ESTADISTICA Profesor: Prospero Celso Benites Grados PROFESOR. Prospero Celso Benites Grados Series de tiempo Una serie de tiempo es el conjunto de observaciones (lista de fechas) producidas en determinados momentos durante un período, ya sea semanal, trimestral o anual, generalmente a intervalos iguales. El conjunto de observaciones se simbolizan: y(t1), y(t2), .....y(tn). Donde: t1, t2, t3....., tn , son los tiempos, matemáticamente la serie puede simbolizarse como una función y = f(ti) MODELOS DE SERIES DE TIEMPO Incluye elaborar gráficas de los datos de demanda sobre una escala de tiempo y estudiar las gráficas para descubrir los modelos o los patrones consistentes. Luego, estos patrones se proyectan hacia el futuro. El comportamiento de cualquier serie de tiempo puede observarse gráficamente, no en todos los casos es posible distinguir las particularidades que cada una puede contener. Estos movimientos son llamados a menudo componente de una serie de tiempo, y que se supone son causados por fenómenos distintos. El análisis El primer paso para analizar una serie de tiempo es hacer la representación gráfica, que es una línea, la cual se construye sobre un sistema de ejes coordenados. En el eje horizontal se ubica la variable independiente tiempo (años, meses, días, etc), en el eje vertical los valores de la variable dependiente Y (ventas , producción, etc.) esto permite: identificar la tendencia, la estacionalidad, las variaciones irregulares. Un modelo clásico para una serie de tiempo, puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia estacional y un termino de error aleatorio. Aplicación: • La teoría y análisis de las series de tiempo pueden ser aplicados a múltiples campos, pudiendo afirmarse que todo hecho representable cuantitativamente y que sucede a lo largo de un período de tiempo puede estudiarse como una serie de tiempo: podemos mencionar como ejemplo: • Temperatura ambiente -temperatura de los enfermoselectrocardiogramas -Movimiento demográfico -Accidentes de trabajo -cantidad de pasajeros transportados -Series Meteorológicas -Monto de Ventas -Precios minoristas –Mayoristas -Montos de producción agrícola, ganadero o industrial -volumen de exportaciones e importaciones -Crecimiento -Población, etc. Importancia de su estudio: Una de las principales tareas que afronta un empresario, funcionario o un investigador es el planeamiento futuro. Esta tarea es sumamente difícil pues se trabaja en un terreno donde se corren muchos riesgos. Sin embargo, si se desea progresar social, económica, comercial y aún científicamente es necesario que alguien tome la responsabilidad de adelantarse al futuro y hacer predicciones con respecto a la actividad futura. Si pensamos en estas predicciones futuras vemos que las mismas deben basarse en el pasado, o sea que conviene siempre analizar la experiencia del pasado y lo que ocurre en el presente, para hacer un esfuerzo y predecir lo que puede suceder en un futuro incierto. Componentes de una serie de tiempo Movimientos característicos . Tendencia secular Variacion Cíclica Variación Estacional Variación Irregular o aleatorio 9 TENDENCIA SECULAR T • Indica la dirección predominante de la serie observada en un largo período de tiempo(años). Es el comportamiento promedio, por decirlo así, de la serie de tiempo. • Gráficamente suele representarse por una línea recta, la dirección puede ser ascendente, descendente, constante o curva suave. • Ejemplo: • La variación de los precios de los artículos a los largo de los años ofrece una clara tendencia del alza. • El rendimiento físico en los deportes muestra para todas las personas una tendencia aumentar hasta cierta edad, que depende de que deporte se practique. VARIACION ESTACIONAL E Estos movimientos representan, durante años sucesivos, donde la unidad del periodo es un año Las principales fuerzas que causan variaciones estacionales son los factores climáticos. Numerosas variables son influidas por las estaciones del año, los días festivos o a diferentes momentos del día o la semana de manera que estas variaciones se repiten año a año. Ejemplo: La ropa para caballeros y jóvenes, tienen ventas extremadamente altas antes de navidad, y relativamente bajas después de estas y durante el verano. Las ventas de juguetes son otro ejemplo del patrón estacional Año I Año II Año Año IV ESTACIONALIDAD Periodo de tiempo del Longitud de la Patron donde es repetido Estación Año Año Year Mes Mes Semana Trimestre Mes Semana Semana Dia Dia Número de Estaciones en el Patron 4 12 52 4 28 – 31 7 14 VARIACIONES CICLICAS C Las alzas y las bajas de la economía o de una industria especificas se representan en variaciones cíclicas . El ciclo empresarial normal consiste en un periodo de prosperidad seguido de periodos de recesión, depresión y luego, recuperación. Se observan fluctuaciones considerables que se desarrollan a lo largo de mas de un año, arriba y debajo de la tendencia secular. Ejemplo: niveles de inversión, producción, consumo y gastos del sector público, que originan los intervalos de prosperidad, retroceso, depresión y recuperación de la economía Ejemplo: - En el siguiente diagrama se muestra el numero de pilas vendidas por national battery sales, inc. De 1980 a 1997. Se resalta la naturaleza cíclica del negocio. Existen periodos de recuperación, seguidos por los de prosperidad, recesión, y finalmente el ciclo acaba con la depresión. Los patrones cíclicos tienden a repetirse en los datos aproximadamente cada dos tres o más años. Es común que las fluctuaciones cíclicas estén influidas por cambios de expansión y contracción económicas, a los que comúnmente se hace referencia como: Año I Año II Año III Año IV EL CICLO DE LOS NEGOCIOS Movimientos Irregulares o Aleatorio Muchos analistas prefieren sub dividir la variación irregular en variaciones episódicas y residuales. Las fluctuaciones episódicas no son predecibles, pero pueden identificarse. El impacto de (huelgas, guerras, inundaciones, terremotos, etc.) Pueden identificarse pero no pueden predecirse. Después que las fluctuaciones episódicas se han eliminado, a la variación restante se le llama variación residual. Por supuesto ninguna variación sea episódica o residual puede proyectarse al futuro. LA TENDENCIA La determinación de la tendencia tiene gran importancia en el estudio del comportamiento de la serie, y puede tomar diferentes formas tales como la rectilínea, parabólica exponencial, etc. existen varios métodos para lograr la estimación de la tendencia, entre los más utilizados se encuentran: Existen 2 métodos Métodos de los promedios móviles Método de ajuste de una línea o función Método del promedio móvil Es un método de apreciación grafica, cuyo objetivo es simplemente suavizar la línea poligonal que representa la serie cronológica Donde: Z=Promedio móvil. n=valores de la serie. m=subconjuntos de la serie m<n Z1 y1 y2 y3 3 Z2 y 2 y3 y 4 3 Z3 y3 y 4 y5 3 EJEMPLO: Los envíos para el mercado nacional de tractores agrícolas en el periodo de 1980-1987 por la empresa maquinas y herramientas Años 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 unidades 106 112 94 97 103 109 94 94 106 112 94 Z1 104 3 Z2 112 94 97 101 3 Z3 94 97 103 98 3 Resultados Años 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 Unidades 106 112 94 97 103 109 85 94 Promedio móvil 104 101 98 103 99 96 Representamos el promedio móvil mediante la grafica de polígonos Solo suaviza las fluctuaciones de la información. Este método no esta representado por ninguna fórmula matemática, y por tanto, no nos es posible realizar proyecciones Tendencia Lineal Es el método de tendencia mas sencillo Y a bX a y b son parámetros X es la variable independiente EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Consiste en determinar la función que hace mínima el cuadrado de la distancia entre los valores observados y los valores de la función de ajuste. Esta función a de servir para encontrar la información correspondiente a los años que continúan a la serie histórica. Veamos la mecánica de sus fórmulas, en los casos de una recta: A. Mediante Ecuaciones Simultáneas Grafica Diagrama de Dispersión de los datos GRÁFICA DE DATOS CON TENDENCIA LINEAL Y a bX Y * 1152.9947 118.294 X Datos históricos Datos ajustados Elección del Origen o Codificación del Tiempo Para series cronológicas de datos impar de periodos y un numero par de periodos Numero Impar de Periodos Años 1982 t 1 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 2 3 4 5 6 7 8 9 Numero Par de Periodos Años 1983 t -3.5 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 Codificación de la variable tiempo para simplificar los Cálculos Año Ventas (millones t tY t*t de dólares) Y 1997 7 1 7 1 1998 10 2 20 4 1999 9 3 27 9 2000 11 4 44 16 5 65 25 2001 13 50 15 163 55 La ecuación de la tendencia es, por lo tanto Y’ = 6.1 + 1.3 t, Las ventas se expresan en millones de dólares. El origen, o año o , es 1996 y t aumenta una unidad por cada año. Cómo se interpreta la ecuación? ¿ El valor 1.3 indica que las ventas aumentan a razón de 1.3 millones ( de dólares ) por año. El valor 6.1 es el de ventas estimadas cuando t=0. Esto es, el monto de las ventas estimadas para 1996 (el año base) es igual a 6.1 millones. Año Ventas (millones t Y’ Obtenido de de dólares) Y 1997 7 1 7.4 6.1 + 1.3(1) 1998 10 2 8.7 6.1 + 1.3(2) 1999 9 3 10.0 6.1 + 1.3(3) 2000 11 4 11.3 6.1 +1.3(4) 5 12.6 6.1 + 1.3(5) 2001 13 14 12 10 8 y y' 6 4 2 0 1 2 3 4 5 EJEMPLO: En el siguiente ejemplo nos dan los datos de los ingresos por ventas de café de la empresa “Meche” S.A.” en los años 2000-2009. X2 Y2 X Y XY a b c=a.b D=a.a E=b.b 1 1352.00 1352.00 1 1827904 2 1434.96 2869.92 4 2059110 3 1566.73 4700.19 9 2454643 4 1300.50 5202.00 16 1691300 5 1831.00 9155.00 25 3352561 6 1867.60 11205.60 36 3487930 7 2069.50 14486.50 49 4282830 8 1947.00 15576.00 64 3790809 9 2257.50 20317.50 81 5096306 10 2409.30 24093.00 100 5804727 55 18036.09 108957.71 385 33848120 • En la gráfica se muestra la recta de tendencia ajustada a datos trimestrales. La recta de trazos después de 1972 representa proyecciones. En el gráfico, los movimientos cíclicos alrededor de la curva de tendencia están trazados en negrita. Movimientos estacionales o variaciones estacionales • En el gráfico no se observa ningún movimiento estacional, puesto que se trata de una serie anual. AÑO Producción (miles) PRACTICA DE SERIES DE TIEMPO 1988 3 A continuación se presenta la producción anual de sillas mecedoras de Wood Products, Inc, 1989 7 1990 10 a).calcule un promedio móvil de orden 3 y orden 4. Grafique tanto los datos originales como los promedios móviles. 1991 12 1992 11 b).determine las ecuaciones de regresión (mínimos cuadrados).por los dos métodos de codificación 1993 9 1994 4 c).grafique la serie y luego grafique la recta de regresión. 1995 8 d).Haga el estimado de la producción para el año 2004 con las dos ecuaciones de regresión y compare. 1996 5 1997 8 1998 11 1999 9 2000 5 2001 14 Cálculos de promedio móvil de 5 y 7 años año 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ventas 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 3 4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 Total móvil 7 años Promedio móvil 7 años
