UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CINEMÁTICA PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA SOLUCIÓN DE MECÁNICA VECTORIAL (DINÁMICA) Ferdinand L.Singer Asignatura: DINÁMICA (IC - 244) Docente: Ing. CASTRO PERÉZ,Cristian Alumnos: CARBAJAL SULCA, Wilber GÓMEZ HUAZACCA, Káterin Roxana JAHUÍN BONIFACIO, Daysy YUCRA AGUILAR, Samuel Semestre Académico 2012 – II AYACUCHO – PERÚ 2013 16105591 16105633 16105092 16110667 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL Índice 1. PROBLEMA N-01 1.1. Componente rectangular del movimiento curvilı́neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 2. PROBLEMA N-02 2.1. Componente rectangular del movimiento curvilı́neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 3. PROBLEMA N-03 3.1. Componente rectangular del movimiento curvilı́neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 4. PROBLEMA N-04 4.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilı́neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 5. PROBLEMA N-05 5.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilı́neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 6. PROBLEMA N-06 6.1. Cinemática de cuerpo rı́gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 7. PROBLEMA N-07 7.1. Cinemática de cuerpo rı́gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 8. PROBLEMA N-08 8.1. Cinemática de cuerpo rı́gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 9. PROBLEMA N-09 9.1. Cinemática de cuerpo rı́gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 10. PROBLEMA N-10 23 11. PROBLEMA N-11 11.1. Cinemática de cuerpo rı́gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 12. PROBLEMA N-12 12.1. Cinemática de cuerpo rı́gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 2 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL Índice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Problema 01 . . . . . . . . . . Solución del problema 01 . . . Problema 02 . . . . . . . . . . Solución del problema 02 . . . Problema 03 . . . . . . . . . . Solución del problema 03 . . . Problema 04 . . . . . . . . . . Solución del problema 04 . . . Problema 05 . . . . . . . . . . Solución del problema 05 . . . Problema 06 . . . . . . . . . . Solución del problema 06 . . . Solución final del problema 06 Problema 07 . . . . . . . . . . Solución del problema 07 . . . Problema 08 . . . . . . . . . . Solución del problema 08 . . . Problema 09 . . . . . . . . . . Solución del problema 09 . . . Problema 10 . . . . . . . . . . Solución del problema 10 . . Problema 11 . . . . . . . . . . Solución del problema 11 . . . Problema 12 . . . . . . . . . . Solución del problema 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 7 9 9 11 12 13 13 15 15 16 17 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 27 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 4 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 1. PROBLEMA N-01 1.1. Componente rectangular del movimiento curvilı́neo El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de los eslabones ranurados A y B. En el instante mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una aceleración de 25 cm/s2 , ambas hacia la derecha, mientras que B tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleración de 12.5 cm/s2 , ambas verticalmente hacia abajo. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria de P en ese instante. Figura 1: Problema 01 SOLUCIÓN: Figura 2: Solución del problema 01 Tenemos: −−→ VA = −30îcm/s − 2 a−→ A = −25îcm/s −−→ ˆ VB = −40jcm/s − → 2 ˆ a = −12,5jcm/s B 5 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL La velocidad y aceleración de P: → − −−→ −−→ ˆ V = VA + VB = −30î − 40jcm/s → − − − → − → 2 ˆ a = a + a = −25î − 12,5jcm/s A B La aceleración normal está definida por: an = V3 |V × a| V 2 = ⇒ ρ |V | |V × a| Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura: ρ= V3 |V ×a| 503 625 ρ= ρ = 200cm 6 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 2. PROBLEMA N-02 2.1. Componente rectangular del movimiento curvilı́neo La posición del pasador P en la ranura circular que se ve en la figura está controlada por la guı́a inclinada que se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de movimiento .calcular la velocidad y la aceleración de P en la posición dada. Sugerencia: trazando la posición de la guı́a un corto tiempo t después de la posición dada, obtener las coordenadas absolutas del movimiento (a lo largo de la guı́a) en términos de tiempo. El movimiento absoluto de P en la ranura circular es igual a la suma Geométrica del movimiento de la guı́a más el de P a lo largo de la misma. Figura 3: Problema 02 SOLUCIÓN: Figura 4: Solución del problema 02 De la figura se obtiene: x = Rcosθ , y = Rs inθ x = 12,5 53 x = 7,5cm y = 12,5 45 y = 10cm ⇒ x = 7,5cm ; y = 10cm De la gráfica se obtienes la ecuación de la circunferencia: x2 + y 2 = 12,52 7 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL Derivamos la ecuación para obtener la velocidad en y: 2xẋ + 2y ẏ = 0 si ẋ = 6,4 cm/s ẏ = − xyẋ 7,5(6,4) ẏ = − 10 ẏ = −4,8 m/s2 Volvemos a derivar para obtener la aceleración en y: 2xẋ + 2y ẏ = 0 2xẍ + 2y ÿ + 2 (ẋ)2 + 2 (ẏ)2 = 0 xẍ + y ÿ + (ẋ)2 + (ẏ)2 = 0 ẍ = 0 (ẋ)2 +(ẏ)2 y 6,42 +(−4,8)2 =− 10 ÿ = − ÿ ÿ = −6,4 cm/s2 8 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 3. PROBLEMA N-03 3.1. Componente rectangular del movimiento curvilı́neo Una varilla telescópica mostrada en la figura hace mover el pasador P a lo largo de la trayectoria fija 1 x2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleración de P son respectivamente dado por y = 22,5 v = 30i + 40jcm/s y a = 25i + 50jcm/s2 ¿Cuál es entonces la aceleración angular de la varilla? Figura 5: Problema 03 SOLUCIÓN: Figura 6: Solución del problema 03 y= 2 1 2 x v̄ = (ẋ, ẏ) v̄ = ẋ, xẋ = (30, 40) 22,5 22,5 Comprobamos que: ẋ = 3a = (ẍ, Derivando la ecuación tgθ = 2 2 2 x ẋ + ẋẍ)ẍ = 25tgθ = 22,5 22,5 30 − y (30 − y)ẋ − x(−ẏ) x sec2 θ θ̇ = ......(1) 30 − y (30 − y)2 Hallamos θ̇: y = 10 Reemplazando en la ecuacion 1 θ̇ = 2,4567 Derivando una vez más la ecuación 1: 9 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL (30 − y)2 (30ẍ − (ẏ ẋ + ẍẏ) + ẋẏ + ÿx) − 2(30 − y)(ẏ)(30ẋ − y ẋ + xẏ) 2senθ θ̇ 2 2 + θ̈sec θ = cos3 θ (30 − y)2 Para: ẋ = 30 ẏ = 40 ẍ = 25 ÿ = 50 Obtenemos: La aceleracion angular es: θ̈ = 3,30rad/s2 α = 3,30rad/s2 10 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 4. PROBLEMA N-04 4.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilı́neo La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de retroceso rápido que se ve en la figura ,gira con una rapidez constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj a11,2rad/s .Calcular la aceleración angular del brazo CD en el instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la figura Figura 7: Problema 04 SOLUCIÓN: Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde Hallamos la velocidad y la aceleración para la manivela AB: Datos: θ̇ = 11,2rad/s, θ̈ = 0 rAB = 25cm , ṙAB = 0 , r̈AB = 0 Además: vr = ṙ → ṙAB = 0 = vr vθ = r θ̇ → vθ = 25 × 11,2 = 280 Luego: q v= vr2 + vθ2 = 280cm/s Hallamos la aceleración radial: ar = r̈ − r θ̇ 2 → ar = 0 − 25 × 11,22 = −3136 aθ = r θ̈ + 2ṙ θ̇ → aθ = 0 + 0 = 0 Luego: a= q a2r + a2θ = 3136cm/s2 Hallamos la velocidad y la aceleración de β para el brazo rasurado De gráfico se tiene: 11 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL Figura 8: Solución del problema 04 aθ = ar Cosθ vr = −vb Cosθ vθ = vb Senθ De donde se obtiene la velocidad angular: vr = ṙ → ṙCB = −280Cosθ ≈ −250,4 vθ = r θ̇ → r θ̇ = 280Senθ → θ̇ = 2,24rad/s Hallamos la aceleración angular: ar Cosθ = 2ṙCB + rCB θ̈ ṙCB θ̈ = ar rCosθ−2 r CB −3136Cosθ+2(250,4)(2,24) θ̈ = 55,4 θ̈ = −30,09rad/s2 Esto indica que la aceleración angular es de 30.09 rad/s2 girando en sentido de las manecillas del reloj. 12 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 5. PROBLEMA N-05 5.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilı́neo En la posición mostrada en la figura, el extremo de 60 cm/s A de la varilla tiene una componente de velocidad , hacia la derecha, de y una componente de aceleración, hacia arriba, de . determine la aceleración angular de la varilla en esta posición. Figura 9: Problema 05 SOLUCIÓN: Figura 10: Solución del problema 05 De la figura obtenemos: Vr = V cos θ , Vθ = −V sin θ Vr = 60 45 Vr = 48 cm/s Vθ = −60 35 Vθ = −36rad/s Según las siguientes ecuaciones : Vr = ṙ ; Vθ = r θ̇ Vr = ṙ = 48cm/s Vθ = −36 Vθ = r θ̇ , r = 25 θ̇ = − 36 25 θ̇ = −1,44rad/s 13 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL De la gráfica se obtiene lo siguientes: Vr = V cos θ , Vθ = −V sin θ Vr = 60 45 Vr = 48 cm/s Vθ = −60 35 Vθ = −36rad/s Vr = ṙ ; Vθ = r θ̇ Vr = ṙ = 48cm/s Vθ = −36 Vθ = r θ̇ , r = 25 θ̇ = − 36 25 θ̇ = −1,44rad/s De la gráfica se obtiene lo siguientes: Vr = V cos θ , Vθ = −V sin θ Vr = 60 45 Vr = 48 cm/s Vθ = −60 35 Vθ = −36rad/s Por formula se tienes : Vr = ṙ ; Vθ = r θ̇ Vr = ṙ = 48cm/s Vθ = −36 Vθ = r θ̇ , r = 25 θ̇ = − 36 25 θ̇ = −1,44rad/s De la gráfica se obtiene lo siguientes: aθ = a cosθ , ar = a sin θ aθ = 120 45 aθ = 95rad/s2 aθ = r θ̈ + 2ṙ θ̇ = 95 ṙ θ̇ θ̈ = 95−2 r 95−2(48)(−1,44) θ̈ = 25 θ̈ = 9,3696rad/s2 14 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 6. PROBLEMA N-06 6.1. Cinemática de cuerpo rı́gido El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin resbalar hacia arriba del plano. Si la aceleración lineal de B es 0.6 m/s2 hacia abajo, calcular la aceleración lineal del cuerpo A. Suponga que la cuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que sostiene a A permanece vertical. Figura 11: Problema 06 SOLUCIÓN: −→ Determinamos: − r− B/O − −→ ˆ r− B/O = 0,9Sen37î − 0,9Cos37j − − − → ˆ r = 0,54î − 0,72j B/O aB = 0,6m/s2 − −→ ˆ r− B/O = 0,54î − 0,72j 2 aB = 0,6m/s Figura 12: Solución del problema 06 Hallamos − a→ B : 15 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL Si: − a→ B − −−→ → − −−−→ −−−−→ −−−−→ −−−→ a→ B = aO +α × rB/O + ωOB × ωOB × rB/O − ˆ ˆ a→ B = α k̂ × 0,54î − 0,72j + ωk̂ × ωk̂ × 0,54î − 0,72j − 2 jˆ − 0,54ω2 î a→ î − 0,54α jˆ + 0,72ω B = 0,72α − a→ = 0,72α − 0,54ω2 î + 0,54α + 0,72ω2 jˆ B Pero: 3ˆ 4 − a→ B = 0,6 × î + 0,6 × j 5 5 Entonces: Figura 13: Solución final del problema 06 0,72α − 0,54ω2 = 0,6 × 45 ....... (1) 0,54α + 0,72ω2 = 0,6 × 35 ....... (2) De (1) y (2): α = 0,667rad/s2 y ω2 = −0,00025rad/s2 Hallamos − a−→ A : − −−→ → − −−−−→ + − −−−→ × − −−−→ × − −−→ a−→ ω ω r−A/O A = aO +α × rA/O OA OA − a−→ A = α k̂ × −0,9î + ωk̂ × ωk̂ × −0,9î − 2 ˆ a−→ A = −0,9α j + 0,9ω î − − → ˆ aA = −0,6j + 0,0025î − a−→ = −0,6m/s2 A 16 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 7. PROBLEMA N-07 7.1. Cinemática de cuerpo rı́gido Las varillas AB y CD están articuladas en B como se observa en la figura, y se mueven en un plano vertical con las velocidades angulares absolutas y . Determine las velocidades lineales de los puntos C y D. Figura 14: Problema 07 SOLUCIÓN: Figura 15: Solución del problema 07 17 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL De la figura tenemos: → ωAB = 4rad/s ⇒ − ω−− AB = 4k̂rad/s − − − −→ = 3k̂rad/s ωCD = 3rad/s ⇒ ωCD − −→ = 15îcm ρ−AB − − −→ = 10jcm ˆ ρBC − − − → ˆ ρBD = −15jcm De AB: → −−−→ ~B = − V ω−− AB × ρAB ~B = 4k̂ × 15î V ˆ ~ VB = 60jcm/s De BC: ~C V ~C V ~C V ~C V −−−→ × − −→ ~C + − =V ω ρ−BC CD = 60jˆ + 3k̂ × 10jˆ = 60jˆ − 30î ˆ = −30î + 60jcm/s ~C = 75cm/s V 18 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 8. PROBLEMA N-08 8.1. Cinemática de cuerpo rı́gido Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guı́as horizontales e inclinadas mostradas en la figura. En la posición dada ω = −4b krad/s y α = −5b krad/s2 , ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. Calcular la aceleración de los puntos A, B y C. Figura 16: Problema 08 SOLUCIÓN: Figura 17: Solución del problema 08 Por cinemática de cuerpos rı́gidos: ω = −4k̂rad/s α = −5b krad/s2 El movimiento del cuerpo rı́gido es un movimiento plano Para la aceleración: 19 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL aB = aA + ω̇xρAB + ωx(ωxρAB ) j)) i − 1,5sen37ob j) + −4b kx(−4b kx(−1,5 cos 37ob i − 1,5sen37ob aB = aA + −5b kx(−1,5 cos 37ob j) = −aAb i + 5,9898b j − 4,5136b i + 19,1673b i + 14,4436b j i − sen53ob aB (− cos 53ob j) = 20,4334b j aB (−sen53ob aB = 25,5854m/s2 ˆ aB = aB (− cos 53o î − sen53o j) 2 ˆ aB = (−15,3977î − 20,4334j)m/s Hallando aceleración de A: i) = −aAb i + 14,6537b i aB (− cos 53ob aA = 0,7440m/s2 aA = −0,7440b im/s2 Hallando la aceleración de C: aA = aC + ω̇xρCA + ωx(ωxρCA ) kx(1,8b j) + −4b kx(−4b kx(−1,8b j)) −0,7440b i = aC + −5b −0,7440b i = aC + 9b i − 28,8b j aCb i = −9,7440b i aC b j = −28,8b j aC = 30,4037m/s2 aC = (−9,7440î − 28,8b j)m/s2 20 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 9. PROBLEMA N-09 9.1. Cinemática de cuerpo rı́gido Cuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura , esta en la posición dada,la velocidad y aceleración en C son vc = 4,8m/s , ar = 0,84m/s2 , ambas vertical hacia abajo. ¿ cual es la aceleración angular en la manivela AB ? Figura 18: Problema 09 En la posición mostrada: De manera vectorial: vc = 4,8m/s , ar = 0,84m/s2 ↓ , aAB =? − ˆ v→ c = −4,8j − → ac = −0,84jˆ SOLUCIÓN: Figura 19: Solución del problema 09 21 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL Hallamos la velocidad de B: VB = VA + V h B/A i VB = VA + −ωAB k̂ × 0,5î − 0,4jˆ VB = −0,5ωAB jˆ − 0,4ωAB î Hallamos la velocidad de C: VC = VB + V h C/B i VC = VB + ωBC k̂ × −1,19î − 0,9jˆ h i VC = −0,4ωAB î − 0,5ωAB jˆ + ωBC k̂ × −1,19î − 0,9jˆ VC = −0,4ωAB î − 0,5ωAB jˆ − 1,19ωBC jˆ + 0,9ωBC î VC = 0î − 4,8jˆ Por lo tanto: −0,4ωAB = −0,9ωBC → ωBC = −0,5ωAB − 1,19ωBC = −4,8 ωBC = 2,07rad/s ωAB = 4,665rad/s 0,4 0,9 ωAB Finalmente hallamos las aceleraciones: − −−→ −−−→ × − −→ + − → × − →× − −→ a→ r−B/A ω−− ω−− r−B/A AB B = aA + aAB AB − ˆ ˆ a→ B = aAB k̂ × 0,5î − 0,4j + −4,665k̂ × −2,33j − 1,87î − ˆ a→ B = (0,4aAB − 10,87) î + (0,5aAB + 807) j − − → − → − − − → − − − → − − − → − − − → − −→ aC = aB + aBC × rC/B + ωBC × ωBC × r− C/B − −→ ˆ ˆ a−→ C = aB + aBC k̂ × −1,19î − 0,9j + 2,207k̂ × −2,47j + 1,86î − −→ ˆ ˆ a→ B = aB + 1,19aBC j + 0,9aBC î + 5,11î + 1,86j − − → ˆ aC = (0,4aAB − 10,87) î + (0,5aAB + 807) j + 1,19aBC jˆ + 0,9aBC î + 5,11î + 1,86jˆ − ˆ a−→ C = (0,4aAB + 0,9aBC − 5,76) î + (0,5aAB − 1,19aBC + 12,55) j 0,476aAB − 6,85 = 0 0,5aAB + 10,54 = 0 aAB = −3,98rad/s2 La aceleración gira en sentido horario de las manecillas del reloj. 22 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 10. PROBLEMA N-10 En el instante mostrado en la figura ,la placa ABC ,gira con una velocidad constante de 2rad/s alrededor de la arista AB que se mueve en un plano vertical. En e mismo instante ,A tiene una velocidad hacia la izquierda de 2,4m/s y una aceleración de 3m/s2 .Calcule la velocidad y la aceleración absoluta en C . Figura 20: Problema 10 Se tiene como datos: −→ ˆ ← vA = 2,4m/s, → aA = 3m/s2 , ω = 2rad/s , − r− C/A = 2,4j SOLUCIÓN: Figura 21: Solución del problema 10 −−→ −−→ −−−−→ −−−→ VC = VA + ωAC × rC/A − −−−→ = 2k̂ ω AC − −→ ˆ r− C/A = 2,4j 23 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL Además se tiene que: − −−−→ = − → ω ω−− AC AB = 2î −−→ −−→ −−−−→ −−−→ VC = VA + ωAC × rC/A = −2,4î + 2î × 2,4jˆ −−→ VC = −2,4î + 4,8k̂ −−→ VC = 5,37m/s Hallando la aceleración: − −−→ −−−→ −−−→ −−−−→ × − −−−→ × − −→ a−→ ω r− C = aA + aAC × rB/A + ω AC AC C/A − a−→ jˆ C = −3î + 2î × 2î × 2,4 − a−→ C = −3î + 2î × 4,8k̂ − ˆ a−→ C = −3î − 9,6j aC = 10,058m/s2 24 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 11. 11.1. PROBLEMA N-11 Cinemática de cuerpo rı́gido La rueda de la figura gira libremente sobre el arco circular. Mostrar que : vA = rw y aAt = rα Figura 22: Problema 11 SOLUCIÓN: Figura 23: Solución del problema 11 25 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como en A respecto al piso en que se encuentra la rueda de lo cual se tiene l siguiente : wo = θ̇ wA = θ̇ wo = wA = θ̇ = w De lo cual se obtiene y queda demostrado lo : vA = rw sabemos que : v = wr v̇ = at d (wr) v̇ = dt v̇ = r ẇ + ṙw de donde r = constante ⇒ ṙ = 0 v̇ = r ẇ ẇ = α at = rα De lo cual quedan demostrado las dos expresiones solicitadas vA = rw y at = rα 26 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL 12. 12.1. PROBLEMA N-12 Cinemática de cuerpo rı́gido Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guı́as horizontales e inclinadas mostradas en la figura. En la posición dada ω = −4b krad/s y α = −5b krad/s2 , ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. Calcular la aceleración de los puntos A, B y C. Figura 24: Problema 12 SOLUCIÓN: Figura 25: Solución del problema 12 Por cinemática de cuerpos rı́gidos: ω = −4k̂rad/s α = −5b krad/s2 El movimiento del cuerpo rı́gido es un movimiento plano Para la aceleración: 27 DINÁMICA IC-244 UNSCH EFP: INGENIERÍA CIVIL aB = aA + ω̇xρAB + ωx(ωxρAB ) j)) i − 1,5sen37ob j) + −4b kx(−4b kx(−1,5 cos 37ob i − 1,5sen37ob aB = aA + −5b kx(−1,5 cos 37ob j) = −aAb i + 5,9898b j − 4,5136b i + 19,1673b i + 14,4436b j i − sen53ob aB (− cos 53ob j) = 20,4334b j aB (−sen53ob aB = 25,5854m/s2 ˆ aB = aB (− cos 53o î − sen53o j) 2 ˆ aB = (−15,3977î − 20,4334j)m/s Hallando aceleración de A: i) = −aAb i + 14,6537b i aB (− cos 53ob aA = 0,7440m/s2 aA = −0,7440b im/s2 Hallando la aceleración de C: aA = aC + ω̇xρCA + ωx(ωxρCA ) kx(1,8b j) + −4b kx(−4b kx(−1,8b j)) −0,7440b i = aC + −5b −0,7440b i = aC + 9b i − 28,8b j aCb i = −9,7440b i aC b j = −28,8b j aC = 30,4037m/s2 aC = (−9,7440î − 28,8b j)m/s2 28