Guía de Aplicaciones de la Integral de Riemann Prof: Gladys Figueroa R. Problema 1. Calcule el área encerrada por las curvas y = x e y = x2 – 2. Respuesta: 20 . 3 Problema 2. Calcule el área de la región encerrada por las curvas x = y2 e y = x – 2. Respuesta: 9 . 2 Problema 3. Calcule el área de la región limitada por la parábola y = x2 y las rectas y= x 1 ,x= e y = 1. 2 2 Respuesta: 53 48 Problema 4. Calcule el área de la región exterior a la cardiode r = 1 – cos( ) e interior a la circunferencia r = sen( ). Respuesta: 1 - 4 . Problema 5. Dadas las curvas r = 4sen( ) y r2 = 8cos(2 ). Calcule el área interior a ambas curvas. Respuesta: 4 4 4 3. 3 Problema 6. Dadas las curvas C1: x = t2 e y = 2t2(t – 2) y C2: x = t2 e y = t2(t + 2) con t 0. Calcule el área de la región limitada por C1 y C2. Respuesta. 3 64 . 5 Problema 7. Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor de la recta x = - 2 la región limitada por las gráficas de y = (x – 1)2 e y = 1 – x. 5 . 6 Respuesta. Problema 8. Calcule la longitud de la curva dada por las ecuaciones paramétricas x(t) = t2 e y(t) = t3, t [0, 1]. 1 13 13 8 . 27 Respuesta. Problema 9. Encuentre el área de la superficie obtenida al girar alrededor del eje x, la curva y = sen(x), x [0, ]. Respuesta. 2 ( 2 ln(1 2)) . Problema 10. Calcule el volumen del sólido resultante al girar la región encerrada por las curvas y = x3 e y = x x 0, alrededor de la recta x = 1. 13 . 30 Respuesta. Problema 11. La parábola y = 1 2 x 2 une los puntos P = (-3, 3) y Q = (3, 3). 9 (11.1) Escriba una integral que permita calcular la longitud del arco que une P y Q. (11.2) Escriba una integral que permita calcular el área de la superficie que se genera cuando el arco gira alrededor del eje x. Respuestas. (11.1) 3 3 (11.2) 2 1 (2 x / 9)2 dx . 3 3 (2 ( x2 / 9)) 1 (2 x / 9)2 dx . Problema 12. Encuentre el valor de a de modo que el volumen del sólido obtenido al girar la región del primer cuadrante limitada por y = x2 e y = a, en torno 81 . 2 del eje y sea Respuesta. 9. Problema 13. Dadas las curvas C1 : x = t2 e y = 2t2(t – 2) y C2 : x = t2 e y = t2(t + 2) con t 0 y R la región limitada por C1 y C2. (13.1) Determine el área de la región R. (13.2) Exprese las integrales que permiten calcular el perímetro de R. Respuestas: 3 (13.1) 6 4 . 5 (13.2) 6 0 4t 2 (6t 2 8t )2 4t 2 (3t 2 2t )2 dt . Problema 14. Sea R la región común determinada por los interiores de las curvas 1 1 sen( ) y 1 cos( ) . Exprese las integrales que permiten calcular el área 2 y el perímetro de R. Ind. Las curvas se intersectan para = 0,46 y = 3,6. Respuestas. 3,6 0,46 1 3,6 1 1 6,74 (1 cos( )) 2 d + (1 sen( )) 2 d y 2 0,46 2 2 3,6 1 1 (1 cos( )) 2 sen 2 ( ) d + 2 4 6,74 3,6 (1 sen( ))2 cos2 ( ) d , respectivamente. Problema 15. Dada la región limitada por las curvas y2 = x e y2 = - (x – 1). (15.1) Exprese el área de la región D. (15.2) Exprese el volumen generado al girar la región D en torno del eje de las ordenadas (eje y), mediante el método de cilindros. (15.3) Exprese el volumen generado al girar la región D en torno a la recta x = -1, mediante el método de cilindros. (15.4) Exprese el volumen generado al girar la región D en torno a la recta y = 2, mediante el método de anillos. Respuestas. (15.1) A = 2 1/ 2 0 (15.2) V = 2 (15.3) V = 2 (15.4) V = 2 (1 2 y 2 ) dy . 1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 (1 y ) ( y 2 )2 dy . (2 y ) ( y 2 1)2 dy . 2 2 2 2 (2 y) 1 2 y 2 dy .
