UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA CURSO DE CONCRETO PRETENSADO CICLO 2020.1 Ejemplo: tonf := 1000kgf Mpa := 1000000Pa DATOS: L := 13m h := 0.40m (Luz del Elemento Simplemente Apoyado) b := 1.60m calzada := 4.5m (Ancho de la Viga) (Altura de la Viga) (Ancho Tributario) Acero de Presfuerzo: kgf fpu := 18900 2 cm cotafondo := 0.05m R := 0.7 0.6 A1toron0.5 := 0.987cm 2 A1toron0.6 := 1.4cm 2 (C. de Gravedad del Cable en el centro de la viga ) (Factor : R = 1.1667 Pinicial Pefectivo ) Cargas: Alig := 300 kgf 2 m Muerta := 200 kgf 2 m Viva := 200 kgf 2 m Concreto: f'c := 280 kgf cm CONCRETO PRESFORZAD 2 f'ci := 0.75 f'c f'ci = 210 kgf cm Ing. Luis Villena Sotomayor 2 Solución: A := b h h yb := 2 yt := h - yb A = 6400 cm 2 yb = 20 cm yt = 20 cm 3 h 12 I Zt := yt I Zb := yb I := b I = 853333.33 cm Zt = 42666.7 cm Peso Propio: 3 Zb = 42666.7 cm exc := yb - cota fondo 4 3 exc = 15 cm Q := 12.2 Carga Distribuida: Wpp := ( A) 2.4 Momento: Wpp L Mpp := Q tonf 3 m tonf Wpp = 1.536 m 2 Esfuerzos: Mpp = 21.28 tonf m Mpp σppt := Zt Mpp σppb := Zb σppt = -49.9 σppb = 49.9 Peso Aligerado: Carga Distribuida: Walig := ( calzada - b) Alig Momento: Walig L Malig := Q kgf cm kgf cm 2 2 tonf Walig = 0.87 m 2 Esfuerzos: CONCRETO PRESFORZAD Malig σaligt := Zt Malig σaligb := Zb Ing. Luis Villena Sotomayor Malig = 12.05 tonf m σaligt = -28.2 σaligb = 28.2 kgf cm kgf cm 2 2 Carga Muerta: tonf Wd = 0.9 m Wd := calzada Muerta Carga Distribuida: 2 Wd L Md := Q Md σdt := Zt Md σdb := Zb Momento: Esfuerzos: Md = 12.47 tonf m σdt = -29.2 σdb = 29.2 kgf cm kgf cm 2 2 Sobrecarga : tonf Wsc = 0.9 m Wsc := calzada Viva 2 Wsc L Msc := Q Msc σsct := Zt Msc σscb := Zb Momento: Esfuerzos: Msc = 12.47 tonf m σsct = -29.2 σscb = 29.2 kgf cm kgf cm 2 2 CALCULA DE LA FUERZA PRETENSORA: Esfuerzo en la fibra inferior en el centro de luz (ETAPA FINAL): ftb := 1.6 f'c kgf cm ftb = 26.8 2 kgf cm ftb = 26.77 2 kgf cm 2 Pe Pe exc + σppb + σaligb + σdb + σscb = ftb Zb A - De donde: Pe := ( ) - σppb + σdb + σaligb + σscb + ftb - 1 - exc A Zb Pe = 216.2 tonf Donde los Esfuerzos por Pretensado Efectivo al centro de luz son : -Pe A CONCRETO PRESFORZAD = -33.8 kgf cm 2 -Pe exc Zb = -76 kgf cm 2 Ing. Luis Villena Sotomayor Pe exc Zt = 76 kgf cm 2 Esfuerzos en la Fibra Superior (ETAPA INTERMEDIA Y FINAL): Pe Pe exc kgf + + σppt + σdt = -36.9 2 A Zt cm fct := -0.45f'c = -126 Pe Pe exc kgf + + σppt + σdt + σsct = -66.1 2 A Zt cm fct := -0.6f'c = -168 - - kgf cm 2 kgf cm 2 OK!: sigue en compresión, ni siquiera llega a traccionarse. Luego Verificación del esfuerzo en la fibra inferior al centro de luz (ETAPA INICIAL): Pi := R Pe R = 1.1667 Pi = 252.2 tonf Donde los Esfuerzos por Pretensado Inicial son: -Pi A = -39.4 kgf cm 2 -Pi exc Zb = -88.7 kgf cm 2 Pi exc Zt = 88.7 kgf cm 2 Esfuerzos en la Fibra Superior (ETAPA INICIAL): Pi Pi exc kgf - + + σppt = -0.6 2 A Zt cm kgf ftit := 0.25 f'c Mpa = 13.4 cm OK!: sigue en compresión, ni siquiera llega a traccionarse. Esfuerzos en la Fibra Inferior (ETAPA INICIAL): Pi Pi exc kgf - + σppb = -78.2 2 Zb A cm fcib := -( 0.6f'ci) = -126 kgf cm 2 Número de torones: Fuerza de trabajo estimada de 1 torón de 0.5": Ntorones := Pe fpe1de05 = 19.3 Redondeando: 20 torones de Ø0.5" Ap := 20 A1toron0.5 = 19.74 cm CONCRETO PRESFORZAD fpe1de05 := 0.6 fpu A1toron0.5 = 11.1926 tonf 2 Ing. Luis Villena Sotomayor 2 CALCULA DE PERDIDAS POR FRICCION Y EMBUTIMIENTO DE LA FUERZA PRETENSORA: R = 1.1667 Pi := R Pe = 252.2 tonf kgf kgf Ec := 15000 f'c Ec = 250998.008 2 2 cm cm Eci := 15000 f'ci Ep := 2009400 kgf cm 2 Eci = 217370.6512 (Fuerza Inicial - Asumido) (Mod. de Elasticidad del Concreto) kgf cm 2 kgf cm (Mod. de Elasticidad del Concreto en el momento del Tensado) (Mod. de Elasticidad del Acero de Pretensar) 2 Diagramas de Esfuerzos Iniciales y Finales en el Acero de Pretensar Pe := 216tonf L fj Dfa CASO 1 ( x <= L/2 ) : x Ø Ø -(u* +k*x) fx=fj*e fx fi df Pérdidas fa Emb=Area/Ep fj CASO 2 ( x > L/2 ) : x fcL Ø Ø Dfa fj Emb=Area/Ep df fx fi fa fL fe Pérdidas fL fe CASO 3 ( x > L ) : fcL df Ø fL Df fa Emb=Area/Ep fi fe CONCRETO PRESFORZAD Ing. Luis Villena Sotomayor Ø Pérdidas fx df2 Datos: Emb := 0.6cm fj := 0.745fpu (Embutimiento de Cuñas en el Anclaje) fj = 14080.5 kgf cm 1 μ := 0.07 rad 1 k := 0.0016 m (Esfuerzo del Acero en el Gato<=0.80fpu) 2 (Coeficiente de fricción angular) (Coeficiente de fricción por ondulamiento) Donde: Esfuerzo del Cable en un Punto "x" del Elemento: - ( μ α + k x) fx := fj e Para el centro de Luz: L 2 dy1 := yb - cotafondo dx1 := dx1 = 6.5 m dy1 = 0.15 m α1 := atan 2 dy1 dx1 α1 = 0.0461 - ( μ α1+k dx1) r := e r = 0.9865 - ( μ α1+k dx1) fcL := fj e fcL = 13889.9 kgf cm fcL = 0.7349 fpu 2 Para el extremo de la viga: L 2 dy2 := yb - cotafondo dx2 := dx2 = 6.5 m dy2 = 0.15 m α2 := atan 2 dy2 dx2 α2 = 0.0461 - [ μ ( α1+α2) +k ( dx1+dx2) ] r := e fL := fj e α1 + α2 = 0.0922 r = 0.9731 - [ μ ( α1+α2) +k ( dx1+dx2) ] fL = 13701.9 kgf cm fL = 0.725 fpu 2 Cálculo de la Longitud del Embutimiento ( X ): Por semejanza: X L = Dfa df 2 df := fj - fL donde: X := Despejando: y también: Emb = Area Dfa X = Ep 2Ep df = 378.6083 Ep Emb L df kgf cm 2 X = 20.3463 m Por consiguiente : Estamos en el Caso "3" ( X>L): Luego: CONCRETO PRESFORZAD Dfa := 2 df X L Dfa = 1185.1196 kgf cm Ing. Luis Villena Sotomayor 2 Calculamos los valores para la gráfica después del Embutimiento: Valores de iniciación: y := 0 kgf cm 2 kgf fx := fL - y = 13701.8917 cm 2 fi := fx - ( fcL - fL) = 13513.8775 fa := fi - ( fj - fcL) = 13323.2834 kgf cm kgf cm 2 2 Given ( fcL - fi) + ( fj - fa) L ( fL - fx) + ( fcL - fi) L Emb ( Ep) = + 2 2 2 2 fx = fL - y fi = fx - ( fcL - fL) fa = fi - ( fj - fcL) fx fi := Find ( fx , fi , fa , y) fa y fx 13151.8 fi 12963.8 = kgf fa 12773.2 cm2 y 550.1 Verificando : fx := fL - y = 13151.8 kgf cm 2 fi := fx - ( fcL - fL) = 12963.8 fa := fi - ( fj - fcL) = 12773.2 kgf cm kgf cm 2 2 fx = 0.6959 fpu fi = 0.6859 fpu fa = 0.6758 fpu ( fcL - fi) + ( fj - fa) L + ( fL - fx) + ( fcL - fi) L 2 2 2 2 = 6 mm ( Ep) CONCRETO PRESFORZAD Ing. Luis Villena Sotomayor 0 L Ubicación := 2 L Graficando : fj = 14081 fj Esf_Iniciales := fcL fL kgf cm fcL = 13890 kgf cm 2 fa Esf_desp_emb := fi fx fL = 13702 2 kgf cm 2 Diagrama de Esfuerzos 9 Esfuerzos 1.410 Esf_Iniciales Esf_desp_emb 9 1.310 9 1.210 0 5 10 15 Ubicación fa = 12773 kgf cm fi = 12964 2 kgf cm fx = 13152 2 kgf cm 2 Cálculo de Puntos del Diagrama de esfuerzos: Esfuerzo: En el gato: En el punto más alto del diagrama después de la tanferencia: En el anclaje post-embutimiento: fj = 14081 Relación: kgf fj fpu fx fpu fa fpu fL fpu 2 cm kgf fx = 13152 2 cm kgf fa = 12773 2 cm kgf fL = 13702 2 cm kgf fL - y = 13151.8 fi = 12964 cm kgf cm 2 fe := fi - 1500 kgf cm CONCRETO PRESFORZAD 2 2 = 0.745 0.80fpu = 0.6959 0.70fpu = 0.6758 0.70fpu = 0.725 fL - y = 0.6959 fpu fi = 0.6859 fpu = 11463.8 Ing. Luis Villena Sotomayor Límites ACI: kgf cm 2 0.70fpu fe = 0.6065 fpu Alargamiento de Torón: fj + fcL L + fcL + fL L 2 2 2 2 - 6mm = 84 mm ΔL := fj + fcL L = 45.2393 mm 2Ep 2 Ep fa + fi L + fi + fx L 2 2 2 2 kgf fiprom := = 12963 2 L cm CONCRETO PRESFORZAD Ing. Luis Villena Sotomayor fi = 12963.8 kgf cm 2 CALCULO DE PERDIDAS DIFERIDAS (SISTEMA NO ADHERIDO) Acortamiento Elástico del Concreto: Ep ES := Kes fcpa Eci Donde: Kes Kes fcpa = = = 0.5 Para miembros postensados donde los tendones son tensionados secuencialmente. 0 Para miembros postensados con un solo tendón Esfuerzo de compresión promedio en el concreto a lo largo del miembro en el centro de gravedad los tendones inmediatamente después del tensado. (PSI) Kes := 0.5 fcpa := Pi A = 39.38 kgf cm R = 1.1667 Pi := R Pe = 252 tonf 2 Ep ES := Kes fcpa = 2588.6 psi Eci CREEP del Concreto: kgf ES = 182 cm 2 Ep CR := K cr fcpa Ec Donde: Kcr = coeficiente de acortamiento plástico = 1.60 Kcr := 1.6 Ep CR := K cr fcpa = 7173.6 psi Ec Acortamiento de Fragua del Concreto: CR = 504.4 kgf cm SH := 8.2 10 -6 2 CR = 2.7713 ES Ksh Ep ( 1 - 0.06 VS) ( 100 - RH) Donde: Ksh = V/S RH = = Ksh := 0.85 VS := Es una constante de encogimiento = 1 para elementos pretensados ó definida en la Tabla N° 1 para elementos postensados. Razón de volumen a superficie (pulg.) Porcentaje de humedad relativa promedio Tabla N° 2 ( Para3días) ( 1.60 0.40) 100 = 6.9991 ( 2 1.60 + 2 0.40 - 2 0.20) 2.54 pulgadas RH := 80 SH := 8.2 10 CONCRETO PRESFORZAD -6 Ksh Ep ( 1 - 0.06 VS) ( 100 - RH) = 2310.99 psi Ing. Luis Villena Sotomayor SH = 162.5 kgf cm 2 RE := [ Kre - J ( SH + CR + ES) ] C Relajación del Acero de Pretensar: Donde: fi = 12964 kgf cm fi fpu = 0.6859 2 (Esfuerzo inicial del Acero de Pretensar - Estimado) kgf Kre := 5000psi = 351.5 2 cm J := 0.04 C := 0.6836 ( SH + CR + ES) 0.04 = 34 cm Por consiguiente: RE := [ Kre - J ( SH + CR + ES) ] C RE = 217.1 2 kgf cm fi = 0.6859 fpu kgf 2 C 0.69 0.6859 0.68 0.70 0.6836 0.66 Interpolando obtenemos "C" SUMA DE PERDIDAS DIFERIDAS + ACORTAMIENTO ELÁSTICO: ES = 182 kgf 2 cm kgf CR = 504.4 2 cm kgf SH = 162.5 2 cm kgf RE = 217.1 2 cm Perdidas := ES + CR + SH + RE fi = 12963.8 fe := fi - Perdidas = 11897.9 kgf cm R := fe A1toron0.5 fi = 1.0896 fe CONCRETO PRESFORZAD 2 pÉRDIDAS := ( Ap Perdidas) = 21.0414 tonf 2 Pe kgf cm kgf cm Ntor := Perdidas = 1065.9 2 = 18.3937 fe = 0.6295 fpu Ntor := 19 (Factor R < que el asumido OK!) Ing. Luis Villena Sotomayor fe A1toron0.5 = 11.74 tonf CONCRETO PRESFORZAD Ing. Luis Villena Sotomayor