RELACIONES Y FUNCIONES
1. Sea los conjuntos 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 − 1 ∈ ℤ: |𝑥𝑥 − 1| ≤ 1} y 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ∈ ℤ: 𝑥𝑥 3 + 6𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥 2 } la relación 𝑅𝑅 ⊂
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 mediante la regla 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ⟺ 2|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 (x+y es divisible entre 2). Halle:
Por extensión los conjuntos A y B.
Represente el diagrama cartesiano del producto cartesiano AxB y R.
Determine la relación R
Determine 𝑅𝑅 ∘ 𝑅𝑅−1
2. Dados los conjuntos : A={xЄ ℤ / -3 ≤x<2} , B = {xЄ 𝑵𝑵 / x2-4x+3=0} y C={ xЄ 𝑵𝑵 / x es mayor a 0,
x es par, x es menor e igual a 6 } y las relaciones
R: A => B definida por: x R y y -2 >x,
S: B=> C definida por: y S z y es divisor de z
Determinar los conjuntos A, B, A x B, B x C, R,S, R-1, y S-1 por extensión
Determinar el Dominio y la imagen de R,S, R-1, y S-1
Hallar S o R y R-1 oS-1
3.
En el conjunto A = { x Ɛ ℤ: -2 < x ≤ 1}. Se define la relación R por:
i. xRy x + y = 0
v x=y
ii. Determine A y R por extensión y demostrar que R es de equivalencia.
4. Dados los conjuntos A={1,2,3} y B{x€ Z/ -3<x≤3} y la relación R: A => B definida por :
xRy x ≤y
a) Determinar los conjuntos A y B por extensión
b) Determinar los conjuntos AxB, R y R-1
c) Determinar el Dominio y la imagen de R
d) Representar AxB y R en el plano cartesiano
5. Sea f: Z=> Z una función talque f(x)= x2 -3. Representar y clasificar f .
6. Sean las funciones f(x) = 2x2-4x-1 y g(x)=(x+1)/2, hallar gof y g-1(x).
9𝑥𝑥
3𝑥𝑥−4
7. Sean f,g: ℝ → ℝ tales que f(x) =
y g(x) =
4
-1
a) Hallar (g○f)(x) y (g○f) (x)
2
8. En ℤ definimos la relación 𝑅𝑅 como: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇔ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 es divisible por 2.
a) Demuestre que 𝑅𝑅 es una relación de equivalencia.
9. Compruebe que si 𝑅𝑅₁ 𝑦𝑦 𝑅𝑅₂ son relaciones transitivas en 𝐴𝐴 , entonces 𝑅𝑅₁ ∩ 𝑅𝑅₂ es transitiva en 𝐴𝐴.
10. En 𝐴𝐴 = { 1, 2 , 4 , 6 , 8 } se define la siguiente relación:
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝜖𝜖 𝑅𝑅 ⇔ 3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)
• Definir 𝑅𝑅 por extensión.
• Dibujar el diagrama Cartesiano de 𝑅𝑅.
• Clasificar la relación 𝑅𝑅.
11. Sean A = { x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R ⊂ A x B mediante
(x,y) ∈R ⇔ x + y ≤ 5.
1
•
•
•
Definir R por extensión.
Representar A x B y R.
Determinar R-1.
12. Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10} y las relaciones R ⊂ A x B ; S ⊂ B x
C, definidas por : (x,y) ∈ R ⇔ y = x2 y (y,z) ∈ S ⇔ z = y/2
•
Determinar R y S por extensión.
•
•
Definir la composición S º R ⊂ A x C por extensión.
Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones.
13. Sean A = {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 5} y B = {3,4,5} se define R ⊂ A × B mediante: ( x, y ) ∈ R ↔ x + y ≤ 5
a) Definir R por extensión
b) Realizar el Diagrama de Venn
c) Representar R en A × B
d) Determinar R −1
e) Hallar Dom(R), Img(R), Dom( R −1 ), Img( R −1 )
14. En el conjunto A = { 0, 1, 2, 3, 4, } se considera la siguiente relación x R y ⇔ x − 2 = y − 2
a) Probar que es una relación de equivalencia.
b) Obtener las clases de equivalencia
c) Determine la correspondiente partición de A
15. Sea f : A → B una función tal que A = B = R y f(x) = 2x − 3, ∀x ∈ A. Determinar si es una función
biyectiva
16. Dadas las funciones:
i. Calcular:
,
,
ii. Probar que:
17. Dadas las funciones:
Calcular:
•
•
•
•
2𝑥𝑥
𝑥𝑥+3
18. Sean 𝑓𝑓 y 𝑔𝑔 Funciones inyectivas tales que 𝑓𝑓 −1 (𝑥𝑥 ) =
, 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) =
si (𝑔𝑔−1 ° f )(𝑢𝑢) = 3. Hallar
𝑥𝑥−3
𝑥𝑥−3
(𝑓𝑓 −1 ° g )(𝑢𝑢 + 2).
2
19. Sean las funciones 𝑓𝑓: ℚ → ℚ y 𝑔𝑔: ℝ → ℝ tal que 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) =
función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) .
20. Determinar si la siguiente función es biyectiva.
a) f: ℝ → ℝ una función talque f(x)= (x+1)3 -1
4𝑥𝑥−3
2
y (𝑓𝑓 −1 ∘ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 4 − 𝑥𝑥 2 . Hallar la
NUMEROS NATURALES Y ENTEROS
21. Demuestre usando Inducción Matemática que:
• 2 + 4+ 6 + 8+..........+ 2n = n(n+1)
n ( 3n − 1)
• 1 + 4 + 7 + + ( 3n − 2 ) =
2
n
• 2 + 7 + 12 + + ( 5n − =
3)
( 5n − 1)
2
• 2 + 6 + 10 + + ( 4n − 2 ) =
2n 2
•
•
•
1 + 2 + 4 + 8 + + 2n −1 = 2n − 1
2 + 6 + 18 + + 2.3n −1 = 3n − 1
1
1
1
1
n
+
+
+ +
=
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1) n + 1
•
n 2 ( n + 1)
1 + 2 + 3 + + n =
4
n
5 − 1 es divisible por 4
22 n − 1 es divisible por 3
•
( a.b )
•
•
3
3
3
n
= a n .b n
2
3
3
