En nuestras conversaciones ,a menudo usamos expresiones tales como:
✓ Donald Trump “es presidente de” Estados Unidos
✓ 12 “es el triple de “4
✓ Fito Páez “ es autor de” El amor después del amor
✓ Úrsula Corberó “ es actriz de” La casa de papel
Todas ellas sirven para relacionar
elementos que pueden o no
pertenecer a distintos conjuntos.
Cuando decimos:
Trump
es presidente de
∈ al conjunto
de personas
𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 − 𝑝𝑎í𝑠𝑒𝑠
Trump
es presidente de
EE UU
∈ al conjunto
países
EE UU
País
Personas
Relación
Podemos expresar esta relación escribiendo un par ordenado:
( Trump ; EE UU )
Y podemos buscar otros pares
que verifiquen la relación:
Luego:
( Fernández ; Argentina)
(Luis Alberto Lacalle Pou ; Uruguay)
( Bolsonaro ; Brasil)
(Trump ; EE UU)
1ra componente
2da componente
∈ {personas}
∈ {países}
Si llamamos A al conjunto de personas y B al conjunto de países , tenemos que :
A={x/x es persona}
B={x/x es país}
A R B={(x;y) /x “es presidente de” y }
Donde x es una persona e y es un país.
Otro ejemplo:
Sean
D={x/x es alumno varón de 1er año}
E={x/x es país limítrofe con Argentina}
Escribimos ambos conjuntos por extensión: D={Martín , Lucas , Juancho , Sebastián }
E={Uruguay , Paraguay , Chile , Brasil , Bolivia }
Hallamos el producto cartesiano DxE:
DxE={(M;U), (M;P), (M ; Ch), (M ;Br ), (M ; Bo), (L;U), (L;P), (L ;Ch ), (L ;Br ), (L ;Bo
),(J;U), (J;P), (J ; Ch), (J ; Br), (J ; Bo), (S;U), (S;P), (S ; Ch), (S ; Br), (S ; Bo) }
Establecemos la relación “visitó” que anotada formalmente resulta:
R={(x;y) /x “visitó” y }
Luego:
Por comprensión
R={(M:U),(M ; Br),(J ; Ch),(J;U),(J ; Br),(L:U)}
Como se puede observar R ⊂ DxE entonces podemos definir:
Dados dos conjuntos A y B , se llama relación de A en B , a todo
subconjunto del producto cartesiano AxB.
Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico
A relacionado con B
ARB
Relación de A en B
R: A→B
Al conjunto D lo llamamos conjunto de partida , pues de él parten las flechas que
representan la relación ; del mismo modo, al conjunto E lo llamamos conjunto de
llegada ya que a él llegan las flechas anteriores.
Como se puede apreciar , no todo elemento del primer
conjunto esta relacionado con un elemento del segundo
conjunto. Aquellos que si lo hacen constituyen un
conjunto que se llama DOMINIO (Dom) .
Para nuestro ejemplo: DomR={ M,L ,J } luego
DomR ⊂ D
Conjunto Dominio de una relación es aquel conjunto formado
por las primeras componentes de cada par ordenado que
pertenece a la relación.
Conjunto Codominio o imagen de una relación es aquel
conjunto formado por las segundas componentes de cada par
ordenado que pertenece a la relación.
Para nuestro ejemplo: CdmR o ImR={ U,Ch ,Br} luego
ImR ⊂ E
Si todos los países hubiesen sido visitados ImR = E
Resumiendo:
D
Conjunto de partida
DomR
Conjunto dominio de la relación
DomR ⊂ D
E
Conjunto de llegada
ImR
Conjunto imagen de la relación
ImR ⊂ E
Dados los conjuntos D y E de la actividad anterior , queremos relacionarlos pero invirtiendo el
orden de los mismos, es decir buscando una nueva relación de E en D , a la que denominamos
Relación inversa .
Se simboliza R-1
Observemos los pares:
El conjunto de la relación R
constituye
el
conjunto
imagen de su relación
inversa , análogamente el
conjunto imagen de R es el
Dominio de R-1 .
R-1
R
M
U
M
U
M
Br
M
Br
J
Ch
J
Ch
J
U
J
U
J
Br
J
Br
L
U
L
U
DomR
ImR
DomR-1
ImR-1
Podemos definir el concepto de relación inversa del siguiente modo:
R-1 = { (y ; x) / (x ; y) ∈ R }
Ejemplo:
Dados los conjuntos
A={x/x ∈ Z ; -3≤ x < 2} y B= {x/x ∈ Z ∧ x=2;ሶ 0≤ x ≤ 8}
a)Escribir A , B y AxB por extensión
b)Representar en diagramas de Venn la relación R={(x;y) / y = -2x }
c)Escribir R por extensión
d) Señalar Dominio e imagen de la relación en el diagrama de Venn de R y escribirlos
por extensión
e)Representar AxB y R en diagramas de ejes cartesianos
f)Definir R-1
a) A= { -3;-2;-1; 0 ;1 }
B={0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}
AxB={ (-3 ; 0 ) , (-3 ; 2 ) , (-3 ; 4 ) , (-3 ; 6 ) , (-3 ; 8 ) , (-2 ; 0 ) , (-2 ; 2 ) , (-2 ; 4 ) , (-2 ;
6 ) , (-2 ; 8 ) , (-1 ; 0 ) , (-1 ; 2 ) , (-1 ; 4 ) , (-1 ; 6 ) , (-1 ; 8 ) , (0 ; 0 ) , (0 ; 2 ) , (0 ; 4 ) ,
(0 ; 6 ) , (0 ; 8 ) , (1 ; 0 ) , (1 ; 2 ) , (1 ; 4 ) , (1 ; 6 ) , (1 ; 8 ) }
R: y = -2x
b)
B
A
.
-2.
-1.
0.
-3
Im
.0
.2
.4
.6
1.
.8
c) R={ (-3;6) , (-2;4) , (-1;2) , (0;0) }
d) Dom={-3;-2;-1; 0}
Im= { 0; 2 ; 4 ;6 }
f) R-1: y =x:( -2)
e)
Sean los conjuntos:
A={0 ; 1 ; 2 ; 3 }
B={-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }
Y las siguientes relaciones de A en B ( A→B) , definidas por propiedad , escritas por
extensión y representadas gráficamente.
Analizamos cada una:
R1={(x;y) / (x;y) ∈ AxB ∧ y= x +1 }
Para cada elemento x del conjunto A
(conjunto de partida ) excepto el 3 , existe
un solo elemento y del conjunto B que
verifica la relación.
3 ∈ A y no existe un elemento de B que
se relacione con él.
R2={(x;y) / (x;y) ∈ AxB ∧ y2= x2 }
Para cada elemento x del conjunto A
(conjunto de partida ) excepto el 1 , existe
un solo elemento y del conjunto B que
verifica la relación.
1 ∈ A existen dos elemento de B que
se relacionan con él.
R3={(x;y) / (x;y) ∈ AxB ∧ y= x }
Para cada elemento x del conjunto A
(conjunto de partida ) sin excepción, existe
un solo elemento y del conjunto B que
verifica la relación.
R4={(x;y) / (x;y) ∈ AxB ∧ y= 3 }
Para cada elemento x del conjunto A
(conjunto de partida ) sin excepción , existe
un solo elemento y del conjunto B con el
que todos los elementos de A se relacionan
con él.
Se observa que :
Las relaciones R3 y R4 representan la particularidad de que :
“para todo elemento de x ∈ R existe un único elemento de y ∈ B tal que el par (x;y) ∈ R”
O sea, en la relación, debe ocurrir que:
Decimos entonces que:
R3
Son FUNCIONES
definidas de A en B
R4
I el Dominio de la Relación es el propio conjunto de Partida
II cada elemento del Dominio tiene una única imagen , es
decir, debe de partir una única flecha
En consecuencia:
Dados dos conjuntos A y B , distintos de vacío ,
toda relación f de A en B recibe el nombre de
función de A en B si y sólo si , para todo
elemento x ∈ A , existe un único elemento y ∈ B
tal que (x , y) ∈ f .
Lenguaje simbólico
Lenguaje coloquial
f: A→ B
f función de A en B
f: x→ y o f(x) =y
La imagen del elemento x a
través de la función f es y.
Ejemplo:
1)Analizar cada una de las siguientes relaciones de A en B y determinar cual de ellas
son funciones.
Las relaciones a) y d)
son funciones porque
de cada elemento de
del conjunto A , o sea
de su dominio , parte
una única flecha.
2)Dados los conjuntos M={ m , n ,r ,q } y S= { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
Indicar cual es la única opción que expresa una función de M en S:
a) {(m , -2) , (m , 0) , (r, -1) }
b) {(m , 0) , (n , -2) , (r, 2) , (m,-2) }
No es función porque hay dos pares que comienzan con m ,
significa que de m partirían dos flechas y además hay un
elemento de M (q) que no se relaciona con otro de S.
No es función porque hay dos pares que comienzan con m ,
significa que de m partirían dos flechas y además hay un
elemento de M (q) que no se relaciona con otro de S.
Es función porque el primer elemento de cada par
c) {(m , -2) , (n , -2), (r, -2) ,(q , -2) } pertenece a M , no se repiten y están todos los elementos
de M relacionados. .
d) {(m , -2) , (m , 0) , (r, -1) }
e) {( -2,m) , (-1 ,n) , (0, r) , (2,m) }
No es función porque hay dos pares que comienzan con m ,
significa que de m partirían dos flechas y además hay dos
elementos de M (n y q) que no se relaciona con otro de S.
Este caso es una relación inversa S→M , ya que los primeros
elementos son de S .No es función porque hay un elemento
de S (1) que no se relaciona con otro de M.
