Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez Regla Comercial y Descuento compuesto. Regla comercial: consiste en calcular el monto que se acumula durante los periodos de capitalización completos, utilizando la fórmula de interés compuesto, para luego sumarlo con los intereses acumulados durante el periodo incompleto, pero considerando interés simple. Cabe señalar que se procede de manera semejante cuando se trata de evaluar el capital al iniciar el plazo. Ejemplo: Utilizando la regla comercial, determinar cuánto se acumula al 23 de octubre, si el 10 de marzo del año anterior se depositan $85,000 en una cuenta que bonifica el 17.7% de interés anual capitalizable por cuatrimestres. Solución: del 10 de marzo al 10 de julio del siguiente año se comprenden 4 cuatrimestres, y de esa fecha al 23 de octubre se tienen 105 días naturales. El monto acumulado durante el primer lapso, puesto que Datos: C = $85,000 i = 0.177 capitalizable por cuatrimestres p = 3, los tres cuatrimestres que tiene el año. tp = 4, el número de cuatrimestres completos. Fórmula: M = C (1 + i/p)tp M1 = 85,000(1 + 0.177 / 3)4 M1 = 85,000(1.257719633) M1 = $106,906.17 El valor futuro de este monto 105 días después, es decir el 23 de octubre, considerando interés simple es: M = C(1 + ti) M = 106,906.17 (1 + 105(0.177/360)) M = 106,906.17(1.051625) M = $ 112,425.201 Solo para efectos de comprobación, note usted que el monto se acumula con intereses compuestos desde el 10 de marzo, fecha de la inversión, hasta el 23 de octubre del año siguiente con un plazo fraccionario y considerando que el cuatrimestre tiene 121 días, es tp = 4 + (105/121) tp = 4.867768595 M = 85,000(1.059)4.867768595 M = 85,000(1.321867037) M = $112,358.70 53 Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez Diagramas de tiempo, fecha focal ecuaciones de valor. En algunas ocasiones es conveniente para un deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro conjunto. Para efectuar esta operación, tanto el deudor como el acreedor deben estar de acuerdo con la tasa de interés que ha de utilizarse en la transacción y en la fecha en que se llevará a cabo (a menudo llamada fecha focal). Ejemplo: En 13 fecha, B debe $1000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses, contratado originalmente a 1 ½ años a la tasa de 4% y debe, además. $2,500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. El desea pagar $2,000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento de 5% y considerando la fecha focal dentro de un año, determinar el pago único mencionado. (Frank, 1991, pág. 44) El valor al vencimiento del préstamo con intereses es: 1 0.04 3 2 1000 1 1060 Designemos con X el pago requerido. Coloquemos, por encima de una línea de tiempo, las obligaciones originales ($ 1,060 al final de 6 meses y $2500 al final de 9 meses) y por debajo el nuevo sistema de pagos ($2000 en la fecha y X al final de 12 meses). 6 meses $ 1,060 $2,000 6 meses Fecha focal $ 2,500 9 meses 3 meses 12 meses X Calculando la fecha focal e igualando la suma del valor resultante de las obligaciones originales con el de las nuevas obligaciones, tenemos: 2,000(1.05) + X = 1,060(1 + (0.05)(1/2)) + 2,500(1 + (0.05)(1/4)) 2,100 + X = 1,086.50 + 2,531.25 X = 1,086.50 + 2,531.25 – 2,100.00 X = $1,617.76 Las cantidades de dinero pueden estar antes o después de la fecha de referencia. Si la cantidad de dinero A está antes de la fecha, se suman los intereses hallando su valor futuro equivalente en la fecha focal; pero si está después, entonces se restan los intereses obteniendo su valor presente equivalente en la misma fecha focal. Ejemplo: Liquidación de créditos con pagos diferidos. El día de hoy se cumple 5 meses de que un comerciante en alimentos consiguió un crédito de $30,000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace tres meses le concedieron otro y firmó un documento con valor nominal de $54,000, valor que incluye intereses de los 6 meses del plazo. Hoy abona $60,000 a sus deudas, y acuerda con su acreedor liquidar el resto a los 4 meses, 54 Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez contados a partir de ahora. ¿Por qué cantidad es este pago, si se tienen cargos o intereses del 11.76% nominal mensual (anual, capitalizable mensualmente)? (Villalobos, 2007, págs. 197-198) Diagrama: $30,000 A1 M1 C1 V1 $54,000 A2 C2 $60,000 Como se aprecia en la figura habrá que trasladar las 3 cantidades hasta la fecha focal, la cual se fijó arbitrariamente el día de hoy. Los primeros $30,000 se ubican en 5 meses antes del día de hoy, cuando se hizo el primer préstamo. Para llevarlo hasta la fecha focal habrá que sumar los intereses de 5 meses y obtener así el equivalente en esa fecha. Puesto que los $54,000 ya incluyen los intereses y son el valor nominal del pagaré correspondiente, se ponen en la fecha de su vencimiento, es decir, 3 meses después del día de hoy. Para trasladarlo hasta la fecha focal, se le restan los intereses de los mismos 3 meses. Los dos valores constituyen el “debe” y el “haber” está formado por los dos pagos, los primeros $60,000 que no se desplazan porque están en la fecha focal y el pago “x” que se hace 4 meses después, por eso se le restan los intereses de 4 meses. Es evidente que los dos totales, las deudas D y P, son iguales porque ambos estarán en la misma fecha. Con esto se obtiene la ecuación de valores equivalentes P = D. El valor futuro (M) de los $30,000 con intereses de 5 meses es: Fórmula: M = C (1 + i/p)tp M1 = 30,000(1 + 0.1176/12)5 M1 = 30,000(1.0098)5 M1 = 30,000(1.049969858) M1 = $31,499.09574 Para el valor presente de los $54,000, se restan los intereses de 3 meses también con la fórmula del interés compuesto. 54,000 = C1(1.0098)3 54,000 = C1(1.029689061) C1 = 54,000 / 1.029689061 C1 = $52,443.01611 El equivalente a los dos préstamos en la fecha focal, redondeada es entonces: D = M1 + C1 D = 31,499.10 + 52,443.02 D = $83,942.12 55 Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez Observe que una interpretación real de este resultado es que con esto se liquidarían las deudas el día de hoy. También se necesita quitar intereses de 4 meses a lo que será el segundo abono “x”, al hacerlo quedará C2 de la siguiente igualdad: M = C (1 + i/p)tp Mx = C2(1.0098)4 C2 = Mx / 1.039780014 C2 = (0.961741894)Mx porque: a/b = a(1/b) Consecuentemente la suma de este resultado y el pago que se efectúa el día de hoy es igual al equivalente de los 2 pagos en la fecha focal; esto es: P = 60,000 + C2 P = 60,000 + (0.961741894)Mx Note que el coeficiente de Mx, 0.961741894 en esta ecuación, significa que el adelantar 4 meses el pago se reduce cerca de 4%, es decir, que si hoy se realiza dicho abono. La ecuación de valores equivalentes es entonces: 60,000 + (0.961741894)Mx = 83,942.12 Puesto que P = D De donde para despejar la incógnita, 60,000 pasa restando y 0.961741894 pasa dividiendo al lado derecho, es decir: Mx = (83,942.12 – 60,000) / 0.961741894 Mx = $24,894.52939 Solución alterna: Cuando el número de capitales y montos no es tan grande, como en este ejemplo, puede resolverse de manera más breve, encontrando el saldo al día de hoy, luego hacer el pago de $60,000 para llevarlo hasta 4 meses después. Dicho saldo es M1 + C1 – 60,000. Es decir: 83,942.12 – 60,000 = 23,942.11185 Y su valor futuro 4 meses después es M = M = X M = 23,942.11(1 + 0.1176/12)4 M = 23,942.11(1.039780014) M = $24,894.53 Sugerencia: Si bien es cierto que los resultados no dependen de la ubicación de la fecha focal, tratándose del interés compuesto, es recomendable fijar el día en el que se realiza un préstamo o un pago y más aún en la última de las fechas, la cual está a la derecha en el diagrama, para eludir exponentes negativos, ya que de todas las cantidades de dinero se hallaría su valor futuro. Ejemplo: Intereses en crédito con abonos diferidos. 56 Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez Hallar los intereses que se cargan en el ejemplo anterior. (Villalobos, 2007, págs. 199-200) A2 = fecha en la que se consiguió el segundo crédito V1 = fecha en la que vence el primer crédito Los intereses son la diferencia entre el total que se paga M y el valor presente C de los préstamos, para esto es necesario hallar el capital A1 del préstamo, cuyo valor futuro 6 meses después es $54,000. 54,000 = A2(1 + 0.1176/12)6 54,000 = A2(1.060259563) A2 = 54,000/1.060259563 A2 = $50,930.92474 Son 6 meses de plazo En consecuencia, el total recibido en el préstamo es: C = 50,930.92 + 30,000 C = 80,930.92 Y el total que se paga es: M = 60,000 + 24,894.53 M = 84,894.53 I=M–C I = $84,894.53 – 80,930.92 I = $3,963.61 Importante: El segundo pago, x, se realiza después de que vencen los dos documentos. En el desarrollo anterior se supuso que la tasa de interés dada 11.76% se mantiene fija, aún después del vencimiento. Sin embargo, en la práctica es posible que esto no se cumpla, es decir, que la tasa de interés cambie, por intereses monetarios, lo que obligará a plantear y resolver el ejercicio de forma diferente. Lo mismo se hace cuando los pagos se anticipan. Anualidades: Clasificación de las anualidades Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses, pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al final; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera: Según las fechas inicial y terminal del plazo Anualidad cierta: cuando se estipulan, es decir, se conocen las fechas extremas del plazo. En un crédito automotriz, por ejemplo, se establecen desde la compra el pago del enganche y el número de mensualidades en las que se liquidará el precio del automóvil. 57 Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez Anualidad eventual o contingente: cuando no se conoce al menos una de las fechas extremas del plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensión mensual que de parte del Instituto Mexicano del Seguro Social recibe un empleado jubilado, donde la pensión se suspende o cambia de magnitud al fallecer el empleado. Según los pagos Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura. Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada periodo. Un ejemplo es la amortización de un crédito, donde la primera mensualidad se hace al terminar el primer periodo. De acuerdo con la primera renta Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de esta categoría se presenta en la compra de un departamento, donde el enganche se paga en abonos comenzando el día de la compra. Ejemplo 1: Elementos de una anualidad Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6,500 por mes, entonces: El plazo es de un año, la renta es R = $6,500 y el intervalo de pago es un mes. Además, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirá un capital menor a los $78,000 que obtendría durante el año. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad. Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúa un interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancaria será mayor a los $78,000 y eso será el monto o valor futuro de la anualidad. Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, sino después. El ejemplo típico de este caso se relaciona con las ventas a crédito del tipo “compre ahora y pague después”, que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el primer abono dos o más periodos después de la compra. Según los intervalos de pago Anualidad simple: cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los intereses y coinciden las frecuencias de pagos y de conversión de intereses. Por ejemplo, los depósitos mensuales a una cuenta bancaria que reditúa el 11% de interés anual compuesto por meses. 58 Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez Anualidad general: cuando los periodos de capitalización de intereses son diferentes a los intervalos de pago. Una renta mensual con intereses capitalizables por trimestre es un ejemplo de esta clase de anualidades. Otro tipo de anualidades es la perpetuidad o anualidad perpetua, la cual se caracteriza porque los pagos se realizan por tiempo ilimitado. La beca mensual, determinada por los intereses que genera un capital donado por personas, o instituciones filantrópicas, es un claro ejemplo de estas anualidades. Todas las anualidades de este capítulo son ciertas, las primeras son simples e inmediatas; también se analizan las generales, tomando en cuenta que pueden convertirse en simples utilizando las tasas equivalentes que se estudiaron en el capítulo anterior. También es cierto que los problemas de anualidades se resuelven: a) Con tablas financieras con las que se obtiene el valor presente o el valor acumulado para tp rentas unitarias. para algunas tasas i/p y algunos plazos o número de rentas tp. b) Empleando fórmulas que para cada clase de anualidad existen y aquí se deducen, c) Utilizando solamente dos fórmulas, la del interés compuesto y la de la suma de los primeros términos de una progresión geométrica. d) Con programas y paquetería de software que hay en el mercado, que son de fácil acceso para el usuario y que fueron elaborados con fundamento en los conceptos y la teoría de las matemáticas financieras. Para decidir con acierto cómo plantear o a qué clase de anualidad corresponde o se ajusta una situación particular, se sugiere considerar lo siguiente antes de entrar en detalles del tema. En vez de la recta horizontal que hasta ahora hemos utilizado para los diagramas de tiempo, utilizaremos rectángulos que representan los periodos, y en cada uno en su extremo derecho o izquierdo se grafican flechas verticales indicando la renta o pago de la anualidad, utilizando, claro, puntos suspensivos para representarlos a todos sin tener que graficarlos. Si una persona deposita, digamos, $3,000 cada mes durante siete meses, entonces una gráfica será, donde los depósitos están al final de cada periodo, y el monto que se acumula está al final del último rectángulo. Teorema: Monto acumulado 1 1 1 ⁄ Donde; R = Renta mensual t = plazo o tiempo P = frecuencia de conversión M = Monto o Valor futuro tp = total de rentas o periodos Ejemplo: Plazo en inversión. 59 i = tasa de interés capitalizable. i/p = tasa por periodos anual Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez ¿En cuánto tiempo se acumulan $40,000 en una cuenta bancaria que paga intereses del 8.06% anual capitalizable por semanas, si se depositan $2,650 al inicio de cada semana? Datos: M = 40,000 lo que se pretende tener al final. R = 2,650 que es la renta semanal. i = 0.0806 la tasa de interés anual capitalizable por semana. P = 52 Son 52 semanas al año. i/p = 0.0806/52 = 0.00155 que es la tasa semanal capitalizable por semana. t = incógnita Solución: Si suponemos que tp = x, el número de rentas es: 40,000 2,650 1 1.00155 1 0.00155 0.00155 Despejar x, 1.00155 1 0.00155 40,000 2,650 1 0.00155 1.00155 1 0.00155 40,000 2,650 1.00155 40,000 0.00155 2654.1075 1.00155 15.0709796 0.00155 0.02336001838 1 1 1.02336001838 1 1.00155 1.00155 1.00155 Como siempre que la incógnita está en el exponente, se despeja empleando logaritmos, ya que “Si dos números positivos son iguales, entonces sus logaritmos también lo son” es decir: 1.00155 1.02336001838 Ya que Ln(an) = (n)Ln(a) 1.00155 1.02336001838 1.02336001838 1.00155 0.023091349 0.0015488 60 Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez x = 14.90918709 Puesto que el número de rentas, x = tp, debe ser un entero, el resultado se redondea dando lugar a que la renta o el monto varíen poco. Por ejemplo con tp = 15 el entero más cercano, resulta que la renta es: 40,000 1 1 1 ⁄ 1.00155 0.00155 1.00155 1 40,000 = R(15.18735236) R = 40,000 / 15.18735236 R = $2,633.77 Ejemplo: Tasa nominal quincenal y recuperación de pagaré (anualidad anticipada) Este ejercicio requiere de tablas financieras. ¿Qué tasa de interés capitalizable por quincenas le están cargando a la Sra. Josefina, si para recuperar un pagaré con valor nominal de $39,750, incluidos los intereses, hace 15 pagos quincenales anticipados de $2,400? Se trata de una anualidad anticipada, donde: Datos: M = 39,750 R = 2,400 P = 24 t = 15/24 tp = 15 i = Incógnita El valor futuro. La renta o pago quincenal La frecuencia de pagos (son 24 quincenas al año) El plazo en años. El número de rentas. Por lo tanto la fórmula es: 39,750 1 1 1 ⁄ 2,400 1 1 24 24 ⁄24 1 Para despejar i, se sustituye i/24 por x, y se dividen los dos miembros entre 2,400. 39,750 2,400 1 1 61 1 Apuntes de Matemáticas Financieras 16.5625 Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez 1 1 1 Para determinar el valor i/p sin utilizar tablas financieras, se producen interacciones, dando a x valores sucesivos hasta alcanzar la precisión deseada. Con el uso de tablas i/p = 0.0125 que es el valor más cercano 16.3863 comparado con el de la ecuación que es 16.5625. A continuación se indican unos de tales valores: 16.5625(x) = (1 + x)[(1 + x)15_1] INCOMPLETO. No es ejercicio para clase, se pide identificar únicamente los conceptos del ejercicio. Ejemplo: Monto en una cuenta de ahorros e intereses (Tasa de interés variable) ¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos quincenales de $625 cada uno, si la tasa de interés nominal quincenal en los primeros 5 meses es del 22.32%, y después aumenta 2.4 puntos porcentuales por cada cuatrimestre? ¿Cuánto se genera por concepto de intereses? El ejercicio se resuelve considerando cuatro anualidades de 10, 8, 8 y 6 quincenas cada una. 1 1 1 ⁄ M1 = 6,578.77 5 Meses 1 10 quincenas i + 2.4 i + 2(2.4) M2 = 5,237.41 M3 = 5,261.07 1er Cuatri 2º Cuatri i + 3(2.4) M4 = 3,914.79 3er Cuatri MA = 7,140.81 MB = 13,542.48 MC = 20,234.63 8 quincenas 8 quincenas 6 quincenas i + 2.4 i + 2(2.4) $24,149.42 i + 3(2.4) Total de quincenas por año = 24, por lo tanto, 32 – 24 = 8 meses. Sin anualidad la cantidad de pagos son 32 por 625 = $20.000.00 El monto de la primera, puesto que la tasa por quincena es i/p = 0.2232/24 = 0.0093 625 1 1 1 1 ⁄ 0.0093 625 1.0093 1.0093 0.0093 1.096990161 0.0093 62 1 1 Apuntes de Matemáticas Financieras 625 1.0093 Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez 0.096990161 0.0093 625 1.0093 10.42904961 $6,578.77 Que se traslada hasta el final de la segunda anualidad empleando la fórmula de interés compuesto, con la nueva tasa que es de 2.4 puntos mayores que la primera. Datos: i = 0.2232 + 0.024 = 0.2472 i/p = 0.2472 / 24 = 0.0103 quincenal compuesto por quincenas; entonces: M = C(1 + i/p)tp MA = 6,578.77(1.0103)8 MA = 6,578.77(1.085432507) MA = $7,140.81 Este monto deberá sumarse con el monto acumulado M2 de la segunda anualidad: 625 1.0103 1.0103 1 0.0103 625 1.0103 8.294418155 $5,237.41 El acumulado de las primeras 18 rentas es: MA + M2 = 7,140.81 + 5,237.41 = 12,378.22 Que también se traslada con la nueva tasa, al tercer grupo de rentas, hasta el fin de la tercera anualidad, ocho quincenas después. MB = 12,378.22(1 + 0.2712/24)8 MB = 12,378.22(1.094057274) MB = 13,542.48 Monto que deberá sumarse al monto M3, del tercer grupo de rentas. 625 1.0113 1.0113 1 0.0113 625 1.0113 8.323652566 $5,261.07 Entonces: 63 Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez MB + M3 = 13,542.48 + 5,261.07 = 18,803.55 Que es el acumulado de los 26 depósitos al término de la tercera anualidad. Este monto se lleva hasta la fecha nominal del plazo y, finalmente, se suma con el monto M4 de la última que corresponde a 6 quincenas. La tasa de interés anual es ahora: i = 0.2232 + 3(0.024) = 0.2952 i/24 = 0.0123 es la quincena capitalizable por quincenas. MC = 18,803.55(1.0123)6 o MC = 20,234.63 Ahora bien: 625 1.0123 1.0123 1 0.0123 625 1.0123 6.18755382 3,914.79 Consecuentemente el monto acumulado de los 32 depósitos quincenales en la cuenta de ahorros al final del plazo es: MC + M4 = 20,234.63 + 3,914.79 = $24,149.42 Segunda respuesta del problema: Los intereses son la diferencia entre este monto y el total invertido en los 32 pagos quincenales. I = 24,149.42 – 32(625) I = $4,149.42 64
