FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES. AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
ESTIMACION DE PARAMETROS. INTERVALOS
PERIODO ACADEMICO: II-2010
NOMBRE:
SEMESTRE:
No:
FECHA:
1. MEDIA MUESTRAL.
Recuerde que usted necesita conocer:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2.
𝜇 = Media poblacional.
𝜎 = Desviación estándar de la población.
𝑛 = Numero de elementos de la muestra.
𝜎
𝜎𝑥̅ = 𝑛 Desviación estándar de la media muestral.
3.
√
𝑒 = Error estándar = 𝑍 √𝜎𝑛
𝑍 =
𝑋̅𝑖 −𝜇
= Fórmula para calcular las unidades
𝜎𝑋
̅
estandarizadas.
El contador toma una muestra aleatoria de 60 facturas de venta
de una empresa de juguetes en el aeropuerto Alfonso Bonilla
Aragón, en el mes de Septiembre, de una población de facturas
de 420 y encuentra que el promedio de ventas según la totalidad
de facturas es de $14.630 y una desviación estándar de $2.400.
Determínese:
N = 420
n = 60
𝜇 = $14.630
𝜎 = $2.400
Hallamos la desviación estándar de la muestra.
𝜎𝑥̅ =
𝜎
=
2.400
= 309.83
√60
√𝑛
100%−95%
Las colas:
2
=
5%
2
= 2.5%
A=
2.5%
100
= 0.025
4.
n
e
1
60
607,27
2
66
580
3
171
360
CONCLUSIÓN:
1. Si se disminuye el margen de error en una estadística, se
debe aumentar el número de elementos de la muestra,
para su análisis.
DISTRIBUCION DE LA PROPORCIONAL.
Se debe conocer:
x
1.
p = n Proporción muestral.
2.
σP = √
3.
n = Elementos de la muestra.
4.
e = 𝑧√
5.
z
P(1−P)
n
P(1−P)
n
𝑝𝑖 −𝜇
=
𝜎𝑝
Error de la proporción.
Margen de error.
= Fórmula para calcular las unidades
estandarizadas.
Una mercaderista de una prestigiosa empresa de fabricación de
de maquinas de afeitar para caballeros entrevista a 260
trabajadores universitarios, de un total de 1200,
para
determinar la satisfacción y uso de la maquina y encuentra que
109 de estos responden satisfactoriamente, dando explicaciones
del buen funcionamiento y precio de la maquina y el resto
prefiere usar otro tipo de máquina.
N = 1200
n = 260
x = 109
Calculamos la proporción:
𝑝=
𝑥
𝑛
=
109
260
= 0.42
Hallamos la desviación estándar de la proporción.
𝑍1
𝜇
𝜎𝑝 = √
𝑍2
𝑝(1−𝑝)
𝑛
Las colas:
100%−96%
2
1. El intervalo de confianza del 95%.
Para A = 0.025, entonces 𝑍1 = −1.96 y 𝑍2 = 1.96
Si 𝑍1 = −1.96, entonces 𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ ± 𝑍1 𝜎𝑥̅
𝑋̅1 = 14.630 − (1.96)(309.83)
𝑋̅1 = 14.630 − 607.27
𝑋̅1 = 14.022.73
Si 𝑍2 = 1.96, entonces 𝑋̅2 = 14.630 + 607.27
𝑋̅1 = 15.237.27
14.022.73 ≤ 𝜇 ≤ 15.237.27
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que las ventas promedio diarias de la empresa,
estarán entre [14.022.73; 15.237.27].
2.
Encuentre el intervalo de la totalidad de las facturas de la
empresa en dicho mes.
𝑇̅1 = 𝑋̅1 𝑁 = (14.022.73)(420) = 5.889.546.6
𝑇̅2 = 𝑋̅2 𝑁 = (15.237.27)(420) = 6.399.653.4
CONCLUSIÓN: El promedio de ventas totales durante el mes en
la empresa será de: [5.889.546.6; 6.399.653.4 ].
3. Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 580. Determínese el número de elementos necesarios
para analizar en la muestra.
e = 580
1.96𝑥2.400 2
𝑍𝜎
𝑛 = ( 𝑒 )2 = (
580
) = 65.77 ,
aproximamos
n = 66.
4. Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 360. Determínese el número de elementos de la
muestra.
e = 360
𝑍𝜎
1.96𝑥2.400 2
𝑛 = ( 𝑒 )2 = (
360
) = 170.73,
aproximamos
n = 171.
5. Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
Si organizamos una tabla con los datos obtenidos en cada uno de
los ejercicios 3 y 4, obtenemos:
= √
0.42(1−0.42)
260
=
4%
2
= 0.0306
= 2%
0.02
A=
2%
100
= 0.02
0.02
𝑍1 = −2.05
𝜇
𝑍1 = −2.05
1.
Estime la proporción de esos universitarios que utilizan la
máquina de afeitar, utilizando un intervalo de confianza del
96%.
Para A = 0.02, entonces 𝑍1 = −2.05 y 𝑍2 = 2.05
Si 𝑍1 = −1.96, entonces 𝑝̅𝑖 = 𝑋̅ ± 𝑍1 𝜎𝑝
𝑝̅1 = 0.42 − (2.05)(0.0306)
𝑝̅1 = 0.42 − 0.06237
𝑝̅1 = 0.35763
Si 𝑍2 = 1.96, entonces 𝑝̅2 = 0.42 + (2.05)(0.0306)
𝑝̅1 = 0.42 + 0.06237 = 0.482
0.358 ≤ 𝜇 ≤ 0.482
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que las ventas promedio diarias de la empresa,
estarán entre [0.358; 0.482]
2.
Halle el intervalo de los trabajadores universitarios que
pueden utilizar la máquina de afeitar de la empresa.
𝑇̅1 = 𝑝̅1 𝑁 = (0.358)(1200) = 429.6
𝑇̅2 = 𝑝̅2 𝑁 = (0.482)(1200) = 578.4
CONCLUSIÓN: El promedio total de estudiantes que puede
utilizar la máquina de afeitar será entre: [430; 579 ], utilizando
una confianza del 96%.
3. Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 96%, es
de 0.095. Determínese el número de elementos de la
muestra, que se necesitan analizar.
e = 0.095
𝑛=
𝑍2 𝑝(1−𝑝)
𝑒2
=
(2.05)2 0.42(1−0.42)
(0.095)2
= 113.43 n = 114
4.
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 96%, es
de 0.056. Determínese el número de elementos de la
muestra.
e = 0.056
3.
𝑛=
𝑛 = ( 𝑒 )2 = (
𝑍2 𝑝(1−𝑝)
𝑒2
(2.05)2 0.42(1−0.42)
(0.056)2
=
= 326.44 n = 327
5.
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
Si organizamos una tabla con los datos obtenidos en cada uno de
los ejercicios 3 y 4, obtenemos:
5.
e
1
260
0.06237
2
114
0.095
3
327
0.056
CONCLUSIÓN:
Si se disminuye el margen de error en una estadística, se debe
aumentar el número de elementos de la muestra, para su
análisis.
Si se aumenta el margen de error se disminuye los elementos de
la muestra.
DISTRIBUCION t STUDENT.
Datos que se deben tener a mano como conocidos:
5.
n − 1 = Grados de Libertad de la muestra.
n = Numero de elementos de la muestra.
μ = Media poblacional.
s = Desviación estándar poblacional.
s
σ = Desviación estándar de la muestra.
6.
𝑡𝑛−1
1.
2.
3.
4.
6.
n
√n
=
𝑋̅−𝜇
𝑠
√𝑛
Fórmula para calcular las unidades
estandarizadas t para la distribución.
La vida útil promedio de una muestra aleatoria de 10 bombillos
metal High light (Luz para escenarios deportivos) es 4.000 horas,
con una desviación estándar de muestral de 200 horas. Se
supone que la vida útil de los bombillos tiene una distribución
aproximadamente normal. Se estima la vida útil promedio de la
población de bombillos de la cual se tomo la muestra, utilizando
un intervalo de confianza del 95%.
n = 20
𝜇 = 4.0000 hr
𝑠 = 200 hr
Hallamos la desviación estándar de la muestra.
𝜎𝑥̅ =
𝑠
=
200
= 63.26
√10
√𝑛
100%−95%
Las colas:
2
=
5%
2
= 2.5%
A=
2.5%
100
= 0.025
Grados de libertad: n – 1 = 10 – 1 = 9
𝑡1
𝜇
𝑡2
1. Hallar el intervalo de confianza.
Para A = 0.025, entonces 𝑡1 = −2.262 y 𝑍2 = 2.262
Si 𝑡1 = −2.262 entonces 𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ ± 𝑡1 𝜎𝑥̅
𝑋̅1 = 4.000 − (2.262)(63.26)
𝑋̅1 = 4.000 − 143.09
𝑋̅1 = 3856.91
Si 𝑍2 = 1.96, entonces 𝑋̅2 = 4.000 + 143.09
𝑋̅1 = 4.153.09
3.856.91 ≤ 𝜇 ≤ 4.153.09
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que las promedios de vida útil de los bombillos
estará entre [3.856.91; 4.153.09].
2.
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 155. Determínese el número de elementos de la
muestra.
e = 155
𝑡𝑠
2.262𝑥200 2
𝑛 = ( 𝑒 )2 = (
155
) = 65.77,
aproximamos n = 66.
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 130. Determínese el número de elementos de la
muestra.
e = 130
𝑡𝑠
4.
2.262𝑥200 2
130
) = 2.91,
aproximamos n = 3.
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
5.
n
e
1
10
143.09
2
3
155
3
13
130
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que las promedios de vida útil de los bombillos
estará entre [3.856.91; 4.153.09].
Lic. Simeón Cedano Rojas
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