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EJERCICIOS PROPUESTOS: GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
1. Demostrar que
del vector ⃗
y determinar los cosenos directores
⃗
⃗
2. Un ave va volando en línea recta con vector velocidad
. Suponer
que (x,y) son sus coordenadas en tierra y que z es su altura.
a) Si en cierto momento el ave está en la posición (1,2,3), Dónde estará una hora
después?. Y un minuto después?
b) Cuántos segundos tarda el ave en subir 10 metros?
Un fluido fluye a través de una superficie plana con vector de velocidad
uniforme v. Sea n una normal unitaria a la superficie del plano. Mostrar que v.n
es el volumen que pasa por unidad de área del plano en una unidad de tiempo.
⃗ al
3. En la figura mostrada, hallar el trabajo que realiza la fuerza
⃗
desplazar una carga puntual a lo largo de la trayectoria del vector
4. Demostrar
( )
⃗ , hallar
5. Siendo
6. Hallar
sabiendo que
7. Siendo
⃗
, demostrar que ⃗
8. Hallar | |
9. Siendo
⃗
,
⃗
,
⃗
⃗
,
⃗
, demostrar que ⃗ y ⃗
satisfacen
10. Un vector v se llama irrotacional si
forma
que
irrotacional. (b) Si
, (a) Hallar las constantes a, b, c de
⃗
,
sea
es un campo vectorial conservativo determinar la función
potencial.
11. Siendo
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⃗ , hallar (a)∫
y (b)∫
.
Dinámica
12. La aceleración de una partícula en función del tiempo
viene dada por:
⃗
Sabiendo que la velocidad
y el desplazamiento son nulos en t=0, hallar en
función del tiempo la ley de las velocidades y espacios.
13. Hallar ∫
⃗, ⃗
14. Siendo
(a)(
) , (b)
, (c)(
) , (d)(
⃗ y
, hallar:
) , (e)
15. Hallar el Laplaciano de
16. L a altura de una montaña está dada por:
Donde el eje y señala hacia el norte y el eje x hacia el este. Un esquiador se
encuentra, con una brújula en la mano, cerca de la punta de la colina (x=y=0.01). Las direcciones norte, este, sur y oeste se indican como 0°, 90°, 180°,
270°, respectivamente. Un explorador pretende bajar en aquella dirección
donde la pendiente de la colina está más inclinada. Determine la dirección de la
brújula (en grados) donde la persona debe comenzar su descenso.
17. Determinar la divergencia de la fuerza de interacción eléctrica producido por
un solo punto de la fuente considerar:
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⃗
Dinámica
18. Encuentre la divergencia del campo vectorial
⃗
19. La distribución de la temperatura en una placa de cobre, viene dada por la
función:
, donde T está medida en grados centígrados y
x,y,z en metros. En qué dirección aumenta ás rápido la temperatura respecto al
punto (1, 3,2)?. Cuál es la máxima tasa de crecimiento?
20. Determinar la constante a de forma que el vector
⃗ sea solenoidal (un vector es solenoidal si su divergencia es 0)
21. Hallar el ángulo agudo formado por las superficies
y
en el punto (1, -2, 1).
22. Expresar la velocidad y la aceleración en coordenadas cilíndricas.
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Dinámica