TEORIA DE CONJUNTOS
Objetivo. Identificar los diferentes tipos de conjuntos y sus operaciones
Aplicar las leyes de algebra de conjuntos en simplificaciones y encontrar operaciones
equivalentes
Resolver problemas que involucren a los conjuntos
Definiciones
Conjunto. - Es la reunión o agrupación de elementos que tienen alguna propiedad o característica
común
Simbología. - A los conjuntos se los identifica por letras mayúsculas; mientras a los elementos del
conjunto con letras minúsculas
Ejemplos
𝑥
𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = { 𝑠𝑒𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}
𝑥
Por extensión
Por comprensión
𝑥𝐸
𝐵 = {1,2,3,4,5} = { 𝑁 ≤ 𝑥 ≤ 5}
1
𝑥𝐸
𝐶 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = { 𝑁 ≤ 𝑥 ≤ 9}
1
𝐷 = {2,4,6,8,10} = {
𝐸 = {1,3,5,7,9} = {
𝑥𝐸
𝑝𝑎𝑟 𝑥 = 2. 𝑛1 ≤ 𝑥 ≤ 5}
𝑁
𝑥𝐸
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑥 = 2. 𝑛1 ≤ 𝑥 ≤ 5}
𝑁
DIAGRAMA DE VENN
6
8
9
C
6
7
6
7
8
9
C
B
1 2 3 4 5
B
7
8
1,2,3,
4,5
C
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1) PERTENENCIA ( E )
NOS PERMITE RELACIONAR EN ELEMENTO A UN CONJUNTO
E
ELEMENTO
ASI
CONJUNTO
1∈𝐵
8∈𝐶
6∈𝐵
8∈𝐵
2) SUBCONJUNTO
2.1 SUCONJUNTO NORMAL ( C )
Permite relacionar a dos conjuntos
C
CONJUNTO
CONJUNTO
𝐵∁ 𝐶
ASI
B
𝐷𝐶𝐵
A
A=B
SE DEFINE
𝐴𝐶𝐵 = 𝐴𝐶𝐵
(∀𝑥 ∈ 𝐴−→ 𝑥 ∈ 𝐵)
𝐴 = 𝐵−→ 𝐴𝐶𝐵𝐵𝐴
Nota. - En algún momento, se puede dar la igualdad de los dos conjuntos (ACB; A=B)
2.2 SUBCONJUNTO PROPIO ( C )
Se diferencia del anterior porque en ningún momento se da la igualdad de los dos conjuntos
B
A
A C B << −−>> 𝐴 𝐶 𝐵 𝐴 ≠ 𝐵
(∀𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)𝐴 ≠ 𝐵
CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
1) Unitario. - Tiene un solo elemento
Así: M=𝑥 ∈ 𝑛(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0
M= 1
2) Vacío. - No tiene elementos
𝑁={ }=∅
N=𝑥 ∈ 𝑛(𝑥 2 = −1) = 0
3) Finito. - Tiene principio y fin
𝑃 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}
𝑥
𝑄 = { 𝑠𝑒𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜}
𝑥
4) Infinito. - Tiene principio, pero no fin
No tiene principio ni fin Así R= N
5) Juntos o intersecantes: Tienen algún elemento en común
𝐵 = {1,2,3,4,5}
𝐶 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
𝐷 = {7,8,9,10,11,12}
1 2
3 4 5
6
7
8
9
10
11
12
6) Disjuntos o no intersecantes
No tienen elementos comunes
𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}
𝐵 = {1,2,3,4,5}
a e i
o u
A
1 2
3 4
5
B
7) Universo. - El conjunto que contiene a los conjuntos dados
Así: 𝐵 = {1,2,3,4,5}
𝐶 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
El conjunto universo será
𝑈 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
8) Conjunto potencia
El que se forma con los subconjuntos del conjunto dado
Así: 𝐴{2,3,4}
Los subconjuntos formados son:
{2}, {3}, {4}
{2,3}{2,4}{3,4}
{2}, {3}, {4}
∅𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑐í𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜
Entonces el conjunto potencia
𝑃𝐴 = {2}, {3}, {4}; {2,3}, {2,4}, {3,4}{2,3,4}
Operaciones entre conjuntos
1) Unión ( U )
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴𝑣𝑥 ∈ 𝐵}
B
A
B
B
A
U
U
𝐴∪𝐵
𝐴∪𝐵
PROPIEDADES
𝐴∪𝐴=𝐴
IDEMPOTENCIA
𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴
CONMUTATIVA
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶
A
ASOCIATIVA
𝑆𝑖 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵
2) Interseccion(Ո)
𝐴 Ո 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
B
A
B
B
A
A
Ո
Ո
𝐴 Ո 𝐵 =⊘
𝐴Ո𝐵
𝑆𝑖 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 Ո 𝐵 = 𝐴
PROPIEDADES
𝐴Ո𝐴=𝐴
IDEMPOTENCIA
𝐴Ո𝐵 =𝐵Ո𝐴
CONMUTATIVA
𝐴 Ո (𝐵 Ո 𝐶) = (𝐴 Ո 𝐵) Ո 𝐶
ASOCIATIVA
𝐴 𝑈 (𝐵 Ո 𝐶) = (𝐴 𝑈 𝐵) Ո (𝐴 𝑈 𝐶)
DISTRIBUTIVA
𝐴 Ո (𝐵 𝑈 𝐶) = (𝐴 Ո 𝐵) 𝑈 (𝐴 Ո 𝐶)
3) Complemento(A'/𝐴𝑐 )
Es el conjunto cuyos elementos no pertenecen al conjunto dado, pero si al Universo
𝐴𝑐
𝑈 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
𝑐
𝐴 = 𝐴′ = {𝑑, 𝑒}
A
𝑈
𝐴𝑐 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}
𝐴𝑐 = 𝑈 − 𝐴
4) Diferencia (-;/)
𝐴 − 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
𝑥
𝐴/𝐵 = { ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵𝑐 } = 𝐴 Ո 𝐵𝑐
𝑥
B
A
A
A
B
𝐴−𝐵
𝐵−𝐴
B
B
A
A
𝐴⊆𝐵
𝐴⊆𝐵
𝐴−𝐵 =⊘
𝐵−𝐴
𝐴−𝐵
𝐴−𝐵 ≠𝐵−𝐴
5) Diferencia Simétrica (△)
𝐴 △ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑥 ∈ 𝐵}
A
B
A
𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 𝑈 𝐵) − (𝐴 Ո 𝐵)
𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 𝑈 𝐵) Ո (𝐴 Ո 𝐵)𝑐
B
B
A
B
𝐵−𝐴
Semejanza entre Lógica y Conjuntos
Lógica
¬
∨
⊻
∧
V
F
Conjuntos
𝐴𝑐
U
△
∩
U (universo)
⊘ (𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜)
LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS
Leyes de ídem potencia.
1. 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴
2. 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴
Leyes asociativas.
3. 𝐴 ∪ (𝐶 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐶) ∪ 𝐵
4. 𝐴 ∩ (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐵
Leyes conmutativas.
5. 𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐴
6. 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝐶 ∩ 𝐴
Leyes distributivas.
7. 𝐴 ∪ (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)
8. 𝐴 ∩ (𝐶 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
Leyes de identidad.
9. 𝐴 ∪ ⊘= 𝐴
10. 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈
11. 𝐴 ∩ ⊘= ⊘
12. 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴
Leyes de absorción.
13. 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
14. (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐴 = 𝐴
Leyes de complemento.
15. 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑈
16. (𝐴𝑐 )𝑐 = 𝐴
17. 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ⊘
18. 𝑈 𝑐 = ⊘
𝑐
19.
=𝑈
20. 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 = 𝐴 − 𝐵
Leyes de Morgan.
21. (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐
22. (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐
EJEMPLOS
Transformar la siguiente equivalencia lógica en un ejercicio de conjuntos y demostrar la igualdad.
(𝑝 ∨ ¬𝑞) ∧ (¬𝑟 ∨ 𝑝) ⟺ 𝑝 ∨ ¬(𝑞 ∨ 𝑟)
Solución:
Cambiando la notación 𝐴 = 𝑝, 𝐵 = 𝑞, 𝐶 = 𝑟
(𝐴 ∪ 𝐵𝑐 ) ∩ (𝐶 𝑐 ∪ 𝐴) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)𝑐
(𝐴 ∪ 𝐵𝑐 ) ∩ (𝐶 𝑐 ∪ 𝐴)
Condición inicial
(𝐴 ∪ 𝐵𝑐 ) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶 𝑐 )
Ley conmutativa
𝐴 ∪ (𝐵𝑐 ∩ 𝐶 𝑐 )
Ley distributiva
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)𝑐
Ley de Morgan
Simplificar la siguiente expresión conociendo que A y B son conjuntos comparables
[𝐶 − (𝐴 ∩ 𝐵)] ∪ [𝐶 − (𝐴 ∪ 𝐵)]
Solución:
[𝐶 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ] ∪ [𝐶 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 ]
Ley de complemento
[𝐶 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ] ∪ [𝐶 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 ]
Ley distributiva
𝐶 ∩ [(𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ] ∪ [(𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 ]
Ley de Morgan
(𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵)
Conjuntos comparables
𝐶 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐
Notación
𝐶 − (𝐴 ∩ 𝐵)
Ley de complemento
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1) De un grupo de 20 profesores en el curso de nivelación, se obtuvieron los siguientes resultados:
10 enseñan matemáticas
9 enseñan física
7 enseñan química
4 enseñan matemática y física
Ninguno enseña matemáticas y químicas
Se pregunta:
a) Cuantos enseñan matemáticas solamente.
b) Cuantos enseñan química y física.
c) Cuantos enseñan solo física.
Desarrollo
M
b
F
c
d
Q
e
f
a
U
Zonas formadas.
a: Profesores que no enseñan ninguna materia.
b: Enseñan sólo matemáticas.
c: Enseñan matemáticas y física al mismo tiempo.
d: Enseñan sólo física.
e: Enseñan física y química al mismo tiempo.
f: Enseñan sólo química.
PREGUNTAN
a) b=?
b) e=?
c) d=?
PLANTEAMIENTO
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
a+b+c+d+e+f=20
b+c=10
c+d+e=9
e+f=7
c=4
Resuelvo el sistema
(5) 𝑒𝑛 (2) ⟶ 𝑏 = 6
𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑎 = 0
(2) ∧ (4) 𝑒𝑛 (1) ⟶ (𝑏 + 𝑐) + 𝑑 + (𝑒 + 𝑓) = 20
𝑑=3
𝑒𝑛 (3) ⟶ 4 + 3 + 𝑒 = 9
𝑒=2
2) En una encuesta realizada por el CNT, a un grupo de 100 abonados, se obtuvo la siguiente
información.
60 abonados hicieron llamadas locales.
55 abonados hicieron llamadas nacionales.
35 abonados hicieron llamadas locales y nacionales.
Se pregunta:
a) ¿Cuál fue el número de abonados que no hicieron llamadas?
Desarrollo
L
b
N
c
d
a
Zonas formadas.
a: Abonados que no hicieron llamadas.
b: Realizaron sólo llamadas locales.
c: Llamadas locales y nacionales.
d: Llamadas sólo nacionales.
PREGUNTAN
a: b=?
PLANTEAMIENTO
(1)
(2)
(3)
(4)
a+b+c+d=100
b+c=60
c+d=55
c=35
Resuelvo el sistema
(4) 𝑒𝑛 (3) ⟶ 𝑑 = 20
𝑒𝑛(2) ⟶ 𝑏 = 25
𝑒𝑛(1) ⟶ 𝑎 = 20
3) Una encuesta a 200 estudiantes, revela que:
68 estudiantes se comportan bien.
138 estudiantes son inteligentes.
160 estudiantes son habladores.
120 estudiantes son habladores e inteligentes.
20 estudiantes se comportan bien, pero no son inteligentes.
13 estudiantes se comportan bien pero no son habladores.
15 estudiantes se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.
Se pregunta:
a) ¿Cuántos estudiantes no se comportan bien, son habladores, y, no son inteligentes?
Desarrollo
B
c
b
f
a
I
e
d
g
h
H
Zonas formadas.
a:
b:
c:
d:
e:
f:
g:
h:
Estudiantes fuera de los 3 conjuntos.
Estudiantes que sólo se comportan bien.
Estudiantes que sólo son inteligentes y se comportan bien.
Estudiantes que sólo son inteligentes.
Las 3 condiciones a la vez.
Estudiantes que sólo se comportan bien y son habladores.
Estudiantes que sólo son inteligentes y son habladores.
Estudiantes que sólo son habladores.
PREGUNTAN
a) h=?
PLANTEAMIENTO
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
a+b+c+d+e+f+g+h=200
b+c+e+f=68
c+d+e+g=138
e+f+g+h=160
e+g=120
b+f=20
b+c=13
f=15
Resuelvo el sistema
(8) 𝑒𝑛 (6) ⟶ 𝑏 = 5
𝑒𝑛(7) ⟶ 𝑐 = 8
𝑒𝑛(2) ⟶ 𝑒 = 40
𝑒𝑛(5) ⟶ 𝑔 = 80
𝑒𝑛(4) ⟶ ℎ = 25
