6.9 Presión y fuerza del fluido 363 Antes de empezar, considere un ejemplo simple de presión y fuerza de una placa sumergida horizontalmente. h2 h h1 A sobre una placa vertical la presión varía de la parte superior al fondo F 5 Ah a) Placa horizontal b) Placa vertical FIGURA 6.9.1 La presión y la fuerza del fluido son constantes sobre una placa sumergida horizontalmente, pero la presión y la fuerza del fluido varían con la profundidad en una placa sumergida verticalmente EJEMPLO 1 Presión y fuerza Una placa rectangular plana de 5 pies * 6 pies se sumerge horizontalmente en agua a una profundidad de 10 pies. Determine la presión y la fuerza ejercidas sobre la placa por el agua arriba de ésta. Solución Recuerde que el peso específico del agua es 62.4 lb/pie3. Así, por (2) la presión del fluido es P rh (62.4 lb/pie3) . (10 pies) 624 lb/pie2. Puesto que el área superficial de la placa es A = 30 pies2, por (3) se concluye que la fuerza del fluido sobre la placa es F PA (rh)A (624 lb/pie 2) . (30 pies2) 18 720 lb. 10 pies Para determinar la fuerza total F ejercida por un fluido sobre un lado de una superficie plana sumergida verticalmente, se emplea una forma del principio de Pascal: • La presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. Entonces, si en un gran contenedor con fondo plano y paredes verticales se vierte agua hasta una profundidad de 10 pies, la presión de 624 lb/pie2 en el fondo se ejerce de la misma forma sobre las paredes. Vea la FIGURA 6.9.2. Construcción de una integral Considere que el eje x positivo está dirigido hacia abajo con el origen en la superficie del fluido. Suponga que una placa plana vertical, limitada por las rectas horizontales x = a y x = b, se sumerge en el fluido como se muestra en la FIGURA 6.9.3a). Sea w(x) una función que denota el ancho de la placa en cualquier número x en [a, b] y sea P cualquier partición del intervalo. Si x*k es un punto muestra en el k-ésimo subintervalo [xk21, xk ], entonces por (3) con las identificaciones h 5 x*k y A 5 w (x*k ) ¢xk, la fuerza Fk ejercida por el fluido sobre el elemento rectangular correspondiente es aproximada por Fk 5 r . x*k . w (x*k ) ¢xk, FIGURA 6.9.2 Una presión de 640 lb/pie2 se aplica en todas direcciones Superficie y a x w(x) b x donde, como antes, r denota el peso específico del fluido. Así, una aproximación a la fuerza del fluido sobre un lado de la placa está dada por la suma de Riemann n a) Superficie n a Fk 5 a rx*k w (x*k ) ¢xk. k51 k51 x*k a Esto sugiere que la fuerza total del fluido sobre la placa es n F lím a rx*k w(x*k ) ¢xk. 7P7 S0 b 1 k b) Sea r el peso específico de un fluido y sea w(x) una función continua sobre [a, b] que describe el ancho de una placa plana sumergida verticalmente a una profundidad x. La fuerza F ejercida por el fluido sobre un lado de la placa sumergida es b rx w (x) dx. F a w(x*k ) x Definición 6.9.1 Fuerza ejercida por un fluido (4) y Dxk 5 xk 2 xk 2 1 FIGURA 6.9.3 Placa vertical sumergida con ancho variable w(x) sobre [a, b] CAPÍTULO 6 Aplicaciones de la integral 364 EJEMPLO 2 Fuerza de un fluido Una placa en forma de triángulo isósceles de 3 pies de altura y 4 pies de ancho se sumerge verticalmente en agua, con la base hacia abajo, hasta que la base queda a 5 pies por debajo de la superficie. Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa. superficie y (2, 0) x*k Dxk Solución Por conveniencia, el eje x positivo se coloca a lo largo del eje de simetría de la placa triangular con el origen en la superficie del agua. Como se indica en la FIGURA 6.9.4, el intervalo [2, 5] se parte en n subintervalos [xk21, xk ] , y en cada subintervalo se escoge un punto x*k . Puesto que la ecuación de la línea recta que contiene a los puntos (2, 0) y (5, 2) es y 5 23 x 2 43, por simetría se concluye que el ancho del elemento rectangular, mostrado en rojo en la figura 6.9.4, es 4 2 2y*k 5 2 Q x*k 2 R. 3 3 3 x*k (5, 22) (5, 0) 2 Luego, r = 62.4 lb/pie3, de modo que la fuerza del fluido sobre esa porción de la placa que corresponde al k-ésimo subintervalo es aproximada por (5, 2) x 4 2 Fk 5 (62.4) . x*k . 2 Q x*k 2 R ¢xk. 3 3 FIGURA 6.9.4 Placa triangular en el ejemplo 2 Al formar la suma g k 5 1 Fk y tomar el límite cuando 7 P 7 S 0 obtenemos n 5 F 2 2 (62.4)2x Q x 3 (62.4) 4 3 4 R dx 3 5 (x 2 2x) dx 2 5 1 83.2 Q x3 x 2 R d 3 2 (83.2) . 18 1 497.6 lb. En problemas como el ejemplo 2, los ejes x y y se colocan donde convenga. Si el eje y se coloca perpendicular al eje x en la parte superior de la placa en el punto (2, 0), entonces los cuatro puntos (2, 0), (5, -2), (5, 0) y (5, 2) en la figura 6.9.4 se vuelven (0, 0), (3, -2), (3, 0) y (3, 2), respectivamente. La ecuación de la línea recta que contiene a los puntos (0, 0) y (3, 2) es y 5 23 x. Usted debe comprobar que la fuerza F ejercida por el agua contra la placa está dada por la integral definida F 5 (62.4) 4 3 3 # x(x 1 2) dx. 0 EJEMPLO 3 Fuerza del agua contra una presa Una presa tiene una cara rectangular vertical. Encuentre la fuerza ejercida por el agua contra la cara vertical de la presa si la profundidad del agua es h pies y su ancho mide l pies. Vea la FIGURA 6.9.5a). h Solución Para variar, el eje x positivo apunta hacia arriba desde el fondo de la cara rectangular de la presa, como se muestra en la figura 6.9.5b). Luego, el intervalo [0, h] se divide en n subintervalos. Al eliminar uno de los subíndices, la fuerza Fk del fluido contra esa porción rectangular de la placa que corresponde al k-ésimo subintervalo, mostrado en rojo claro en la figura 6.9.5b), es aproximada por agua presa a) Vista lateral de la presa y el agua x Fk 5 (62.4) . (h 2 x) . (l ¢x). presa h–x h Dx x agua l b) Agua contra la cara de la presa FIGURA 6.9.5 Presa en el ejemplo 3 Aquí la profundidad es h – x y el área del elemento rectangular es l ¢x. Al sumar estas aproximaciones y tomar el límite cuando 7 P7 S 0 se llega a h y F5 # 62.4 l (h 2 x) dx 5 21 (62.4)lh . 2 0 En el ejemplo 3, si, por ejemplo, la profundidad del agua es 100 pies y su ancho mide 300 pies, entonces la fuerza del fluido sobre la cara de la presa es 93 600 000 lb. 6.9 Presión y fuerza del fluido 365 Ejercicios 6.9 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-21. Fundamentos 1. Considere los tanques con fondos circulares que se muestran en la FIGURA 6.9.6. Cada tanque está lleno de agua cuyo peso específico es 62.4 lb/pie3. Encuentre la presión y la fuerza ejercidas por el agua sobre el fondo de cada tanque. 20 pies 20 pies 20 pies con el vértice a 1 pie por abajo de la superficie del agua. Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa. 5. Encuentre la fuerza sobre un lado de la placa en el problema 4 si la placa está suspendida con la base hacia arriba a 1 pie por abajo de la superficie del agua. 6. Una placa triangular se sumerge verticalmente en agua como se muestra en la FIGURA 6.9.9. Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa. superficie y 2 pies 5 2 pies pies b) a) FIGURA 6.9.6 Tanques en el problema 1 10 pies (2, 23) (2, 1) c) 2. El buque tanque mostrado en la FIGURA 6.9.7 tiene fondo plano y está lleno de petróleo cuyo peso específico es 55 lb/pie3. El buque mide 350 pies de largo. a) ¿Cuál es la presión que ejerce el petróleo sobre el fondo del buque? b) ¿Cuál es la presión que ejerce el agua sobre el fondo del buque? c) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el petróleo sobre el fondo del buque? d) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre el fondo del buque? 96 pies Agua Petróleo 85 pies 125 pies (4, 0) x FIGURA 6.9.9 Placa triangular en el problema 6 7. Suponga que el eje x positivo es hacia abajo y que una placa acotada por la parábola x 5 y 2 y la recta x = 4 se sumerge verticalmente en aceite cuyo peso específico es 50 lb/pie3. Si el vértice de la parábola está en la superficie, encuentre la fuerza ejercida por el aceite sobre un lado de la placa. 8. Suponga que el eje x positivo es hacia abajo, y que una placa acotada por la parábola x 5 y 2 y la recta y = -x + 2 se sumerge verticalmente en agua. Si el vértice de la parábola está en la superficie, encuentre la fuerza ejercida por el aceite sobre un lado de la placa. 9. Un canalón lleno de agua tiene extremos verticales en forma de trapezoide como se muestra en la FIGURA 6.9.10. Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado del canalón. 10 pies FIGURA 6.9.7 Buque tanque en el problema 2 3. Las dimensiones de una piscina rectangular en forma de paralelepípedo rectangular son 30 pies * 15 pies * 9 pies. a) Si la piscina está llena de agua hasta una profundidad de 8 pies, encuentre la presión y la fuerza ejercidas sobre el fondo plano de la piscina. Vea la FIGURA 6.9.8. b) Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre una de las paredes verticales de la piscina, así como sobre un lado vertical. 30 pies 4 pies 2 pies 6 pies 2 pies FIGURA 6.9.10 Canalón de agua en el problema 9 10. Un canalón lleno de agua tiene extremos en la forma que se muestra en la FIGURA 6.9.11. Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado del canalón. 2 pies Superficie 9 pies 8 pies 15 pies Cara lateral Extremo FIGURA 6.9.8 Piscina en el problema 3 4. Una placa en forma de triángulo equilátero de 13 pie por lado se sumerge verticalmente, con la base hacia abajo, 2 pies 2 pies FIGURA 6.9.11 Canalón de agua en el problema 10
