PRÁCTICA 1 TEORÍA ELEMENTAL DE CONJUNTOS

PRÁCTICA 1
TEORÍA ELEMENTAL DE CONJUNTOS
FUNDAMENTOS DE ARITMÉTICA Y MEDIDA PARA MAESTROS
Ejercicio 1. Los conjuntos dados a continuación están dados en algunos casos por
extensión y en otros por comprensión. Determina a qué tipo de expresión
corresponden, exprésalos mediante el otro tipo si es posible, y en los casos en que
sean conjuntos numéricos, exprésalos también mediante lenguaje algebraico.
a)
b)
c)
d)
e)
A = {azul, verde, amarillo, naranja, rojo, violeta}
B = {números pares entre 20 y 40, ambos incluidos}
C = {números impares múltiplos de 3}
D = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900}
E = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}
Ejercicio 2. Sea U el conjunto universal de los números naturales, U = {Números
naturales} = N, consideramos los conjuntos A, B y C cumpliendo que 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐶.
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando tu respuesta.
a)
b)
c)
d)
e)
𝐴⊆𝑈
Si 𝑎 ∊ 𝐴, entonces 𝑎 ∊ 𝐵.
∅∊𝐴
∅⊆𝐴
𝐴⊆𝐶
Ejercicio 3. A partir de los siguientes diagramas, indica los elementos que pertenecen a
A, B, C, D, E Y F definiendo dichos conjuntos por extensión.
A
7
6
2
8
C
4
1
3
5
B
D
6
9
E
8
1
2
5
3
9
7
4
F
Ejercicio 4. Rellena los siguientes diagramas con los elementos correspondientes.
𝐴 = {2,3,7,9}
𝐵 = {1,2,3,6,8}
𝐶 = {4,5,6}
A
C
B
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑓, ℎ, 𝑗, 𝑚}
𝐵 = {𝑏, 𝑑, 𝑔, ℎ, 𝑙, 𝑚, 𝑛, 𝑝}
𝐶 = {𝑎, 𝑐, 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑝}
𝐷 = {𝑙, 𝑛, 𝑝, 𝑟, 𝑡 }
C
A
D
B
Ejercicio 5. Dibuja el diagrama correspondiente a este grupo de conjuntos. Si es
necesario, redibújalos para que no aparezcan regiones vacías.
𝐴 = {𝑎, 𝑐, 𝑒, 𝑔, 𝑖, 𝑘}
𝐵 = {𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖}
𝐶 = {𝑏, 𝑑, 𝑓, ℎ, 𝑘, 𝑚}
𝐷 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
Ejercicio 6. Dado un conjunto A, el conjunto de las partes de A, al que llamaremos P(A),
está formado por todos los subconjuntos posibles del conjunto A. Indica cuál es el
conjunto de las partes de los siguientes conjuntos:
a) 𝐵 = {, }
b) 𝐶 = {, , }
Ejercicio 7. Entre los elementos de un conjunto, pueden definirse distintos tipos de
relaciones. Uno de los tipos más importantes son las conocidas como relaciones de
equivalencia. Son relaciones que cumplen las tres siguientes propiedades:
 Propiedad reflexiva: Todo elemento del conjunto está relacionado consigo
mismo

Propiedad simétrica: Si un elemento 𝑎 está relacionado con otro elemento 𝑏,
entonces 𝑏 también está relacionado con 𝑎.
 Propiedad transitiva: Si un elemento 𝑎 está relacionado con el elemento 𝑏, y 𝑏
está relacionado con el elemento 𝑐, entonces 𝑎 también está relacionado con
𝑐.
Un ejemplo de relación de equivalencia en el conjunto 𝐴 = {𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒}
es la relación ‘tener la misma edad’, porque se cumplen las tres propiedades:
- Reflexiva: cualquier alumno tiene la misma edad que él mismo
- Simétrica: si Daniel tiene la misma edad que Rosa, entonces Rosa tiene la
misma edad que Daniel
- Transitiva: si Julia tiene la misma edad que Paula y Paula tiene la misma edad
que Jose, entonces Julia tiene la misma edad que Jose.
a) Comprueba cuáles de las de las siguientes relaciones son de equivalencia:
a. “Ser igual de alto que”, en un conjunto de niños.
b. “Ser más larga que”, en un conjunto de reglas.
c. “Ser hijo de”, en un conjunto de personas.
d. “Ser sinónimo”, en un conjunto de palabras.
e. “Tener primos en común”, en un conjunto de personas.
f. “Tener el mismo número de lados”, en un conjunto de figuras
geométricas planas.
g. “Ser múltiplo”, en el conjunto de los números naturales.
h. “Ser paralela”, en el conjunto de todas las rectas del plano.
b) Inventa una relación de equivalencia en los siguientes conjuntos:
𝐴 = {𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑}
𝐵 = {𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑟𝑎}
𝐶 = {𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠}
c) Inventa para cada una de las tres propiedades, reflexiva, simétrica y transitiva,
una relación que falle esa propiedad pero cumpla las otras dos.