medidas-de-tendencia-central-posicic3b3n-y-dispersic3b3n

Medidas estadísticas: resumen de Fórmulas y aplicaciones por tipo:
1.- Medidas de posición:
1.1.-Cuartiles, deciles y percentiles, para datos simples:
Cuartiles:
•
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos
ordenados en cuatro partes iguales.
•
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
 Q2 coincide con la mediana.
a) Cálculo de cuartiles si el número de datos es impar:
Qi = k (n+1) k=1,2,3 Qi = Indica la posición que es también el valor.
4
b) Cálculo de cuartiles si el número de datos es par:
Qi = k (n+1) k=1,2,3 Qi = Indica sólo la posición.
4
Luego, con la posición se determina el valor:
Qk = D1 + k·(D2 – D1 )
4
Donde:
D1: dato de la posición inmediatamente inferior.
D2: dato inmediatamente superior.
Deciles:
Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Percentiles:
Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.
Para los deciles y percentiles, se utilizan los mismos criterios anteriores pero
cambiando el denominador por 10 con k = 1 . . 9 y 100, con k = 1 . . 99
respectivamente.
Ejercicios: para los siguientes conjuntos de datos:
a) 4, 23, 12, 3, 8, 11, 20, 9, 2, 15, 8
b) 12, 34, 23, 11, 7, 32, 44, 15, 6, 2, 23, 13
c) 3, 5, 7, 3, 4, 8, 7, 2, 1, 12 , 6, 14, 11, 20, 9, 2, 13, 22, 12, 16
Determinar los cuartiles y deciles.
1.2.- Cuartiles, deciles y percentiles para datos agrupados:
a) Ubicar la clase donde se encuentra:
𝑘 . 𝑁
4
, k = 1,2,3 en la tabla de frecuencias
acumuladas.
b) Determinar los cuartiles utilizando la fórmula: 𝐿𝑖 +
donde, Li:
𝑘. 𝑁
4
– 𝐹𝑖−1
𝑓𝑖
. 𝑎𝑖 𝑘 = 1,2,3.
es el límite inferior del rango donde se encuentra la clase.
Fi-1:
es la frecuencia absoluta acumulada inmediatamente inferior al rango
donde se encuentra la clase.
Fi:
es la frecuencia relativa en la clase.
ai:
es la amplitud del rango donde se encuentra la clase.
Nota: Para el cálculo de deciles y percentiles se reemplaza el 4 del denominador por 10
con k= 1 . . 9 y 100 respectivamente k = 1 . . 99.
Ejercicios:
Calcular los cuartiles y deciles para el conjunto de datos agrupados:
Rango
[ 0 , 10 )
[ 10 , 20 )
[ 20 , 30 )
[ 30 , 40 )
[ 40 , 50 )
[ 50 , 60 )
[ 70 , 80 )
[ 80 , 90 )
[ 90 , 100)
fi
Fi
2
6
12
25
27
22
17
6
3
N =
2.- Medidas de tendencia central.
Media, mediana y moda, para datos simples y datos agrupados (con rangos).
2.1.- Media.
2.1.1.- Media para datos simples: ( X )
Es la suma de los datos dividido por el número de datos.
X=
∑𝑛
1 𝑋𝑛
𝑁
=
𝑋1 + 𝑋2 + …+ 𝑋𝑛
𝑁
, donde N representa el número de datos.
2.1.2.- Media para datos agrupados:
Se considera la frecuencia fi relativa de cada evento.
Valor alcanzado: ( Xi )
Obsevaciones : ( fi )
𝑋 =
5
36
10
40
15
23
20
18
𝑋1 𝑓1 + 𝑋2 𝑓2 + …+ 𝑋𝑛 𝑓𝑛
𝑁
2.1.3.- Media para datos en sistemas discretos:
Se considera la frecuencia fi relativa de cada evento, pero Xi, pasa a
tomar el valor de la marca de clase y se aplica la ecuación anterior.
Rango
[ 0 , 20 )
[ 20 , 40 )
[ 40 , 60 )
𝑋 =
Xi (Ci)
10
30
50
𝑋1 𝑓1 + 𝑋2 𝑓2 + …+ 𝑋𝑛 𝑓𝑛
𝑁
fi
8
12
14
2.2.- Mediana:
La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la
distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.
Lo primero que se hace es se ordenar los datos de manera ascendente.
2.1.- Mediana para un conjunto de datos simples:
2.1.1.- Caso impar: se considera el valor central del conjunto de datos.
2.2.2.- Caso Par: se consideran los dos datos centrales y se promedian.
2.2.- Mediana para datos agrupados:
•
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada
llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
•
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentra.
𝑁
2
Se aplica la fórmula:
𝑁
– 𝐹𝑖−1
2
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +
. 𝑎𝑖
𝑓𝑖
Donde:
Li
es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
𝑵
𝟐
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1
es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai
es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejercicios:
Calcular las media y mediana de los siguientes conjuntos de datos:
a) 14, 3, 12, 13, 8, 11, 4, 9, 2, 5, 7
b) 22, 14, 23, 11, 7, 17, 24, 15, 16, 2, 13, 9
c) 8, 5, 7, 3, 4, 4, 7, 2, 1, 12 , 16, 14, 19, 20, 11, 2, 13, 22, 12, 16
d)
Rango
[ 0 , 20 )
[ 20 , 40 )
[ 40 , 60 )
[ 60 , 80 )
[ 80 , 100)
fi
4
7
6
18
15
2.3.- Moda:
La moda, representada por Mo, es el valor que más se repite en una
distribución (mayor frecuencia absoluta). Se puede hallar la moda para
variables cualitativas y cuantitativas.
a) Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es
decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9
Mo= 1, 5, 9
b) Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia,
no hay moda.
Ejemplo: 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
c) Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es
el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
Ejemplo: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8
Mo = 4
Cálculo de la moda para datos agrupados de forma discreta:
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Se aplica la fórmula:
Li
es el límite inferior de la clase modal.
fi
es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi—1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
Fórmula alternativa (menos exacta):
En el ejemplo:
ai = (63 - 60)
fi—1
Li
fi
fi+1
2º Los intervalos tienen distinta amplitud.
•
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
•
La clase modal es la que tiene mayor altura.
•
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
En el ejemplo:
a1 = (5 - 0) = 5
f1/a1 = 15/5 = 3
a2 = 2
Clase modal
hi
fi
Ejercicios:
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos.
a) 5, 3, 1, 2, 6 ,8
b) 5, 3, 1, 3, 1, 5, 3
c) 6,12,4,3,6,12,8,9,11
d) Incidencia de contagio viral según grupo de edad en poblado
Edad
Frecuencia
[ 0 – 15 )
[ 15 – 30 )
[ 30 – 45 )
[ 45 – 60 )
[ 60 – 75 )
35
25
23
28
37
e) Siembra de trigo por superficie en hectáreas para cada comuna
Comuna
Superficie
Frecuencia
La palma
El cerro
San Francisco
La yunta
El fraile
[ 0 - 20 )
[ 20 – 50 )
[ 50 – 100 )
[ 100 – 200 )
[ 200 – 500 )
24
40
46
38
40
3.-
Medidas de dispersión:
3.1.-
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones
respecto a la media.
La desviación media se representa por
3.2.- Desviación media para datos agrupados:
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:
Ejercicios:
Determinar la desviación media de los siguientes conjuntos de datos:
a)
Puntaje
1
2
3
4
5
6
7
frecuencia
4
5
2
6
7
3
6
b)
c)
d)
2, 3, 6, 8, 11.
e)
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.