ESTIMACION DE PARAMETRO DE INTERVALO RESUELTO

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
ESTIMACION DE PARAMETROS. INTERVALOS
PERIODO ACADEMICO: II-2010
3.
NOMBRE:
SEMESTRE:
No:
FECHA:
1. MEDIA MUESTRAL.
Recuerde que usted necesita conocer:
1.
2.
3.
4.
2.
𝜇 = Media poblacional.
𝜎 = Desviación estándar de la población.
𝑛 = Numero de elementos de la muestra.
𝜎
𝜎𝑥̅ = 𝑛 Desviación estándar de la media muestral.
√
5.
𝑒 = Error estándar = 𝑍 √𝜎𝑛
6.
𝑍 =
𝑋̅𝑖 −𝜇
= Fórmula para calcular las unidades
𝜎𝑋
̅
estandarizadas.
Un auditor toma una muestra aleatoria de tamaño 36, de una
población de 1.000 cuentas por cobrar de una empresa muy
importante en los Estados Unidos. El valor promedio de las
cuentas por cobrar de la población es de 2.600 us., con una
desviación estándar poblacional de 450 us.
N = 1.000
n = 36
𝜇 = 2.600US
𝜎 = 450us
Determinamos la desviación estándar de la muestra:
𝜎𝑥̅ =
Las colas
100%−95%
2
𝜎
=
450
= 75
√𝑛 √36
= 2.5%, representa una área A = 0.025
4.
DISTRIBUCION DE LA PROPORCIONAL.
Se debe conocer:
x
1.
p = n Proporción muestral.
2.
σP = √
3.
n = Elementos de la muestra.
4.
e = 𝑧√
5.
z
P(1−P)
n
Error de la proporción.
P(1−P)
n
𝑝𝑖 −𝜇
=
Margen de error.
= Fórmula para calcular las unidades
𝜎𝑝
estandarizadas.
Un administrador de la Universidad recopila datos sobre una
muestra aleatoria nacional de 230 estudiantes inscritos en el
programa de postgrado en Administración de Empresas y
encuentra que 54 de ellos tienen Licenciatura en Administración
o contaduría.
N = 1.000
n = 230
𝜇 = 2.600US
𝜎 = 450us
Halamos la proporción de la muestra.
𝑥
54
𝑝= =
= 0.2348
𝑛
230
Determinamos la desviación estándar de la muestra:
𝜎𝑝 = √
Las colas
𝑝(1 − 𝑝)
0.2348(1 − 0.2348)
=√
= 0.0279
𝑛
230
100%−90%
2
= 5%, representa una área A = 0.05
Si el A = 0.05, tenemos que las unidades estandarizadas Z son:
𝑍1 = −1.64
y
𝑍2 = +1.64
Si el A = 0.025, tenemos que las unidades estandarizadas Z son:
𝑍1 = −1.96
y
𝑍2 = +1.96
0.95
0.05
0.05
-1.64
+1.64
𝑍1
1.
𝑍1
1.
2.
3.
𝑝𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑋̅
𝑋̅𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑋̅
Si 𝑍1 = −1.96 entonces
𝑋̅1 = 2600 − (1.96)(75)
𝑋̅1 = 2600 − 147
𝑋̅1 = 2453
̅
Si 𝑍1 = 1.96 entonces
𝑋2 = 2600 + (1.96)(75)
𝑋̅2 = 2600 + 147
𝑋̅2 = 2647
2.453 ≤ 𝜇 ≤ 2.647
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que el promedio de las cuentas por cobrar de la
empresa están entre los valores [2.453; 2.647].
Encuentre el intervalo de las cuentas por cobrar totales de
la empresa.
𝑇1 = 𝑋̅1 𝑁 = (2.453)(1.000) = 2.453.000 𝑢𝑠
𝑇2 = 𝑋̅2 𝑁 = (2.647)(1.000) = 2.647.000 𝑢𝑠
Podemos afirmar que en la empresa el promedio de las
cuentas por cobrar totales de la empresa se encuentran
entre los valores: [2.453.000; 2.647.000].
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 155. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑍𝜎 2
𝑒
𝑍𝜎 2
𝑒
Si 𝑍1 = −1.64 entonces
Si 𝑍1 = +1.64 entonces
155
2.
3.
4.
5.
𝑍 2 𝑝(1−𝑝)
𝑒2
=
(1.64)2 0.2348(1−0.2348)
(0.06)2
= 134.23 n= 135
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 90%, es
de 0.03. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑛=
) = 46.03 entonces n = 47
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
1. Si el margen de error aumenta, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
disminuye.
2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
aumenta.
𝑝̅2 = 0.2348 + (1.64)(0.0279)
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 90% podemos
asegurar que de los estudiantes de la universidad en el
postgrado de Administración, tienen licenciatura en
contaduría o administración un porcentaje que esta entre el
18.91% y 28.05%.
Halle el intervalo de los estudiantes.
𝑇1 = 𝑝1 𝑁 = (0.1891)(230) = 43.49 Aproxima a 44
𝑇2 = 𝑋̅2 𝑁 = (0.2805)(230) = 64.60 Aproxima a 65
Podemos afirmar que en la Universidad en el postgrado de
administración los estudiantes que tienen licenciatura en
contaduría o administración está entre los valores: [44; 65].
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 90%, es
de 0.06. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑛=
) = 32.38 entonces n = 33
1.96𝑥450 2
130
𝑝1 = 0.2348 − 1.64(0.0279)
𝑝̅1 = 0.2348 − 0.0457
𝑝1 = 0.1891
𝑝̅2 = 0.2348 + 0.0457
𝑝2 = 0.2805
0.1891 ≤ 𝜇 ≤ 0.2805
1.96𝑥450 2
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 130. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑛= ( ) = (
5.
𝑍2
𝑍2
Estime la proporción de esos estudiantes a nivel nacional,
que tienen licenciatura en administración o contaduría,
utilizando un intervalo de confianza del 90%.
Hallar el intervalo de confianza del 95%.
𝑛= ( ) = (
4.
𝜇
𝜇
𝑍 2 𝑝(1−𝑝)
𝑒2
=
(1.64)2 0.2348(1−0.2348)
(0.03)2
= 536.93 n= 537
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
1. Si el margen de error aumenta, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
disminuye.
2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
aumenta.
5.
DISTRIBUCION t STUDENT.
Datos que se deben tener a mano como conocidos:
1. n − 1 = Grados de Libertad de la muestra.
2.
3.
4.
5.
6.
6.
n = Numero de elementos de la muestra.
μ = Media poblacional.
s = Desviación estándar poblacional.
s
σ = Desviación estándar de la muestra.
√n
𝑡𝑛−1
𝑋̅−𝜇
=
Fórmula para calcular las unidades
𝑠
√𝑛
estandarizadas t para la distribución.
La vida útil promedio de una muestra aleatoria de 10 bombillos
metal High light (Luz para escenarios deportivos) es 4.000 horas,
con una desviación estándar de muestral de 200 horas. Se
supone que la vida útil de los bombillos tiene una distribución
aproximadamente normal. Se estima la vida útil promedio de la
población de bombillos de la cual se tomo la muestra, utilizando
un intervalo de confianza del 95%.
n = 10
𝑋̅ = 4000
n-1 = 10-1 = 9 Grados de libertad.
Las colas
100%−95%
2
= 2.5%, representa una área A = 0.025.
Si el A = 0.025, tenemos que las unidades estandarizadas Z son:
𝑡1 = −2.262
y
𝑍2 = +2.262
𝑡1=-2.262
𝜇
𝑡2 = 2.262
Determinamos la desviación estándar de la muestra:
𝜎𝑥̅ =
1.
2.
200
√10
= 63.24
Si 𝑡1 = −2.262 entonces 𝑋̅1 = 4000 − (2.262)(63.24)
𝑋̅1 = 4000 − 143.0488
𝑋̅1 = 3856.9512
Si 𝑡2 = +2.262 entonces 𝑋̅2 = 4000 + (2.262)(63.24)
𝑋̅2 = 4000 + 143.0488
𝑋̅2 = 4143.0488
3856.95 ≤ 𝜇 ≤ 4143.05
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que el promedio de la vida útil de los bombillos de
la población está entre los valores [3856.95; 4143.05].
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 155. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑒
2.262𝑥200 2
155
) = 8.51 entonces n = 9
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 130. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑍𝜎 2
𝑛= ( ) = (
𝑒
7.
=
𝑋̅𝑖 = 𝜇 ± 𝑡𝑖 𝜎𝑋̅
𝑍𝜎 2
4.
√𝑛
Hallar el intervalo de confianza.
𝑛= ( ) = (
3.
𝑠
2.262𝑥200 2
130
) = 12.11 entonces n = 13
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
1. Si el margen de error aumenta, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
disminuye.
2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
aumenta.
Calcular un intervalo de confianza al nivel de significancia del α
= 0.01 para el peso exacto mediante los resultados obtenidos
con 10 básculas:
7.20, 7.01, 7.36, 6.91, 7.22, 7.03, 7.11, 7.12, 7.03, 7.05
Suponiendo que las medidas del peso de las básculas sigue una
distribución normal con media el peso exacto, estamos
interesados en encontrar un intervalo de confianza que
contenga a la media de esta distribución, que a un nivel α = 0.01
y desviación típica desconocida, está determinado por:
n = 10
cada cola 0.005 Grados de libertad : n-1 = 9
S
S
x̅ − t n−1
≤ μ ≤ x̅ + t n−1
√n
√n
La media muestral es:
10
̅ = ∑i=1 Xi
X
10
7.20+7.01+7.36+6.91+7.22+7.03+7.11+7.12+7.03+7.05
10
71.04
=
= 7.1040
10
=
La desviación estándar de la muestra:
̅ 2
∑10
i=1(Xi −X)
σ= √
10
= 0.1220
Para A = 0.01 t = -3.250 y t = 3.250.
El intervalo será:
̅
Xi = μ ± t i σX̅
Si t1 = −3.250 entonces ̅
X1 = 7.104 − (3.250)(0.1220)
̅1 = 7.1040 − 0.3965
X
̅1 = 6.7075
X
Si t 2 = +3.250 entonces ̅
X2 = 7.1040 + (3.250)(0.1220)
̅ 2 = 7.1040 + 0.3965
X
̅ 2 = 7.5005
X
6.7075
≤ μ ≤ 7.5005
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 99% podemos asegurar que
el promedio de la medidas del peso con las diez basculas de la
población está entre los valores [6.7075 ; 7.5005].
Lic. Simeón Cedano Rojas
ESTIMACION DE PARAMETROS E INTERVALOS 2.DOCX