79498839.2017.cartilla

Instrumentos de Trazado
Aplicación
de la GEOMETRÍA
ACTIVA en el Aula
Guia de Actividades
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Construcciónes y Trazados
Visualización Espacial
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
INTRODUCCIÓN
Esta cartilla busca proporcionar a los maestros, una variedad de estrategias
metodológicas para desarrollar en el aula de clase, con el fin de mejorar el proceso de
enseñanza aprendizaje de la geometría activa, que le permitan el desarrollo del
pensamiento espacial en los educandos de la básica primaria.
Entonces, la geometría activa vista desde los Lineamientos Curriculares (1998) es una
alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas
de exploración y representación del espacio. Para lograr ese dominio del espacio,
desde el enfoque de geometría activa, se parte de la actividad del alumno y su
confrontación con el mundo.
Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y símbolos o
las operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia de
las transformaciones en la comprensión aún de aquellos conceptos que a primera vista
parecen estáticos. Se trata pues de “hacer cosas”, de moverse, construir, producir y
tomar de estos esquemas operatorios el material para la conceptualización o
representación interna. (pág.57).
Es por eso, que esta cartilla, además de tomar la geometría activa con los aspectos que
le conciernen, se fundamenta en autores constructivistas como Jean Piaget con sus
Procesos evolutivos naturales que conllevan al favorecimiento en el crecimiento
intelectual, social y afectivo; David Vygotsky con su Zona de desarrollo próximo y
Jerome Bruner con su Aprendizaje por Descubrimiento. Así mismo, los aportes
valederos dados por otros autores como George Polya quien destaca el papel del
docente para ayudar al estudiante y despertar en él, el interés para dar solución a los
problemas y por último, los esposos Pierre y Dina Van Hiele con los niveles de
desarrollo del pensamiento geométrico.
De igual manera, se apoya en documentos del MEN con la recopilación de estándares,
logros e indicadores de logros visualizados en los contenidos y actividades registradas
en la cartilla; que como estrategias el maestro las desarrollará por medio del juego y el
trabajo colaborativo ambientando espacios de formación que despierten el interés de los
educandos por la apropiación y construcción del conocimiento.
Con esas aportaciones, se da paso al armado de esta cartilla para los maestros, con el
objetivo de que les sirva de apoyo en la toma de decisiones, métodos, recursos,
técnicas y formas de trabajo en el aula de clase para mejorar la enseñanza-aprendizaje
Por ello, se esbozan en su estructura, unas acciones organizadas y recopiladas de
textos y otras tomadas de algunas guías proporcionadas por el programa PTA
(Programa Todos a Aprender 2.0) para orientar con más eficacia la apliicación de una
didáctica con seguimiento continuo y educativo que mantengan el interés y promuevan
el aprendizaje significativo en los dicentes.
Este trabajo contiene en el primer capítulo, la presentación de los Instrumentos de
trazado, que abarca las herramientas básicas como son la regla, la escuadra,
el transportador y el compás, requeridos en la solución de problemas sobre
construcciones geométricas.
En el segundo capítulo se incluyen las construcciones y trazado de problemas
geométricos que admite aplicaciones creativas con miras al desarrollo de la capacidad
de análisis, compresión y abstracción en el educando a partir de las distintas etapas
que se muestran en la solución de problemas.
Seguidamente, en el capítulo tres, se enuncian las guías de actividades para geometría
que busca identificar algunos conceptos fundamentales en la enseñanza de la geometría
y su desarrollo en la básica primaria.
Finalmente, en el capítulo cuatro se registra la Visualización y la Orientación espacial
encaminada a fortalecer el conocimiento didáctico del contenido de los docentes,
en relación con el pensamiento espacial y los sistemas geométricos en los niveles de
la básica primaria.
Aplicación
de la GEOMETRIA
ACTIVA en el Aula
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Instrumentos de Trazados
en la Geometría
Instrumentos de Trazado
Momentos de Instrumentos Básicos
1. REGLA
2. LAS ESCUADRAS
3. El TRANSPORTADOR
4. EL COMPAS
ELEMENTOS GEOMETRÍCOS
Punto:
Es la intersección de dos líneas rectas.
Designación:
Se hace mediante una letra mayúscula,
fundamentalmente las primeras de alfabeto.
Así tendremos el punto A, el punto B, el punto C…
Representación:
Se realiza mediante una cruz, un aspa,
un círculo vacío o un círculo lleno. Punto P.
Recta.
Se conoce a la recta como la sucesión infinita de puntos.
Línea recta.
Sucesión de puntos en una misma dirección.
Designación:
Se utilizan letras minúsculas, generalmente a partir
de la letra r, por ejemplo, r, s, t,… Recta r.
Línea curva:
Sucesión de puntos que no están en una misma
dirección. Recta s.
Línea quebrada:
Sucesión de puntos formados por líneas rectas
que cambian de dirección. Recta t.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Semirrecta:
Es la parte de la línea recta limitada en un extremo.
Designación:
Se hace a partir del punto y la recta, se utiliza
una letra mayúscula seguida de una minúscula Ar.
Segmento:
Es la parte de la recta limitada en sus dos extremos.
Designación:
Es mediante los puntos que definen el segmento,
Se utilizan dos letras mayúsculas colocadas en los
extremos. Segmento AB.
Plano:
Es la superficie formada por:
ACTIVIDAD
Observa la figura. Luego nombra los elementos geométricos que se indican.
a.
b.
c.
d.
e.
Dos rectas distintas.
Tres segmentos.
Dos puntos.
Un plano.
Dos semirrectas.
ACTIVIDAD
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F), de acuerdo a la figura.
• tres puntos no alineados, o
• dos rectas que se cortan, o
• dos rectas paralelas, o
• una recta y un punto exterior a ella.
Designación:
Se utilizan las letras del alfabeto griego
(α, β, γ, etc)
a)
b)
c)
d)
e)
El punto S pertenece a la recta TQ.
___
Los puntos P, R y S están en el plano.
___
Los puntos S, D y P están sobre la una recta. ___
El punto Q es común a las rectas PD y TQ.
___
El punto P pertenece a la recta TQ.
___
Instrumentos de Trazado
la Regla
La regla graduada está dividida en centímetros, que se marcan con una raya larga, y
en milímetros, que se indican con una raya corta. Las rayas de longitud intermedia
señalan la mitad de cada centímetro.
ACTIVIDAD
a) Medir con una regla estos segmentos y anotar, encima de cada uno de ellos,
el resultado en milímetros.
La regla se sitúa de modo que la raya correspondiente al 0 coincida con el
primer punto del segmento cuya longitud se quiere conocer.
La medida será la última marca señalada por
el punto final del segmento.
La medida se expresa en centímetros (cm).
En dibujo existen reglas que la medida la expresa
en pulgadas.
Para la pulgada anglosajona (en inglés inch),
su símbolo es in o ″ . Actualmente en Estados
Unidos, Panamá y otros países se usa una
pulgada de 25,4 milímetros.
b) Medir con una regla estos segmentos y anotar, encima de cada uno de ellos,
el resultado en centimetros.
c) Medir con una regla estos segmentos y anotar, encima de cada uno de ellos,
el resultado en pulgadas.
Las Escuadras
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
La longitud de la hipotenusa de la escuadra es igual a la longitud del cateto
mayor del cartabón.
Éstas se emplean para medir y trazar líneas horizontales, verticales, inclinadas y
combinadas; con la regla T se trazan líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas.
Las escuadras llevan graduados centímetros y milímetros.
La escuadra y el cartabón son dos plantillas con forma de triángulo rectángulo.
La escuadra es un triángulo isósceles y el cartabón un triángulo escaleno.
La forma y ángulos de cada una de ellas son los siguientes:
Instrumentos de Trazado
Las Escuadras
Trazado de rectas perpendiculares
PARALELAS
Son rectas paralelas aquellas que están separadas
por una misma distancia hasta el infinito, es decir,
no se tocan nunca.
La recta r es paralela a la recta s. Las dos rectas
son paralelas entre sí.
Primero se traza la linea paralela (horizontal). Si queremos trazar una linea perpendicular
a la linea dibujada, giramos la escuadra 90°, de ese modo la escuadra se apoya sobre
el otro cateto sobre el cartabón formando un ángulo de 90° con la recta original.
Finalmente se traza la nueva linea que sera perpendicular a la primera.
Construcción de ángulos con escuadra y cartabón.
PERPENDICULARES
Se trata de dos rectas que se cortan en un punto,
es decir, tienen un punto en común. En este punto que
se cortan forman un ángulo recto (ángulo de 90º).
También se dice que dos rectas son perpendiculares
cuando en el punto en que se cortan, dividen al espacio
en 4 partes iguales, formando 4 ángulos de 90º.
La recta r es perpendicular a la recta s. De la misma forma,
la recta s es perpendicular a la recta r (carácter recíproco
de la perpendicularidad). Entre las dos rectas se forma un
ángulo de 90º.
Para indicar que dos rectas son perpendiculares entre sí,
se pone un arco o un ángulo recto pequeño, con un punto dentro.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Las Escuadras
ACTIVIDAD
ACTIVIDAD
Utilizando la escuadra y el cartabón, realizar en los espacios de la derecha el dibujo
de la izquierda. El trazado se realizará en el sentido indicado por la flecha del ejemplo
en la escuadra.
Utilizando la escuadra y el cartabón, realizar en los espacios de la derecha el dibujo
de la izquierda. El trazado se realizará en el sentido indicado por la flecha del ejemplo
en la escuadra.
Instrumentos de Trazado
Las Escuadras
ACTIVIDAD
Utilizando la escuadra y el cartabón, realizar en los espacios de la derecha el dibujo de
la izquierda. El trazado se realizará en el sentido indicado por la flecha del ejemplo en
la escuadra.
Con la escuadra y cartabón se pueden dibujar cualquier ángulo multiplo de 15°.
La figura muestra la colocación de la escuadra y cartabón para todos estos ángulos.
Actividad
En el formato A3 realice con las escuadras el trazado a 5 mm de los siguientes ángulos.
Las Escuadras
Actividad
En el formato A3 realice con las escuadras el trazado a 5 mm de los siguientes ángulos.
El Transportador
Es un instrumento utilizado para medir o transportar
ángulos, aunque también suele emplearse para
construirlos.
Los transportadores de ángulos se elaboran
generalmente con plástico transparente:
así es posible ver a través de ellos el ángulo que
queremos medir y hay dos tipos.
En forma de semicírculo (escala de 0º a 180º).
En forma de círculo completo (escala de 0º a 360º).
Los números están dispuestos en doble graduación para que se puedan leer de
derecha a izquierda y de izquierda a derecha, según donde esté la abertura del ángulo.
Instrumentos de Trazado
El Transportador
La forma de medir un ángulo:
C
Es la abertura formada por dos
rectas que se interceptan en un
punto llamado vértice.
1. Colocar y mantener el transportador
con el centro en el vértice O del ángulo.
Lado
Las rectas se denominan lados del
ángulo.
2. Girar la marca 0° hasta el lado OB del ángulo.
Un ángulo se designa por la letra mayúscula
situada en el vértice o también podemos usar
tres letras mayúsculas de manera que la letra del
vértice quede en medio de ellas.
3. Localizar en el transportador la graduación
por donde pasa el otro lado, OA. Ese número
es la medida del ángulo AOB.
Á n g u lo
V ér tic e
A
B
La d o
Ángulo
Ángulo
A oA
BAC a BAC
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
C
ÁNGULO RECTO:
La forma de construir un ángulo:
90°
1. Trazar el lado OB del ángulo
2. Colocar y mantener el centro del
transportador en el punto O.
A
B
Es el ángulo cuya abertura mide
90°. Las rectas que se interceptan
forman ángulos rectos y se
denominan rectas perpendiculares.
> 90°
3. Girar la marca 0° sobre el lado OB
4. Marcar el punto A donde el
transportador indica 55°.
5. Trazar la recta que pasa por los
puntos O y A.
ÁNGULO OBTUSO:
A
Es el ángulo cuyos lados tienen una
abertura mayor de 90°.
O
B
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
El Transportador
C
Actividad
ÁNGULO AGUDO
Es aquel cuyos lados tiene una
abertura menor de 90°.
< 90°
1) Mide con tu transportador los siguientes ángulos.
A
B
C
Es la recta que divide un ángulo dado,
en dos ángulos de igual abertura.
A
B
d)
D
ÁNGULO COMPLEMENTARIOS
Son aquellos que tienen un lado
común y suman 90°.
C
2) con la ayuda del transportador, dibuja estos ángulos.
DAC + CAB = 90°
A
a) 60°
B
ÁNGULO SUPLEMENTARIOS
Son aquellos que tienen un lado
común y suman 180°.
DAC + CAB = 180°
c)
a)
D
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
DAC = CAB
b)
D
c) 150°
d) 90°
e) 180°
3) Indica, según su abertura, el tipo de cada ángulo del ejercicio 1.
C
A
b) 45°
B
Instrumentos de Trazado
El Transportador
Actividad
Actividad
1) Indica, según la posición, el tipo de ángulos .
1) Halla la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata.
a)
b)
c)
d)
a)
2) Determina la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata.
2) Calcula la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata.
a)
b)
b)
a)
b)
El Compás
Es un instrumento de precisión que se emplea
para trazar arcos, circunferencias
y transportar medidas.
Partes del compás
Está compuesto por dos brazos articulados en
su parte superior donde está ubicada una pieza
cilíndrica llamada mango por donde se toma y
maneja con los dedos índice y pulgar. Uno de
los brazos tiene una aguja de acero graduable
mediante un tornillo de presión y una tuerca en
forma de rueda. El otro brazo posee un
dispositivo que permite la colocación de portaminas
u otros accesorios.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Manera correcta de trazar con el compás
Observa en los siguientes esquemas la forma
correcta de colocar el compás sobre el papel para conseguir un trazado eficaz.
Recuerda que es fundamental que la mina del compás esté afilada y que se encuentre
nivelada con la aguja formando un ángulo de 90º.
Instrumentos de Trazado
El Compás
Suma de segmentos con el compás
Resta de segmentos con el compás
Se traza una recta Pr, donde se colocará la suma de los dos segmentos indicados
Se traza una recta Qs, donde se colocará la resta de los dos segmentos indicados
suma
r
P
resta
s
Q
Con la ayuda del compás, se coge la medida del segmento a y se lleva a continucacion
del punto P y nos dara el punto 1.
Con la ayuda del compás, se coge la medida del segmento a y se lleva a continucacion
del punto Q y nos dara el punto 3.
De la misma forma, llevamosla medida del segmento b y se lleva a continuacion del
punto 1 y nos dara el punto 2.
De la misma forma, llevamosla medida del segmento b y no ubicamos en el punto 3, y
giramos hacia el punto Q que nos dara el punto 4.
Obtendremos el segmento resultante de sumar el segmento a más el segmento b,
nos da la resultante el segmento P2 = a + b
Obtendremos el segmento resultante de restar el segmento b en el segmento a,
nos da la resultante el segmento Q4 = a - b
suma
1
P
a+b
2
r
resta
4
Q
a-b
3
s
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
El Compás
Suma de ángulos con el compás
Resta de ángulos con el compás
A
A
B
V
V
B
V
Se traza una recta Pr, donde se colocará la suma de los dos ángulos indicados
V
Se traza una recta Qs, donde se colocará la resta de los dos ángulos indicados
S
r
P
Q
Trazamos la recta Pr. Concentro en V y 1 e igual radio, trazamos arcos en los angulos
dados y en la recta Pr.
Trazamos la recta Qr. Concentro en V y 1 e igual radio, trazamos arcos en los angulos
dados y en la recta Qr.
2
2
4
A
4
B
V
V
1
3
A
B
V
1
V
3
A partir del punto 5 de la recta Pr trasladamos con el compás la distancia 1- 2 del
ángulo dado para localizar el punto 7 sobre el arco correspondiente.
A partir del punto 6 de la recta Qs trasladamos con el compás la distancia 1- 2 del
ángulo dado para localizar el punto 8 sobre el arco correspondiente.
A partir del punto 7, llevamos sobre el artco la distancia 3 - 4 del ángulo 3V4. Para
localizar el punto 9.
A partir del punto 8, llevamos sobre el artco la distancia 3 - 4 del ángulo 3V4. Para
localizar el punto 10.
Trasladamos la recta prolongada P9, obteniendose el ángulo 5P9 igual a la suma de
los ángulos dados.
Trasladamos la recta prolongada Q10, obteniendose el ángulo 6Q10 igual a la resta de
los ángulos dados.
8
7
9
10
A+ B
P
5
r
A-B
Q
S
6
Aplicación
de la GEOMETRIA
ACTIVA en el Aula
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Construcciónes y Trazados de
Problemas Geometricos
Construcciónes y Trazados
Rectas perpendiculares
Traza la Perpendicular en el Extremo B de la recta AB
A
A
B
B
2 Prolongamos la recta AB
1 Recta dada AB
C
B
D
3 Con centro en B y con radio cualquiera,
trazamos un arco para determinar C y D
A
C
R1
R1
R
A
actividad
B
D
4 Con centro en C y D y con radio mayor
que el, anterior, trazamos arcos que se
corten en E.
A
B
E
ESTE ES EL RESULTADO
A
C
B
D
Unimos B con E, obteniendo la perpendicular
pedida.
RECTA PERPENDICULARES: Son las que se corta formando dos o cuatro angulos iguales,
llamados angulos recto o de 90°
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Rectas perpendiculares
Traza la Perpendicular en unpunto cualquiera P de
la recta AB
E
D
R
R
P
A
B
1 Sea AB la recta dada y P el punto para el
trazado de la perpendicular.
P
C
A
actividad
B
2 Con centro en P y radio cualquiera
trazamos el arco CD. Con centro en C y
el mismo radio, trazamos un arco que corta
al anterior en el punto E.
G
R
G
F
E
C
A
P
H
D
R
F
E
B
3 Con centro en E y el mismo radio
anterior trazamos el arco PG.
D
P
A
C
P
B
A
4 Con centro en E y el mismo radio,
trazamos el arco FH.
H
F
E
A
5
C
P
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos P con H, obteniendo la perpendicular
pedida.
B
RECTA PERPENDICULARES: Estas se designan con el simbolo
B
Construcciónes y Trazados
Rectas perpendiculares
Traza la Perpendicular en un punto medio de la recta AB
actividad
C
R
R
A
A
B
B
1 Sea AB la recta dada y P el punto para el
trazado de la perpendicular.
D
2 Con un radio mayor a la mitad de la recta
y con centros en A y B, trazamos arcos que
se corten en C y D.
C
A
E
B
APLICACIÓN
D
3
A
F
E
G
B
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos C con D para hallar el punto E, que es
el punto medio de la recta AB. La recta CD, es
la perpendicular pedida y se denomina
mediatriz de la recta AB.
4 Aplicamos el mismo procedimiento anterior
con los segmentos AE y EB para dividir
la recta AB en cuatro pares iguales.
MEDIATRIZ: Perpendicular levantado en el centro de un segmento de recta
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Rectas perpendiculares
Traza la Perpendicular en el punto medio de la recta AB.
Segundo metodo
actividad
C
R
A
B
1 Sea AB la recta dada, localizada en la
parte interior del espacio para dibujar.
R
A
B
2 Con radio igual o mayor que la mitad de
la distancia AB, y con centros en A y B,
trazamos arcos que se cortan en C.
C
D
R
A
C
R
B
3 Con radio menor o mayor que el anterior
y centros en A y B, trazamos arcos que
se cortan en el punto D.
D
A
A
4
E
B
ESTE ES EL RESULTADO
La recta que pasa por los puntos C y D, cae
perpendicular en el punto medio F de la recta
AB y será la perpendicular pedida
B
Construcciónes y Trazados
Rectas perpendiculares
Traza la Perpendicular a la recta AB por punto exterior C.
actividad
C
R
C
A
B
1 Recta dada AB y punto exterior C.
A
D
B
E
2 Haciendo centro en C, trazamos un arco
que corte la recta dada en D y E.
C
C
A
D
R1
E
B
R1
F
C
3 Haciendo centros en D y E y con radio
igual a la mitad del segmento DE, trazamos
arcos que se corten en el punto F.
A
D
E
B
A
F
4
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos C con F, obteniendo la perpendicular
pedida.
B
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Rectas paralelas
Traza la Perpendicular a la recta AB que pasa por
un punto C, exterior a ella.
C
actividad
C
R
A
B
1 Sea la recta dada AB y el punto
exterior C.
A
B
D
2 Con el compás hacemos centro en C y
con un radio conveniente, trazamos un arco
que corte la recta AB en un punto D.
C
C
R
A
E
C
D
F
B
EC
3 Con centro en D y con el mismo radio
anterior trazamos un arco que pasa por el
punto C y corta a la recta AB en el punto E.
A
E
D
B
A
B
4
ESTE ES EL RESULTADO
Tomamos con el compás la distancia EC y la
trasladamos a partir de D hallando el punto F.
Unimos los puntos C y F, obteniendo la paralela
pedida.
LINEAS PARALELAS: Son aquellas que estan en un mismo plano y que por mas que se
prolonguen nunca se cortarán
Construcciónes y Trazados
Rectas paralelas
Traza la Perpendicular a la recta AB que pasa por
un punto C, exterior a ella.
Dista n cia
D
C
actividad
C
D
A
Distancia dada.
D
B
A
1 Recta AB y distancia dada CD.
B
C
2 Sobre la recta AB, levantamos una
perpendicular en cualquier punto.
B
D
R
A
D
C
B
3 Con centro en C y radio igual a la
distancia dada, trazamos un arco que
determina el punto.
A
C
B
4
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
Por el punto D, trazamos una perpendicular
a la recta CD, la cual será la paralela pedida.
RECTAS PARALELAS: Dos rectas paralelas cuando sus extremos equidistan entre si.
Las rectas paralelas se designan con el simbolo //
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Rectas paralelas
Traza la Paralela a la recta AB dada la distancia
entre ellas. Segundo metodo.
Dista n cia
D
C
D
A
B
1 Recta AB y distancia dada CD.
E
F
A
B
actividad
2 Por los puntos extremos A y B; levantamos
dos perpendiculares a la recta AB.
B
D
R: C
A
F
R: C
D
E
E
F
B
3 Con radio H, igual a la distancia CD y con
centro en A y B, trazamos arcos que
cortan las perpendiculares en los puntos
E y F.
A
A
B
4
ESTE ES EL RESULTADO
Por los puntos E y F, trazamos la paralela
pedida
B
Construcciónes y Trazados
Ángulos
C
C
Es la abertura formada por dos
rectas que se interceptan en un
punto llamado vértice.
ÁNGULO AGUDO
Lado
Las rectas se denominan lados del
ángulo.
Es aquel cuyos lados tiene una
abertura menor de 90°.
Á n g u lo
V ér tic e
< 90°
A
Un ángulo se designa por la letra mayúscula
situada en el vértice o también podemos usar
tres letras mayúsculas de manera que la letra del
vértice quede en medio de ellas.
A
B
B
La d o
Ángulo
Ángulo
A oA
BAC a BAC
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
C
Es la recta que divide un ángulo dado,
en dos ángulos de igual abertura.
DAC = CAB
C
D
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
A
B
ÁNGULO RECTO:
90°
A
B
Es el ángulo cuya abertura mide
90°. Las rectas que se interceptan
forman ángulos rectos y se
denominan rectas perpendiculares.
D
ÁNGULO COMPLEMENTARIOS
Son aquellos que tienen un lado
común y suman 90°.
C
DAC + CAB = 90°
A
B
> 90°
ÁNGULO OBTUSO:
A
Es el ángulo cuyos lados tienen una
abertura mayor de 90°.
O
B
ÁNGULO SUPLEMENTARIOS
Son aquellos que tienen un lado
común y suman 180°.
DAC + CAB = 180°
C
A
D
B
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Ángulos
Traza un ángulo igual al dado BAC
actividad
C
C
2
R
A
B
1
A´
1 Sea BAC el ángulo dado. Con centro
en O, trazamos el arco 1-2 con cualquier
radio.
B´
2 Trazamos el lado A´B´ del ángulo a
construir.
B
B
A
2´
R
A´
B´
1
3 Haciendo centro en A´ y radio igual al
anteriormente trazado, trazamos un arco
para situar el punto 1´ sobre la recta A´B´.
C´
12
A´
1´
B´
4 Con el compás y a partir del punto 1´,
trasladamos la distancia 1-2 del ángulo
dado sobre el arco trazado en la recta A´
B´ para localizar el punto 2´ en el mismo.
A´
ESTE ES EL RESULTADO
2´
A´
B´
1´
B´
Trazamos la recta que pasa por los puntos
A´2´, obteniendose el ángulo pedido.
ÁNGULOS: Es la abertura formada por dos rectas que se cortan en un punto comun
llamado vertice. Las rectas reciben el nombre de lados del ángulo.
Construcciónes y Trazados
Ángulos
Construye un ángulo igual a la suma de otros dos
angulos dados BAC y DAE
actividad
C
E
C
3
2
E
R
R
R
1
A
2
B A
A´
D
1 Ángulos dados BAC y DAE.
2
2 Trazamos la recta A´B´. Con centro en A y A´
e igual radio, trazamos arcos en los ángulos
dados y en la recta A´B´.
B
3´
B´
1´
A
1
B
A
2´
B
2´
1
-2
2-3
A´
2´
B´
1´
3 A partir de 1´ de la recta A´B´, trasladamos
con al compás la distancia 1-2 del ángulo
dado para localizar el punto 2´ sobre el
arco correspondiente.
3´
A´
1´
B´
4 A partir del punto 2´, llevamos sobre el arco la
distancia 2-3 del ángulo DAE para localizar
el punto 3´
A´
B´
2´
ESTE ES EL RESULTADO
C´
3´
A´
1´
B´
Trazamos la recta prolongada A3´.
Obteniendose el ángulo B´ A´C´ igual a la suma de
los ángulos dados.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS: Estos secalsifican segun su abertura en ángulos
rectos, agudos y obtusos.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Ángulos
Traza la bisectriz del ángulo dado BAC
actividad
C
C
A
C
2
B
1 Sea el ángulo dado BAC.
R
A
B
1
B
2 Con centro en A y radio cualquiera, trazamos
el arco 1-2.
C
R1
2
O
R1
A
1
C
B
O
2
3 Con centro en los puntos 1 y 2 y radio
mayor que el anterior, trazamos arcos
que se corten en el punto O.
A
1
B
4
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
Uniendo O con C, obtendremos la bisectriz
del ángulo dado BAC.
BISECTRIZ: En la semirrecta que tiene su origen en el vertice del angulo y lo divide en
dos partes iguales.
Construcciónes y Trazados
Ángulos
Divide un ángulo recto en tres(3) ángulos iguales.
actividad
C
C
2
90°
C
B
A
R
1 Sea BAC el ángulo recto dado.
A
B
1
2 Con centro en A, vértice del ángulo
dado y con un radio cualquiera, trazamos
el arco 1-2.
C
B
C
2
3
2
R
A
3
4
R
4
1
B
3 Con el mismo radio anterior y centro en
4
los puntos 1 y 2, trazamos arcos que corten
el arco 1- 2 en los puntos 3 y 4.
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
A
B
Las rectas que pasan por los puntos A-3 y
A-4 dividen al ángulo recto en tres ángulos
iguales.
ÁNGULOS RECTOS: Es el angulo cuya apertura mide 90°, que viene hacer la cuarta
parte de una circuferencia.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Ángulos
Traza la bisectriz del ángulo formado porlas letras
AB y CD, cuyo vertice cae fuera del dibujo.
actividad
B
A
B
E
A
B
C
D
C
F
1 Sea AB y CD las rectas dados.
D
A
2 Sobre las rectas dadas, localizamos los
puntos E y F, los unimos con una recta,
la cual forma cuatro ángulos interiores.
B
E
B
A
E
A
2
1
C
2
C
F
C
D
F
D
D
3 Aplicando el TALLER 11, trazamos las
bisectrices de los ángulos AEF, BEF, CFE,
y EFD, que se interceptan en los puntos
1 y 2.
4
ESTE ES EL RESULTADO
Trazamos la recta que pasa por los puntos1 y
2, la cual será la bisectriz del ángulo
formando por las rectas AB y CD.
EL VÉRTICE: del ángulo,se localiza sobre las prolongaciones de las rectas BA y DC
Construcciónes y Trazados
Ángulos
Divide la recta AB en N partes iguales. Ejemplo 5
C
B
A
actividad
A
B
1 Sea AB la recta dada.
2 A partir de punto A, trazamos la recta AC
formando un ángulo menor de 900 con
la recta AB.
C
A
B
2
1
3
4
5
C
A
B
D
3 En el punto B y aplicando el TALLER 09,
trazamos la recta BD, formando con AB
un ángulo igual al anteriormente trazado.
3
2
1
B
5
5
4 A partir de los puntos A y B, llevamos
sobre las rectas AC y BD tantas distancias
iguales y consecutivas, como divisiones
se requieran en la recta AB l 5
ESTE ES EL RESULTADO
A
D
5
3
1
C
5
4
D
4
2
A
4
3
2
1
Trazamos la recta paralelas 5-B, 4-1,3-2,
2-3, 1-4 y A-5, las cuales dividen la recta AB
en cinco segmentos iguales.
SEGMENTO DE RECTA: Es la porcion de recta comprendida entre dos puntos
deterinados
B
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Triángulos
V é r tic e
C
La do b
TRIÁNGULO ESCALENO
La d o a
Á ngulo C
Es el que posee sus tres lados
y sus tres ángulos desiguales.
V é rtice
Án
Es la figura plana cerrada formada
por tres lados, tres ángulos y tres vértices.
l
gu
o
A
Án
gu
A
lo
C
a=b =c
b
a
A=B=C
B
B
A
c
B
V é rt ice
La d o c
C
TRIÁNGULO RECT ÁNGULO
Hi
po
Cateto
CLASIFICACIÓN DE LOS TRÍANGULOS
Es el que tiene un ángulo recto 90°.
Los lados que forman el ángulo recto
se llaman catetos y el lado opuesto al
ángulo recto hipotenusa.
90°
C
Cateto
A
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
Es el que tiene sus tres lados y sus
tres ángulos iguales.
a=b =c
A= B = C
a
b
A
c
B
C
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
B
ten
usa
Á ngulos
agu do
Es el que tiene sus tres ángulo
agudos, osea, menores de 90°.
Ángulos
agudo
Ángulo s
agudo
A
B
C
TRIÁNGULO ISÓSCELES
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
Es el que presenta dos lados iguales
y dos ángulos iguales.
a=b
A= B
a
C
Es el que tiene un ángulo obtuso,
o sea, mayor de 90°.
b
Ángulo
obtuso
B
A
A
B
Construcciónes y Trazados
INCENTRO
ALTURA DE UN TRIÁNGULO
Es el punto donde se cortan las
tres bisectrices de los ángulos
de un triángulo. El incentro es
el centro de la circunferencia
inscrita
hc
Es la recta perpendicular a un
lado o a su prolongación,
trazada desde el vértice
opuesto al mismo.
Un triángulo presente tres
alturas ha, hb y hc
hb
90°
A
CIRCUNCENTRO
Es el punto de intersección de las tres
mediatrices. El circuncentro es el centro
de la circunferencia circunscrita
o que pasa por sus vértices.
C
MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO
Son las rectas perpendiculares a sus lados,
trazadas en el punto medio de cada uno de
ellos,
Un triángulo presente tres mediatrices
Ma, Mb y Mc.
Incentro
A
B
ha
C
circunferencia
inscrita
B
Circunferencia
circunscrita
C
Me
di a
tr
A
at
r iz
c
Medi atriz M
ed
i
Triángulos
iz
B
Circuncentro
Ma
Mb
ma
C
BARICENTRO
A
Es el punto donde se cortan las tres medianas
del triángulo. El baricentro es el centro de gravedad
o punto de equilibrio de
triángulo.
B
c
M
A
B
Baricentro
C
MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO
C
ORTOCENTRO
mc
Son las rectas que unen casa vértice con el punto
medio de lado opuesto.
Un triángulo presenta tres medianas ma, mb y mc .
ma
A
Es la punto de intersección de las tres
alturas O de sus prolongaciones en un
triángulo.
m
b
B
h
h
A
B
h
Ortocentro
O
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Triángulos
Halla el baricentro del triángulo dado ABC
actividad
C
C
A
B
1 Sea el triángulo dado ABC.
A
1
3
B
2 Aplicando el TALLER 03 determinamos el
punto medio de cada uno de los lados
del triángulo ( 1,2 y 3)
C
2
C
2
1
A
c
2
1
3
B
3 Unimos cada una de las vértices del
triángulo con el punto medio
correspondiente al lado opuesto
(medianas del triángulo).
A
3
B
B a rice n tro
4
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
El punto de intersección de las tres
medianas es el baricentro o centro de
gravedad del triángulo pedido.
MEDIANA: Es la recta que va de un vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto
Construcciónes y Trazados
Triángulos
Halla el ortocentro de triángulo dado ABC
actividad
C
C
90°
hc
hb
B
B
A
90°
A
ha
90°
C
1 Triángulo dado ABC.
2 Prolongamos los lados AB y CD. Trazamos
las alturas correspondientes a cada uno de
los lados.
C
Altura con
respecto a AC
90°
C
B
A
Altura con
respecto a BC
Altura con
respecto a AB
90°
h
90°
h
B
A
O
3 Prolongamos las alturas hasta que se
interceptan en el punto común O.
A
B
h
O
4
Ortocentro
ESTE ES EL RESULTADO
El punto O es el ortocentro del triángulo
dado ABC.
ORTOCENETRO: Es el punto de interseccion de las tres alturas o de sus prolongacones
en un triangulo
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Triángulos
Halla el incentro del triángulo dado ABC y traza la
circunferencia inscrita en él
actividad
C
C
C
A
B ise
B
1 Sea el triángulo dado ABC.
es
ctric
O
Bis
ec
tric
es
A
B
2 Aplicando el TALLER 11, trazamos las
bisectrices de dos de los ángulos del
triángulo las cuales se cortan en el punto O.
C
C
O
A
Incentro
O
B
3 El punto O será el incentro del triángulos
y la recta OC la tercera bisectriz.
A
4
Incentro
B
A
B
EST E ES EL RESULTADO
Haciendo centro en O y tangente a los lados
del triángulo, trazamos la circunferencia
inscrita en él.
INCENTRO: Es el punto donde se cortan las tres bicsectrices de los ángulos de un triángulo.
Es el centro de la circunferencia tangente a los lados del triángulo.
(Circunferencia inscrita)
Construcciónes y Trazados
Triángulos
Halla el circuncentro del triángulo dado ABC y traza la
circunferencia circunscrita
Mediatriz
M
ed
ia
tri
z
actividad
C
C
Me
dia
t riz
B
A
C
B
A
1 Triángulo dado ABC.
2 Aplicando el TALLER 03, trazamos las
mediatrices a los lados del tiángulo.
B
C
C
O
A
B
O
Circuncentro
A
3 El punto de intersección de las tres
mediatrices el circuncentro.
B
A
B
Circuncentro
4
EST E ES EL RESULTADO
Haciendo centro en O, trazamos la
circunferencia que pasa por los puntos A, B y C.
CIRCUNCENTRO: Es el punto de la intersecion de las tres mediatrices e el centro de la
circunferencia que pasa por los vértices del triángulo ( Circunferencia circunscrita)
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de triángulos
Construye un triángulo conociendo los tres
lados BC ,AC y AB
B
actividad
C
C
A
B
A
B
A
A
B
1 Sea BC , AC y AB, los tres lados conocidos
del triángulo.
R=
B
C
C
A
B
2 Trazamos uno de los lados dados, AB
por ejemplo.
AC
C
A
R
B
= B
C
3 Haciendo centro en el extremo A de la recta
AB y con radio igual a AC, trazamos un
arco.
A
4
B
Con centro en el otro extremo B y radio
igual a BC, trazamos otro arco que se
corta con el anterior en C.
A
C
B
ESTE ES EL RESULTADO
A
B
Unimos A con C y B con C, obteniendo
el triángulo pedido.
TRIÁNGULO: Es la figura plana y cerrada formada por tres ángulos y vétrices.
Construcciónes y Trazados
Trazados de triángulos
Construye un triángulo equilatero donde AB
es el lado conocido
actividad
Lado c ono cid o
A
B
A
B
A
B
B
A
1 Sea AB el lado conocido.
2 Trazamos el lado AB
C
C
R=
A
AB
R
=A
B
B
3 Con radio igual a AB hacemos centros
sucesivamente en A y B, y trazamos
arcos que se cortan en C.
A
B
4
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos A con C y B con C, obteniendo
el triángulo equilátero pedido.
TRIÁNGULO EQUILATERO: Es el que tiene sus tres lados y sus tres angulos iguales
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de triángulos
Construye un triángulo isósceles conociendo
la altura hc (EO) y la base AB
ALT U R A
E
actividad
C
hc
A
BAS E
E
B
A
1 Sea AB, la base y BC,la altura conocidas
A
C
B
B
E
2 Trazamos la base AB y levantamos una
perpendicular en su punto medio E.
C
C
A
3
E
B
A partir del punto E, llevamos con el
compás la distancia EC igual a la
altura.
A
E
B
4
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos con rectas los puntos A y B
con el punto C, obteniendo el triángulo
isósceles pedido.
TRIANGULO iSÓSCELES: Es el que presenta dos lados y dos ángulos iguales
Construcciónes y Trazados
Trazados de triángulos
Construye un triángulo conociendo el lado AB y sus
angulos adyacentres m y n
m
n
A
actividad
B
m
n
B
A
A
B
A
1 Sea AB el lado conocido; m y n los
ángulos adyacentes.
G
A
B
A
B
A
B
2 Trazamos el lado AB.
C
D
B
G
3 En los extremos A y B, copiamos los ángulos
correspondientes.
A
4
D
B
ESTE ES EL RESULTADO
Los lados trazados para formar los ángulos
en los vértices A y B se cortan en el
punto C, obteniendo así el triángulo pedido.
TRIÁNGULO ESCALENO: Tiene sus ángulos y sus lados desiguales.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de triángulos
Construye un triángulo equilatero donde CD es la
altura conocida
actividad
C
C
C
D
D
1 Sea CD la altura conocida.
E
F
R
C
2 Por los puntos C y D, trazamos dos
paralelas y que sean perpendiculares a la
CD.
C
E
F
R
R
G
H
D
3 Con centros en C y un radio cualquiera
trazamos la semicircunferencia que nos
determinalos puntos E y F.
E
C
G
F
D
4 Con el mismo radio anterior y haciendo
centros en los puntos E y F cortamos la
semicircunferencia en los puntos G y H.
D
H
ESTE ES EL RESULTADO
A
5
D
B
Unimos C con G y la prolongamos hasta A
Luego unimos C con H y la prolongamos hasta
B, obteniendo el triángulo equilátero
pedido.
Las alturas, medianas y bisectrices de un triángulo coinciden entre si.
Construcciónes y Trazados
Trazados de triángulos
Construye un triángulo rectángulo donde AB y AC
son os dos catetos conocidos.
actividad
A
C
A
C
B
A
B
A
1 Sea AB y AC, los catetos conocidos.
B
A
2 Trazamos uno de los catetos conocidos,
AB en este caso.
A
B
3 En el extremo A. Levantamos una
perpendicular.
A
B
4 Tomamos con el compás la medida de
cateto AC y con centro en A, trazamos un arco
que nos determina el punto C.
C
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
A
5
B
Trazamos la recta BC, obteniendo el triángulo
rectángulo pedido.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Es el que tiene un angulo recto 90°. Los lados que forman
el ángulo se llaman catetos y el lado opuesto del ángulo recto hipotenusa.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de triángulos
Construye un triángulo obtusángulo conociendo con dos
lados AB y AC y el ángulo obtuso que forma
actividad
e
A
d
A
B
A
B
c
A
C
1 Sea AB y AC, los dos lados y A el
ángulo obtuso.
A
B
A
2 Tomamos AB como base del triángulo.
A
C
d
C
e
A
d
B
e
3 En el extremo A, construimos un ángulo
igual al dado A.
A
B
4 Sobe el lado trazado para dibujar el ángulo
llevamos a partir de A, la distancia conocida
AC.
C
ESTE ES EL RESULTADO
A
5
B
Trazamos la recta BC, obteniendo el
triángulo obtusángulo pedido.
A
B
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO: Es aquel que tiene un ángulo obtuso osea mayor que 90°
Construcciónes y Trazados
Cuadriláteros
La do
D
lo
o
o
La
do
ag
Di
La
d
al
lo
gon
D ia
gu
gu
An
An
na
l
An
gu
A
lo
A
Llámase paralelogramo al cuadrilátero cuyos lados opuestos son
paralelos de dos en ds. Las diagonales de un paralelograma se
cortan en su punto medio.
C
La do
ng
Es la figura plana y cerrada limitada por
cuatro rectas llamadas lados.
El cuadrilatéro presenta cuatro ángulos,
cuatro vértices y dos diagonales.
D
C
RECTÁNGULO
Es un paralelograma cuyo lados
opuestos son iguales y sus cuatro
ángulos son rectos. Las
diagonales de un rectángulo tienen
igual longitud. .
o
ul
B
ELEMENTOS DEL CUADRILÁTERO
LADOS: Son las rectas que limitan el cuadrilátero.
B
A
C
D
VÉRTICE: Punto donde concurren dos lados consecutivos
de un cuadrilátero.
CUADRADO:
ÁNGULO: Es el formado por dos lados consecutivos. La suma
de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es de 360°
DIAGONALES: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.
Las diagonales del cuadrado y del rombo son perpendiculares entre sí
NOTA: Un cuadrilátero puede ser convexo, cóncavo o estrellado.
Es el paralelogramo que tiene sus
lados, diagonales y ángulos iguales
respectivamente.
B
A
TRAPECIO
C
ROMBO
D
D
A
C
B
Convexo
Cóncavo
Estrellado
A
B
Es un cuadrilátero que tiene
dos de sus lados apuestos
paralelos.
Es el paralelogramo cuyos
lados son iguales y sus
ángulos opuestos iguales.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de cuadriláteros
actividad
Construye un cuadrado conociendo el lado AE
A
A
B
B
B
A
1 Sea AB el lado conocido.
2 Trazamos el lado AB.
C
D
C
A
B
3 En uno de sus extremos levantamos
una perpendicular y con centro en B
y radio AB, trazamos un arco para
determinar el punto C
D
AB
R= A B
R=
C
A
B
4 Haciendo centros en A y C
sucesivamente y con radio igual a AB.
trazamos arcos que se cortan en D.
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos A con D y D con C, obteniendo el
cuadrado pedido.
A
5
B
CUATRADO: Es un paralelograma que tiene sus lados, diagonales y ángulos iguales
respectivamente.
Construcciónes y Trazados
Trazados de cuadriláteros
Construye un cuadrado conociendo la diagonal AB
actividad
E
A
Diag onal
A
B
O
B
A
B
A
B
1 Sea AB la diagonal conocida.
2 Trazamos la diagonal AB y aplicando el
TALLER 03 dibujamos una perpendicular en
su punto medio.
C
C
A
O
B
A
O
B
D
3 Con centro en O y radio OA trazamos una
circunferencia que corte la perpendicular
anterior, en los puntos C y D.
D
4
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos A con C, C con B, B con D y D con A,
obteniendo el cuadrado pedido.
LAS DIAGONALES: De un cuadrado tiene igual longitud y son perpendiculares entre si.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de cuadriláteros
Construye un rectángulo conociendo la diagonal
AB y el lado AC
A
actividad
A
C
A
B
A
O
C
B
A
A
1 Sea AB la diagonal y AC el lado
conocido.
B
2 Trazamos AB y levantamos una
perpendicular en su punto medio.
A
A
A
=O
R
C
O
O
D
B
B
3 Describimos una circunferencia de
radio igual a OA.
A
C
O
A partir de los puntos A y B,
siguiendo igual dirección, trasladamos
con el compás sobre la
circunferencia la distancia AC
para determinar los puntos
C y D.
ESTE ES EL RESULTADO
D
B
5
4
Unimos A con C, C con B, B con D y D con A,
obteniendo el rectángulo pedido.
B
RECTÁNGULO: Es un paralelogramo cuyos lados opuestos son iguales y sus cuatro
ángulo son rectos. Las diagonales de un rectángulo son iguales.
Construcciónes y Trazados
Trazados de cuadriláteros
Construye un rectangulo conociendo la base AB y
la altura BC
actividad
C
B
B
A
B
C
B
A
1 Sea BC la altura y AB la base conocida.
E
A
2 Trazamos la recta AB.
C
R = AB
D
R = BC
B
A
3 En el punto B, levantamos una
perpendicular y sobre ella, llevamos
con el compás la distancia BC.
D
C
C
A
4
B
Con radio BC y centro en A , trazamos
un arco. Con radio AB y centro en C,
trazamos un arco que corta al anterior
en el punto D.
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
A
5
B
Trazamos las rectas AD y DC , obteniendo el
rectángulo pedido.
La base de un rectangulo corresponde a la recta inferior del mismo y la altura una
de las perpendiculares a la base.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de cuadriláteros
Construye un rectángulo conociendo la diagonal AC
y el ángulo m que forma esta con un lado
actividad
m
A
A
A
c
O
C
A
1 Sea AC la diagonal y m, el ángulo
conocido.
2 Trazamos la recta AC y aplicando el TALLER
03 dibujamos una perpendicular en el
punto medio O de dicha recta. Con centro en
O y radio OA, trazamos una
circunferencia.
B
m
A
m
m
C
O
B
C
Con centro A y radio igual a BC
trazamos un arco que corta a la
circunferencia en el punto D.
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos con rectas consecutivas los puntos
ABCD, obteniendo el rectángulo pedido.
D
A
C
D
4
B
5
A
B
3 En el punto A y a partir de la recta AC
trazamos un ángulo igual al dado cuyo
lado determina sobre la circunferencia el
punto B.
O
m
C
O
A
A
C
Los lados del rectángulo son paralelos de dos en dos.
C
Construcciónes y Trazados
Trazados de cuadriláteros
Construye un rombo conociendo la diagonal AB y
el lado AC
A
actividad
B
A
C
Construcciónes y Trazados
B
A
B
B
A
1 Sea AB la diagonal y AC el lado conocido.
A
C
2 Trazamos la recta AB de la longitud igual
a la diagonal dada.
C
R=
A
AC
B
R
=A
C
C
B
D
A
3 Desde los puntos extremos de la recta AB y
con un radio igual a AC describimos arcos
a ambos lados de ésta, que se cortan
en C y D.
B
A
D
4
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos A y B con C y D, obteniendo el
rumbo pedido.
ROMBO: Es el paralelogramo cuyos lados son iguales,paralelos y que formen dos
ángulos agudos y dos obtusos iguales entre si.
B
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de cuadriláteros
Construye un rombo conociendo el lado BA y el
ángulo A.
A
A
actividad
B
A
1 Sea AB el lado y A el ángulo conocido.
2 Aplicando el TALLER 09, trazamos un
ángulo igual al dado y prolongamos sus
lados.
B
A
A
R= AB
B
C
R= A
B
A
3 Con centro en A y un radio igual a la distancia
AB, trazamos un arco que corta los lados del
ángulo en los puntos B y C.
A
D
R= AB
C
4
B
Con centro en A y B, radio igual al anterior
trazamos arcos que se cortan en el
punto O.
D
ESTE ES EL RESULTADO
C
5
A
Dibujamos las rectas BD y CD, obteniendo
el rombo pedido.
Los lados de un rombo son iguales y paralelos de dos en dos.
B
Construcciónes y Trazados
Trazados de cuadriláteros
Construye un rombo conociendo sus diagonales AC y
BD
A
actividad
C
D
B
C
A
1 Sea AC y BD, las diagonales dadas.
2 Trazamos la recta AC (diagonal mayor).
A
C
A
B
D
C
O
D
A
O
C
3 Por el punto medio O de la recta AC
trazamos una perpendicular.
A
B
D
A
O
4
C
Con una abertura del compás igual a la
mitad de BD hacemos centro en O y
trazamos arcos que nos determinan los
puntos B y D.
ESTE ES EL RESULTADO
B
5
Con rectas y en forma sucesiva unimos los
puntos A, B , C y D , obteniendo el rombo
pedido.
Las diagonales de rombo son perpendiculares entre si.
C
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de cuadriláteros
Construye un romboide, dados los lados AB, AC y el
ángulo que forman.
A
actividad
B
A
C
A
A
1 Sea AB y AC los lados dados y A, el
ángulo que forman.
B
A
A
2 Trazamos la recta AB.
B
A
C
C
C
B
A
D
R= A B
=
R
3 En el extremo A de la linea AB, trazamos
una recta que forma con ésta un ángulo
al dado.
A
C
A
B
A
4
C
D
B
Con centro en B y radio AC, trazamos un
arco. Con centro en C y radio AB,
trazamos un arco que corta al anterior
en el punto D.
ESTE ES EL RESULTADO
A
5
B
Trazamos las rectas CD y BD, obteniendo
el romboide pedido.
ROMBOIDE: Es la figura geometrica que tiene iguales sus ángulos opuestos y sus
lados opuestos iguales y paralelos.
Construcciónes y Trazados
Trazados de cuadriláteros
Construye un romboide, dados los lados AC y AD y
la diagonal AB
actividad
B
A
A
D
A
C
B
A
B
A
1 Sea AD y AC, los lados conocidos y AB,
la diagonal.
.
D
A
2 Trazamos la recta AB, que es la diagonal
dada.
A
C
R
=A
D
D
A
R=
AD
C
R=
AC
B
A
3 Haciendo centros en A y B, trazamos
dos arcos de radio igual al lado AD.
R=
AC
A
B
D
4
C
A
B
D
5
Con una abertura del compas igual al lado
AC y con centro en A y B, trazamos
dos arcos que cortan a los anteriores en
C y D.
ESTE ES EL RESULTADO
Trazamos en forma continua las rectas que
unen los puntos A, B, C y D, obteniendo
el romboide pedido.
Las diagonales del romboide se cortan formando ángulos diferentes a 90°
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de cuadriláteros
Construye un trapecio conociendo las bases mayor
AB, menor CD y los lados AC y DB.
actividad
Base mayor
A
B
B ase me no r
C
D
La do
A
Lad o
D
C
A
=
R
C
Base mayor
B
R= CD
A
H
Base menor
B
Lado
D
D
C
B
2 Trazamos las bases mayor AB. Con
centro en B y radio CD, trazamos un arco
para localizar el punto H sobre la
recta AB. Con centro A y radio AC,
trazamos un arco.
C
B
Lado
C
A
1 Sea AB y CD las bases mayor y menor
respectivamente y AC y BD, los lados
del trapecio.
.
DB
R=
R= AC
A
D
A
H
C
B
R= CD
R
=
3 Con centro en H y radio igual a DB
trazamos un arco que corta al anteriormente
trazado en el punto C.
A
4
C
A
5
D
B
H
D
B
B
Con centro en C y radio igual a CD
trazamos un arco. Con centro en B y
radio igual a DB, trazamos un arco
que corta al anterior en el punto D.
ESTE ES EL RESULTADO
Unimos A con C, C con D y D con B,
obteniendo el trapecio pedido.
A
TRAPECIO: Es un cuadrilatero que tiene sus bases paralelas.
B
Construcciónes y Trazados
Trazados de cuadriláteros
Construye un trapecio rectángulo conociendo su base
mayor AB, su base menor CD y la altura AD.
A
actividad
B
D
C
A
D
B
A
A
1 Sea AB y CD las bases dadas y AD la
altura.
.
D
B
D
C
A
D
2 Trazamos la recta AB iguala la base
mayor.
D
C
B
A
3 En el extremo A, trazamos una perpendicular
de longitud igual a la altura AD.
A
D
B
4 En el punto D, trazamos una perpendicular
al lado AD, de longitud igual a la base
menor CD
.
C
ESTE ES EL RESULTADO
A
5
B
A
B
Trazamos la recta BC, obteniendo el trapecio
rectángulo pedido.
TRAPECIO RECTÁNGULO: Es aquel en el cual uno de sus lados forma ángulo recto
con los bases menor.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de cuadriláteros
Construye un trapecio isósceles en conocimiento las dos
ases: AB = base mayo. CD= base menor y su altura OS.
A
actividad
B
C
D
O
1 Sea AB y CD las bases OS la altura.
.
D
C
O
A
A
D
B
2 Trazamos la base mayor AB y levantamos
una recta perpendicular a su punto medio O.
S
C
A
B
A
S
S
D
B
O
3 Sobre la perpendicular antes trazadas
llevamos a partir de O, una distancia
igual a la altura OS.
A
C
S
5
O
B
4 En el punto S y perpendicular a la recta
OS, trazamos una recta con centro en
S y radio igual a la mitad de la base
menor, trazamos arcos para situar los
puntos C y D sobre las rectas antes trazadas
.
ESTE ES EL RESULTADO
D
c
A
O
B
Unimos A con C y B con D, obteniendo el
trapecio isósceles pedido.
A
B
TRAPECIO ISÓSCELES: Es el que tiene iguales los lados opuestos no paralelos.
Construcciónes y Trazados
Trazados de cuadriláteros
Construye un trapecio isósceles conociendo la base
mayor AB, la diagonal AC y la altura BF.
Base mayor
A
B
Dia go nal
A
Altura
B
actividad
C
Base mayor
F
F
B
A
Dia gon al
C
A
1 Datos conocidos.
.
F
2 Trazamos la base mayor AB y en el
extremo B, levantamos una perpendicular
de longitud igual a la altura BF.
F
C
A
B
B
A
Altura
D
F
B
3 Por el punto F trazamos una
perpendicular a la recta BF.
R=
AC
R=
A
C
A
C
B
4 Con centro en A y B y radio igual a la
diagonal AC, trazamos arcos para localizar
sobre la recta antes trazada los puntos
D y C respectivamente.
.
D
A
B
ESTE ES EL RESULTADO
A
5
B
Unimos A con C y B con D, obteniendo el
trapecio pedido.
La altura de un trapecio es la menor distancia comprendida entre las bases mayor y
menor.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Trazados de cuadriláteros
Construye un trapecio escaleno conociendo las bases
AB y CD la altura EF del ángulo m.
actividad
m
F
A
C
E
Base menor
Altura
Base ma yor
A
Base menor
D
m
F
B
C
A
B
E
A
F
Base mayor
B
2 Trazamos los base mayor AB. A una
distancia igual a la altura EF, trazamos una
paralela a la recta AB.
C
D
B
3 En el extremo A, trazamos una recta que
forme con la recta AB un ángulo igual al
dado y que corte a la paralela antes
trazada en el punto C.
C
A
B
4 A partir de C, con el compás llevamos la
distancia CD igual a la base menor.
.
D
A
ESTE ES EL RESULTADO
A
B
Unimos D con B, obteniendo el trapecio
pedido.
TRAPECIO ESCALENO: Es el que tiene sus lados desiguales.
5
D
Altura
E
1 Sean AB y CD las bases, EF la altura
y A, el ángulo conocido.
.
A
C
B
Construcciónes y Trazados
Trazados de cuadriláteros
Construye un trapecio conociendo los cuatros lados
AC, AB, BD y DC y la diagonal AD
Base
A
C
Lado
A
B
Lado
B
L ado
D
Base
D
A
D
C
Diagonal
A
actividad
R=
D
B
L ado
AD
R
=
B
D
C
D
A
1 Sean AC, AB y DC los lados y AD la
diagonal conocida.
.
C
Lado
D
Lad o
Diagona l
C
D
C
A
2 Con los lados AC y DC y la diagonal AD
construimos el triángulo ADC.
D
B
A
=
R
B
A
C
R
=
BD
D
3 Con centro en A y radio igual al lado AE
describimos un arco.
A
C
4 Con centro en D y radio igual al lado BD
describimos otro arco que corta al
anterior en B.
.
ESTE ES EL RESULTADO
B
D
Unimos A con B con D, obteniendo el
trapezoide pedido.
A
5
C
A
TRAPEZOIDE: Es un cuadrilatero cuyas bases y lados no son paralelos.
C
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Aplicación
de la GEOMETRIA
ACTIVA en el Aula
Guia de Actividades para
Geometría
G
U IA
Guia de Actividades
Guía primero
GUÍA DE ACTIVIDADES PARA
GEOMETRÍA - GRADO 1°
En estas actividades el profesor verifica la posición de los objetos según la instrucción
dada y el uso correcto del vocabulario.
Las actividades se pueden desarrollar en cualquier orden.
►¿Qué hay en esta guía?
En esta guía se cubren dos temas fundamentales para la introducción de la
geometría y del manejo del espacio en los niños: posiciones relativas y exploración
de sólidos y figuras planas.
►Elementos para tener en cuenta:
Vocabulario: Los estudiantes deben utilizar correctamente el vocabulario de geometría
al leer, escribir y hablar.
El texto hace énfasis principalmente en la lectura
del vocabulario de geometría. Se recomienda que el profesor refuerce la escritura y la
expresión oral en las actividades de aula.
Anexo 1 Figuras para colorear: Deliberadamente no se han incluido instrucciones en
el Anexo 1 porque las ilustraciones se pueden utilizar con diversos propósitos.
Ejemplos de posibles instrucciones:
“Colorea los animales que están _________” “Cuenta una historia utilizando
las palabras ____ y_____” “Encierra el animal que está _____”
►Posiciones relativas – Actividades
En estas actividades el profesor verifica la posición de los objetos según la
instrucción dada y el uso correcto del vocabulario.
Las actividades se pueden desarrollar en cualquier orden.
-Encima de y debajo de
Materiales:
Pupitres del salón y objetos que los niños
traen de sus casas.
El profesor divide el salón en 3 grupos.
Cada grupo hace una de las actividades
señalada abajo, hasta que todos los niños participen.
Instrucciones:
1. Por turnos, los niños piden a sus compañeros que coloquen el objeto que
trajeron de la casa encima del pupitre o debajo del pupitre
2. Por turnos, los niños colocan el objeto que trajeron de la casa encima
del pupitre o debajo del pupitre y piden a otros niños que digan dónde está
puesto el objeto.
3. Por turnos, los niños colocan el objeto que trajeron de la casa encima
del pupitre o debajo del pupitre y piden a otros niños que escriban en el
tablero dónde está puesto el objeto.
-Delante de, entre y detrás de
Materiales: Un cuarto de hoja por niño.
Instrucciones:
1. El profesor le pide a los niños que escojan una de las tres palabras
(delante, entre o detrás) y que la escriban en el cuarto de hoja que les entregó.
2. El profesor escoge a un niño y le pide que se ponga
delante o detrás de él para empezar a hacer una fila.
3. Una vez el niño ocupe suposición, debe escoger a otro
compañero y darle instrucciones usando la palabra que
escribió en su papel para que se ubique en la fila.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Guía primero
Ejemplo: “Pedro, ponte entre el profesor y yo”
Se continua el proceso hasta que se complete una fila de 15 niños.
4. Algunos de los niños que no están en la fila deben decir dónde está alguno
de sus compañeros usando la palabra que escribieron en su papel. Ejemplo:
“María está delante de Juan”
Instrucciones:
1. El profesor pide a los niños que se pongan de pie.
2. El profesor dará instrucciones a los
niños utilizando las palabras arriba y abajo.
5. Los niños que no han participado deben formular
palabra que escribieron en su papel Ejemplo:
“¿Quién está detrás de Alex?”
Ejemplos:
Manos arriba, manos abajo Pulgares arriba, pulgares abajo Una mano arriba,
una mano abajo Un pie arriba
- Dentro de, fuera de y en el borde
3. El profesor dará instrucciones a los niños utilizando las palabras
arriba y abajo combinadas con izquierda y derecha
Materiales:
Cualquier material que sirva para
delimitar una zona en el patio o dentro del salón
(tablas, cuerda, tiza, tiras de cartón, tiras de tela, etc.)
Instrucciones:
1. El profesor delimita una zona lo suficientemente amplia para que se puedan
parar dentro de ella todos los niños del salón. Entre todos acuerdan que
la zona delimitada se llama “el agua”.
2. Por turnos se asigna un capitán quien deberá dar instrucciones al resto del
equipo sobre dónde deben estar. En las instrucciones debe utilizar sólo una de las
siguientes expresiones: dentro de, fuera de, en el borde.
Ejemplo: “Todos los niños dentro del agua” “Los que tienen nombre que empiece
con M fuera del agua”
Se continua el proceso rotando el capitan.
- Arriba y abajo, izquierda y derecha
Materiales: No se requiere material.
Ejemplos:
Mano derecha arriba, mano izquierda arriba
Pulgar derecho arriba, pulgar derecho abajo
Pie derecho arriba, pie izquierdo arriba
Pie derecho arriba y pulgar izquierdo abajo
Nota: Tenga en cuenta que al dar instrucciones de izquierda o derecha se debe
considerar la posición tanto del profesor como de los niños. Por ejemplo, si el
profesor está mirando de frente a los niños, la izquierda del profesor es la derecha
de los niños.
►Figuras planas – Actividades
-Reconocer figuras planas: triángulos, círculos, cuadrados y rectángulos
Materiales: bloques lógicos, figuras planas en
“fommy”, papel blanco.
Guia de Actividades
Guía primero
Instrucciones:
Instrucciones:
1. El profesor le pide en voz alta a los niños
que busquen en su entorno triángulos, círculos,
rectángulos y cuadrados, y que los recorran con el
dedo por el borde. Los niños deben decir el nombre
de la figura que encontraron. (Esta actividad
prepara el camino para que los niños puedan
dibujar las figuras más adelante)
1. El profesor pide a los niños que formen
cuadrados, rectángulos y triángulos con el material.
2. El profesor alista cuatro tarjetas, cada una con uno de los nombres de las figuras.
Por turnos los niños escogen una de las tarjetas y buscan la figura entre los materiales
que hay en el salón.
Materiales: Plastilina o greda
3. El profesor escribe en el tablero los nombres de las cuatro figuras. Luego reparte
hojas con figuras
1. El profesor pide a los niños que hagan culebritas de plastilina o greda para cerrarlas y
formar círculos.
para colorear y recortar (Anexo 2 Figuras planas). Los niños deben colorear
las figuras y recortarlas para luego pegarlas clasificándolas bajo la palabra
correspondiente.
Triángulos
4. El profesor mete dentro de una bolsa que no sea transparente bloques lógicos de
círculos, cuadrados, rectángulos y triángulos (si no los tiene puede recortarlos en fommy).
Por turnos, los niños meten la mano a la bolsa, y sin sacar la figura y sin mirar, solamente
tocando,deben tratar de descubrir qué figura tienen en la mano. Luego la sacan para
verificar el resultado.
2. El profesor pide a los niños que digan en voz alta qué figura construyeron y
cuántas tiras usaron para construirla.
- Construir círculos
Instrucciones:
2. El profesor pide a los niños que aplanen
la plastilina o greda y que corten en la plastilina
círculos usando el borde de una taza o vaso
para cortarlos.
Trazar figuras planas
Instrucciones:
1. El profesor pide a los que usen objetos
del salón para trazar triángulos, círculos,
cuadrados y rectángulos sobre papel.
- Construir cuadrados, rectángulos y triángulos
Materiales:
pitillos, tiras de papel o palitos. El profesor debe preparar tiras de
dos largos distintos para entregar cuatro tiras a cada niño.
►Otros temas que se trabajan en grado 1º
- Ubicación en el plano como una introducción al plano cartesiano a nivel exploratorio.
Este tema se profundiza en grados 2º y 3º.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Guía segundo
GUÍA DE ACTIVIDADES PARA
GEOMETRÍA - GRADO 2°
¿Qué hay en esta guía?
En esta guía se proponen actividades relacionadas con los siguientes temas:
(a) Líneas rectas y líneas curvas, (b) Figuras planas y sólidos geométricos
(reconocimiento, descripción, y dibujo)
2. Proponga a los niños completar distintos caminos
en dibujos, utilizando regla u otros objetos con bordes
rectos cuando lo necesiten.
Estas actividades motrices son adecuadas para
diferenciar líneas rectas de líneas curvas.
También se pueden utilizar los dedos o lana para
recorrer los caminos. Asegúrese de que mientras lo
hacen digan en voz alta si el camino es recto o curvo.
Conocimientos previos:
los niños ya saben reconocer posiciones relativas
entre objetos y han trabajado a nivel exploratorio en identificar visualmente
algunas figuras planas (cuadrado, rectángulo, triángulo y círculo).
► Líneas rectas y líneas curvas
Materiales: regla, lana, tiza, cinta de color.
Actividades
3. Muestre a los niños el dibujo y pídales colorear las
líneas rectas en azul y líneas curvas en rojo:
También puede entregar a los niños fotografías
en las que deben reconocer líneas rectas
y curvas que aparecen de formas menos obvias.
4. Para abstraer las nociones trabajadas, pida a los niños dar dos ejemplos de
líneas rectas y líneas curvas, completando la siguiente tabla:
1. Pida a varios niños que caminen por el salón en línea recta yendo de un punto a otro.
Puede utilizar cinta o tiza para marcar la línea en el piso. Después pida que se
devuelvan siguiendo una línea curva, esto es, que no se vayan derecho por la recta
sino cambien de dirección. Usted puede ilustrar varias maneras de hacerlo antes de que
los niños lo hagan.
Líneas rectas
Bordes del tablero
Líneas de la letra T
__________________
__________________
Líneas curvas
Curva de un banano
Línea de la letra S
__________________
__________________
Guia de Actividades
Guía segundo
Finalmente, puede plantear el siguiente problema: Ubique dos puntos en
el salón marcados con letras A y B. Pida a los estudiantes que utilizando
lana construyan varios caminos entre A y B. Pregúnteles que cuál sería el más corto.
A quienes descubran que este es una línea recta, pregúnteles: ¿Cómo lo sabes?”
(Ejemplo: “Es donde utilizo menos lana.”)
Recomendación: Es importante indagar y cuestionar las afirmaciones geométricas
de los niños desde los primeros grados.
El nivel de precisión en el lenguaje y el dominio lógico irán evolucionando.
► Figuras planas y sólidos geométricos
Materiales: tiza, colores, geoplano, objetos sólidos manipulables de distintas
formas y tamaños.
Actividades
1. Proponga a un niño que “camine formando un cuadrado”:
esto significa que dibuje un cuadrado imaginario en el piso
con sus pasos.
Utilice tiza si quiere para ir marcando los vértices.
Guíe con emoción a los niños con instrucciones
precisas (“camina 3 pasos en línea recta”, “gira a la izquierda”,
“tus pasos deben ser iguales”, “párate en el vértice”)
pero está bien que ellos cometan errores en el proceso
(un lado más largo que otro o un ángulo no recto).
Aproveche para decir que los lados del cuadrado
son iguales de largos, y por eso el niño debe dar el mismo
número de pasos (y del mismo tamaño) para formar cada lado.
Los niños deben aprender a identificar, nombrar y describir figuras planas
(cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo, semicírculo). Se espera que utilicen palabras
como recto, redondo, lados y vértices en sus descripciones. También deben identificar
y nombrar polígonos según el número de lados.
Puede hacer lo mismo para caminar un rectángulo no cuadrado,
un triángulo y un círculo (para el cual, por ejemplo, puede
utilizar una cuerda estirada que otro niño tenga en el
centro del circulo)
Recomendación: No se espera que los niños sepan las definiciones formales
en este nivel. Se busca el reconocimiento de las figuras y poder describir sus
propiedades de manera visual o intuitiva. No se espera todavía que los niños
comprendan las relaciones inclusivas entre conceptos (ejemplo: todo cuadrado
es un rectángulo). Esto se hará en grados posteriores.
2. Recuerde las formas de las figuras planas a los niños y muéstreles varios sólidos cuyas
caras sean estas figuras. (Por ejemplo: tapas circulares, dados, cajas de ponqué, gorros en
forma de cono, etc.) Dé a los niños nuevos objetos para que identifiquen cuadrados,
rectángulos, triángulos y círculos en sus caras. Pida que los niños reconozcan figuras
planas en imágenes o fotografíás.
Estimule a los niños para que hablen en voz alta y señalen las figuras a medida
que las identifican, tocándolas con la palma de la mano.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Guía segundo
3. Pida a los niños asociar cada sólido dibujado con la figura de su cara coloreada
y nombrar la figura.
4. Muestre figuras “compuestas” a los niños,
para que escriban los nombres de todas las
figuras planas que vean.
5. A nivel abstracto, pida a los niños completar la siguiente tabla (soluciones en negrilla):
______
_______
_______
_______
Nota: El semicírculo y el cuarto de círculo se muestran cortando un círculo
en dos y cuatro partes iguales.
Pida a los niños dibujar un cuadrado en un geoplano (de manera que cada vértice esté
en un punto del geoplano). Pídales partirlo en dos triángulos. Pídales que vuelvan a
dibujar un cuadrado y que lo partan ahora en dos rectángulos.
Recomendación: Vaya lento: primero realice usted la actividad, luego pida
a los niños que copien el cuadrado que usted dibujó y finalmente permita
que los niños dibujen cuadrados de otros tamaños y en otras posiciones.
FIGURA
LADOS SON
Triángulo
Rectángulo
Cuadrado
Segmentos
Segmentos
Segmentos iguales de
largos
¿CUÁNTOS
LADOS?
3
4
4
Después pregunte si se pueden considerar figuras con más de 4 lados, lo que posibilita
el tratamiento de los polígonos, tema que se puede desarrollar de forma similar
a como se ha hecho hasta ahora.
Sólidos geométricos
Se puede hacer un desarrollo similar concreto-pictórico-abstracto con los
sólidos geométricos. Estas actividades son de reconocimiento y se deben utilizar las
palabras caras, aristas y vértices en las descripciones.
Guía segundo
Guía tercero
GUÍA DE ACTIVIDADES PARA
GEOMETRÍA - GRADO 3°
►¿Qué hay en esta guía?
Recomendación: Es conveniente describir estos sólidos utilizando propiedades
asociadas a acciones. Por ejemplo: “Los conos, cilindros y esferas pueden rodar”
(acompañe esta explicación con demostraciones reales de estos objetos rodando).
“Los conos y pirámides solo se paran en una cara, los cilindros se paran en dos de
sus caras, que son redondas, y los cubos y prismas se paran en todas sus seis
caras.”
► Otros temas que se trabajan en grado 2:
- Segmentos de rectas, semirrectas y rectas
- Rectas paralelas y rectas perpendiculares
- Posiciones, direcciones y desplazamientos
En esta guía se encuentran algunas actividades que permiten trabajar las nociones de:
ángulos, rectas paralelas, perpendiculares y simetría. Estas actividades también permiten
acercarse y conocer la forma en la que en el texto “Descubre Matemáticas” se abordan
estos conceptos.
►Conocimientos previos: Para poder desarrollar los contenidos que se plantean en esta
guía, los niños deben reconocer y tener nociones de:
- Recta, segmento.
- Líneas rectas y curvas
- Identificar y describir objetos simétricos en contextos reales.
►Ángulos.
A continuación se presentan algunas actividades para abordar el concepto de ángulo
en Grado 3°:
1. Objetivo: Reconocer qué es un ángulo por medio de movimientos de giro con las
extremidades del cuerpo y con pitillos.
Materiales: Pitillos y lana.
Indicaciones generales:
- Entregue a cada uno de los grupos dos pitillos y lana e indíqueles cómo unir los
pitillos insertando el mismo pedazo de lana en los huecos de cada pitillo uno seguido
del otro.
- Invite a los niños a realizar giros que originen diferentes tamaños de aberturas o
amplitudes.
- Pregunte a los niños que ocurre cuándo giran uno de los pitillos, qué cambia al
realizar cada giro.
Guia de Actividades
Guía tercero
- Después de múltiples experiencias recoja las ideas y en la socialización con el gran
grupo oriente a los niños para que concluyan:
- Elabore una lista en el tablero en la cual registre el nombre del objeto y cuántos ángulos
rectos se encontraron en este objeto.
a) La amplitud depende del tamaño de la abertura
entre los pitillos cada vez que se hace un giro.
Sugerencia:
b) La amplitud que se forma al girar un pitillo de una
posición inicial a una posición final es un ángulo.
- Invite a los niños a formar ángulos de diferentes
amplitudes con su cuerpo, por ejemplo, al flexionar y
extender los brazos, las piernas o el tronco.
En el Anexo No. 2 se describe otra estrategia alternativa para encontrar ángulos
rectos con plegado de papel.
►Rectas perpendiculares.
1. Objetivo: Establecer qué son las rectas perpendiculares e
identificarlas en diferentes objetos.
2. Objetivo: Reconocer cuándo un ángulo es recto e
identificar ángulos rectos en diferentes objetos.
Materiales: Objetos del entrono que tengan ángulos rectos, como por ejemplo reglas,
libros, cuadernos, hojas, etc.
Materiales: objetos o imágenes
de objetos que tengan ángulos rectos, pitillos y lana.
Indicaciones generales:
- Solicite a los grupos cooperativos que
tomen objetos que tengan ángulos
rectos y que indiquen dónde están
los ángulos y cuántos hay.
- Solicite que con un marcador tracen
el contorno de las esquinas de estos
objetos sobre un papel.
- Invite a los niños a reflexionar sobre las siguientes preguntas: ¿Las esquinas que han
dibujado son ángulos rectos? ¿Estos ángulos tienen como medida un cuarto de un giro
completo? ¿Cómo podemos comprobarlo?. El secretario toma nota de las respuestas
que el grupo dio a cada pregunta.
- Recoja las ideas y las estrategias de solución con ayuda del vocero de cada grupo.
Como cierre de la socialización, y partiendo de lo que cada grupo expresó, explique a
todo el grupo que:
a) En todos los objetos elegidos los ángulos rectos están formados por dos rectas,
b) Cuando se cruzan dos rectas formando ángulos rectos, entonces las rectas son
perpendiculares entre si.
Indicaciones generales:
- Invite a los niños a que flexionen las piernas y
los brazos en forma de L.
- Gire los pitillos hasta que tengan también forma de L,
después gire los pitillos hasta que completen un giro o
una vuelta.
- Explique a los estudiantes que el ángulo que tiene como amplitud una cuarta parte
de un giro completo se llama ángulo recto.
- Solicite a los grupos cooperativos que formen con sus pitillos un ángulo recto, un
ángulo mayor y un ángulo menor que este.
- Solicite a los grupos cooperativos que identifiquen los objetos del salón de clase
que tienen ángulos rectos. El vocero de cada grupo debe indicar el nombre del
objeto, cuáles son (si es posible los debe mostrar) y cuál es la cantidad de ángulos
rectos que tiene.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Guía tercero
Sugerencia:
►Rectas paralelas.
En el Anexo No. 3 puede encontrar tareas tipo para trabajar la noción
de rectas perpendiculares.
1. Objetivo: Establecer qué son las rectas paralelas e identificarlas en diferentes objetos.
2.Objetivo: Dibujar rectas perpendiculares con regla y escuadra.
Materiales: Regla, escuadra, papel y lápiz.
Indicaciones generales:
- Solicite a los niños que tracen una recta con un lápiz y la regla.
- Indique a los niños que hagan coincidir el ángulo recto de la escuadra
sobre la recta dibujada.
- Manteniendo firme la escuadra en esta posición, indique a los niños
que tracen una recta, como se indica en el paso 3 de la siguiente figura.
Materiales: Escuadra, hojas de papel, lápiz.
Indicaciones generales:
- Solicite a los grupos cooperativos que
visualicen ángulos rectos en los siguientes
objetos: en cuadernos, libros, en las patas
de las mesas y sobre las mesas, en el tablero,
en los estantes, en las ventanas, etc.
- Solicite que, con la ayuda de la escuadra o de una hoja doblada dos veces, verifiquen
que los ángulos que observaron son rectos (Ver Anexo No. 2).
- Invite a los niños a identificar pares de lados que sean perpendiculares al mismo lado,
si es necesario muéstreles cuáles son los lados perpendiculares en cada objeto.
- Explique a los grupos que en esos pares de lados se pueden visualizar rectas paralelas.
Sugerencias:
En el Anexo No. 4 puede encontrar tareas tipo para trabajar la noción de rectas
perpendiculares.
3. Objetivo:Dibujar rectas paralelas con regla y escuadra.
Sugerencia:
Materiales: Regla, escuadra, papel y lápiz.
Si no lo ha hecho aún, aproveche esta actividad para institucionalizar el uso de la
escuadra y de una hoja doblada dos veces (Ver Anexo No. 2)
para verificar cuándo un ángulo dado, entre dos rectas o en un objeto, es recto.
Indicaciones generales:
- Solicite a los niños que tracen una recta con un lápiz y la regla.
- Indique a los niños que hagan coincidir el ángulo recto de la escuadra sobre
la recta dibujada.
Guia de Actividades
Guía tercero
- Manteniendo firme la escuadra en esta posición, indique a los niños que tracen
dos rectas, como se indica en el paso 2 de la siguiente figura.
- Explique a los niños cuáles son rectas paralelas y por qué, apoyándose en la idea
de que son rectas perpendiculares a la misma recta.
Indicaciones generales:
- Solicite al encargado de materiales que recoja el material del grupo (hojas de papel
silueta, tijeras).
- Indique a los niños que en grupos de
aprendizaje cooperativo tomen un cuarto
de hoja y la doblen por la mitad.
- Indique que en el papel doblado dibujen
la mitad de una figura, que comience y
termine en las líneas de doblez de la hoja.
- Luego deben cortar la figura dibujada sobre el papel doblado. Indique que
desdoblen la figura y pregúnteles si obtuvieron una figura simétrica.
- Pídales que dibujen con un color el eje de simetría.
Sugerencia:
Sugerencia:
Inicialmente permita que la recta perpendicular sea visible y marque los
ángulos rectos según se haga la construcción, después puede usar la regla
como una guía sin necesidad de trazar la recta y sin marcar los ángulos rectos.
Es importante ofrecer múltiples y variadas experiencias para que los niños puedan
visualizar figuras simétricas en objetos e imágenes, dibujando o imaginando los
ejes de simetría.
►Simetría.
► Otros temas de geometría que se trabajan en
Grado 3º:
Objetivo: Construir figuras simétricas que tengan uno o más ejes de simetría,
mediante la actividad de plegar y cortar papel.
Materiales: Papel silueta (1 hoja cortada en cuartos), tijeras.
Nociones previas: Antes de realizar esta actividad es importante que los niños
conozcan “el efecto espejo” (Actividad No. 1 del protocolo). También es importante
que los niños puedan identificar en una figura dada sus ejes de simetría
- Traslaciones y giros en objetos del entorno y en el plano cartesiano
- Ampliaciones y reducciones
- Rectas verticales y horizonta
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Guía cuarto
GUÍA DE ACTIVIDADES PARA
GEOMETRÍA - GRADO 4°
►¿Qué hay en esta guía?
Cuando los niños llegan a 4º tienen una noción intuitiva de los ángulos y de las
figuras geométricas. En esta guía se estudia como nombrar, clasificar, construir
y medir ángulos usando el transportador, además de las propiedades que tienen
los ángulos y lados en los rectángulos y cuadrados.
►Conocimientos previos
Para poder desarrollar los contenidos que se plantean en esta guía, los niños deben
reconocer y tener nociones de
• Ángulos
• Cuadriláteros
• Paralelismo y perpendicularidad
Posteriormente pregúnteles:
- ¿Qué representan estos diagramas?
- ¿Qué tipos de ángulos ven en el diagrama?
- ¿Cuál de esos ángulos es recto?
Recuérdeles que el angulo ABC que esta formado por semirrectas perpendiculares es un
ángulo recto y en el dibujo se indica esta característica con un pequeño cuadrado en el
vértice.
► ¿Qué es un ángulo?
► Nombrando ángulos
Es importante que los niños reconozcan que un ángulo es la amplitud de giro entre
dos semirrectas que tienen un punto en común llamado vértice. Con esta intención
se sugieren las siguientes actividades:
Es importante que los niños reconozcan que hay varias formas de nombrar un
mismo ángulo y que identifiquen y puedan nombrar el vértice y los lados.
1. Solicite a los niños que identifiquen ángulos agudos, rectos y obtusos en los objetos
que hay en el salón de clase. Recuérdeles que los ángulos menores que un ángulo
recto se llaman agudos y que los ángulos mayores que el ángulo recto se llaman
obtusos. Indíqueles que escriban: ángulo recto, ángulo agudo y ángulo obtuso según
sea el caso.
2. Solicite a los niños que con sus brazos extendidos representen un ángulo
agudo, un ángulo recto y un ángulo obtuso.
3. Muestre a los niños 3 ángulos con diferente medida como por ejemplo:
1. Dibuje un
explíqueles:
diagrama
como
el
siguiente
y
Las semirrectas BA y BC son los lados del ángulo
(para nombrar una semirrecta se debe poner la letra
del punto inicial primero)
Guia de Actividades
Guía cuarto
•El punto común B es llamado el vértice del ángulo.
• El ángulo puede ser nombrado como:
ABC
CBA y
b
(" ” es el símbolo para ángulo.) Solo vamos a trabajar con ángulos
menores de 180°.
2. Dibuje un rectángulo como el siguiente y explique:
•Los lados son nombrados como XY, YZ, ZW , ZXy WX.
•
c también se puede nombrar como
WXZ o
ZXW
• Pida a los niños que nombren
a
b en formas diferentes. Pregúnteles
¿qué tipos de ángulos son
a,
b y
c ? (agudo, obtuso o recto)
► Midiendo ángulos en grados
Muestre a los niños el transportador y explíqueles como usarlo para medir ángulos.
En el edusitio de Pioneros se muestra un video donde se explica cómo usar
el transportador.
1. Solicite a los niños que usen su transportador para medir los ángulos que forman los
bordes de las baldosas del piso, una esquina de su mesa, del tablero o de algún
objeto que tenga ángulos rectos. Llévelos a concluir que los ángulos rectos miden 90°.
2. Nombre el ángulo que tiene la medida correspondiente:
3. Escriba los nombres para los ángulos marcados en cada figura.
4. Complete con
ángulo agudo.
ángulo obtuso,
b _________________
ángulo recto o
e__________________
5. Marque con distintos colores los siguientes ángulos
dentro de la figura:
a.
b.
c.
d.
STV
TSV
SVT
TUV
3. Nombre, estime la medida y finalmente mida cada uno de los ángulos señalados.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Guía cuarto
4. Use regla y transportador para dibujar ángulos con las siguientes medidas:
a.
60°
b. 125°
3. Presénteles
diagramas como los siguientes y
c. 155°
5. El propósito de este juego es llevar la bola al hoyo
dándole un golpe, superando los obstáculos,
teniendo en cuenta que la bola no se despega del piso
y que la puede hacer rebotar en las paredes.
Tenga en cuenta que la bola rebota con el mismo
ángulo con el que llega a la pared.
Se juega en parejas y cada jugador tiene su turno.
El primer jugador dibuja la trayectoria de la bola,
luego el segundo jugador verifica que los ángulos que la
trayectoria forma con la pared sean iguales y que las
trayectorias sean rectas usando transportador y regla.
Gana quien primero logre una trayectoria que lo lleve al hoyo. Escribir las medidas
de los ángulos que se usan puede ser útil para hacer los siguientes intentos.
Suponga que el rectángulo que bordea el tablero es la pared.
En el sitio web de Alianza en Pioneros puede encontrar diferentes tableros para jugar.
explique las propiedades del rectángulo y los símbolos que se usan para indicar
estas propiedades:
• Dos pares de lados iguales (WX=ZY y ZW=YX)
• Cuatro ángulos rectos, es decir, cuatro pares de lados perpendiculares
(WX WZ, ZW
ZY, YZ YX, XY XW)
• Dos pares de lados opuestos paralelos (WX II ZY, WZ II XY)
► ¿Qué es un cuadrado?
2. Presente
y hágales
a
los
niños
un
diagrama
con cuadrados, como el siguiente,
► ¿Qué un rectángulo?
Los cuadrados y los rectángulos son figuras geométricas con propiedades
especificas. Con el propósito de que los niños establezcan y entiendan
las propiedades de los cuadrados y los rectángulos se proponen las
siguientes actividades.
1. Entregue a los niños figuras de cuadrados
y rectángulos recortados en cartón. Solicíteles
que indiquen algunas características de cada una
de esas figuras. Asegúrese de que usen vocabulario
como: lados, ángulos, perpendiculares, paralelos, etc.
2. Pídales que comparen las figuras y hagan una lista
de similitudes y diferencias.
preguntas para que establezcan sus propiedades, siguiendo el ejemplo del rectángulo.
•
•
•
•
•
•
¿Qué lados son iguales?
¿Cuántos ángulos rectos tiene un cuadrado?
¿Cuántos pares de líneas son perpendiculares?
¿Qué pares de líneas son perpendiculares?
¿Cuántos pares de líneas son paralelas?
¿Qué pares de líneas son paralelas?
Guía cuarto
Guía quinto
GUÍA DE ACTIVIDADES PARA
GEOMETRÍA - GRADO 5°
Las siguientes preguntas tienen como propósito llevar a los niños a concluir que
un cuadrado es un tipo especial de rectángulo.
3. ¿Qué propiedades del rectángulo tiene el cuadrado?
¿Hay alguna propiedad del rectángulo que no la cumpla el cuadrado?
¿Es el cuadrado un tipo especial de rectángulo?
4. ¿Cuáles de las siguientes figuras son rectángulos?
►¿Qué hay en esta guía?
En esta guía se estudian propiedades de triángulos y algunos cuadriláteros,
se calculan sus ángulos, se aprende sobre las longitudes de sus lados y sobre
relaciones de perpendicularidad o paralelismo de los mismos.
►Conocimientos previos
•
•
•
•
Figuras planas (reconocer)
Ángulos
Simetría
Paralelismo y perpendicularidad
►Triángulos
Comience el trabajo recordando y describiendo un
triángulo. Los niños lo pueden trazar y describir.
►Otros temas que se trabajan en grado 4°
- Ángulos como partes de una vuelta o giro, cuarto de vuelta, media vuelta,
tres cuartos de vuelta y vuelta completa. Giros orientados en el sentido de
las manecillas del reloj y en el sentido contrario.
- Ocho puntos cardinales: norte, sur, oriente, occidente, noroccidente,
nororiente, suroccidente y suroriente.
- Figuras simétricas, identificación de líneas de simetría, desarrollar la
habilidad para completar figuras simétricas sobre papel cuadriculado.
• ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos de un triángulo?
Recorte los ángulos del triángulo nombrados previamente y péguelos uno
después de otro, manteniendo el vértice en el mismo punto, como lo muestra la figura,
para verificar que los tres juntos forman un ángulo llano, o que la suma de las medidas
da 180º.
Verifique la conclusión anterior midiendo
los tres ángulos con el transportador y
sumando sus medidas. Dado que medir
con exactitud no es fácil, la suma debe
ser aproximadamente 180°.
Guia de Actividades
Guía quinto
1. En el ∆ ABC calcule la medida del < BCA
Llame la atención de los niños sobre el hecho de que el triángulo 3 aparece en tres
categorías diferentes e invítelos a dialogar sobre este aspecto.
Simetrías de los triángulos
2. ¿Cómo pueden ser las medidas de los otros dos ángulos de un triángulo
si hay uno que mide 50º? Dibuje dos triángulos distintos que tengan
un ángulo de 50º.
Respuesta: Los otros dos deben sumar 130º. Busque ejemplos: 100º y 30º …
Pida a los niños que recorten los triángulos del Anexo Triángulos y que encuentren
los ejes de simetría haciendo dobleces. De esa manera se verifican las conjeturas hechas
en el párrafo anterior, porque cuando hay igualdad de lados o ángulos, éstos coinciden
al doblar el triángulo por su eje.
En el caso de los triángulos rectángulos, si se doblan los ángulos que no son rectos sobre
el ángulo recto, se puede confirmar que la suma de estos dos ángulos es de 90º
• Triángulos isósceles, equiláteros y rectángulos
¿Qué llama la atención en los triángulos que aparecen a continuación?
<
Sugiera a los niños, formados en grupos de trabajo cooperativo, que usen lana o una
regla para comparar las medidas de los lados de los triángulos, y que usen un
transportador para medir los ángulos. Luego, que hagan conjeturas como estas:
- Hay dos triángulos en los que todos los lados tienen la misma medida (1 y 4).
En esos triángulos todos los ángulos miden 60º.
- Hay dos triángulos que tiene dos lados iguales (3 y 5).
En esos triángulos también hay dos ángulos que tienen la misma medida.
- Hay dos triángulos que tienen un ángulo de 90º (3 y 6).
- Hay dos triángulos en los que todos los lados son distintos
(2 y 6) y todos los ángulos también son distintos.
• Afianzamiento
Muestre triángulos de distintos tipos, de algunos datos de ángulos o de lados y
pida a los niños que encuentren los datos que se les piden.
Ejemplo: en el triángulo PQR, el ángulo QRP mide 66º.
¿Cuánto miden los otros dos ángulos?
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Guía quinto
Definiciones
• Un triángulo que tiene tres lados iguales se llama equilátero. En este triángulo los tres
ángulos miden60º.
• Un triángulo que tiene al menos dos lados iguales se llama isósceles. En este triángulo
los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales.
Note: un triángulo equilátero también es isósceles.
• Un triángulo que tiene un ángulo de 90º, se llama triángulo rectángulo.
La suma de los otros dos ángulos es 90º. Un triángulo rectángulo también puede ser
isósceles.
►Cuadriláteros
• Recuerde a los niños qué son cuadrados y rectángulos.
Un cuadrado es una figura de cuatro lados que tiene cuatro ángulos rectos y
cuatro lados iguales.
Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene cuatro ángulos rectos (por tener ángulos
rectos sus lados también son paralelos entre sí y por lo tanto igual de largos).
Pida a los niños observar el cuadrado y el rectángulo entregados en el paquete de
materiales.
Una actividad importante aquí es pedir a los niños que determinen los ejes de simetría de
las dos figuras y con ello justifiquen las anteriores propiedades (haciendo los dobleces
adecuados).
Genere un diálogo con los niños sobre si las diagonales del rectángulo son o no ejes de
simetría.
• Otros cuadriláteros
• Entregue a los niños grupos de 4 palitos, en los que haya 4 palitos iguales, una pareja
de palitos de igual longitud y una pareja de diferente longitud, y 4 palitos diferentes.
Pida a los niños que formen cuadriláteros, observen y hagan conjeturas sobre sus
características.
• Entregue a los niños la hoja Anexo Cuadriláteros y pídales que los recorten.
Deben utilizar la regla y el transportador para verificar las conjeturas obtenidas en la
actividad anterior.
• Definiciones
• Paralelogramo: figura de 4 lados en la que sus lados opuestos son paralelos y
por lo tanto iguales. Sus ángulos opuestos son
Guía quinto
Al observar cuidadosamente la figura y usando las observaciones de la actividad
anterior, se pueden hacer conjeturas sobre todos los ángulos de la figura.
¿Cuáles suman 180º?
Guia de Actividades
Ponga la segunda franja en diferentes posiciones yobserve los cuadriláteros que se forman
En esta actividad van a resultar paralelogramos, rombos, cuadrados y rectángulos.
(La posición perpendicular es importante para obtener el cuadrado y el rectángulo).
Rombo:
figura de 4 lados iguales. Sus ángulos opuestos
son iguales. En general, por ser el rombo también
un paralelogramo, los ángulos tienen también las
mismas propiedades que en éste.
Trapecio:
figura de 4 lados en los que un par de lados opuestos
son paralelos.
• Pida a los niños que usen otra vez los cuadriláteros que recortaron para que determine
por medio de doblamientos cuáles tienen ejes desimetría. Pídales que comprueben con
regla, lana otransportadorlas anteriores propiedades.
• Afianzamiento
Presente a los niños dibujos que contengan todas las figuras para que las identifiquen.
Haga ejercicios en los que calculen lados y ángulos, dada la medida de un lado o
un ángulo.
• Profundización
Con los niños formados en grupos de trabajo cooperativo, tome franjas de papel
calcante de colores diferentes y de diferentes anchos. Monte dos franjas, una sobre otra,
de igual o de diferente ancho.
Los niños en sus grupos deben hacer conjeturas sobre las figuras que se forman
y reconocer en éstas las propiedades estudiadas anteriormente.
Invítelos a que den un paso más adelante haciendo frases como estas:
“Los cuadrados también son rectángulos, porque tienen cuatro ángulos iguales”.
“Los rectángulos no son cuadrados porque……
“Los cuadrados también son rombos porque ….
►Otros temas que se trabajan en grado 5º
Figuras en el plano cartesiano
Construcción de algunos triángulos y cuadriláteros con regla y compás
Aplicación
de la GEOMETRIA
ACTIVA en el Aula
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Visualización y Orientación
Espacial
Visualización y orientacion espacial
Familia de actividades
Familia 1
Orientación estática del sujeto y de los objetos”
Aborda el problema de la orientación del cuerpo del sujeto con respecto a los objetos que
lo rodean, teniendo en cuenta el conocimiento de su esquema corporal.
1. Orientación estática del sujeto y de
los objetos
2. Interpretación de perspectivas de
objetos tridimensionales
3. Orientación del sujeto en espacios
reales
También se abarca la posición de otro sujeto, en relación a otros objetos o personas y
las posiciones de objetos entre sí.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Familia 1
Actividad:
NOCIONES DE SITUACIÓN
Organicen grupos de 3 personas y numérense como 1, 2 y 3.
Lleva a cabo las siguientes indicaciones:
-Ubicarse de modo que 1 quede a la derecha de 3 y a la izquierda de 2.
-Ubicarse de modo que 1 quede a la derecha de 3, 3 a la derecha de 2 y 2 a la
derecha de 1.
-Ubicarse de modo que 2 quede a la izquierda de 1 y 3 quede a la derecha de 2.
-Realizar los pasos de la instrucción anterior de modo que los participantes queden en
orden consecutivo según su número.
-Encuentra otra organización diferente que te permita cumplir con la instrucción anterior.
Clasificación de las tareas de orientación del
sujeto y de los objetos
ORIENTACIÓN
PROXIMIDAD
INTERIORIDAD
DIRECCIONALIDAD
Delante – Detrás
Derecha - Izquierda
Cerca - Lejos
Dentro – Fuera
Abierto - cerrado
Hacia - Desde
NOCIONES DE SITUACIÓN
Se transforman progresivamente en relaciones lógicas. Se toma distancia del
“yo”.
El niño comprende que existen sistemas de referencia diferentes al suyo.
Construcción de nociones como horizontal y vertical.
Comprensión de los puntos cardinales.
Visualización Espacial
Familia 1
NOCIONES DE SITUACIÓN
ACCIÓN
Dan lugar a la construcción de conceptos en grados de escolaridad posteriores.
Cambiar la
posición de un
objeto con
respecto a otro
Las nociones de proximidad favorecen la construcción del concepto de distancia.
Las nociones de interioridad dan lugar al concepto de región, figura y cuerpo.
ACCIÓN
Actividades:
ACCIÓN
Reconocer
partes del
cuerpo y de
otra persona
DESCRIPCIÓN
DE LA
ACTIVIDAD
Pedir a los
estudiantes que sigan
estas instrucciones
donde deben indicar
partes de su cuerpo.
También se deben
ubicar con respecto a
otras personas.
CONCEPTUALIZACIÓN
A través de esta
actividad se
favorece el
desarrollo de
nociones de
orientación
(derecha,
izquierda) y de
direccionalidad
(hacia, desde).
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
Pedir a los
estudiantes que
organicen grupos
de 3 personas y se
numeren como 1, 2
y 3. Después, el
docente da
instrucciones para
que cada uno se
ubique con
respecto a sus
compañeros.
MATERIALES
Aula de clase o
espacio abierto
donde hay
visibilidad entre el
docente y los
estudiantes.
Fichas marcadas
con los números
de 1 a 3.
Cinta pegante.
REFERENTES
Lineamientos
curriculares de
matemáticas.
Estándares 1º a 3º
en pensamiento
espacial.
DBA Transición
(DBA número 14).
Colorear partes
izquierdas y
derechas en
una imagen
DESCRIPCIÓN
DE LA
ACTIVIDAD
CONCEPTUALIZACIÓN
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
MATERIALES
Se utilizan un
vehículo pequeño y
un camión y se
modifican sus
posiciones sobre la
mesa: a) ambos en
dirección izquierda
delante del niño; b)
orientados hacia el
niño. Se invita al
niño, en cada
situación, a poner: 1)
el coche delante del
camión; 2) el auto
detrás del camión.
(Lurçat, 1979).
A través de esta
actividad se
favorece el
desarrollo de
nociones de
proximidad (cerca,
lejos) y de
direccionalidad
(hacia, desde).
Utilizar más de dos
objetos y pedir
ubicaciones que
relacionen los
objetos de dos en
dos.
Carros de juguete
u otros objetos
similares.
DESCRIPCIÓN
DE LA
ACTIVIDAD
CONCEPTUALIZACIÓN
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
MATERIALES
A través de esta
actividad se
favorece el
desarrollo de
nociones de
orientación
(derecha,
izquierda) y de
proximidad (cerca,
lejos).
Nombrar los niños
que se encuentran
en la imagen y
pedir a los
estudiantes que
describan la
ubicación de
alguno de esos
niños con respecto
a otro de la misma
imagen.
Colorear los zapatos
izquierdos de un
color y los derechos
de otro (Wiegand,
2006, p. 107).
REFERENTES
Lineamientos
curriculares de
matemáticas.
Estándares 1º a 3º
en pensamiento
espacial.
DBA Transición
(DBA número 14).
REFERENTES
Lineamientos
curriculares de
matemáticas.
Fotocopias con la
imagen.
Colores.
Estándares 1º a 3º
en pensamiento
espacial.
DBA Transición
(DBA número 14).
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Familia 2
“Interpretación de perspectivas de objetos
tridimensionales”
Se abordan todas las actividades que requieren un cambio de perspectiva de los objetos,
es decir, interpretar diferentes representaciones de un objeto ya sea al rotarlo
mentalmente o al construir un objeto a partir de representaciones planas.
Clasificación de las tareas de Interpretación de perspectivas de objetos
tridimensionales
ESTÍMULO INICIAL
Presencia del objeto
físico
Objeto (y/o sujeto)
móvil
Objeto (y sujeto) fijo
Acciones: reconocer, describir, fabricar o transformar objetos”. Se
incluyen tareas de representación (bi o tridimensional) de objetos
tridimensionales
Contemplan actividades que requieren:
- Reconocer y cambiar puntos de vista (cambio de perspectivas).
- Interpretar perspectivas de objetos, rotar mentalmente objetos,
interpretar diferentes representaciones planas de objetos tridimensional
(perspectivas, vistas,…).
-Convertir una representación plana en otra, construir objetos a partir de
una o más representaciones planas.
Se construyen técnicas para representar un objeto o un espacio, se
aprende a leer diferentes tipos de representaciones planas.
Ausencia del objeto
físico
Objeto observado
previamente
Objeto presentado en
el plano
ACCIÓN
*Convertir
representaciones
(plana y 3D)
* Rotar
* Plegar o desplegar
*Composición y
descomposición en
partes
*Conteo de partes
TIPO DE
RESPUESTA
*Construcción
*Dibujo
*Identificación
*Verbal
*Otras
Interpretación de perspectivas de objetos tridimensionales
Acciones vinculadas
Cambiar el tipo de representaciones (plana o tridimensional)
-Representar un objeto físico con una representación plana.
-Construir un objeto tridimensional a partir de su representación plana.
-Construir representaciones planas de diferentes tipos (perspectiva, proyección isométrica,
vistas)
-Rotación del objeto, cambio del punto de vista
Visualización Espacial
Familia 2
Interpretación de perspectivas de objetos tridimensionales Acciones vinculadas
Rotar:
-Rotar el objeto o partes del objeto
-Cambiar mentalmente de perspectiva
-Imaginarse en otra posición respecto al
objeto
La isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección de los ejes
coordenados x, y, z conforman el mismo ángulo, es decir, 120º entre sí. Los objetos se
muestran con una rotación del punto de vista de 45º en las tres direcciones principales
(x, y, z).
La perspectiva es el arte de dibujar para recrear la profundidad y la posición relativa de
los objetos comunes. En un dibujo, la perspectiva simula la profundidad y los efectos de
reducción.
Plegar y desplegar:
-Plegar un desarrollo plano para formar un objeto
tridimensional
-Desplegar el objeto para obtener sus desarrollos
Componer y descomponer:
-Dadas dos o más piezas componerlas para
formar un sólido.
-Dado el sólido descomponerlo en dos o
más partes.
Contar elementos
-Contar los elementos que componen
un sólido
-Elementos: caras, aristas, vértices,
unidades de volumen, entre otros.
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Familia 2
Actividad:
Construye una composición de cubos que tenga las siguientes vistas:
Actividad:
Construye una composición de cubos que tenga las siguientes vistas
Posible solución:
Posible solución:
Visualización Espacial
Familia 2
Elementos conceptuales vinculados a la situación de la familia 2
Representación plana de objetos tridimensionales
Representación plana de un módulo multicubo.
Sólido formador por varios cubos iguales pegados de manera que sus caras se
superponen
Axonometrías
Dibujo de vista
única
Perspectivas
cónicas
*Representación
plana de objetos
tridimensionales
Dibujos de vista
múltiples
Representan el
objeto a través de
vistas relacionadas
Clasificación presentada en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas,
Representación bidimensional del espacio tridimensional, página 60.
Imagen tomada de Gutiérrez (1998), la representación plana de objetos tridimensionales
en la enseñanza de la geometría espacial, página 3
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Familia 2
Análisis de la actividad
DESCRIPCIÓN DE LA
ACTIVIDAD
ACCIÓN
Estímulo inicial:
Ausencia del objeto físico, objeto presentado en el plano.
*Observa las siguientes figuras:
Acción:
Convertir representaciones (plana o 3D).
-Interpretar las
representaciones planas
del objeto tridimensional,
prespectiva paralela.
Rotar
objetos
Tipo de respuesta:
Construcción.
Actividades:
ACCIÓN
DESCRIPCIÓN DE LA
ACTIVIDAD
Construye una composición
de cubos que tenga las
siguientes vistas:
Convertir
representa
ciones
CONCEPTUALIZACI
ÓN
¿Cuál de las siguientes figuras
continúa en la secuencia?
-Conocimientos:
rotación, eje de rotación,
estructura del cubo,
propiedades derivadas
de la rotación como
isometría.
VARIACIÓN
DE LA
ACTIVIDAD
MATERIALES
Se presenta el
objeto en físico.
Se construye el
objeto.
Gozato, Godino,
Contreras, (2010).
Análisis de los
conocimientos
puestos en juego
en la resolución
de tareas de
visualización y
orientación de
cuerpos
tridimensionales
REFERENTES
Lineamientos
curriculares de
matemáticas.
Cubos
Estándares,
pensamiento
espacial:
1º a 3º : #2, #5
4º a 5º : #3, #8
DBA
3°: # 7
5°: # 7
Actividad tomada de Gonzato, Blanco y Godino (2011), Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial, página 9
CONCEPTUALIZA
CIÓN
-Leer una
representación
plana de un cuerpo
tridimensional;
vistas.
-Coordinar e
integrar
representaciones
(vistas), para
construir el objeto
tridimensional.
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
MATERIALES
ACCIÓN
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
Lineamientos
curriculares de
matemáticas.
Se presenta el
objeto en físico y
se pide dibujar las
vistas del mismo.
Gonzato, Godino y
Neto (2011),
Evaluación de
conocimientos
didácticomatemáticos sobre
la visualización de
objetos
tridimensionales
REFERENTES
Estándares,
pensamiento
espacial:
4º a 5º : #6, #8
Cubos
DBA
4: # 6
Matriz de
referencia:
3,R.Relacionar objetos
tridimensionales con
sus respectivas vistas
Actividad tomada de Gonzato, Blanco y Godino (2011), Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial, página 9
Plegar y
desplegar
desarrollos
*¿Cuáles de los siguientes
desarrollos corresponden a un
cubo?:
CONCEPTUALIZA
CIÓN
-Conocer qué es
un desarrollo y las
propiedades que
conserva con
respecto al objeto
geométrico, por
ejemplo, el
paralelismo de las
aristas de las
caras, la
forma y el tamaño
de las caras.
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
Se presenta el
objeto en físico,
y se verifica si
el desarrollo
corresponde al
mismo.
Mesquita
(1992).
Atendiendo
habilidades de
visualización en
la enseñanza
de la geometría
MATERIALES
REFERENTES
Lineamientos
curriculares de
matemáticas.
Cubos,
desarrollos
Estándares,
pensamiento
espacial:
1º a 3º : #8
4º a 5º : #8
DBA
3°: # 6
4°: # 6
5°: # 6
Actividad tomada de Gonzato, Blanco y Godino (2011), Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial, página 10
Familia 2
ACCIÓN
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
*¿Cuáles de los siguientes desarrollos
corresponden a un cubo?:
Composición y
descomposición
en partes
Familia 3
CONCEPTUALIZA
CIÓN
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
-Interpretación de
representaciones
isométricas de
objetos.
- Partición del
sólido en dos
piezas dadas,
identificación de
dichas piezas en la
figura,
movimientos
isométricos de las
piezas.
Se presenta el
objeto físico y
se da el
cubosoma.
Se presenta el
dibujo y se da
el cubosoma.
MATERIALES
REFERENTES
Lineamientos
curriculares de
matemáticas.
Cubosomas.
Lappan, Phillips
y Winter,
(1984).
Visualización
Espacial
Estándares,
pensamiento
espacial:
1º a 3º : #5, #8
4º a 5º : #1, #6,
#7
DBA
3°: # 6, #7
5°: # 6
Orientación del sujeto en espacios reales
Hace referencia a las tareas que requieren que
el sujeto comprenda el espacio donde se sitúa
el, otros sujetos y objetos, en relación a su
ubicación y orientación en el espacio.
Esto requiere que el sujeto conecte su
esquema corporal (arriba, abajo, derecha,
izquierda) al espacio físico que lo rodea
(calles, edificios, recorridos, norte, sur, este,
oeste).
Actividad tomada de Gonzato, Blanco y Godino (2011), Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial, página 10
ACCIÓN
Composición y
descomposición
en partes
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
*El siguiente objeto está formado
por cubos. Supongamos que
pintamos toda su superficie exterior
azul y después lo desmontamos
totalmente. ¿Cuántos cubitos tienen
exactamente tres caras azules?,
¿cuántos tendrían exactamente dos
caras azules?, una cara azul?,
¿ninguna cara azul?
CONCEPTUALIZA
CIÓN
- Representación del
objeto y sus partes
(los cubitos),
estructura del
ortoedro, coordinar
diferentes caras que
pertenecen al mismo
cubito (las vistas
ortogonales de las
caras del cubitos).
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
Se presenta el
objeto físico y
se da el
cubosoma.
Se presenta el
dibujo y se da
el cubosoma.
Bishop (1983),
Espacio y
Geometría
MATERIALES
REFERENTES
Lineamientos
curriculares de
matemáticas.
Cubos.
Estándares,
pensamiento
espacial:
1º a 3º : #8
4º a 5º : #6, #8
DBA
4°: # 6
5°: # 6
Actividad tomada de Gonzato, Blanco y Godino (2011), Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial, página 11
Se evidencian en todas aquellas tareas que
correspondan a la lectura, interpretación y
construcción de planos, maquetas, mapas,
que resultan de la interacción entre la
exploración del espacio real y la
representación espacial de dichos espacios
reales.
Visualización Espacial
Familia 3
Clasificación de las tareas de orientación del
sujeto en espacios reales
Tomado de «Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial»
Margherita Gonzato (Universidad de Granada), Teresa Fernández Blanco (Universidad de Santiago de Compostela), Juan Díaz Godino (Universidad de
Granada). NÚMEROS, Revista de Didáctica de las Matemáticas. Vol. 77, Julio 2011. P. 111
Actividades:
Completa la tabla, con la información que veas en la imagen
Familia 3
Ubica cada uno de los lugares en el mapa, teniendo en cuenta las indicaciones dadas en
la tabla:
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
De acuerdo con la imagen que se presenta a continuación,
responde Falso (F) o Verdadero (V), en cada caso:
a. ¿La casa de Luisa queda entre las mismas calles de la Casa de Juan? ( )
b. ¿El Hospital queda entre las Carreras 1 y 2 y sobre la calle 4? (
c. ¿La cafetería queda más cerca del colegio que del parque? (
)
)
d. ¿La estación de bomberos queda entre las calles 1 y 2, y entre las carreras 2 y 3? (
e. ¿El parque y la escuela comparten la misma Calle? (
)
)
Visualización Espacial
Familia 3
De acuerdo a la siguiente figura, describe en palabras, el camino que debe seguir
Juan para ir a cada uno de los lugares que se indican:
Análisis de la actividad
Estímulo inicial:
Representación espacial
Acción inicial:
Interpretar información gráfica
Tipo de respuesta:
De localización de objetos y personas: en un mapa/plano/maquetas
ACCIÓN
a. Juan debe salir de su casa en la calle 4 y caminar por la carrera 4 dos cuadras
hacia el norte, luego girar a la derecha en la calle 2 para llegar a la casa de Luisa.
b. Juan debe ___________________________________ para llegar al Colegio.
c. Juan debe __________________________________ para llegar al Hospital.
DESCRIPCIÓN DE LA
ACTIVIDAD
Durante la primera semana de
Explorar el
espacio con estudio, la maestra hace un
movimiento recorrido con los estudiantes
de su grado, por toda la
escuela. Mientras caminan,
va
describiendo
ciertos
lugares importantes de la
misma, como la oficina de la
dirección, la tienda, la
biblioteca escolar, entre otros.
Al llegar de nuevo al salón,
con bloques, realiza una
reconstrucción de la escuela,
pidiendo que le ayuden a
ubicar
esos
lugares
importantes
que
ella
mencionó en el recorrido.
CONCEPTUALI
ZACIÓN
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
En esta tarea es
necesario que el
estudiante
organice la
información del
espacio que
recorrió, para
luego hacer una
representación
tridimensional
con bloques.
El estudiante
realiza una
representación
en un plano, del
espacio
recorrido.
Pedir que
reconstruyan
verbalmente el
recorrido
realizado de un
punto a otro, de
la representación
realizada.
MATERIALES
Bloques u
objetos que
sirvan para
realizar
representación
tridimensional
de un espacio.
Hojas de block,
pliegos de
papel,
plumones, etc.
REFERENTES
Lineamientos Curriculares
de Matemáticas Geometría Activa.
Estándares Básicos de
Competencia:
Pensamiento Espacial y
Sistemas Geométricos.
1° - 3°: #3, #4, #9
y 4° - 5°: #4, #8
Matriz de Referencia de
Matemáticas 3°y 5°,
Componente Espacial
Métrico
DBA Matemáticas: #7 en
los grados 1°, 2°, 3°, 4° y
5°
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
Familia 3
ACCIÓN
DESCRIPCIÓN DE LA
ACTIVIDAD
CONCEPTUA
LIZACIÓN
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
MATERIALES
REFERENTES
Observar
espacios,
trayectos, (sin
movimiento)
Se disponen de objetos organizados
dentro de un espacio (habitación). Se
le pide a los estudiantes que observen
detalladamente el espacio y los objetos,
que traten de recopilar (dibujar planos,
escribir lo que ven), memorizar lo que
más puedan de la distribución de los
objetos del espacio, entre otros
aspectos como las ventanas, puertas,
objetos pegados en las paredes,
mobiliarios, etc.
En la clase siguiente el profesor cambia
objetos de lugar, guarda o tapa algunos
otros, y pide a los estudiantes que
describan los objetos que faltan o que
indiquen si alguno de los objetos fue
movido de su lugar.
Para esta tarea,
es necesario
tener presente
un sistema de
referencia
adecuado para
cada situación,
de tal manera
que permita la
relación del
espacio físico
con el espacio
representado.
Mostrar una
habitación con
objetos distribuidos
por todo el
espacio. Luego
pedir que dibujen
la distribución de
estos objetos en
un plano.
Objetos
distribuidos en un
espacio (sala,
patio de juegos,
etc.).
Lineamientos Curriculares
de Matemáticas Geometría Activa.
ACCIÓN
DESCRIPCIÓN DE LA
ACTIVIDAD
Interpretar
información
gráfica
Por medio de un plano (mapa), se da
indicaciones a los estudiantes para que
encuentren un lugar específico en el plano,
incluyendo instrucciones de orientación de
lateralidad (izquierda - derecha). Ejemplo: Pablo
sale de su casa ubicada en la esquina de la
Calle 4 con carrera 6b, camina por la carrera 6b
hasta la calle 5, gira a la izquierda en dirección al
estacionamiento. Luego gira de nuevo a la
izquierda por la carrera 8, hasta la esquina de la
calle segunda. ¿En qué lugar se encuentra
finalmente Pablo?
Hojas, plumones.
Juego de batalla
naval.
Estándares Básicos de
Competencia:
Pensamiento Espacial y
Sistemas Geométricos.
1° - 3°: #3, #4, #9
y 4° - 5°: #4, #8
Matriz de Referencia de
Matemáticas 3°y 5°,
Componente Espacial
Métrico
DBA Matemáticas: #7 en
los grados 1°, 2°, 3°, 4° y
5°
CONCEPTUA
LIZACIÓN
VARIACIÓN DE
LA ACTIVIDAD
MATERIALES
REFERENTES
En esta tarea se
requiere que el
sujeto coordine su
orientación
(derecha,
izquierda) con el
espacio que se
está representado
en un dibujo
(plano, mapa)
reconociendo en
él las calles,
números, etc.
Actividades de
reconocimiento
de sistemas de
coordenadas y
de ubicación de
objetos en
dichos sistemas.
Mapa, plano.
Indicaciones,
direcciones,
plano
coordenado.
Lineamientos
Curriculares de
Matemáticas - Geometría
Activa.
Estándares Básicos de
Competencia:
Pensamiento Espacial y
Sistemas Geométricos.
1° - 3°: #3, #4, #9
y 4° - 5°: #4, #8
Matriz de Referencia de
Matemáticas 3°y 5°,
Componente Espacial
Métrico
DBA Matemáticas: #7 en
los grados 1°, 2°, 3°, 4° y
5°
ACCIÓN
DESCRIPCIÓN DE LA
ACTIVIDAD
CONCEPTUALIZ
ACIÓN
VARIACIÓN DE MATERIALES
LA ACTIVIDAD
Relacionar el
espacio con
una
representación
espacial
El profesor pide a los
estudiantes realizar una
maqueta del colegio,
utilizando materiales
reciclables.
Para esto los estudiantes
deben tener un
reconocimiento previo del
espacio a representar,
ubicar en él aspectos
relevantes de referencia,
luego elaborar la maqueta.
En este caso puntual, no se
requiere necesariamente
que los estudiantes
conozcan o manejen un
sistema de escala.
Se requiere la
interpretación de
una
representación
gráfica de la
realidad (modelo),
esta puede ser
plana o
tridimensional y su
relación con la
realidad del sujeto
Jugar al tesoro
escondido
(piratas), una
gincana o
carrera de
observaciones,
en ambos casos
se les da mapas
con
orientaciones
para encontrar
en un espacio
determinado un
tesoro o unas
pistas que
lleven al tesoro.
Materiales
reciclables,
imágenes,
mapas, etc.
REFERENTES
Lineamientos Curriculares
de Matemáticas Geometría Activa.
Estándares Básicos de
Competencia:
Pensamiento Espacial y
Sistemas Geométricos.
1° - 3°: #3, #4, #9
y 4° - 5°: #4, #8
Matriz de Referencia de
Matemáticas 3°y 5°,
Componente Espacial
Métrico
DBA Matemáticas: #7 en
los grados 1°, 2°, 3°, 4° y
5°
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Blanco, B. y. (01 de Octubre de 2005). funes.uniandes.edu.co. Obtenido de
http://funes.uniandes.edu.co/3436/1/Barrantes2005An%C3%A1lisisNumeros62.pdf
Cantoral, M. y. (2005). www.researchgate.net. Obtenido de
https://www.researchgate.net/profile/Ricardo_Cantoral/publication/261363726_Funcion
es_Visualizacion_y_pensamiento_matematico/links/02e7e53934565562d6000000/Funcio
nes-Visualizacion-y-pensamiento-matematico.pdf
Gonzato, G. y. (2010). www.ugr.es. Obtenido de
http://www.ugr.es/~jgodino/eos/visualizacion_SAEM%20_Thales_2010.
MEN. (08 de Febrero de 1994). www.icbf.gov.co. Obtenido de
http://www.icbf.gov.co/cargues/avance/docs/ley_0115_1994.htm
MOE. (Marzo de 2006). www.moe.gov.sg. Obtenido de https://www.moe.gov.sg/docs/defaultsource/document/education/syllabuses/sciences/files/2007-mathematics-(primary)syllabus.pdf
Santiago, M. y. (2012). textone.com.co. Obtenido de http://textone.com.co/DG1.php
UNIVERSIDAD INTERNACIONAL DE VALENCIA (VIU). (09 de Marzo de 2015). universidadviu.es.
Obtenido de https://www.universidadviu.es/el-aprendizaje-por-descubrimiento-debruner/
Yurkas, B. (Febrero de 2010). es.scribd.com/. Obtenido de
https://es.scribd.com/document/340468400/Dibujo-Geometrico-y-Proyeccion-BronislaoYurksas
MEN. (07 de Junio de 1998). mineducacion.gov.co. Obtenido de
https://www.mineducacion.gov.co/1759/articles-339975_matematicas.pdf
MEN. (Febrero de 2001). aprende.colombiaaprende.edu.co. Obtenido de
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/ckfinder/userfiles/files/AE2M%20Presentacion%
20Protocolo%20planeacion_V_Final_Febrero%2001.pdf
MEN. (01 de Mayo de 2006). mineducacion.gov.co. Obtenido de
http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-340021_recurso_1.pdf
Instrumento de Trazados
MEN. (2015). aprende.colombiaaprende.edu.co. Obtenido de
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/ckfinder/userfiles/files/articles352712_matriz_m.pdf
MEN. (2015). www.colombiaaprende.edu.co. Obtenido de
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/micrositios/1752/articles352711_orientaciones.pdf
MEN. (2016). aprende.colombiaaprende.edu.co. Obtenido de
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/DBA_Matem%C3%
A1ticas.pdf
Aplicación
de la GEOMETRÍA
ACTIVA en el Aula
Guia de Actividades
Construcciónes y Trazados
Visualización Espacial
Luis Alfredo Grimaldy Suárez
AÑO 2017
Aplicación
de la GEOMETRIA
ACTIVA en el Aula
Instrumentos de Trazados
en la Geometría
Aplicación
de la GEOMETRIA
ACTIVA en el Aula
Guia de Actividades para
Geometría
G
Aplicación
de la GEOMETRIA
ACTIVA en el Aula
Construcciónes y Trazados de
Problemas Geometricos
Aplicación
de la GEOMETRIA
ACTIVA en el Aula
U IA
Visualización y Orientación
Espacial