambiar (permutar) filas.
Se llaman operaciones o transformaciones elementales por filas en una matriz
En esta definición sólo se precisa cambiar fila por ecuación y matriz por SEL y
estamos en presencia de transformaciones elementales por filas en un SEL.
TEOREMA
Si en un SEL se realizan transformaciones elementales se obtienen SEL equivalentes.
Representación matricial de un SEL
Los SEL están indisolublemente relacionados con las matrices y estas son empleadas
frecuentemente para identificar SEL
Supongamos, para simplificar notaciones y hacer más comprensible la exposición,
dado un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas:
a11 x1  a12 x 2  a13 x 3  a14 x 4  b1

a21 x1  a22 x 2  a23 x 3  a24 x 4  b2
a x  a x  a x  a x  b
32 2
33 3
34 4
3
 31 1
A la matriz A conformada con los coeficientes del sistema
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a11 a12
A  a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a14 
a24  le llamaremos matriz del sistema.
a34 
A la matriz columna X cuyos elementos son las incógnitas del sistema
 x1 
x 
X   2  le llamamos matriz de las incógnitas.
x3 
 
x 4 
Finalmente denotamos por B la matriz columna de los términos independientes del
sistema
 b1 
B  b2  .
b3 
Si efectuamos el producto matricial A.X e igualamos el resultado a la matriz B, esto es
A.X = B, y utilizamos la definición de igualdad de matrices, se obtiene el sistema de
ecuaciones lineales dado inicialmente, por lo que a la relación A.X = B le llamaremos
representación matricial del sistema de ecuaciones lineales.
2 x  3 y  z  0

El sistema de ecuaciones lineales  x  y  z  1 puede escribirse como el producto
 x  3 y  4z  5

2  3 1   x  0
 1  1  1  y   1 , si se efectúa el producto de matrices y se igualan se obtiene

   
 1  3 4   z  5
el SEL original.
Matriz ampliada del SEL
Definición
Dado el sistema de ecuaciones lineales
a11 x1  a12 x 2  a13 x 3  a14 x 4  b1

a21 x1  a22 x 2  a23 x 3  a24 x 4  b2 denotaremos por (A/B) a la matriz ampliada
a x  a x  a x  a x  b
32 2
33 3
34 4
3
 31 1
del sistema, definida por
a11 a12
A B  a21 a22
a31 a32

a13
a23
a33
a14 b1 

a24 b2 
a34 b3 
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Observación:
De las definiciones de matriz ampliada, sistemas de ecuaciones lineales equivalentes
y matrices equivalentes se tiene que:
Si M es la matriz ampliada de un sistema dado y M1 es la matriz ampliada de un
sistema equivalente al dado, entonces M y M1 son equivalentes.
w 1
 3 x  2y

Ejemplo 4: Escriba el SEL 2 x
 2z  w  10 , como un producto AX

y  z  2w  3

= B y represente su matriz ampliada.
x
3 2 0  1
 1
y 


 
Solución: A  2 0  1 1 , X    y B  0 , entonces el SEL escrito


 
z
0 1 1  2
3
 
w 
x
3 2 0  1    1

 y
 
en su forma matricial es: 2 0  1 1    0 y la matriz ampliada que

 z   
0 1 1  2   3
w 
3 2 0  1 1


representa al SEL es: 2 0  1 1 0
0 1 1  2 3


Método de eliminación de Gauss.
Uno de los métodos más empleados en la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales por su sencillez es el método de eliminación de Gauss. La esencia del
método, como su nombre lo indica, es realizar determinadas transformaciones
elementales en el sistema de ecuaciones lineales dado, de modo que los sistemas
equivalentes que se van obteniendo contengan menos incógnitas.
Como veremos a continuación, cuando el sistema de ecuaciones lineales está dado en
su forma matricial, el método se reduce a escalonar la matriz ampliada del sistema.
Ejemplo 5: Resuelva el SEL mediante el método de Gauss:
w  0
 x  2y

3y  z  w  1

 x  y  z  3w  1

Solución: Comencemos escribiendo la matriz (A/B) ampliada del sistema:
1 2 0 1 0 
1 2 0 1 0 


f3 f1
f3  f2
A / B  0 3 1  1 1  0 3 1  1 1  

1  1 1 3  1
0  3 1 2  1
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1 2 0 1 0
0 3 1  1 1 , las tres matrices ampliadas son equivalentes y por
0 0 2 1 0
f3  f 2
tanto los sistemas también lo son, regresando al sistema se obtiene
w  0
 x  2y

3y  z  w  1 ,


2z  w  0

de
la
última
ecuación
obtenemos
w  2z ,
1
 z , si sustituimos
3
2
estos valores en la primera ecuación, tenemos x    4z , por tanto el
3
 2
1

conjunto solución es C.S     4z;  z; z;  2z 
3

 3
remplazando en la segunda ecuación y despejando y 
Nota:
La observación de la matriz escalón equivalente a la matriz ampliada del SEL permite
a priori caracterizar al SEL, el siguiente teorema nos proporciona una valiosa
información sobre las características del SEL.
Teorema
Dado un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas A.X = B, denotemos por M y
M1 las matrices escalones equivalentes a las matrices A y (A/B) respectivamente,
entonces:
i.
El sistema es compatible, si y sólo si el número p de filas nulas en M es igual al
número q de filas nulas en M1.
ii.
Si el sistema es compatible y m – p = n es determinado.
iii.
Si el sistema es compatible y m – p - n  0 es indeterminado y tiene m – p - n
variables libres.
Por ejemplo, el sistema que acabamos de resolver m = 3, n = 4, p = q = 0 por tanto el
sistema es compatible.
Ahora m – p - n = 1  0 y el sistema es indeterminado con una incógnita libre, en este
caso z.
Ejemplo 6: Sea la matriz escalón asociada a un cierto sistema de ecuaciones
2 3 1 5 


lineales 0 2 1 3 , clasifique el sistema.


0 0 0 5
Solución: Si observamos el número de filas nulas en la matriz del sistema,
vemos que p = 1 y q = 0, por tanto el sistema es incompatible. Nótese que en
este caso p  q
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Ejemplo 7: Resuelva los siguientes SEL y clasifíquelos según su solución:
 x  2y  z  1

a. y  2z  5
 x  y  3z  8

3 x  6 y  6z  9

b. 2 x  5 y  4z  3
5 x  28 y  26z  8

Solución: En cada caso; obtenemos la matriz aumentada:
a)
 1 2 1
0 1 2

 1 1 3
1
 1 2 1

0 1 2
5

 R1  R3
  0 3 2
8  
 1 2 1
0 1 2

 0,25 R3

  0 0 1
1
5 
3 R2  R3


7  
 1 2 1 1 
0 1 2 5


 0 0  4  8
1
5  Se tiene z = 2; y + 2(2) = 5 y = 1;
2 
x - 2(1)+1(2) = 1  x = 1. Por lo tanto se obtiene: Sistema compatible
determinado, solución única C.S   1;1; 2  
3

b)  2
5

1

0
0

 1 R
6 6 9  3 1 

5 4 3 
28 26 8 

1
3


3   2 R  R  0
2
3


18 16 23
0
2
9
2
8
1

2
5

2 2 3   2  R  R
 
5 4 3 
 5  R  R

28 26 8  

2
9
2
8
0
0
3

3  Como am = 0 y bm ≠ 0
29
1
2
1
3
Se tiene un sistema Incompatible, es decir no tiene solución.
Problemas de modelación que se resuelven con SEL.
Ejemplo 7: Un viajero acaba de regresar de Europa. Gastó $30,00 diarios en
Inglaterra, $20,00 diarios en Francia y $20,00 diarios en España por concepto de
alojamiento. En alimentación gastó $20,00; $30,00 y $20,00 diarios en Inglaterra,
Francia y España respectivamente. En cada país gastó $10,00 diarios en otros
menesteres. Los gastos totales fueron $340,00 por alojamiento, $320,00 en
comidas y $140,00 en otros gastos. ¿Cuántos días pasó el viajero en cada país?
Solución: Sea x: El número de días que está el viajero en Inglaterra.
y: El número de días que está el viajero en Francia.
176
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z: El número de días que está el viajero en España.
Realizamos una agrupación de la información y se obtiene el sistema de
ecuaciones lineales:
INGLATERRA
FRANCIA
ESPAÑA
TOTAL
ALOJAMIENTO
30
20
20
340
ALIMENTACION
20
30
20
320
OTROS
10
10
10
140
10 x  10 y  10 z  140

20 x  30 y  20 z  320
30 x  20 y  20 z  340

La matriz aumentada
es:
1 1
2 3

 3 2
1 14
 2  R1  R2

2 32 
 3 R1  R3
2 34 

1
0

 1 R2  R3

  0
1
1
0
1 14
0 4 
1 4 
1
0

 0
14
1

0
4

 1 R3
 1  1  8 
  0
1
1
1
0
1
1
1
1 14
0 4 
1 8 
Se tiene z = 4; y = 4; x = 6  C.S   6 ; 4 ; 4  
Se recomienda verificar los valores de las variables que se obtienen en el S.E.L.
Rpta: El viajero pasó 6 días en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España.
Ejemplo 8: Kimberly Clark vende máquinas limpiadoras de alfombras. El modelo
EZ-1000 pesa 10 kilogramos y viene en una caja de 10 pies cúbicos. El modelo
compacto pesa 20 kilogramos y viene en una caja de 8 pies cúbicos. El modelo
comercial pesa 60 kilogramos y viene en una caja de 28 pies cúbicos. Cada uno de
sus camiones de entregas tiene 248 pies cúbicos de espacio y puede contener un
máximo de 440 kilogramos. Para que un camión esté totalmente cargado, encuentre
el número de cajas de cada modelo que debe llevar un camión de acuerdo a lo
siguiente:
a) Asigne variables a las incógnitas respectivas y formule el modelo matemático
que involucre a todas las incógnitas.
b) Resuelva el modelo obtenido en (a) y determine el número de cajas que debe
llevar cada camión, si este número debe ser el mayor posible.
Solución:
a) Sea x: El número de cajas del modelo EZ - 1000.
Sea y: El número de cajas del modelo compacto.
177
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Sea z: El número de cajas del modelo comercial.
Realizamos una agrupación de la información
PESO (Kg)
3
VOLUMEN(pie )
Modelo
EZ-1000
Modelo
COMPACT
O
Modelo
COMERCIAL
TOTAL
10
20
60
440
10
8
28
248
x
y
z
y se obtiene el
modelo matemático
10 x  20 y  60 z  440

solicitado: 10 x  8 y  28 z  248 .
b)
La matriz aumentada es:
1
1 2 6 44
6
44   12  R2 
 1 2 6 44   10 R1  R2 1 2


8
10 8 28 248  0 12 32 192 

0 1
16




3


La condición del problema es que el número de cajas sea el mayor posible.
8
2
2
z  t ; y  16  t ; x  12  t , como x  0  12  t  0  t  18 , además
3
3
3
8
y  0  16  t  0  t  6 , z  0  t  0 luego: 0  t  6
3
Analizando se tiene:
Si: t  0  z  0 ; y  16 ; x  12  28cajas Si:
t  3  z  3 ; y  8 ; x  10  21cajas
Si: t  6  z  6 ; y  0 ; x  8  14cajas
Rpta: El mayor número de cajas que puede llevar cada camión es 16 cajas del
modelo compacto ,12 cajas del modelo EZ-1000 y ninguna caja del modelo
comercial.
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Preguntas para comprobar el logro de los objetivos:
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados
para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios
y problemas” finales:
1.
2.
3.
4.
¿Qué es un SEL?
¿A qué se llama solución de un SEL?
¿Cómo se clasifican los SEL, según su solución?
¿En qué consiste el método de eliminación de Gauss?
Ejercicios y problemas:
1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas:
a. La matriz ampliada equivalente en su forma escalonada de un sistema de
1

ecuaciones lineales se presenta a continuación 0

 0
1
1
0
1 14
0 4  , entonces
0 4 
el SEL tiene solución única.
b. La matriz ampliada equivalente en su forma escalonada de un AX B se
1 2 0 1 1 


presenta a continuación 0 1 3 0  1 , entonces el C.S de AX B es:


0 0 1  1 2 
 13 7w; 7  3w;2  w;w.
2. Usando el método de eliminación gaussiana, resolver los S.E.L que a continuación
se presentan:
 x  2y  z  3w  1

a. 2x  3y  z  2w  3
2x  y  6z  w  1

y z 7


 z 2
b.  x
3x  2y
 5

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 x4
x1

x2  x3

c. 
 x3  x4
x1

x3  x4
5
7
0
2
 x1  x2  x3  6
3x1  3x2  3x3  18
d. 
 x1

3. Dado el sistema de ecuaciones lineales  x1
 5x
 1
 2x 2
 x3
1
 x2
 8x2
 2x 3
   1x 3
 1
 4
determinar el o los valores de  de modo que:
a) Sea incompatible.
b) Compatible determinado.
c) Asigne un valor al parámetro  y resuelva el sistema por el Método de Gauss.
4. La compañía Ruiz invierte un total de $30 000. Una parte al 6% y el resto al 9 %.
Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaría todo
el dinero si estuviera invertido al 7 %. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa.
5.
Se dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los siguientes
nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio.
Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de nitrógeno, 3
unidades de ácido fosfórico y 2 unidades de potasio.
Una bolsa de la marca B proporciona 2 unidades de nitrógeno y
1 unidad de ácido fosfórico y
Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de nitrógeno, 2 de ácido
fosfórico y 1 unidad de potasio.
Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno, 23
unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre. ¿Cuántas bolsas
de cada marca de fertilizante deben usarse por acre para lograr un crecimiento
ideal?
180
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6. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinas
herramientas donde se fabrican las partes de los muebles, y una división de
ensamble y terminado en la que se unen las parte para obtener el producto final.
Suponga que tiene 12 empleados en el taller y 20 en la división y que cada
empleado trabaja 8 horas diarias. Suponga también que se producen solamente
dos artículos sillas y mesas. Una silla requiere 384/17 horas de maquinado y
660/17 horas de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda
ilimitada de estos productos y que el fabricante desea mantener ocupados a todos
los empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas puede producir está fábrica al
día?
181