ejemplo 2020.1-PERDIDAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
CURSO DE CONCRETO PRETENSADO CICLO 2020.1
Ejemplo:
tonf := 1000kgf
Mpa := 1000000Pa
DATOS:
L := 13m
h := 0.40m
(Luz del Elemento Simplemente Apoyado)
b := 1.60m
calzada := 4.5m
(Ancho de la Viga)
(Altura de la Viga)
(Ancho Tributario)
Acero de Presfuerzo:
kgf
fpu := 18900
2
cm
cotafondo := 0.05m
R :=
0.7
0.6
A1toron0.5 := 0.987cm
2
A1toron0.6 := 1.4cm
2
(C. de Gravedad del Cable en el centro de la viga )
(Factor :
R = 1.1667
Pinicial
Pefectivo
)
Cargas:
Alig := 300
kgf
2
m
Muerta := 200
kgf
2
m
Viva := 200
kgf
2
m
Concreto:
f'c := 280
kgf
cm
CONCRETO PRESFORZAD
2
f'ci := 0.75 f'c
f'ci = 210
kgf
cm
Ing. Luis Villena Sotomayor
2
Solución:
A := b h
h
yb :=
2
yt := h - yb
A = 6400 cm
2
yb = 20 cm
yt = 20 cm
3
h
12
I
Zt :=
yt
I
Zb :=
yb
I := b
I = 853333.33 cm
Zt = 42666.7 cm
Peso Propio:
3
Zb = 42666.7 cm
exc := yb - cota fondo
4
3
exc = 15 cm
Q := 12.2
Carga
Distribuida:
Wpp := ( A)  2.4
Momento:
Wpp L
Mpp :=
Q
tonf
3
m
tonf
Wpp = 1.536
m
2
Esfuerzos:
Mpp = 21.28 tonf  m
Mpp
σppt := Zt
Mpp
σppb :=
Zb
σppt = -49.9
σppb = 49.9
Peso Aligerado:
Carga
Distribuida:
Walig := ( calzada - b)  Alig
Momento:
Walig L
Malig :=
Q
kgf
cm
kgf
cm
2
2
tonf
Walig = 0.87
m
2
Esfuerzos:
CONCRETO PRESFORZAD
Malig
σaligt := Zt
Malig
σaligb :=
Zb
Ing. Luis Villena Sotomayor
Malig = 12.05 tonf  m
σaligt = -28.2
σaligb = 28.2
kgf
cm
kgf
cm
2
2
Carga Muerta:
tonf
Wd = 0.9
m
Wd := calzada Muerta
Carga Distribuida:
2
Wd L
Md :=
Q
Md
σdt := Zt
Md
σdb :=
Zb
Momento:
Esfuerzos:
Md = 12.47 tonf  m
σdt = -29.2
σdb = 29.2
kgf
cm
kgf
cm
2
2
Sobrecarga :
tonf
Wsc = 0.9
m
Wsc := calzada Viva
2
Wsc L
Msc :=
Q
Msc
σsct := Zt
Msc
σscb :=
Zb
Momento:
Esfuerzos:
Msc = 12.47 tonf  m
σsct = -29.2
σscb = 29.2
kgf
cm
kgf
cm
2
2
CALCULA DE LA FUERZA PRETENSORA:
Esfuerzo en la fibra inferior en el centro de luz (ETAPA FINAL):
ftb := 1.6 f'c
kgf
cm
ftb = 26.8
2
kgf
cm
ftb = 26.77
2
kgf
cm
2
 Pe  Pe exc
+ σppb + σaligb + σdb + σscb = ftb
Zb
A
-
De donde:
Pe :=
(
)
- σppb + σdb + σaligb + σscb + ftb
 - 1 - exc 


 A Zb 
Pe = 216.2 tonf
Donde los Esfuerzos por Pretensado Efectivo al centro de luz son :
-Pe
A
CONCRETO PRESFORZAD
= -33.8
kgf
cm
2
-Pe exc
Zb
= -76
kgf
cm
2
Ing. Luis Villena Sotomayor
Pe exc
Zt
= 76
kgf
cm
2
Esfuerzos en la Fibra Superior (ETAPA INTERMEDIA Y FINAL):
 Pe   Pe exc 
kgf
+
 + σppt + σdt = -36.9
2
 A   Zt 
cm
fct := -0.45f'c = -126
 Pe   Pe exc 
kgf
+
 + σppt + σdt + σsct = -66.1
2
 A   Zt 
cm
fct := -0.6f'c = -168
-
-
kgf
cm
2
kgf
cm
2
OK!: sigue en compresión, ni siquiera llega a traccionarse.
Luego Verificación del esfuerzo en la fibra inferior al centro de luz (ETAPA INICIAL):
Pi := R Pe
R = 1.1667
Pi = 252.2 tonf
Donde los Esfuerzos por Pretensado Inicial son:
-Pi
A
= -39.4
kgf
cm
2
-Pi exc
Zb
= -88.7
kgf
cm
2
Pi exc
Zt
= 88.7
kgf
cm
2
Esfuerzos en la Fibra Superior (ETAPA INICIAL):
 Pi   Pi exc 
kgf
-  + 
 + σppt = -0.6
2
 A   Zt 
cm
kgf
ftit := 0.25 f'c Mpa = 13.4
cm
OK!: sigue en compresión, ni siquiera llega a traccionarse.
Esfuerzos en la Fibra Inferior (ETAPA INICIAL):
 Pi  Pi exc
kgf
-  + σppb = -78.2
2
Zb
A
cm
fcib := -( 0.6f'ci) = -126
kgf
cm
2
Número de torones:
Fuerza de trabajo estimada de 1 torón de 0.5":
Ntorones :=
Pe
fpe1de05
= 19.3
Redondeando: 20 torones de Ø0.5"
Ap := 20 A1toron0.5 = 19.74 cm
CONCRETO PRESFORZAD
fpe1de05 := 0.6 fpu A1toron0.5 = 11.1926 tonf
2
Ing. Luis Villena Sotomayor
2
CALCULA DE PERDIDAS POR FRICCION Y EMBUTIMIENTO DE LA FUERZA PRETENSORA:
R = 1.1667
Pi := R Pe = 252.2 tonf
kgf
kgf
Ec := 15000 f'c
Ec = 250998.008
2
2
cm
cm
Eci := 15000 f'ci
Ep := 2009400
kgf
cm
2
Eci = 217370.6512
(Fuerza Inicial - Asumido)
(Mod. de Elasticidad del Concreto)
kgf
cm
2
kgf
cm
(Mod. de Elasticidad del Concreto en el momento
del Tensado)
(Mod. de Elasticidad del Acero de Pretensar)
2
Diagramas de Esfuerzos Iniciales y Finales en el Acero de Pretensar
Pe := 216tonf
L
fj
Dfa
CASO 1 ( x <= L/2 ) :
x
Ø
Ø
-(u* +k*x)
fx=fj*e
fx
fi
df
Pérdidas
fa
Emb=Area/Ep
fj
CASO 2 ( x > L/2 ) :
x
fcL
Ø
Ø
Dfa
fj
Emb=Area/Ep
df
fx
fi
fa
fL
fe
Pérdidas
fL
fe
CASO 3 ( x > L ) :
fcL
df
Ø
fL
Df
fa
Emb=Area/Ep
fi
fe
CONCRETO PRESFORZAD
Ing. Luis Villena Sotomayor
Ø
Pérdidas
fx
df2
Datos:
Emb := 0.6cm
fj := 0.745fpu
(Embutimiento de Cuñas en el Anclaje)
fj = 14080.5
kgf
cm
1
μ := 0.07
rad
1
k := 0.0016
m
(Esfuerzo del Acero en el Gato<=0.80fpu)
2
(Coeficiente de fricción angular)
(Coeficiente de fricción por ondulamiento)
Donde:
Esfuerzo del Cable en un Punto "x" del Elemento:
- ( μ  α + k  x)
fx := fj e
Para el centro de Luz:
L
2
dy1 := yb - cotafondo
dx1 :=
dx1 = 6.5 m
dy1 = 0.15 m
α1 := atan  2
dy1 

 dx1 
α1 = 0.0461
- ( μ α1+k dx1)
r := e
r = 0.9865
- ( μ α1+k dx1)
fcL := fj e
fcL = 13889.9
kgf
cm
fcL
= 0.7349
fpu
2
Para el extremo de la viga:
L
2
dy2 := yb - cotafondo
dx2 :=
dx2 = 6.5 m
dy2 = 0.15 m
α2 := atan  2
dy2 

 dx2 
α2 = 0.0461
- [ μ ( α1+α2) +k ( dx1+dx2) ]
r := e
fL := fj e
α1 + α2 = 0.0922
r = 0.9731
- [ μ ( α1+α2) +k ( dx1+dx2) ]
fL = 13701.9
kgf
cm
fL
= 0.725
fpu
2
Cálculo de la Longitud del Embutimiento ( X ):
Por semejanza:
X
L
=
 Dfa  df
 
 2 
df := fj - fL
donde:
X :=
Despejando:
y
también:
Emb =
Area
Dfa X
=
Ep
2Ep
df = 378.6083
Ep Emb L
df
kgf
cm
2
X = 20.3463 m
Por consiguiente : Estamos en el Caso "3" ( X>L):
Luego:
CONCRETO PRESFORZAD
Dfa := 2 df 
X
L
Dfa = 1185.1196
kgf
cm
Ing. Luis Villena Sotomayor
2
Calculamos los valores para la gráfica después del Embutimiento:
Valores de iniciación:
y := 0
kgf
cm
2
kgf
fx := fL - y = 13701.8917
cm
2
fi := fx - ( fcL - fL) = 13513.8775
fa := fi - ( fj - fcL) = 13323.2834
kgf
cm
kgf
cm
2
2
Given
( fcL - fi) + ( fj - fa)  L  ( fL - fx) + ( fcL - fi)  L
Emb ( Ep) = 
 + 

2
2

 2 
 2
fx = fL - y
fi = fx - ( fcL - fL)
fa = fi - ( fj - fcL)
 fx 
 
 fi  := Find ( fx , fi , fa , y)
 fa 
 
y 
 fx   13151.8 
  

fi
12963.8
 =
  kgf
 fa   12773.2  cm2
  

 y   550.1 
Verificando :
fx := fL - y = 13151.8
kgf
cm
2
fi := fx - ( fcL - fL) = 12963.8
fa := fi - ( fj - fcL) = 12773.2
kgf
cm
kgf
cm
2
2
fx
= 0.6959
fpu
fi
= 0.6859
fpu
fa
= 0.6758
fpu
 ( fcL - fi) + ( fj - fa)   L +  ( fL - fx) + ( fcL - fi)   L



 
2
2

 2 
 2  = 6 mm
( Ep)
CONCRETO PRESFORZAD
Ing. Luis Villena Sotomayor
0 
 
L
Ubicación :=  
2 
L
 
Graficando :
fj = 14081
 fj 
Esf_Iniciales :=  fcL 
 fL 
 
kgf
cm
fcL = 13890
kgf
cm
2
 fa 
Esf_desp_emb :=  fi 
 fx 
 
fL = 13702
2
kgf
cm
2
Diagrama de Esfuerzos
9
Esfuerzos
1.410
Esf_Iniciales
Esf_desp_emb
9
1.310
9
1.210
0
5
10
15
Ubicación
fa = 12773
kgf
cm
fi = 12964
2
kgf
cm
fx = 13152
2
kgf
cm
2
Cálculo de Puntos del Diagrama de esfuerzos:
Esfuerzo:
En el gato:
En el punto más alto del
diagrama después de la
tanferencia:
En el anclaje post-embutimiento:
fj = 14081
Relación:
kgf
fj
fpu
fx
fpu
fa
fpu
fL
fpu
2
cm
kgf
fx = 13152
2
cm
kgf
fa = 12773
2
cm
kgf
fL = 13702
2
cm
kgf
fL - y = 13151.8
fi = 12964
cm
kgf
cm
2
fe := fi - 1500
kgf
cm
CONCRETO PRESFORZAD
2
2
= 0.745
0.80fpu
= 0.6959
0.70fpu
= 0.6758
0.70fpu
= 0.725
fL - y
= 0.6959
fpu
fi
= 0.6859
fpu
= 11463.8
Ing. Luis Villena Sotomayor
Límites ACI:
kgf
cm
2
0.70fpu
fe
= 0.6065
fpu
Alargamiento de Torón:
 fj + fcL   L +  fcL + fL   L



 
2  2 
2


 2  - 6mm = 84 mm
ΔL :=
 fj + fcL   L = 45.2393 mm


 2Ep  2
Ep
 fa + fi   L +  fi + fx   L



 
2  2  2  2
kgf


fiprom :=
= 12963
2
L
cm
CONCRETO PRESFORZAD
Ing. Luis Villena Sotomayor
fi = 12963.8
kgf
cm
2
CALCULO DE PERDIDAS DIFERIDAS (SISTEMA NO ADHERIDO)
Acortamiento Elástico del Concreto:
Ep
ES := Kes
 fcpa
Eci
Donde:
Kes
Kes
fcpa
=
=
=
0.5 Para miembros postensados donde los tendones son tensionados secuencialmente.
0 Para miembros postensados con un solo tendón
Esfuerzo de compresión promedio en el concreto a lo largo del miembro en el centro de
gravedad los tendones inmediatamente después del tensado. (PSI)
Kes := 0.5
fcpa :=
Pi
A
= 39.38
kgf
cm
R = 1.1667
Pi := R Pe = 252 tonf
2
Ep
ES := Kes
 fcpa = 2588.6 psi
Eci
CREEP del Concreto:
kgf
ES = 182
cm
2
Ep
CR := K cr  fcpa
Ec
Donde:
Kcr
=
coeficiente de acortamiento plástico = 1.60
Kcr := 1.6
Ep
CR := K cr  fcpa = 7173.6 psi
Ec
Acortamiento de Fragua del Concreto:
CR = 504.4
kgf
cm
SH := 8.2  10
-6
2
CR
= 2.7713
ES
Ksh Ep ( 1 - 0.06 VS)  ( 100 - RH)
Donde:
Ksh
=
V/S
RH
=
=
Ksh := 0.85
VS :=
Es una constante de encogimiento = 1 para elementos pretensados ó
definida en la Tabla N° 1 para elementos postensados.
Razón de volumen a superficie (pulg.)
Porcentaje de humedad relativa promedio Tabla N° 2
( Para3días)
( 1.60 0.40)  100
= 6.9991
( 2 1.60 + 2 0.40 - 2 0.20)  2.54
pulgadas
RH := 80
SH := 8.2  10
CONCRETO PRESFORZAD
-6
Ksh Ep ( 1 - 0.06 VS)  ( 100 - RH) = 2310.99 psi
Ing. Luis Villena Sotomayor
SH = 162.5
kgf
cm
2
RE := [ Kre - J ( SH + CR + ES) ]  C
Relajación del Acero de Pretensar:
Donde:
fi = 12964
kgf
cm
fi  fpu = 0.6859
2
(Esfuerzo inicial del Acero de Pretensar - Estimado)
kgf
Kre := 5000psi = 351.5
2
cm
J := 0.04
C := 0.6836
( SH + CR + ES)  0.04 = 34
cm
Por consiguiente:
RE := [ Kre - J ( SH + CR + ES) ]  C
RE = 217.1
2
kgf
cm
fi
= 0.6859
fpu
kgf
2
C
0.69
0.6859
0.68
0.70
0.6836
0.66
Interpolando obtenemos "C"
SUMA DE PERDIDAS DIFERIDAS + ACORTAMIENTO ELÁSTICO:
ES = 182
kgf
2
cm
kgf
CR = 504.4
2
cm
kgf
SH = 162.5
2
cm
kgf
RE = 217.1
2
cm
Perdidas := ES + CR + SH + RE
fi = 12963.8
fe := fi - Perdidas = 11897.9
kgf
cm
R :=
fe A1toron0.5
fi
= 1.0896
fe
CONCRETO PRESFORZAD
2
pÉRDIDAS := ( Ap Perdidas) = 21.0414 tonf
2
Pe
kgf
cm
kgf
cm
Ntor :=
Perdidas = 1065.9
2
= 18.3937
fe
= 0.6295
fpu
Ntor := 19
(Factor R < que el asumido OK!)
Ing. Luis Villena Sotomayor
fe A1toron0.5 = 11.74 tonf
CONCRETO PRESFORZAD
Ing. Luis Villena Sotomayor