valorAbsoluto

Capítulo 2
Desigualdades y valor absoluto
1
Desigualdades y valor absoluto
2
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real es su distancia al cero. Puesto que un número real puede ser
positivo, negativo o cero, se tiene:
½

si  ≥ 0
|| =
−
si   0
.
−a
−a
a
a
0
a
a
Si a > 0
−a
0
Si a < 0
−a
.
Figura 2-1
Recuerda que si   0, entonces −  0.
Es claro que
|| = |−|
pues  dista de 0 lo mismo que su simétrico.
Observación:
La letra  representa un número que puede ser positivo, negativo o cero. Por consiguiente −
no es necesariamente un número negativo, y podremos decidirlo hasta que sepamos que número
representa .
Ejemplos
1. Si  =
3
3
entonces − = − .
4
4
2. Si  = −16 entonces − = 16
3. Si  = 0 entonces − = 0.
Observaciones:
• El valor absoluto de cualquier número es no negativo.
• − no es necesariamente un número negativo, por ejemplo si  = −8, entonces
− = − (−8) = 8.
que es positivo.
Algunas propiedades del valor absoluto
Si  y  son dos números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Desigualdades y valor absoluto
3
• |−| = ||.
• ||2 = 2 .
√
√
• || = 2 , donde  denota la raíz no negativa de , para cualquier número  ≥ 0.
• || = || ||.
¯  ¯ ||
¯ ¯
• ¯ ¯=
.

||
Ejemplos
1. |−11| = |11| = 11.
2. |−12|2 = (−12)2 = 144.
√
3. |5| = 52 = 5.
4. |8 · 15| = |8| |15| = 120.
¯ ¯
¯ −7 ¯ |−7|
7
5. ¯¯ ¯¯ =
= .
3
|3|
3
6. Resolver la ecuación || = 7.
Solución:
Puesto que en la ecuación aparece un valor absoluto, consideramos tres casos:
• Si  ≥ 0, entonces || = , de donde  = 7.
• Si   0, entonces || = −, de donde − = 7. Así,  = −7.
Por tanto  = 7 y  = −7 satisfacen la igualdad. Esto era de esperarse ya que 7 y −7 son
los únicos puntos cuya distancia al cero es 7.
.
.
−7
0
.
7
.
Figura 2-2
7. Resolver la ecuación 2 +  +  = 0 donde ,  y  son números reales dados y  6= 0.
Solución:
Resolveremos esta ecuación completando un trinomio cuadrado perfecto.
Desigualdades y valor absoluto
4
Primero factorizamos el coeficiente de 2 :
2
µ  +  +¶ = 0


= 0
 2 +  +




2 +  +
= 0


Despejamos el término independiente


2 +  = − .



El número que completa a  +  como trinomio cuadrado perfecto es

sumamos éste número en ambos lados de la igualdad:
µ ¶2
µ ¶2




2
 + +
= − +

2

2
µ
¶2
2



+
= − + 2.
2
 4
2
Efectuando la suma de la derecha y simplificamos:
¶2
µ

=
+
2
µ
¶2

+
=
2
¶2
µ

2
4  +
=
2
µ µ
¶¶2

2  +
=
2
sµ µ
¶¶2

2  +
=
2
¯ µ
¶¯
¯
¯
¯2  +  ¯ =
¯
2 ¯
Tenemos dos casos
¶
µ
√

= 2 − 4
2  +
2
de donde

+
=
2
√
2 − 4
2
µ

2
−4 + 2
42
2 − 4
42
2 − 4
2 − 4
√
2 − 4
√
2 − 4.
o
¶
µ

= 2 − 4
− 2  +
2
o
√
2 − 4

+
=−
2
2
¶2
, así que
Desigualdades y valor absoluto
5
Con lo cual obtenemos las soluciones:
=
− +
√
2 − 4
2
o
=
− −
√
2 − 4
.
2
Podemos escribir brevemente lo anterior como:
=
− ±
√
2 − 4
.
2
La expresión anterior se llama solución general de la ecuación general de segundo grado.
Desigualdades y valor absoluto
En una fábrica de cuadernos se forma una comisión de control de calidad, pues en
una encuesta se detectó que los consumidores opinan que el papel es bueno, pero el
tamaño de los cuadernos no es uniforme: unos son más anchos que otros. El ancho
requerido es de 215 cm, y un cuaderno pasará el control de calidad si el error es de,
a lo más, 004 cm. ¿Qué anchos pueden tener los cuadernos que hayan aprobado el
control de calidad?
Solución:
Llamamos  al ancho de un cuaderno. El defecto en el ancho del cuaderno es la
diferencia:
 − 215.
Como el cuaderno puede ser más ancho o más angosto, entonces consideramos el valor
absoluto de la diferencia anterior. Dicho error puede ser de, a lo más, 004 cm, es decir,
| − 215| ≤ 004.
Para resolver esta ecuación primero quitamos el valor absoluto:
½
 − 215
si
 − 215 ≥ 0
| − 215| =
− ( − 215)
si
 − 215  0.
Ahora resolvemos las desigualdades:
Si  − 215 ≥ 0, entonces
| − 215|
 − 215


≤
≤
≤
≤
004
004
004 + 215
2154.
Desigualdades y valor absoluto
6
Si  − 215  0 entonces
| − 215|
− ( − 215)
 − 215


≤
≤
≥
≥
≥
004
004
−004
−004 + 215
2146.
Un cuaderno pasa el control de calidad si su ancho está entre 2146 y 2154 cm.
Propiedades del valor absoluto
1. Si ||   y   0 entonces −    . Observa en la siguiente figura, que los puntos que
satisfacen que su distancia al origen es menor que  son los que se encuentran a la derecha
de − y a la izquierda de .
.
(
)
-k
k
.
Figura 2-3
2. Si ||   entonces    o   −. Los puntos cuya distancia al origen es mayor que  son
los que están a la derecha de  o bien los que se encuentran a la izquierda de −.
.
)
(
-k
k
.
Figura 2-4
Ejemplos
1. Resolver |5 − 2|  5.
Solución:
Utilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos, por ser 5 un número positivo,
que:
−5  5 − 2  5
2−5 
5
 5+2
−3 
5
 7
3
7
−



.
5
5
es decir,
µ
¶
3 7
∈ − 

5 5
Desigualdades y valor absoluto
7
2. Resolver |3 + 2| ≤  + 4.
Solución:
• Si  + 4  0, entonces no hay solución.
• Si  + 4 ≥ 0, entonces  ≥ −4, es decir,  ∈ [−4 ∞) y:
− ( + 4)
− − 4
−2 − 4
− 64
− 32
≤
≤
≤
≤
≤
3 + 2
3 + 2
3 + 


3 + 2
3 − 
2


y
≤
≤
≤
≤
≤
+4
4−2
2
2
2
1.
Así, para que  sea solución, tiene que cumplir que:
 ≥ −4 y
−
3
≤  ≤ 1.
2
3
Observamos que si  satisface que − ≤  ≤ 1, entonces también satisface que  ≥ −4. Así,
2
3
todas las soluciones de la desigualdad son − ≤  ≤ 1, es decir,
2
¸
∙
3
 ∈ − 1 
2
3. Resolver |6 − 5|  4 + 7.
Solución:
Utilizando la propiedad 2 del valor absoluto, tenemos:
6 − 5
6 − 4
2





4 + 7
7+5
12
6
o
6 − 5  − (4 + 7)
6 − 5  −4 − 7
6 + 4  −7 + 5
1
  − .
5
1
Así,  es solución si satisface que   6 o   − , es decir,
5
¶
µ
1
∪ (6 ∞) 
 ∈ −∞ −
5
4. Resolver |5 − 2|  2 − 1.
Solución:
• Si 2 − 1 ≤ 0, entonces no hay solución, ya que |5 − 2| es siempre mayor o igual que 0.
Desigualdades y valor absoluto
8
1
• Si 2 − 1  0, entonces   , es decir,  ∈
2
− (2 − 1)
−2 + 1
1+2
3
3
7




5 − 2
5 − 2
5 + 2
7
µ
¶
1
 ∞ y:
2
5 − 2  2 − 1
5 − 2  2 − 1
3  1
1
 
.
3
y
 
Así, para que  sea solución, tiene que cumplir que:
3

7
y

1
3
y
1
 
2
Pero
3 1
 ,
7 3
1
3
así que no existe un real  que satisfaga    y por tanto, la desigualdad no tiene
7
3
solución.
Desigualdades y recta
Una ecuación del tipo  =  +  representa la ecuación de una recta.
Dos personas están en un valle atravesado por un río. Es claro que las dos personas
están del mismo lado del río, si pueden caminar una hacia la otra hasta encontrarse
sin atravesar el río. Similarmente, dos puntos en el plano están del mismo lado de una
recta , si podemos conectarlos mediante una recta que no corte la recta .
¿Están los puntos (3 12) y (−2 −3) del mismo lado o en lados opuestos de la recta
 = 2 + 4?
Dibujamos la recta  = 2 + 4. Véase la figura 2-5
La gráfica de la recta  = 2 + 4 divide al plano en tres regiones:
• Los puntos que están en la recta.
• Los puntos que están arriba de la recta.
• Los puntos que están debajo de la recta.
Desigualdades y valor absoluto
9
Y
6
4
.
.
2
−4 −2
−2
2 X
−4
Figura 2-5
Sabemos que los puntos que están en la recta son los que satisfacen la ecuación:
 = 2 + 4.
El punto (3 10) está en la recta:
 = 2 + 4.
Todo punto  que esté verticalmente encima de (3 10) tiene por primera coordenada
3 y su segunda es mayor que 10; es decir, la coordenada (3 ) de  satisface:
  2 + 4.
El punto (3 12) satisface:
12  2 (3) + 4.
De la misma manera, si nos movemos verticalmente hacia abajo, la ordenada del
punto es cada vez menor, es decir,
  2 + 4.
El punto (−2 −3) satisface
−3  2 (−2) + 4 = 0.
Por tanto, los puntos (3 12) y (−2 −3) están en lados opuestos de la recta.
Entonces los puntos que están arriba de la recta satisfacen la desigualdad   2+4.
Los puntos que están abajo de la recta satisfacen la desigualdad   2 + 4.
Desigualdades y valor absoluto
10
Y
Y
Y
6
6
6
4
4
4
2
2
2
−4 −2
−2
X
−4
y > 2x + 4
−4 −2
−2
X
−4 −2
−2
−4
y = 2x + 4
X
−4
y < 2x + 4
Figura 2-6
La gráfica de una recta  =  +  divide al plano en tres conjuntos:
• Los puntos que están arriba de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad   +.
• Los puntos que están en la recta, que son los que satisfacen la ecuación  =  + .
• Los puntos que están abajo de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad    + .
y > mx + b
y = mx + b
y < mx + b
Figura 2-7
Ejemplos
1. Describir las regiones determinadas por la recta  = 12  − 3.
Solución:
Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad   12  − 3.
Los puntos que están en la recta satisfacen  = 12  − 3.
Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad   12  − 3.
Desigualdades y valor absoluto
11
Y
2
Y
2
−6 −4 −2
−2
2 4 6 X
Y
2
2 4 6X
−6 −4 −2
−2
−4
−4
−4
−6
−6
−6
y >
1
2
x −3
y=
1
2
x −3
2 4 6 X
−6 −4 −2
−2
y<
1
2
x −3
Figura 2-8
2. Describir las regiones determinadas por la recta  = −7.
Solución:
Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad   −7.
Los puntos que están en la recta satisfacen  = −7.
Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad   −7.
Y
2
−6 − 4 −2
−2
Y
2
Y
2
2
4 X
−6 −4 −2
−2
2
4X
−6 −4 −2
−2
−4
−4
−4
−6
−6
−6
−8
−8
−8
−10
−10
−10
y > −7
y = −7
Figura 2-9
y < −7
2
4 X