Relaciones

Relaciones
Relaciones
Sea A={1,2,3,4}
Identifique los pares ordenados (a,b) con a A,
bA que cumplen la condición a  b
R={(2,1), (3,1), (3,2),(4,1), (4,2), (4,3)}
R={(a,b) a A, bA a  b}
El conjunto resultante R es una relación en A
R A A
Relaciones
Sean A y B conjuntos
Una relación binaria definida de A en B es un
subconjunto de A X B
R = { (a,b) aA, bB}
Otra notación aRb
Relaciones
Exprese la siguiente relación R por extensión
R={(a,b) a|b para A=B= {1,2,3,4,5}}
Cuántas relaciones se pueden definir sobre un
conjunto A de n elementos?
Relaciones
Represente por extensión las siguientes relaciones
definidas sobre el conjunto de los enteros
R1={(a,b)|a  b}
R2={(a,b)|a b}
R3={(a,b)| a=b ó a=b}
R4={(a,b)| a=b}
R5={(a,b)| a=b+1}
R6={(a,b)| a+b 3}
Relaciones: Propiedades
Una relación R definida en conjunto A es reflexiva
si
a A (a,a)  R
Sea A={1,2,3} Es R reflexiva?
R1={(1,1),(2,3),(3,2),(3,3)}
R2={(1,1),(2,3),(2,2),(3,3)}
R3={(2,3),(1,2),(3,1)}
Relaciones: Propiedades
Una relación R definida sobre un conjunto A es
simétrica si
a b ((a,b)  R  (b,a) R)
Sea A={1,2,3} Es R simétrica?
R1={(1,1),(2,3),(3,2),(3,3)}
R2={(1,1),(2,3),(3,2),(3,1)}
R3={(2,3),(1,2),(3,1),(3,2),(2,1),(3,3)}
Relaciones:Propiedades
Una relación R definida sobre un conjunto A es
antisimétrica
a b ((a,b)  R  (b,a)  R)
a b ((a,b)R  (b,a)R) (a=b))
Sea A={1,2,3} Cuáles relaciones son antisimétricas?
R1={(1,1),(2,3),(3,2),(3,3)}
R2={(1,1),(2,3),(3,1),(2,1)}
R3={(1,1),(2,2),(3,3)}
R4={(1,1),(2,3),(3,1),(2,1),(2,2), (1,2)}
Relaciones:Propiedades
Sea A={1,2,3} Cuáles relaciones son antisimétricas?
R1={(1,1),(2,3),(3,2),(3,3)}
R2={(1,1),(2,3),(3,1),(2,1)}
R3={(1,1),(2,2),(3,3)}
R4={(1,1),(2,3),(3,1),(2,1),(2,2), (1,2)}
Relaciones:Propiedades
Sea A={1,2,3} Cuáles relaciones son antisimétricas?
R1={(1,1),(2,3),(3,2),(3,3)}
R2={(1,1),(2,3),(3,1),(2,1)}
R3={(1,1),(2,2),(3,3)}
R4={(1,1),(2,3),(3,1),(2,1),(2,2), (1,2)}
Relaciones: Propiedades
Una relación R definida sobre un conjunto A es
transitiva si cuando (a,b)R, (b,c)R entonces
(a,c)R
a,b,c A (((a,b)R  (b,c)R) (a,c)R)
Relaciones: Propiedades
Sea A={1,2,3} Cuáles de las relaciones son
transitivas?
R1={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,1),(1,2)}
R2={(1,1),(2,3),(3,1),(2,2)}
R3={(1,1),(2,2),(3,3)}
R4={(1,1),(2,3),(3,2),(2,2),(3,3),(1,2)}
Relaciones
Indique cuáles de las siguientes relaciones
definidas sobre N son reflexivas, simétricas,
antisimetricas o transitivas
R0= { x,y  N  x y }
R1={(a,b), a,b  N a  b}
R2={(a,b), a,b  N a b}
Composición de Relaciones
Sean R y S relaciones R: A  B S: B  C con
A,B,C conjuntos
La relación composición de R y S (R  S)
R  S: pares ordenados (a,c), aA, cC para los
cuales existe bB tal que (a,b)R y (b,c) S
Relaciones n-arias

Definidas entre más de dos conjuntos

Aplicaciones Bases de datos

Modelo de Datos relacional fundamentado
en relaciones n-arias

Conjuntos: Dominios
Relaciones n-arias: Definición
Sean A1, A2, ….An conjuntos. Una relación n-aria
definida sobre A1, A2, ….An es un subconjunto de
A1 A2  …  An

A1, A2, ….An son dominios de la relación
 n es el grado de la relación
 elementos de la relación n-tuplas
Modelo Relacional

A1, A2, ….An: dominios

Relaciones: tablas

n-tuplas: compuestas de campos o atributos

Campos: toman valores en dominios

Existencia de operaciones aplicables a relaciones
 Selección
 Proyección
 Reunión (JOIN)
Representación de Relaciones

Representaciones para conjuntos finitos

Enumeración de pares ordenados

Matrices boolenas

Grafos dirigidos
Representación Matricial
R es una relación definida de A={a1,a2, …am} en
B={b1,b2, …bn}. R se puede representar mediante
la matriz MR= [mij], donde
mij = 0, si (ai,bj)  R
mij = 1, si (ai,bj)R
Relaciones
Represente de forma matricial las siguientes
relaciones en A={1,2,3}
R1={(1,2), (2,1), (1,1)}
R2={(3,1), (2,1), (1,1), (2,2), (3,3)}
Relaciones
Considere las siguientes relaciones definidas en
A={-2,-1,2,3}. Representelas mediante matrices
R1={(a,b)|a≤b}
R2={(a,b)|a b}
R4={(a,b)|a=b}
Grafos Dirigidos





Conjunto de vértices V ( nodos)
Conjunto E de pares ordenados de elementos
de V, aristas o arcos
a es el vértice inicial de la arista (a,b)
b es el vértice final de la arista (a,b)
arista (a,a): arco conectando a con si mismo,
bucle
Grafo Dirigido
Relaciones de Equivalencia
Una relación R es de equivalencia si es reflexiva,
simétrica y transitiva
Relación de orden parcial
Una relación es de orden parcial si es reflexiva,
antisimétrica y transitiva
Relaciones de Equivalencia
Determine si las siguientes relaciones son de
equivalencia
R1={ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(3,1),(1,3) }
R2={ (x,y)| x  y  Q}
R3={ (p1, p2) | p1 tiene la misma longitud que p2}
R4={ (p1, p2) | p1 y p2 tienen todas sus letras
diferentes}
Relaciones de Equivalencia
Demuestre que R es una relación de equivalencia
en el conjunto de los enteros
R={ (a,b) a  b (mod m)} m es un entero
positivo, m  1
Clases de Equivalencia
Sea R una relación de equivalencia en el conjunto A
El conjunto de todos los elementos relacionados con
un elemento a A es la clase de equivalencia de a
[a]R: clase de equivalencia de a con respecto a R
Clases de Equivalencia
R es una relación de equivalencia en el conjunto A
La clase de equivalencia del elemento a es
[a]R={s (a,s)  R}
b  [a]R es un representante de esta clase de
equivalencia
Particiones
Una relación de equivalencia R en A
genera una división del conjunto A
en subconjuntos disjuntos cuya
unión es A
Particiones
Una relación de equivalencia R en A
genera una división del conjunto A
en subconjuntos no vacíos y
disjuntos cuya unión es A
Particiones
Determine los conjuntos de la partición
de los enteros que resultan de la
congruencia módulo 5