TEORIA DE CONJUNTOS
John Venn nació en 1834 en Huil, Inglaterra. Su madre, Martha Sykes, provenía
de Swanland y murió mientras John era aún muy pequeño. Su padre era el
reverendo Henry Venn, quien en la época en que nació John era el rector de la
parroquia de Drypool, cerca de Hull. Henry Venn venía de una familia distinguida.
El área de mayor interés para Venn era la lógica y destacó por sus investigaciones
en lógica inductiva y sus diagramas fueron utilizados para mostrar visualmente las
operaciones más elementales de la teoría de conjuntos.
Publicó tres textos sobre el tema: Lógica del azar , que introdujo la teoría de la
frecuencia de la probabilidad, en 1866; Lógica simbólica, que presentaba los
diagramas de Venn, en 1881; y The Los principios de la Lógica Empírica en 1889.
En 1883, Venn fue elegido miembro de la Royal Society. En 1897, escribió una
historia de su vida universitaria.
Falleció en 1923 a la edad de 88 años en Cambridge y fue sepultado en el
cementerio de la Iglesia Trumpington.
DEFINICION
Un conjunto es una lista, agrupación o colección bien definida de objetos, que
reciben el nombre de elementos.
NOTACION
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas: A; B; C; mientras que los
elementos del conjunto se denotan con letras minúsculas: a; b; c; ..., encerrados
entre signos de colección.
Ejemplos
A = {a; b; c}
B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Determinar un conjunto, consiste en indicar con precisión todos los elementos de
dicho conjunto. Un conjunto se puede determinar por extensión o por
comprensión.
Por extensión
Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombran explícitamente
a los elementos de dicho conjunto.
Ejemplo:
• A = {a; e: i; o; u} • B = { - 2 ; - 1 ; 0, 1; 2; 3}
Por comprensión
Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando se enuncia las
propiedades comunes que caracterizan a los elementos de dicho conjunto.
Para escribir un conjunto por comprensión se elige un elemento arbitrario x y se
señala que cumple la propiedad P(x). Finalmente, se encierra toda la expresión
entre llaves:
A = {x | x P(x)}
Que se lee “A es el conjunto de todos los elementos x tales que los x cumplen la
propiedad P(x)” ( | se lee “tal que”). Ejemplo:
• A = {x|x es una vocal}
• B = {x|x es entero, comprendido entre 0 y 4}
CARDINALIDAD Y TIPOS DE CONJUNTOS
Hay conjuntos que tienen un número finito de elementos; se llaman conjuntos
finitos.
Un conjunto que no tiene un número finito de elementos se llama un conjunto
infinito.
Conjunto finito
El conjunto A ={ l, 2, 3, 4, 5, 6} es un conjunto finito, pues tiene un número finito de
elementos, seis.
Conjunto infinito
El conjunto A = { x|x es un número entero positivo} es un conjunto infinito, ya que
dado cualquier número entero positivo podemos obtener el próximo añadiendo la
unidad. Este proceso puede repetirse un número arbitrariamente grande de veces;
el proceso nunca termina, por tanto, el número de elementos no es finito.
El concepto de número de elementos de un conjunto finito es de mucha
importancia en las aplicaciones de la teoría de conjuntos.
La cardinalidad de un conjunto finito A es el número entero que representa el
número de elementos del conjunto A. Como hemos dicho, para cualquier conjunto
finito A, su cardinalidad se representa con Card (A) o | A |.
La cardinalidad del conjunto A = { h, i, j, k, l, n } es 6, ya que A tiene seis
elementos; por tanto, Card (A) = 6.
B = { x | x es un número primo y par } la cardinalidad es 1, ya que hay un solo
número primo que es par, el 2; por ende, Card (B) = 1.
C = {a, b, a, a, b} la cardinalidad es 2, ya que C sólo tiene dos elementos distintos;
así, Card (C) = 2.
El conjunto vacio: es el conjunto que carece de elementos y se denota por { } o
ɸ, ejemplo:
A = { x | x es un profesor de matemática con más de trescientos años de edad}
Conjunto unitario
Un conjunto A es un conjunto unitario si tiene un solo elemento.
A = {x | x es la capital de Perú}
Conjunto universal
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los
conjuntos pertenecen usualmente a un gran conjunto fijo llamado conjunto
universal. Éste se denota por U.
Si trabajamos con conjuntos de comunidades humanas, entonces en Colombia un
buen conjunto universal es el de los colombianos que viven en el país.
Subconjunto
Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B,
entonces se dice que A es un subconjunto de B. Se dice también que A está
contenido en B o que B contiene a A. La relación de subconjunto viene dada por:
ACB
Si A = B, entonces A C B y B C A son verdaderos.
Si A es un subconjunto de B, pero A y B no son iguales, entonces decimos que A
es un subconjunto propio de B.
Si A no es un subconjunto de B, es decir, si al menos un elemento de A no
pertenece a B, escribimos A ⊄ B.
Ejemplo:
Dado el conjunto: A = {3; 4; 5}
Determinar:
a) Subconjuntos de A
b) Subconjuntos propios de A
Resolución:
a) Hallamos los subconjuntos de A:
ɸ; {3}; {4}: {5}; {3; 4}; {3; 5}; {4; 5}; {3; 4; 5}
Son 8 subconjuntos. (8 = 23)
b) Hallamos los subconjuntos propios de A:
{ɸ};{3}; {4}; {5}: {3 ; 4}; {3 ; 5}; {4 ; 5}
Son 7 subconjuntos propios. (23— 1)
En general:
Si el conjunto A tiene “n” elementos, entonces tendrá 2 n subconjuntos y 2n – 1
subconjuntos propios.
Igualdad de conjuntos
Se dice que dos conjuntos son iguales, si éstos tienen los mismos elementos.
Notación matemática: (A = B) » ( A c B ) y ( B c A )
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {a; e; i; o; u}; B = {x/x es una vocal}
Los conjuntos A y B tienen los mismos elementos. A = B
Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {x/x es un número par}; B = {x/x es un número impar}
Luego, los conjuntos A y B no tienen los mismos elementos, por lo tanto, son
disjuntos.
Conjunto potencia
El conjunto “potencia de A”, denotado por P(A) o Pot(A), es el conjunto formado
por todos los subconjuntos de A. Ejemplo:
Dado el conjunto A = {a; b; c}
Los subconjuntos de A:
ɸ; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}
Luego, el conjunto potencia de A, será:
P(A) = {{ɸ }: {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}}
Del ejemplo anterior, podemos deducir:
i) b es elemento de A: b e A
ii) {b} está incluido en A: {b} c A
iii) {b} es elemento de Pot(A): {b} e P(A)
iv) {{b}} está incluido en la potencia de A: { { b }} c P(A)
Operaciones con conjuntos
Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los
elementos comunes a los dos conjuntos. La intersección de A y B se denota por
A ∩ B, y en lenguaje lógico el conjunto puede escribirse como:
A ∩ B = {x | x Є A ∧ x Є B]
En los diagramas de Venn, la intersección de A y B se representa por la región
sombreada
A∩B
Dados los conjuntos A = {1 , 2, 3, 4, 5}, B ={2, 3, 5, 7, 9, 11} determine el conjunto
intersección de A y B.
Solución: Los elementos que están o pertenecen tanto a A como a B son 2, 3, 5;
por tanto A ∩ B = {2, 3, 5}
A∩B
En la figura se muestra la intercesión de A y B, nótese que los elementos comunes
están en la parte sombreada del diagrama
Dados los conjuntos A ={ b, c, d, e }, B = { c, e, h, f, k } y C = {a, b, e, h}, determine
A∩B∩C
Solución Primero se busca A ∩ B:
D = A ∩ B = {c, e}
Luego se calcula A ∩ B ∩ C = D ∩ C = { e }. Por tanto, A ∩ B ∩ C = { e }
Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B consta de todos los elementos que pertenecen a
A o a B. La unión de A y B se denota por A U B. En lenguaje lógico podemos
escribir:
AUB={x|xЄAoxЄB}
Note que si extraemos un elemento de A U B, éste puede estar sólo en A, o sólo
en B, o ser un elemento común a A y a B.
La representación gráfica de A x B se expresa por una de las situaciones descritas
en las siguientes figuras en las que la región sombreada en cada caso
corresponde al conjunto A U B.
En caso de que todo los elementos del conjunto A pertenezcan al conjunto B
En el caso que no hallan elementos en común entre el conjunto A y B
En caso que existan elementos comunes entre los dos conjuntos
Dados los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {b, c, f, g, h}, determine el conjunto A
U B.
Solución:
Puesto que en A U B deben estar representados tanto los elementos de A como
los de B, tenemos que A U B es la unificación de A con B, es decir, ponemos
juntos los elementos de A con los de B:
A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
La situación gráfica del ejemplo anterior es la siguiente:
Los elementos comunes entre A y B solo se escriben una vez en el conjunto A U B
En muchas circunstancias necesitamos obtener la unión de más de dos conjuntos;
pero la unión es una operación entre dos conjuntos, de ahí que necesitemos
recurrir a la propiedad asociativa para poder obtener un conjunto A U B U C,
cuando A, B y C son conjuntos dados.
Para calcular A U B U C, primero obtenemos A U B y luego unimos este resultado
con el conjunto C. Si
D = A U B entonces A U B U C = (A UB) U C = D U C
Dados los conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} y C = {2, 6, 8}, determine A
U B U C.
Solución
Primero calculamos D = A U B= {0, 1, 2, 3, 5, 7} y luego calculamos D U C para
obtener A U B U C
A U B U C = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
En la figura se muestra la representación gráfica correspondiente.
Diferencia de conjuntos
La diferencia entre dos conjuntos A y B o el complemento relativo de B respecto a
A es el conjunto que consiste en todos los elementos que pertenecen a A pero no
a B. La diferencia entre A y B se denota por A - B. En lenguaje de la lógica A - B
se representa como:
A - B = {x | x
A ∧ x ∉ B}
El complemento de un conjunto A, que se denota por A’ o por Ac, es el conjunto
U - A, que puede describirse como:
A’ = U - A = {x |x
U ∧ (x ∉A)}
Representaciones gráficas de la diferencia de conjuntos y la de tomar
complementos
Diferencia de conjuntos
Complemento de conjuntos
Dados A = {a, b, c, d, e, f} y B = {c, d, e, f, g, h}, determine el conjunto A - B.
Solución:
El conjunto A - B está formado por todos los elementos de A que no lo son de
B, así que los elementos de A - B son a, b. Por tanto: A - B = {a, b}
Dados el conjunto universal U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y el conjunto A = {3, 8,
9}, determine A’.
Solución:
El complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos de U que no
son elementos de A:
A’={0, 1, 2, 4, 5, 6, 7}
