ESTADISTICA

ESTADÍSTICA
1. TIPIFICACIÓN
Si X N(, ) entonces
X
N
(0,1
)

2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON UNA NORMAL N (0, 1)
CASO 1: P(Z  k ) con k positivo
Utilizamos la tabla.
(Z

0
,4
2
)
0
,6
6
2
8
Por ejemplo, P
CASO 2: P(Z  k ) con k positivo
–
=
P
(
Z

k
)
1P
(
Z

k
)
(
Z

1
,
3
8
)
1

P
(
Z

1
,
3
8
)
1

0
,
9
1
6
2

0
,
0
8
3
8
Por ejemplo, P
CASO 3: P(Z  k) con k positivo
=
–
=
P
(
ZkP


)

(
Z

k
)1(


P
Z

k
)
(
Z


0
,
1
9
)

P
(
Z

0
,
1
9
)

1

P
(
Z

0
,
1
9
)

1

0
,
5
7
5
3
0
,
4
2
4
7
Por ejemplo, P
CASO 4: P(Z  k) con k positivo
=
P(Z  k )  P(Z  k )
Por ejemplo, P(Z  1,83)  P(Z  1,83)  0,9664
( Z b)
CASO 5: Pa
=
P
(
a

Z

b
)P
(
Z

b
)

P
(
Z

a
)
Por ejemplo:
–
(

1

Z

0
,
7
5
)

P
(
Z

0
,
7
5
)

P
(
Z


1
)

0
,
7
7
3
4

1

P
(
Z

1
)

0
,
7
7
3
4

0
,
1
5
8
7

0
,
6
1
4
7


a) P
(
0
,
2
3

Z

2
,
4
)

P
(
Z

2
,
4
)

P
(
Z

0
,
2
3
)

0
,
9
9
1
8

0
,
5
9
1
0

0
,
4
0
0
8
b) P
(

2
,
2
5

Z


0
,
1
2
)

P
(
Z


0
,
1
2
)

P
(
Z


2
,
2
5
)

1

P
(
Z

0
,
1
2
)

1

P
(
Z

2
,
2
5
)





c) P

0
,
4
5
2
2

0
,
0
1
2
20
,
4
4
0
0
Este último ejemplo también se podría haber hecho del siguiente modo:
=
P
(

2
,
2
5

Z


0
,
1
2
)

P
(
0
,
1
2

Z

2
,
2
5
)

0
,
9
8
7
8

0
,
5
4
7
8

0
,
4
4
0
0
3. DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES
 
.
Si X N(, ) entonces la distribución de la media de las muestras de tamaño n es XN,
n

Ejemplo 1: La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución
normal de media 34,5 horas y desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de36
teléfonos móviles.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra este comprendida entre 32
y 33,5 horas?
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?
Ejemplo 2: Se supone que la duración de una bombilla fabricada por una cierta empresa se puede aproximar
por una variable aleatoria con distribución normal de media 900 horas y desviación típica 80 horas. La
empresa vende 1000 lotes de 100 bombillas cada uno. ¿En cuantos lotes puede esperarse que la duración
media de las bombillas que componen el lote sobrepase las 901 horas?
4. CÁLCULO DEL VALOR CRÍTICO Z  / 2
En el cálculo de intervalos de confianza nos darán un valor,  , entre 0 y 1 llamado nivel de significación o
nivel de riesgo (en realidad nos suelen dar el nivel de confianza 1  ) y tenemos que calcular un número
positivo (llamado valor crítico y denotado por Z / 2 ) que cumpla
P
(

Z

ZZ
)
1



/2

/2
Veamos como calcular Z / 2 con un ejemplo concreto: Calcular Z / 2 para un nivel de confianza del 80% (es
decir 1  sería 0,80 y  sería 0,2).
Modo 1: Haciendo un dibujo de la situación
P
(
Z

Z
)

0
,
9

Z

1
,
2
8

/
2

/
2

(ZZ
1

Modo 2: Usando la fórmula P

/2)
2

0
,
2
P
(
Z

Z
)

1


1


1

0
,
1

0
,
9

Z

1
,
2
8

/
2

/
2
22
Modo 3: Los niveles de confianza más utilizados en la vida real son 90%, 95% y 99%, por lo que podemos
aprendernos de memoria los valores correspondientes para Z / 2 .
1 
0,90
0,95
0,99
Z / 2
1,645
1,96
2,575
5. INTERVALOS DE CONFIANZA
Consideremos una población que sigue una distribución X N(, ) con desviación típica  conocida pero
de media  desconocida. Queremos estimar la media  , para ello cogemos una muestra de tamaño n y
obtenemos su media x para calcular un intervalo de la forma xE, xE como estimación de  .


Para calcular dicho intervalo tenemos que fijar un nivel de riesgo  entre 0 y 1 (mide el riesgo que estoy
dispuesto a asumir en la estimación), o lo que es lo mismo, un nivel de confianza 1  (mide el nivel de
confianza que tengo en mi estimación, es decir la probabilidad de que  realmente esté entre x  E y x  E ).
El intervalo de confianza para la media  de una población X N(, ) con un nivel de confianza 1  viene
dado por




I
C

x

Z
,x

Z

/
2

/
2


n
n


En los problemas sobre intervalos de confianza siempre nos dan la desviación típica  y  será
desconocido, dependiendo de que otros datos nos den y lo que nos pidan calcular tenemos varios tipos de
problemas:
(1) Cálculo del intervalo de confianza: Nos dan la desviación  , el tamaño de la muestra n, la media
muestral x (o nos dan la muestra y calculamos x ) y el nivel de confianza 1  (o el nivel de riesgo  ).
Nos piden el intervalo de confianza. Calculamos Z / 2 y usamos la fórmula de IC.
Ejemplo 3: La duración de las llamadas de teléfono de una oficina comercial sigue una distribución
normal con desviación típica de 10 segundos. Se hace un seguimiento de la duración de 50 llamadas,
obteniéndose que la duración media de las mismas ha sido de 3 minutos y 35 segundos. Calcular un
intervalo de confianza al 99% para la duración media de las las llamadas.
Ejemplo 4: Se quiere comprobar si una máquina destinada al llenado de botellas de agua mineral de 0,5
litros ha sufrido un desajuste. Para ello se escoge una muestra aleatoria de 10 botellas, que proporciona
los siguientes resultados (en litros):
0,49 0,52 0,51 0,48 0,53 0,55 0,49 0,50 0,52 0,49
Suponiendo que la cantidad de agua que la máquina deposita en cada botella sigue una distribución
normal con desviación típica 0,02 litros, ¿podemos asegurar que la máquina es defectuosa con un nivel
de confianza del 98%?
(2) Cálculo del error máximo: Nos dan la desviación  , el tamaño de la muestra n, la media muestral x y el
nivel de confianza 1  .
Nos piden el error máximo cometido al aproximar la media población

E Z/2
. Calculamos Z / 2 y usamos la fórmula de E.
n

, es decir, nos piden el número
Ejemplo 5: En un estudio se prueban 10 automóviles, escogidos aleatoriamente, de una misma marca y
modelo, conducidos por el mismo conductor en un mismo circuito. Se obtuvo un consumo medio de 6,5
litros de gasolina cada 100 km. Estudios previos indican que el consumo de gasolina cada 100 km sigue
una distribución normal con desviación típica de 2 litros. Calcular el error máximo cometido al estimar el
consumo medio de gasolina cada 100 km mediante el consumo medio medido en la prueba con un nivle
de significación del 15%.
(3) Cálculo del tamaño muestral: Nos dan la desviación  , la media muestral x , el nivel de confianza
1  y el error E cometido al aproximar  .
Nos piden el tamaño mínimo de la muestra. Calculamos Z / 2 y usamos la fórmula de E para despejar n.
Ejemplo 6: El tiempo de reacción de un conductor ante un imprevisto se puede aproximar por una
distribución normal con desviación típica de 0,05 seg. Si queremos estimar el tiempo de reacción medio
con error no superior a 0,01 seg con un nivel de confianza del 99%, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la
muestra?
(4) Nos dan la desviación  , el tamaño muestral n y el error E. Nos piden con que nivel de confianza se ha
realizado la aproximación.
Usamos la formula de E para despejar Z / 2 , a partir de él calculamos 1  calculando una de estas
probabilidades:
P
(
Z
ZZ

/2

/2), que nos da directamente el valor de 1 
P(Z  Z/2) , que nos da el valor de 1 

2
Ejemplo 7: El tiempo de reacción de una alarma electrónica ante un fallo del sistema es una variable
aleatoria normal de desviación típica 1 seg. A partir de una muestra de 100 alarmas se ha estimado el
tiempo de reacción medio de las alarmas mediante un intervalo de confianza con un error máximo igual a
0,2 seg. ¿Con que nivel de confianza se ha realizado la estimación?
(5) Nos dan la desviación  y el intervalo de confianza IC. Con estos datos podríamos calcular la media
muestral x (es el centro del intervalo) y el error E (es la amplitud del intervalo entre dos).
Ejemplo 8: El tiempo diario de conexión a internet de los alumnos de cierto instituto sigue una
distribución normal con desviación típica 15 minutos.
Para estimar la media del tiempo de conexión se toma una muestra y se obtiene, con un nivel de
confianza del 95%, el intervalo de confianza (38 min, 46 min). Calcular la media y el tamaño de la
muestra.
OBSERVACIONES
(1) Cuando nos hablan del valor absoluto de la diferencia entre la media poblacional

y la media muestral
x nos están hablando del error E.
(2) El nivel de confianza es la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media

poblacional y la media muestral x sea menor que el error E.
(3) Si queremos aumentar el nivel de confianza podemos permitir un error más grande (es decir,
aumentamos el intervalo) o aumentar el tamaño de la muestra.
Ejemplo 9: Se supone que el gasto mensual dedicado al ocio de las familias de España puede aproximarse
por una distribución normal de desviación típica igual a 55 €. Se elige una muestra aleatoria de 81 familias,
obteniéndose un gasto medio de 320 €.
a) ¿Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimación del gasto mensual de las familias
mediante el gasto medio de la muestra es menor que 10 € con un grado de confianza del 95%?
b) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para asegurarlo?
Ejemplo 10: El salario de los trabajadores de una ciudad sigue una distribución normal con desviación típica
15 €. Se quiere calcular un intervalo de confianza para el salario medio con un nivel de confianza del 95%.
Determinar el tamaño mínimo de la muestra que se necesitaría recoger para que el intervalo tenga una
amplitud de 6 €.
Ejemplo 11: Se supone que la cantidad de agua (en litros) recogida cada día en una estación meteorológica
se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 2 litros.
Durante 10 días la cantidad de agua recogida por la estación ha sido:
9,1 4,9 7,3 2,8 5,5 6,0 3,7 8,6 4,5 7,6
a) Determínese un intervalo de confianza para la cantidad media de agua recogida cada día en dicha estación
con un grado de confianza del 95%.
b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que al estimar la media de agua recogida cada día en
la estación mediante la media de la muestra, la diferencia en valor absoluto entre ambos valores sea inferior a
1 litro con una probabilidad del 98%.
Ejemplo 12: Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se puede aproximar por una
variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 1,32 minutos. Se desea estimar la media
del tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en valor absoluto a 0,5 minutos y
con un grado de confianza del 95%.
a) Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para llevar a cabo dicha estimación
mediante la media muestral.
b) Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4,36 minutos y se elige una muestra
aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la
muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?