Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Operaciones Elementales CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Operaciones Elementales Fila Sea A ∈ Mm×n , llamaremos operaciones elementales fila sobre A a cada una de las siguientes operaciones con filas de la matriz A: 1 frs : intercambiar la fila r con la fila s de A. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Operaciones Elementales Fila Sea A ∈ Mm×n , llamaremos operaciones elementales fila sobre A a cada una de las siguientes operaciones con filas de la matriz A: 1 frs : intercambiar la fila r con la fila s de A. 2 f(k)r : reemplazar la fila r por k-veces la fila r , k 6= 0. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Operaciones Elementales Fila Sea A ∈ Mm×n , llamaremos operaciones elementales fila sobre A a cada una de las siguientes operaciones con filas de la matriz A: 1 frs : intercambiar la fila r con la fila s de A. 2 f(k)r : reemplazar la fila r por k-veces la fila r , k 6= 0. 3 fr +s(k) : reemplazar la fila r por la suma de la fila r con k-veces la fila s, r 6= s, k 6= 0. En forma análoga para operaciones elementales columna. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Operaciones Elementales Fila Sea A ∈ Mm×n , llamaremos operaciones elementales fila sobre A a cada una de las siguientes operaciones con filas de la matriz A: 1 frs : intercambiar la fila r con la fila s de A. 2 f(k)r : reemplazar la fila r por k-veces la fila r , k 6= 0. 3 fr +s(k) : reemplazar la fila r por la suma de la fila r con k-veces la fila s, r 6= s, k 6= 0. En forma análoga para operaciones elementales columna. Definición Sean A, B ∈ Mm×n . A es equivalente por fila (o columna) a B si y solo si B se obtiene por un número finito de OEF (OEC). f c Notación: A − →B oA− →B CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Ejercicios 1 1 −3 Sea A = 0 −1 −5 2 Efectuar sucesivamente sobre A las operaciones: f13 , f(2)3 , f1+2(−1) CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Ejercicios 1 2 1 −3 Sea A = 0 −1 −5 2 Efectuar sucesivamente sobre A las operaciones: f13 , f(2)3 , f1+2(−1) 1 1 −4 −2 2 Sean A = yB= 2 0 0 −3 f Determinar si A − → B. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Matrices Elementales Una matriz elemental fila de orden n, es una matriz que se obtiene al efectuar una operación elemental fila a la matriz identidad. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Matrices Elementales Una matriz elemental fila de orden n, es una matriz que se obtiene al efectuar una operación elemental fila a la matriz identidad. Se anota: Frs = frs (In ) CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Matrices Elementales Una matriz elemental fila de orden n, es una matriz que se obtiene al efectuar una operación elemental fila a la matriz identidad. Se anota: Frs = frs (In ) F(k)r = f(k)r (In ) CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Matrices Elementales Una matriz elemental fila de orden n, es una matriz que se obtiene al efectuar una operación elemental fila a la matriz identidad. Se anota: Frs = frs (In ) F(k)r = f(k)r (In ) Fr +(k)s = fr +(k)s (In ) CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Matrices Elementales Una matriz elemental fila de orden n, es una matriz que se obtiene al efectuar una operación elemental fila a la matriz identidad. Se anota: Frs = frs (In ) F(k)r = f(k)r (In ) Fr +(k)s = fr +(k)s (In ) Sea A ∈ Mm×n . Se cumple: frs (A) = Frs · A CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Matrices Elementales Una matriz elemental fila de orden n, es una matriz que se obtiene al efectuar una operación elemental fila a la matriz identidad. Se anota: Frs = frs (In ) F(k)r = f(k)r (In ) Fr +(k)s = fr +(k)s (In ) Sea A ∈ Mm×n . Se cumple: frs (A) = Frs · A f(k)r (A) = F(k)r · A CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Matrices Elementales Una matriz elemental fila de orden n, es una matriz que se obtiene al efectuar una operación elemental fila a la matriz identidad. Se anota: Frs = frs (In ) F(k)r = f(k)r (In ) Fr +(k)s = fr +(k)s (In ) Sea A ∈ Mm×n . Se cumple: frs (A) = Frs · A f(k)r (A) = F(k)r · A fr +(k)s (A) = Fr +(k)s · A CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Observación 1 Al aplicar una operación elemental fila a una matriz A, da el mismo resultado que multiplicar (por la izquierda) la matriz A por la correspondiente matriz elemental fila. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Observación 1 Al aplicar una operación elemental fila a una matriz A, da el mismo resultado que multiplicar (por la izquierda) la matriz A por la correspondiente matriz elemental fila. 2 Las Matrices Elementales Fila son regulares, y sus inversas son también matrices elementales fila. Se tiene: CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Observación 1 Al aplicar una operación elemental fila a una matriz A, da el mismo resultado que multiplicar (por la izquierda) la matriz A por la correspondiente matriz elemental fila. 2 Las Matrices Elementales Fila son regulares, y sus inversas son también matrices elementales fila. Se tiene: (Frs )−1 = Frs CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Observación 1 Al aplicar una operación elemental fila a una matriz A, da el mismo resultado que multiplicar (por la izquierda) la matriz A por la correspondiente matriz elemental fila. 2 Las Matrices Elementales Fila son regulares, y sus inversas son también matrices elementales fila. Se tiene: (Frs )−1 = Frs (F(k)r )−1 = F k1 r CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Observación 1 Al aplicar una operación elemental fila a una matriz A, da el mismo resultado que multiplicar (por la izquierda) la matriz A por la correspondiente matriz elemental fila. 2 Las Matrices Elementales Fila son regulares, y sus inversas son también matrices elementales fila. Se tiene: (Frs )−1 = Frs (F(k)r )−1 = F k1 r (Fr +(k)s )−1 = Fr +(−k)s CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Definición Una Matriz E ∈ Mm×n se dice Escalonada Reducida por Fila si y solo si: 1 El primer elemento no cero de cada fila (no nula) es 1 y la columna en que aparece es columna de la matriz identidad Im CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Definición Una Matriz E ∈ Mm×n se dice Escalonada Reducida por Fila si y solo si: 1 El primer elemento no cero de cada fila (no nula) es 1 y la columna en que aparece es columna de la matriz identidad Im 2 La filas nulas (si las hay) van abajo. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Definición Una Matriz E ∈ Mm×n se dice Escalonada Reducida por Fila si y solo si: 1 El primer elemento no cero de cada fila (no nula) es 1 y la columna en que aparece es columna de la matriz identidad Im 2 La filas nulas (si las hay) van abajo. Ejercicios Obtener la Matriz Escalonada Reducidapor Fila de: 2 4 2 1 −1 2 5 −2 1 4 2) B = 1) A = −1 5 0 −3 4 3 2 −3 1 0 4 CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Definición Sea A ∈ Mm×n , se define el rango de A: Ir 0 Rg (A) = r ⇔ A → 0 0 El rango de la matriz A equivale al número de filas no nulas de la escalonada reducida por filas de A.. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Definición Sea A ∈ Mm×n , se define el rango de A: Ir 0 Rg (A) = r ⇔ A → 0 0 El rango de la matriz A equivale al número de filas no nulas de la escalonada reducida por filas de A.. Proposición Sea A ∈ Mn . A es regular si y solo si Rg (A) = n CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Técnicas de Inversión de Matrices CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Inversa mediante Operaciones Elementales Sea A ∈ Mn , regular. Para determinar la inversa de la matriz A mediante operaciones elementales. [A|In ] −→ In |A−1 Realizando OEF. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Inversa mediante Operaciones Elementales Sea A ∈ Mn , regular. Para determinar la inversa de la matriz A mediante operaciones elementales. [A|In ] −→ In |A−1 Realizando OEF. h i I A n In −→ A−1 Realizando OEC. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Inversa mediante Operaciones Elementales Sea A ∈ Mn , regular. Para determinar la inversa de la matriz A mediante operaciones elementales. [A|In ] −→ In |A−1 Realizando OEF. h i I A n In −→ A−1 Realizando OEC. Teorema Si A es una matriz de orden n con una fila o columna de ceros, entonces A es singular. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Inversa mediante Operaciones Elementales Sea A ∈ Mn , regular. Para determinar la inversa de la matriz A mediante operaciones elementales. [A|In ] −→ In |A−1 Realizando OEF. h i I A n In −→ A−1 Realizando OEC. Teorema Si A es una matriz de orden n con una fila o columna de ceros, entonces A es singular. Corolario Sean A, B ∈ Mn . Si A −→ B y alguna fila o columna de B es nula, entonces A es singular. CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Ejercicios Calcular, si es posible, la inversa de las siguientes matrices: 3 −1 1 A = 2 0 3 0 −2 CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Calcular, si es posible, 3 −1 1 A = 2 0 3 0 −2 1 −2 4 2 B = 2 − 12 −4 1 Ejercicios la inversa de las siguientes matrices: 0 −1 2 CCBB Matrices Operaciones Elementales Matriz Escalonada Reducida por Fila Técnicas de Inversión de Matrices Ejercicios Calcular, si es posible, 3 −1 1 A = 2 0 3 0 −2 1 −2 4 2 B = 2 − 12 −4 1 −3 6 3 C = 1 31 Ejercicios la inversa de las siguientes matrices: 0 −1 2 CCBB Matrices
