teoría de exponentes. pamer

ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONENTES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
NOTACIÓN UTILIZADA
III. TEOREMAS
A. Para potencia:
exponente
1. am an  am n
n
a = potencia
base
2.
am  amn; a  0
an
3.
a 
4.
 a  b n  an  bn
B. Para radicación:
índice
n
a = raíz
radicando
n
m
 amn
n
an
a
5.  b   n ;b  0
 
b
II. DEFINICIONES
6. m n a  mn a
1.
a  R
a0  1
7.
2.
a  R
a1  a
8.
n
ab  n a  nb
n
a na

;b  0
b nb
IV. PROPIEDADES
3. a  R  n  N / n  2
a n  a a a........ " n " fac tore s
 anb p  c
1. m x a n x b p x c  mnp a
4. a  R  0  n  R
a 1 
2.
1
n
m
LIBRO UNI
n
x x... x 



nm
a
nm 1
n 1
3. n x n x...  n 1 x
m
am  n  R / 3a n  R
an  n a
n
" m" radicales
a
5
n
4. n x  n x  ...  n1 x
m
1
ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONENTES
Exigimos más!
V. ECUACIÓN EXPONENCIAL
V. ECUACIÓN EXPONENCIAL
A. Diversos ejemplos:
2 x  4;3x  4 x  5 x ; 3
4x
 812
A. si :x x  aa  x1  a
x 1
B. Teorema:
x
b
B. si : x  b  x1  b
si :a x  ay  x  y; a     1
C. Propiedad:
x
x
y
y
C. si :x c  y c  x  y

si :a  a  x  0;a,b    1
problemas resueltos
Problema 1
3

x



k
Reducir:
1
1
1
E  4 2  27 3  36 2
 x
Resolución:
4
1
 3 27
1
 36
x
k
1
44
30

x 22
E  21  31  6 1
E
2x  2  3x  3
3
2
4x  4  9x  9
5x  13
1
1
1
E  4 2  27 3  36 2
E
Por teorema:
90
x  
x15
x11
Problema 4
k  x4
1 1 1 3  2 1 6
  

2 3 6
6
6
Determine un valor de x en:
Problema 3
E  1
13
5
3
xx  3 4
Determine x en:
Resolución:
3
Problema 2
Simplificar:
3
4
x 1
 8
Resolución:
3
3
X.
X.
X ...90 factores
 
3 22
x 1

2 
3
x 1
3
Resolución:
Sea "k" la expresión simplificada, luego
LIBRO UNI
3
3
 x3 
3
x   4


 
 x    4
 x    2
3
3
x. x. x...44 factores
Siendo x >1
x 1
2
2x  2
 2
3x  3
x3
x3
2
Por comparación:
x3  2
2x  2
2 3

3x  3
2 2
x  32
2
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
EL POLINOMIO
DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN
*
Es la expresión algebraica que se caracteriza por
presentar a todas sus variables en el mumerador,
estando cada una de es tas afectada solo por
exponentes natural.
Son ejemplos de polinomios:
C. Polinimio completo:
P  x   2x 3  7x  4
Q  x; y   5x 4  3x 2y  5xy 2  
R x 
Q  x   x 5  2x 3  x  1
*
P  x   2  x  x2
*
Q  x   5x  x 3  x 2  10
Obsevación:
En todo polinomio completo respecto a la variable x se
cumple que:
7 2
x  3x
4
N° de términos = GR(x) +1
Obsevación:
Todo númerador real es un polinomio en forma muy
especial el cero, al cual llamaremos polinomio
identicametne nulo.
IV. EUCLIDEANO
A. Forma general
II. GRADO
P  x   a0 xn  a1x n1  a2x n 2  ...  an
A. Grado absoluto (GA)
B. Grado relativo (GR)
*
*
P  x;y   5x2y7
Donde:
GR  x   2;GR  y  7;GA  2  7  9
x = variable o ideterminada
a0 , a1, a2 ,...  an son coeficientes
Q  x; y   2x 3  5x 2y 2  4y
a0x n = término dominante, aquí a  0 y n  
0
GR  x   3;GR  y   2;GA  2  2  4
a0 = coeficiente principal
Obsevación:
an = término independiente de x
Todo número real diferente de cero tiene grado cero
el cero carece de grado.
Obsevación:
Un polinomio se dice literal si su grado mayor o igual
que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es
constante.
III. POLINOMIOS ESPECIALES
A. Polinomio homogéneo:
*
P  x; y   x 4  3xy 3  5x 2y 2
B. Propiedades del polinomio literal P(x)
B. Polinomio ordenado:
*
*
*
P  x   x 2  5x10  4x17
LIBRO UNI
3
P(1) = suma de coeficientes
P(0) = términos independientes de x
ÁLGEBRA
EL POLINOMIO
Exigimos más!
III. POLINOMIOS MÓNICO:
Es un plinomio literal que se encuentra en función de
una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y
el princiapl es uno.
Son polinomios mónicos:
P  x   x 5  2x 2  x  10
Q  x   x 2  7x  4
problemas resueltos
Problema 1
¿Cuántos polinomios de la forma
P  x; y   xn 7  nx ny  y10 n existen?
Resolución:
Según la definición  n  7  ,n  10  n 
deben ser números naturales, luego:
n  7  0  10  n  0
n
 7
n  10



7  n  10
Como n   tenemos:
n = 7; 8; 9 y 10
 existen cuatro polinomios
Problema 2
Si P  2x  7   6x  1 . Determinar el
polinomio P(7x + 2)
Resolución:
Según el polinomio dato.
P  2x  7   6x  1
De acuerdo con en cambio de variable
LIBRO UNI
m  2  4  n 1
m  6n 3
 mn  18
2x  7  u
2x  u  7
u7
2
u7

P u   6 
 1
 2 
P u   3 u  7   1
x
Problema 4
Dado el siguiente polinomio mónico
lineal:
P  x    a  2  x 2   a  b  1  x  2a  b
P  u   3u  22
Determine su término independiente.
Finalmente el polinomio buscado es:
P  7x  2   3  7x  2   22
Resolución:
P  7x  2   21x  6  22
Por ser un polinimio lineal se cumple
 P  7x  2   21x  28
que:
a2 0
a2
Problema 3
Calcular mn si el polinomio:
P  x, y   x
m 2
3
 5xy  mny
ahora tenemos:
n1
es homogéneo.
P  x   3  b x  4  b
Por se un polinomio mónico se cumple
que:
3 b 1
b2
Resolución:
Por condición el polinomio dado es
homogéno., luego se cumple:
4
con lo cual tenemos:
 término independiente de x = 2
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
5.
CONCEPTO
Producto de multiplicar binomios con término
común
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas
que tienen forma determinada, se pueden recordar
fácilmente sin necesidad de efectuar la operación.
• (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
• (x + a)(x + b)=x3 + (a+b+c)x2 + (ab+bc+ac)x + abc
II. TEOREMAS
1.
6.
Trinomio cuadrado perfecto
2
2
• (a + b)  a + 2ab + b
Desarrollo de un trinomio al cuadrado
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
2
• (a – b)2  a2 – 2ab + b2
7.
Desarrollo de un trinomio al cubo
• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b+c)(a+c)
Nota:
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c)
(a - b)2n  (b - a)2n
(ab+bc+ac)–3abc
Corolario: Identidad de Lengendre
8.
• (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
• (a2m+ambn+b2n)(a2m–ambn+b2n) = a4m+a2mb2n+b4n
• (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Caso particular:
• (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
2.
(x 2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Diferencia de cuadrados
9.
• (a + b)(a – b) = a2 – b2
3.
3
2
Identidades de Lagrange
• (a2+b2)(x2+y2)  (ax+by)2+(ay–bx)2
• (a 2+b2+c 2)(x 2+y2+z2)  (ax+by+cz) 2 + (ay–bx) 2 +
Desarrollo de un binomio al cubo
3
Identidad de Argan’d
2
(az–(cx) 2+(bz–cy) 2
3
• (a + b) = a + 3a b + 3ab + b .... forma desarrollada
• (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) .... forma abreviada
10. Identidades condicionales
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .... forma desarrollada.
Si: a+b+c=0, se verifica:
3
3
3
• (a – b) = a – b – 3ab(a – b) ... forma abreviada
• a2+b2+c2=–2(ab+bc+ac)
• a3+b3+c3=3abc
4.
Suma y diferencia de cubos
III. PROPIEDAD
• (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Si a2+b2+c 2=ab+ac+bc; a,b  c  
• (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
LIBRO UNI
5
ÁLGEBRA
 a=b=c
PRODUCTOS NOTABLES
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problemas resueltos
Problema 1
Calcular:
Calcular:
Si x  x 1  5 . Calcular: x 3  x 3
x 3  y 3  z3
xyz
Resolución:
En la condición de plantea:
 x  x    5
x  x  3  x.x  x  x   125
3
1
3
Resolución:
Fácilmente podemos reconocer que:
x + y +z = 0
3
1
1
x 3  x 3  3 1  5   125
x 3  x 3  15  125
 x 3  x 3  140
Problema 2
Sabiendo que:
x  12  7;y  7  10  z  10  12
LIBRO UNI
Luego se cumple que:
x3  y3  z3  3xyz
Finalmente tenemos:
E
x 3  y 3  z3
xyz
E
3xyz
xyz
E  3
k
x 4  y 4  z 4  2x 2yz
x 2 y 2  x 2z2  y 2z2
Resolución:
De la condición tenemos:
x2  y2  z2   xy  xz  yz  3 xy  xz  yz
x2  y2  z2  xy  xz  yz
Por propiedad tenemos:
x=y=z
Finalmente en "k" tenemos:
k
k
x 4  y 4  z 4  2x 2yz
x 2 y 2  x 2z2  y 2z2
x 4  x 4  x 4  2x 4
x 4  x 4  x4
Problema 3
Si x, y, z   ; tal que
 x  y  z
2
 3  xy  xz  yz 
6
k
5x
4
x4
K  5
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
división algebraica
DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN
B. Clases de cocientes
Dados dos polinomios llamados dividendo y divisor, es
posible encontrar otros dos polinomio llamados
cocientes y residuo, tal que verifiquen la siguiente
identidad.
Hay dos clases de cocientes.
1. Cociente Entero. Es el cociente propiamente
dicho de la división.
D x   d x  Q  x   R  x 
2. Cociente Completo. Es u na expre sión
fraccionaria que está compuesto por el cociente
entero, por el residuo y por el divisor
Donde:
D x  : es el dividendo
Se sabe que: D x  d x Q x  R x
     
 
d x  : es el divisor
Dividiendo entre d x  :
Q  x  : es el cociente
D x 
R  x  :es el resto o residuo
d x 
R x 
Q x  
d x 


cociente
entero
A. Propiedades:

Cociente Completo
1. El grado del dividendo deberá ser mayor o igual
que el grado del divisor.
C. Teorema
 D     d
Si al dividendo y al divisor de una división se les
multiplica por una misma expresión distinta de cero,
entonces el resto o residuo también quedará
multiplicado por dicha expresión.
2. El grado del cociente es igual al grado del
dividendo menos el grado del divisor.
 Q    D     d 
Sabemos que:
D x   d x  Q x   R  x 
3. El grado del resto o residuo, con respecto a la
variable con la cual se efectúa la división, es
menor que el grado del divisor. Por lo cual se
deduce que, el máximo valor que puede tomar
el grado del resto o residuo es igual al grado del
divisor disminuido en uno.
Multiplicando ambos miembros por A  x  :
 A D     A d  Q    A R  
x
x
x
x
x
x
x
Observación:
Para efectuar la división entre polinomios se
recomienda utilizar el método de Horner o para
cierto caso especial la regla de Ruffini.
 R     d   R 
   d   1
max
LIBRO UNI
7
ÁLGEBRA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
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II. TEOREMA DEL RESTO
xn  yn
;n   / n  2
xy
A. Definición:
Es una regla práctica que permite encontrar en
forma directa el residuo de cierta división, consta
de dos pasos.
B. Cociente notable (C--N):
Es el cociente de una división exacta.
Ejemplo: La división:
xn  yn
;n   / n  2
xy
1. Se iguala el divisor a cero y se despeja por
transposición de términos la parte variable.
2. Se reemplaza el valor numérico de la parte
variable en el polinomio dividendo, obtenido así
el residuo de la división.
¿Origina un cociente notable?
Por el teorema del resto x - y = 0
x=0
sea el dividendo:
Ejemplo: Determinar el residuo de dividir
D  x   xn  yn
x 4  2x  7
x 1
 R  x   yn  yn
R  x  0
a. x  1  0  x  1
b. D x  x4  2x  7
 

xn  yn
Si origina C  Nn   / n  2
xy
B. Propiedad:
4
 R  x    1   2  1   7  1  2  7
Si la división:
 R  x   10
xm  yr
x a  yb
Observación:
El teorema del resto o teorema de Descartes en
sus inicios solo se aplicaba cuando el divisor era un
binimio de primer grado, hoy en día el divisor podrá
ser un polinomio literal de grado arbitrario.
origina un C - N se cumple:
1. El número de términos del C - N "n" verifica:
n
III. DIVISIONES NOTALES
A. Definición:
m r

a b
2. En el C - N los exponentes de x disminuyen de
"a" en "a", mientras que los de y aumentan en
"b" en "b"
Es una división entre binomios que presenta la
siguiente forma.
problemas resueltos
Problema 1
Calcular ab si la división es exacta
2x 4  5x 3  x 2  ax  b
x2  x  1
En las columnas del residuo:
a  7  10  10  b  10  0
a  17  b  10
 ab  170
Problema 2
Si Q(x) es el cociente de dividir:
Resolución:
Dada la ecuación:
5
1 2
-1 2
1
-5
-2
2
-7
1 a
b
2
7 -7
- 10 10
10 0 0
LIBRO UNI
x  2x  7
x 1
Resolución:
Según la regla de Ruffini tenemos:
8
1 0 0 0 -2
x = -1
-1 1 -1
7
1
1
1 -1 1 -1 -1
8
Q  x   x 4  x3  x2  x  1
Q  1   1  1  1  1  1
 Q  1   3
Problema 3
Dertermine el resto de dividir:
ÁLGEBRA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más!
x 7  2x 5  x 3  x  1
x2  1
R  x   x  2x  x  1
R x  x  1
Resolución:
x2  1  0  x2  1
En el dividendo tenemos:
3
Resolución:
Según propiedad se cumple que :
Según el teorema del resto:
 
representa "n"
 
2
x n2  y 33
 
D  x   x2 x  2 x2 x  x2 x  x  1
Reemplazando x2 por 1
LIBRO UNI
Problema 4
Si la división:
x5  y 3
Origina un cociente notable. Calcular
la suma de cifras del número que
9
n  2 33

5
3
n2
 11
5
n  2  55
n  57
  de cifras  12
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
factorización en 
DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN
Ejemplo:
Es el proceso mediante el cual un polinomio de
coeficiente s enteros se transfo rma como la
multiplicación de dos o más polinomios, también de
coeficientes enteros.
Factorizar:
f(x;y)  4x3y4 + 5x2y5 + 7x4y7
Se observa: x2y4 como factor común.
Luego factorizando tenemos:
II. FACTOR PRIMO
Es aquel polinomio literale que no se puede expresar
f(x; y)  x 2y4 (4x – 5y + 7x2y3)
como una multiplicación de otros polinomios literales.
B. Identidades
Ejemplo:
*
Es la aplicación inmediata de algunos productos
f(x)  x 2 – 4 no es primo, por que se puede expre-
notables como:
sar como (x – 2)(x + 2).
*
f(x)  x – 2 es primo, por que no se puede
– Diferencia de cuadrados:
factorizar.
*
A2 – B2 = (A + B) (A – B)
f(x)  3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2)
Ejemplo:
percatese que 3 es de grado cero.
Factorizar
Se dice que la factorización se realiza en  cuando los
: P(x)  9x2 –16
Reconocemos : P(x)  (3x)2 – (4)2
factores primos obtenidos presentan únicamente coefi-
: P(x)  (3x + 4) (3x – 4)
Luego
cientes enteros; mientras no se indique alguna aclaración la factorización solo se realiza en  .
– Diferencia de cubos
A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2)
Observación:
*
Ejemplo:
Al factor primo también se le llama
Factorizar
polinomio irreductible.
: P(x)  27x3 – 8
Reconocemos : P(x)  (3x)3 – (2)3
Luego
: P(x)  (3x – 2)(9x 2 + 6x + 4)
III. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
– Suma de cubos
A. Factor común
A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)
Se denomina así al factor repetido en varios términos, para lo cual se eligen las bases comunes afec-
Ejemplo:
Factorizar
tadas del menor exponente.
LIBRO UNI
10
: f(x)  8x6 + 1
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más!
Reconocemos : f(x)  (2x2)3 + (1)3
Ejemplo:
: f(x)  (2x2 + 1) (4x4 –2x2 + 1)
Luego
– Trinomio cuadrado perfecto
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
Luego los factores se forman:
Horizontalmente: (x – 3) (x – 4)
Ejemplo
Factorizar : f(x)  9x4 + 6x2 + 1
Notese
2
: f(x)  (3x + 1)
Luego
E.
: f(x)  (3x2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2
Aspa doble
Se usa en forma particular para polinomios de la forma:
P(x;y)  ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f
2
Proceso:
C. Agrupación de términos
Consiste en seleccionar convenientemente los términos de tal manera que se genere algún factor
común o alguna identidad.
*
Traza dos aspas simples
*
Verificación final con los extremos, veamos en
un ejemplo:
Factorizar:
Ejemplo:
P(x;y)  15x2 – xy – 6y2 + 34x + 28y – 16
Factorizar:
como se encuentra ordenado.
f(x;y)  x
10
2 8
8 2
–xy +xy –y
10
1.er Aspa
Nos percatamos que no existe factor común en
todos los términos, pero si agrupamos de dos en
dos obtenemos:
f(x;y)  x 2 (x8 – y8) + y2 (x8 – y8)
2.O Aspa
Factor Repetido: (x8 – y8)
Luego: f(x;y)  (x8 – y8) (x2 + y2)
Continuamos:
Verificación final
f(x;y)  (x4 + y4) (x2 + y2) (x + y) (x – y) (x2 + y2)
(Los términos estan descompuestos)
Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados:
f(x;y)  (x4 + y4) (x2 + y2)2 (x + y) (x – y)
D. Aspa simple
Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios
de la forma: P(x)  ax2n + bxn + c ó que se amolden a dicha forma.
Luego, en un esquema se tiene:
Proceso
*
Descomponer los extremos.
*
Verificar que la suma de productos en aspa sea
igual al término central.
LIBRO UNI
 P(x;y) = (5x + 3y –2) (3x – 2y + 8)
11
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más!
F.
Aspa doble especial
Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos
con la forma:
P(x)  Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + F
Proceso:
*
Se descomponen los términos extremos en 2
factores cada uno.
*
Luego:
Se hace el balanceo
f(x) = (x – a) q (x)
Al valor de "a” se denomina cero del polinomio.
Ejemplo:
Factorizar:
Por ejemplo:
P(x) = x3 – x2 – 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:
 P(x)  (x 2  5x  1)(x 2  x  1)
G.
Luego: x3 – x2 – 4 se puede expresar como:
Divisores binomicos (evaluación)
P(x)= (x – 2) (x2 + x + 2)
Se usa básicamente para factorizar polinomios de
grado mayores o iguales a 3.
Proceso:
(Nótese que esta factorizada)
Consiste en evaluar usando la regla de Ruffini.
problemas resueltos
Problema 1
Factorizar:

Agrupando los términos indicados
y factorizando parcialmente
= 5p2(rp2–5q)–r(rp2–5q)
5r(p4+q)–p2(r2+25q)
D) (5x+7y)(3x+3y)
E) (4x+7y)(2x+3y)
= (rp2–5q)(5p2–r)
Resolución:
10x2+29xy+21y2
A) (rp2–5q)(5p2–r)
B) (rp–5q)(5p 4–r)
Respuesta: A) (rp2–5q)(5p2–r)
C) (rp4–5q)(5p3–r)
Problema 2
D) (rp3–5q)(5p2–r)
Factorizar:
E) (rp2–5q)(5p4–r)
5x
2x
7y
3y
14xy +
15xy
29xy
10x2+21y2+29xy
Finalmente:
Resolución:
A) (6x+7y)(2x+3y)
(5x+7y)(2x+3y)
B) (5x+7y)(2x+4y)
C) (5x+7y)(2x+3y)
LIBRO UNI
12
Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y)
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más!
Problema 3
Resolución:
Por diferencia de cuadrados tenemos:
Factorizar e indicar la suma de sus
De acuerdo con el criterio del factor
común tenemos:
P(x)  (x  1)  (x  1)  (x  1)
factores primos.
12a2–59b–63–7ab–10b2+15a
Aquí reconocemos que los factores
primos son: (x + 1) y (x – 1)
2
P(x; y)  x 5  y (x
 2xy
 y2)


A) 7a–3b+4
B) 7a–3b+3
Dando uso de los productos notables
tenemos:
C) 7a–4b+2
P(x)  (x  1)2  (x  1)
  de f .p  2x
Respuesta E) 2x
D) 7a–5b+2
5
P(x; y)  x  y  (x  y)
E) 7a–3b+2
2
Finalmente los factores primos son:
x, y  (x  y)
UNI
Ordenando y aplicando el criterio
de aspa doble
2
2

–5b
2b
A) x2 – x – 1
B) x2 – x + 1
 N de factores primos  3
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 63
4a
3a
Reconocer un factor de:
P(x)  x 5  x  1
Resolución:

Problema 6
Respuesta C) 3
–7
9
D) x3 – x2 + 1
E) x3 + x2 + 1
Problema 5
Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9)
Determine la suma de los factores pri-
Resolución:
mos del polinomio:
luego  factores primos: 7a–
P(x)  x 3  x 2  x  1
3b+2
Con la finalidad de formar una diferencia
UNI
Respuesta: E) 7a–3b+2
Problema 4
¿Cuántos factores primos tiene el polinomio:
7
6 2
UNI
B) 2
C) 3
D) 4
B) 3x + 2
D) 3x + 1
LIBRO UNI
5
P(x)  x
 x2  x 2  x  1

Resolución:
2
2
P(x)  x2(x  1)  (x
 x  1)  (x
 x  1)


Por agrupación de términos tenemos:
Por el criterio del factor común:
2
P(x)  x 2(x  1)  (x  1)
P(x)  (x 2  x  1)  x 2 (x  1)  1
 P(x)  (x 2  x  1)(x 3  x 2  1)
Por el criterio del factor común:
P(x)  (x  1)  (x21)
E) 5
de cubos sumamos y restamos x2.
P(x)  x 2(x 3  1)  x 2  x  1
P(x)  x  x  (x  1)
P(x; y)  x y  2x y  x y ?
A) 1
A) 2x + 1
C) 3x – 1
E) 2x
3
5 3
C) x3 – x – 1
13
Respuesta D) x3 – x2 + 1
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
DESARROLLO DEL TEMA
I.
FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+
Luego: x – 4  0  x – 1  1
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar
todos los números enteros y positivos de manera
consecutiva desde la unidad hasta el número indicado.
x4
x5
3. Si: a! = b!  a = b
* a; b  0; 1
Ejemplo:
(x – 5)! = 6
 (x – 5)! = 3!

x–5=3
x=8
Notación: n! ó n
Se lee: Factorial de "n".
Así: 2 !  1  2  2
3!  1  2  3  6
4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro
factorial menor.
4 !  1  2  3  4  24
5 !  1  2  3  4  5  120
(n2) !


n!  n (n

1)
(n

2)...3
 2
1


6 !  1  2  3  4  5  6  720
(n 1)!
En general:
n! = n(n – 1)!
n! = n(n – 1) (n – 2)!
n!  1  2  3...(n – 2)(n – 1)n
II. NÚMERO COMBINATORIO
o también: n!  n(n – 1)(n – 2)...3  2  1
Representa el número de combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k".
Observaciones:
1. (a  b) !  a!  b !
Notación: Cnk n Ck n Ck
2. (ab)!  (a!)  (b !)
n!
;nk
k !(n  k)!
3.  a  !  a!
b!
b
Definición: Cnk 
Propiedades
Donde: n     k   o
1. n! existe  n  zo
Ejemplo:
Luego:
• (–5)! No existe
• –5! Si existe
• (2/3)! No existe
• 7! Si existe
C52 
Regla práctica:
2. Por definición 1! = 1.
Por acuerdo 0! = 1.
Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1
LIBRO UNI
5!
120

 10
2 !(5  2)! 2  6
Cnk 
n!

k !(n – k) !
" k " factores



n(n – 1)(n – 2)...(n – k  1) (n – k) !
1
 2 
 3...k
 (n – k) !
" k " factores
14
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más!
Propiedades
5. Reglas de degradación
1. Cnk Existe  n  z 
k
Cnk  n Cnk 11
k
•
 zo
k n
10 9
Ejemplo: C10
C
3 
3 2
2. Propiedad complementaria
Cnk  n – k  1  Cnk –1
k
•
Cnk  Cnn–k
Ejemplo: C58  8  5  1 C 84  C58  4 C 84
5
5
Ejemplo:
50
C50
48  C2 
Cnk 
•
50  49
 1 225
2 1
n Cn–1
n–k k
9
C8
9–4 4
9
C 94  C 84
5
Ejemplo: C 94 
3. Propiedad de igualdad
Cnp  Cnq
1. a Posibilidad: p = q
III. BINOMIO DE NEWTON
2. a Posiblidad: p + q = n
(Para exponente entero y positivo)
Ejemplo:
n
Definición: (x  a)n   Cnk x n–k ak
Hallar la suma de valores de "n" en:
k 0
10
C10
n  C6 .
Donde: x; a  0 n  
1. a Posibilidad: n1 = 6.

Así: (x + a)2 = x2 + 2 x a + a2
2. a Posibilidad: n + 6 = 10  n2 = 4.
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
Luego n1 + n2 = 10.
(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4
(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
4. Suma de combinatorios
Cnk  Cnk 1  Cnk 11
Nos damos cuenta:
(x  a)5  c50 x 5  c15 x 4a  c52 x 3a2  c53x 2a3  c54 xa4  c55a5
Ejemplo:
Hallar: S  C04  C15  C26  C37
Luego:

(x  a)n  cn0 x n  c1nx n 1a  cn2x n 2a2  cn3x n 3a3  ...  Cnnan

Luego: S  C50  C15  C62  C73



Desarrollo o expansión del binomio
S  C16  C26  C37



Propiedades
S  C72  C73



1.
N. de términos  Exponente " n " 1
de (x  a)n
S  C 83
S
87  6
3  2 1
LIBRO UNI
Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y)7.
 56
 N.º de términos = 7 + 1 = 8.
15
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más!
2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficientes:
90 30 60
T61  c60
3 x  260 y180
90 30
T61  c60
3  260 x 60 y180
cn0  c1n  cn2  c3n  ...  cnn  2n
c50  c15  c52  c53  c54  c55  25  32
4. Término central ("n" exponente del binomio)
Si "n" par existe un solo término central:
n–2
cn–2
 c1n–2  cn–2
 ...  cn–2
0
2
n–2  2
Tc  Tn
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de:
(5x2 + y4)40
2
5. Suma de exponentes
Luego: x = y = 1  (5(1)2 + (1)4)60  6 60
Siendo B(x,a) = (xp + aq)n
3. Término de lugar general:
Siendo: (x + a)n.
En su desarrollo:
1
 Exponentes 
Tk 1  ckn x n–k ak
(p  q)n(n  1)
2
Ejemplo:
Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:
Donde: "k + 1" es el lugar.

Ejemplo:
Hallar el T61 en el desarrollo de:
3
39
x 4

Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.
B(x; y) = (3x2 + 2y3)90
 1  1   39(39  1)


3 2
  exponentes 
  Exp  650
2
90
T61  c60
(3x 2 )30 (2y 3 )60
problemas resueltos
Problema 1
Resolución:
Problema 2
Si "x" es un número real tal que el
término central en el desarrollo de:
Sabemos que:
Hallar el valor de "n" de modo que:
 2 – 3x 
 3
2 
12
TK 1  Ckn x n–k ak
TC  T12
2
1
n
n
 (2r  1)    2n 4
r 0
r
 T7
Nivel difícil
12–6
T7  C12
(–3x 2)6  924
6 (2 3)
Es 924, hallar el valor de:
1 + x 2 + x4 + x6
6
6 6
12.11.10.9.8.7  2  3 x
6.5.4.3.2.1
36 26
 924
x=1
Nivel intermedio
A) 18
B) 16
C) 17
D) 15
E) 20
A) 4
Resolución:
Entonces:
B) 8
1 + 12 + 14 + 16 = 4
C) 6
D) 16
Respuesta: A) 4
E) 2
LIBRO UNI
16
Sabemos:
n n
    2n
r 0  r 
n n
 r    n  2n–1
r 0  r 
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más!
Entonces:
Determinar el valor de:
n
n n n
 2r        2n–4
r 0  r  r 0  r 
2  n  2n1  2n  2n 4
(n  1)  2n  2n  24
n = 15
Respuesta: D) 15
K
n2  3n  7
Nivel intermedio
A)
47
B)
17
(n! – 24 )(n! + 3) = 0
n! = 24 ;
n! = -3
n=4
Entonces:
C) 3 3
D)
35
E)
61
K
42  4  3  7
K  35
Problema 3
Resolución:
Tenemos:
Si: n!  (n!  3)  18.
n!  4
(n!)2 – 3(n!) = 18(n!) + 18  4
LIBRO UNI
(n!)2 – 21(n!) – 72 = 0
17
Respuesta: D)
ÁLGEBRA
35
ÁLGEBRA
racionalización
DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN:
n
Es el proceso mediante el cual una expresión irracional
se transforma en otra parcialmente racional.
Frecuentemente se racionalizan denominadores con
el auxilio del factor racionalmente (R:F) según la
relación.
A;n     A  Q
Veamos algunos ejemplos:
5 4
 3
23 3  3 24
Veamos algunos ejemplos:
(Exp. Irracional).(FR) = Exp. Racional
C. Radical doble:
Se denomina asi a todo número irracional que se
puede expresar según la forma:
A. Factor racionalizante (F.R)
Es el menor número irracional positivo que multiplica
a otro número irracional y lo transforma en racional.
Ejempo:
m
¿Cuál es el factor racionalizante de
2?
A  n B ;m  n   , A  B  Q
Veamos algunos ejemplos:
Resolución:
observar lo siguiente
 4  12
2 2  4  2
 2 3
3
 10  108
II. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES
DOBLE A SIMPLES
2  8  16  4
2  18  36  6
A. 1° caso
2  32  64  8












A  B . Se transforma según la fórmula:
A B 
Existen varios números irracionales que multiplican
a
AC 
2
AC
2
2 y lo transforman en racional pero entre todos
ellos
2
Donde "C" se calcula Así: C  A 2  B !racional!
es el menor  FR  2
B. 2° caso
B. Radical simple:
A  B . Se transforma en
Se denomina así a todo número irracional que se
Donde: x.y  N  x  y  M
puede experesar segúnla foma:
LIBRO UNI
M2 N  x  y
18
ÁLGEBRA
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más!
II. CASOS DE RACIONALIZACIÓN
1
•
n m 
 A  FR   A; A  # primo


4
4
Donde: FR  A
n m

2
2
, veamos algunos ejemplos.
5 1
 5   1
 5  1 FR   5  1 FR
1

5 1
5 1
 5   1
 5  1  5  1 
1

5 1
4
5 1
4
A. Denominador monomio
n
4
FR

4
2
2
4
•
•
1

1. 31
3
3
3

3.FR
4
4
5 1
C. Denominador binomio con índice potencia
de tres:
3
5  5. 21  53 2
3
2
4 3 22 .FR
Expresión
•
13
5

120
3
5
13

5 3
13 22.34.54

5 3
2 .3.5
13FR 13FR

2.3.5
30
3
2 .3.5.FR
A  3B
3
A  3B
3
FR
•
Resultado
A  B
A B
A-B
A  B
A  B
A-B
1

7 2
1


3
3
7 2

7 2

72

3
3

5 2
5

11  3
5

11  3

2
 7  2



11  3 FR
5

11  3
11  3
•

 11    3 
5


•

13  3
2FR
2
 13 
 3
3
3
3
25  10  4
7
1
3
11  3 5
 11  5  FR
3
3
3

2
3
3
1
3
  5 FR
3
3
3
121  55  25
3
3
3

 11    5 
11  5
2
3

11  5
3
3
3
3
121  55  25
11  5
3
121  55  25
6
D. Denominador con índice susperior a tres:
8
n   

2FR

13  9
2
n
A nB
 FR   A  B
Donde:
2
2FR FR


4
2
13  3
LIBRO UNI
3
3 2 3 3
3 2
1.  11  11. 5  5 

 
11  3
1.
2
3
3
25  10  4
52
2
7. 2
5
11  3
3
3

7 2

3
5
A B
3
25  10  4
3
1
•
A B

3
 5   2
5 2
1


A  3 A.3 B  3 B
1
3
7  2 FR
7 2
2

3
1
2
A  3 A.3 B  3 B
3 2 3 3
3 2
1.  5  5. 2  2 
1

 
3
3
3
3
5 2
5  2 FR
veamos algunos ejemplos:
•
Resultado
2
veamos los siguientes ejemplos
B. Denominador binomio con índice potencia
de dos:
Expresión
FR
2
FR  n A
19
n 1
nA
n 2 n
B  ...  n B
ÁLGEBRA
n1
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más!
2. n    / n  número impar

n
A  nB
3. n   / n  número par
 FR   A  B

Donde:
n
A  nB
 FR   A  B
Donde:
FR  n A
n 1
nA
n 2 n
B  ...  n B
n1
FR  n A
n 1
nA
n 2 n
B  ...  n B
n1
problemas resueltos
Donde se debe cumplir que:
Problema 1
a  b  a  b  x  ab  y
Transformar a radicales simples la
siguiente expresión:
Como:
E  6  2 5  11  2 30  1
Problema 2
E  8  60
Transformar a radicales simples la
siguiente expresión:
Ahora en la expresión "E" se tendría:
E
Resolución:
Reconociendo:
A = 8  B = 60
 

5 1 

6  5 1
52 6
Reduciendo:
Resolución:
E   6
Hallemos "C":
52 6 
C  82  60  4  C  2
 3  2  2
32
 52 6  3  2
Luego:
Problema 4
Racionalizar el denominador de la
expresión:
E
82

2
82
2
Problema 3
E
El equivalente de:
Finalmente:
7
7
5 73
E  6  2 5  11  2 30  1.Es :
E  8  60  5  3
Método práctico: Debemos observar
que el radical doble presenta la
siguiente forma:
Resolución:
Resolución:
Observamos que 7 5  7 3 corresponde
Utilizemos el método práctico para
a la relación (2) visto anteriormente,
transformar a los radicales dobles en
con lo cual tenemos.
simples.
E
x2 y
Luego podemos afirmar que:
x 2 y  a  b
LIBRO UNI
*
6  2 5  5  1  5 1
*
11  2 30  6  5
20
7FR

7
E 

5  7 3 FR

7FR
53
7FR
8
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
ECUACIONES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
ECUACIÓN
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos
sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta
x = y + z.
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas
en la que al menos esté presente una variable que
ahora recibirá el nombre de incógnita.
•
Si se restan miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo,
en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a
ambos miembros con lo que se obtiene x = 2.
•
Si se multiplican miembro a miembro varias
igualdades se obtiene otra igualdad.
Notación:
A(x;
y;...z)

 
Primer miembro
B(x;
y;...z)


Segundo miembro
Donde: x; y; ...; z: incógnita
Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores
de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos
miembros de la igualdad: 1 y  5x 2 .
3
Se obtiene: y = 15x2
Por ejemplo:
• x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación
condicional.
• x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los
valores de x; es una identidad.
Análogamente, si los dos miembros de:
9 C  k – 492
5
se multiplican por:
Para representar una identidad se emplea el símbolo 
en lugar del símbolo =.
Se obtiene: C  5 (k – 492)
9
A. Soluciones de una ecuación
•
Las soluciones de una ecuación son los valores de
las incógnitas que transforman la ecuación en una
identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las
soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una
ecuación es hallar todas sus soluciones.
Por ejemplo:
x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5,
ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene
2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen
iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
B. Operaciones aplicadas en la transformación
de ecuaciones
•
Si se dividen miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad siempre que
no se divida por cero.
Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de
la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2.
Análogamente, en la igualdad F = ma se puede
dividir los dos miembros por m(m  0) obteniéndose:
a F
m
Fórmula:
La fórmula es una ecuación que expresa un
hecho general, una regla o un principio.
Si se suman miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad.
LIBRO UNI
5
9
21
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Forma General:
1. Si:   0 , la ecuación tiene raíces reales y
diferentes.
2. Si:   0, la ecuación tiene raíces reales e
iguales (raíces dobles).
3. Si:   0, la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.
ax + b = 0 ; a  0 ; en donde a y b
son constantes arbitrarias.
Como primer paso para la resolución de esta ecuación
transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose
así la ecuación equivalente.
IV. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍCES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
ax =  b
Después dividimos ambos miembros entre “a”, obteniéndose otra ecuación equivalente que es la solución
Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x"
de la ecuación dada:
Se cumple:
ax 2 + bx + c = 0
x–b
a
b
• Suma: s  x1  x 2  –
a
Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 obtendremos la identidad:
• Producto: p  x1 . x 2 
c
a
b2  4ac ; a  0
a
Para determinar la diferencia de raíces se recomienda
utilizar la equivalencia de Legendre, veamos:
(x 1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4(x1 x 2)
b
a  –   b  0
 a
• Diferencia: | x1  x 2 |
–b + b = 0
Teorema:
La ecuación lineal con una incógnita
ax + b = 0, a  0
A. Casos particulares
Dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0
Tiene solución única:
De raíces x1 ; x2, si estas son:
x–b
a
1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0.
2. Recíprocas, se cumple: x . x = 1.
1
III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICA)
V. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA EN "X"
A. Forma general
Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se
determina según la relación:
ax 2  bx  c  0
donde: x  incógnita, asume dos valores
a;b ;  c /a  0
x 2 – sx  p  0
B. Fórmula de Carnot
VI. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVALENTES
Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación:
ax 2 + bx + c = 0; a  0
Estas se obtienen a partir de la relación:
A. Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Siendo:
2
x1;2  –b  b – 4ac
2a
1. Discriminante
   dada la ecuación cuadrática en "x":
ax 2 + bx + c = 0; a  0
se define como:
Se cumple:
ax 2 + bx + c = 0
a1 x 2 + b1 x + c 1 = 0
a  b  c
a1 b1 c1
B. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común
  b2 – 4ac
ax 2 + bx + c = 0
Sean:
a 1 x 2 + b1 + c 1 = 0
2. Propiedad del discriminante
El discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta, es decir:
LIBRO UNI
2
Se cumple:
(ab1 – a1b)(bc1 – b1c)  (ac1 – a1c)2
22
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
VII.POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR
Propiedad
Un polinomio con coeficientes reales puede escri-
A. Definición
birse como el producto de un número real, multiplicado por factores cuadráticos irreductibles con
coeficientes reales y factores lineales con coeficientes reales.
Dado un número entero n  3, un polinomio en
variable x con coeficientes en k de grado n, es una
función de la forma:
P(x)  anxn + an–1xn–1 + ........ + a1x + a0, con an  0
A la cual llamaremos polinomio de grado superior,
donde:
• x = es la variable independiente.
• a i  K, son los coeficientes de las x y son
constantes que pueden ser cualesquiera
números.
• K es un conjunto.
• an= coeficiente principal
• ao= término constante
• n = [P]° es el grado del polinomio P(x)
B. Teorema (paridad de raíces irracionales)
Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene
como raíz a  b , donde
b es irracional, a y b son
racionales; entonces a  b también es raíz de P(x).
Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales.
Si ( a  b) es raíz del polinomio P(x), donde
a,
b, ab son irracionales, entonces a  b ;,  a  b,
 a  b también son raíces de P(x).
Si la raíz ( a  b) es de multiplicidad K, las otras
Observación:
El estudio de todo polinomio:
P(x)  anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0
con an  0, a0  0 radica en el tratamiento de sus
coeficientes a i  K y en particular de an y a0.
raíces también son de multiplicidad K.
IX. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y
LOS COEFICIENTES
B. El Teorema fundamental del Álgebra
Dado el polinomio de grado n > 0:
Todo polin omio P(x) de grado n > 0 con
coeficientes complejos en general, tiene al menos
una raíz gene-ralmente compleja.
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ....... + a0
an  0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyas n
raíces son r1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas
tantas veces como se repiten las raíces múltiples), entonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x)
Colorario:
Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exactamente "n" raíces.
Por ejemplo P(x) = x 5 + x – 1 tiene en total 5
raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos
decir que F(x)  x 4 tiene en total 4 raíces (cada
una es igual a cero).
y las raíces ri.
Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo:
•
VIII. POLINOMIOS CON COEFICIENTES
REALES
anxn  an 1xn1  ...  a0  0
 xn 
an1 n1 an2 n2
a
x 
x  ...  0  0 an  0
an
an
an
(1*)
A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias)
• Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces
el polinomio P(x) se puede escribir como:
Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene
como raíz el número imaginario Z, entonces Z también es raíz de P(x).
P(x) = an(x – r1) (x – r2) .... (x – rn)
Como P(x) = 0  an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0,
an  0  (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0
Observaciones
(2*)
•
•
La paridad de raíces imaginarias, refiere lo
siguiente, si Z = a + bi, con b  0 es raíz de
un polinomio P(x) entonces Z = a – bi también es raíz de P(x).
Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces
(x – Z) (x – Z ) será un factor de P(x).
LIBRO UNI
• Pero son idénticos (1*) y (2*):
xn 
an1 x 1 an2 n 2
a
x

x
 ...  0
an
an
an
 (x  r1)(x  r2)...(x  rn )   x n  r1  r2  ...  rn  x n1
n
  r1r2  r1r3  ... xn1  ...   1 r1r2r3...rn
23
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
Sea la ecuación 4x2 – 2x + 3 = 0, cuyas
raíces son a y b. Halle otra ecuación
cuadrática que tenga por raíces (2a – 1)
y (2b – 1)
UNI 2008 - I
Nivel fácil
2
A) y – y + 1 = 0
B) y2 – y – 2 = 0
C) y2 + y + 3 = 0
D) y2  1 y  2  0
2
1
2
E) y  y  3  0
4
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que
verifica solo será x = 3
Resolución:
Dada la ecuación:
4x 2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b}
1. Si cambiamos: "x" por " y "
2
2
y
y



entonces: 4    2   + 3 = 0
2
2
A) 10
tenemos: y2 – y + 3 = 0
de raíces {2a; 2b}
2. Si cambiamos: "y" por "y+1"
Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0
Tenemos: y2 + y + 3 = 0 de raíces
{2a – 1, 2b – 1}
Respuesta: C) y2 + y + 3 = 0
Respuesta: B) Solo x = 3
Problema 3
Una ecuación cuadrática tienen como
raíces a   4 y   2. Halle la suma de
las cifras del producto de estas raíces,
siendo  el discriminante de la ecuación.
UNI 2006 - II
Nivel difícil
B) 11
D) 13
C) 12
Las raíces de la ecuación x  x  2  4
son:
A) solo x = 6
0  1  x  0
Luego la ecuación será:
x 2  (2  2)x  2  2  8  0
Luego calculando el discriminante:
2
   (2  2)   4(2  2  8)
  36
Luego:
 cifras  10
Respuesta: A) 10
UNI 2008-I
Nivel fácil
A) –4
B) –2
C) 2
D) 4
E) 0
x  x 2  4 
x 2  4 x
Elevando al cuadrado y teniendo en
cuenta que
x–2  0  4–x  0
tenemos x2 – 9x + 18 = 0
LIBRO UNI
Eliminando los valores absolutos:
x
3–x –1  3 x – 1  3  2
Reduciendo: 3–x–1 = 3
Tenemos: –x – 1 = 1
De donde:
x  –2
 C.S. {–2;0}
Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2
E) No existen soluciones
Resolución:
Si: x < –1
Problema 4
entonces la suma de x1 y x2 es:
D) x  6 , x = 3
Reduciendo: 3x+1 = 3
Suma de Raíces  S  2  2
3 x 1  3x  1  3x  2
C) x = 3, x = 6
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
De donde: x = 0
Producto Raíces  P   2  2  8
Resolución:
Si: 3
x 1
x0
Si: – 1  x  0
Resolución:
Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
B) solo x = 3
3x = 1 
Tenemos: x + 1 = 1
UNI 2007 - II
Nivel intermedio
Reduciendo:
3x . 3 –2 . 3 x – 1 = 0
Tenemos:
E) 14
Producto de Raíces = (40)(34) = 1360
Problema 2
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 – (3x – 1) = 3x + 2
– 3x – 1  3x  2
Problema 5
Las raíces de la ecuación x  x  2  4
son:
UNI 2008-I
Nivel intermedio
A) Solo x = 6
B) Solo x = 3
C) x = 3, x = 6
D) x  6 , x = 3
E) No existen soluciones
Resolución:
x  x 2  4 
Si: x  0
24
ÁLGEBRA
x 2  4 x
ECUACIONES
Exigimos más!
Elevando al cuadrado y teniendo en
cuenta que:
1  5
1  17
 x
2
2
x
x 2  04  x  0
como x > 0:
Tenemos: x2 – 9x + 18 = 0
1  5
1  17
 x2 
2
2
x1 
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que
verifica solo será x = 3.
 x1  x 2  2  5  17
2
Respuesta: B) x = 3, x = 6
Respuesta: B)
Problema 6
La suma de todas las soluciones positivas de la ecuación:
Problema 7
La función polinomial:
10
 6  x  x2
1  x  x2
es:
UNI 2009-II
Nivel difícil
A)
B)
C)
2  5  17
2
2  5  17
2
2  5  17
2
2
F(x, y, z)   (x  y)(y  z  3) 
[(Z  y)(y  x  3)]4  (x  y  z  3)2
tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es
igual a:
UNI 2008 - I
Nivel fácil
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolución:
2
4

(x  y)(y  z  3)   (z  y)(y  x  3) 

 

2  5  17
2
0
0
2
 (x

y
 z 
3)  0

0
D)
3  5  17
2
Se genera un sistema de ecuaciones:
E)
3  5  17
2
x  y  0  y  z  3  0

z  y  0  y  x  3  0
x  y  z  3  0

Resolución:
Piden: x > 0
Problema 8
Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que
tenga como raíces a los números reales
2  3 y 3  2. Dar como respuesta
la suma de sus coeficientes.
UNI 2007 - II
Nivel intermedio
A) 28
B) 42
C) 56
D) 70
E) 84
Resolución:
Por el teorema de la paridad de raíces
irracionales: Si una raíz es 3  2 la otra
será (3  2) la cual origina el polinomio
cuadrático x2 + 6x + 7.
Análogamente: Si la otra raíz es 2  3
la otra será 2  3 que origina el
polinomio: (x2 + 4x + 1).
Por lo tanto el polinomio mónico será:
P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1)
Nos piden: P(x)  (14)(6)  84
Respuesta: E) 84
Problema 9
Dados los siguientes polinomios: P(x)
de grado 2 y término independiente
uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1.
Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma
de raíces de Q(x).
UNI 2004 - II
Nivel intermedio
A) 0
B) 8/3
C) 10/3
D) 4
E) 5
De donde:
1
Llamemos a:
x2 + x + 1 = m; m > 0
Del dato:
10
 7  (1  x  x 2 )
1  x  x2
Reemplazando :
2
10
 7m
m
Reemplazando:
x2  x  1  2  x 2  x  1  5
x2  x  1  0  x 2  x  4  0
Resolución:
De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1
Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1
 C.S.  (1,1,1)
Pero:
x  y  0

y  x  3  0
x  y  z  3  0

 C.S.  
Q(2)  7;(1)(4a  2b  1)  7  7
4a  2b  1......(1)
P(1)  2 ; a  b  1  2
a  b  1...(2)
de (1) y (2) = a  3 / 2;b  5 / 2
2
m  7m  10  0
 (m  2)(m  5)  0
 m  2m  5
x  y  0

z  y  0
x  y  z  3  0

3
4
y  z  3  0

 C.S.  
z  y  0
x  y  z  3  0

y  z  3  0

y  x  3  0  C.S.  (2;  1,2)
x  y  z  3  0

De donde:
Q(x)   3 x 3  4x 2  3 x
2
2
se pide:
x1  x 2  x 3  
N es igual a 2
Utilizando la fórmula general:
LIBRO UNI
Respuesta: C) 2
25
4
8

3 / 2 3
Respuesta: B) 8/3
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS
NÚMEROS REALES
(M4) a   :  !1   / a  1  1  a  a
(Existencia y unicidad del elemento neutro)
El sistema de los números reales, es un conjunto provisto
de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y
una relación de orden y otra de igualdad.
(M5) a   – {0} :  !a 1   / a  a–1  a–1  a  1
(Existencia y unidad del elemento inverso)
Notación
Denotamos por  al conjunto de los números reales.
C. Axioma distributiva
Distributividad de la multiplicación respecto de la
adición.
A. Axiomas de adición
(D1) a, b, c   : a(b  c)  ab  ac
(A1) a, b   : a  b  
(D2) a, b, c   : (b  c)a  ba  ca
(Clausura o cerradura)
D. Relación de orden
(A2) a, b   : a  b  b  a
Es una comparación que se establece entre 2 elementos de un conjunto que pertenece al campo
de los números reales, el campo real es un campo
ordenado.
(Conmutatividad)
(A3) a, b, c   : a  (b  c)  (a  b)  c
(Asociatividad)
Símbolos de la relación de orden:
(A4) a   :  !0   / a  0  0  a  a
> : "mayor que"
 : "menor o igual que"
< : "menor que"
 : "mayor o igual que"
(Existencia y unidad del elemento neutro)
II. DESIGUALDAD
(A5) a   :  !(–a)   / a  (–a)  (–a)  a  0
Es una relación de orden que se establece entre dos
números reales de diferente valor.
(Existencia y unidad del elemento inverso)
Existen dos tipos de desigualdades.
B. Axiomas de multiplicación
(M1) a, b   : ab  
6>1
 (Desigualdad verdadera)
5 < –2
 (Desigualdad falsa)
(Clausura)
A. Axioma de tricotomia
(M2) a, b   : ab  ba
Si a    b  , entonces una y solamente una
(Conmutatividad)
de las siguientes relaciones se cumple:
(M3) a, b, c   : a(bc)  (ab)c
(Asociatividad)
LIBRO UNI
26
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
Exigimos más!
B. Axioma de transitividad
•
Si: a  x  b  ab  0 entonces:
Si: (a  b)  (b  c)  (a  c); a, b, c  
0  x 2  Max(a2 , b2 )
C. Otros axiomas y teoremas de la desigualdad
 a, b, c, d   , se cumple:
•
•
•
Si: 0  a  b entonces a  a  b  b
2
•
Si: 0  a  b entonces a  ab  b
ab ac bc
abc  d ac bd
D. Propiedades de desigualdades entre medias
•
Si: x1; x2; ... xn son números positivos, se define:
Si: a  b  c  0  ac  bc
•
•
a b
Si: a  b  c  0  
c c
•
Si: a  b  –a  –b
Media aritmética de x1; x2; ... ; xn
n
MA (x1; x2; ...; xn) = 1  x i
n i1
•
Media geométrica de x1; x2; ...; xn
n
•
Si: 0  a  b  0  c  d  0  ac  bd
•
a  ; a2  0
MG (x1; x2; ...; xn) = n xi
i1
•
Media armónica de x1; x2; ...; xn
n
MH (x1; x2; ... xn) =
•
ab  0  {(a  0  b  0)  (a  0  b  0)}
•
ab  0  {(a  0  b  0)  (a  0  b  0)}
n
1
x
i1
•
i
Media potencial de x1; x2; ...; xn
n
MP (x1; x2; ...; xn) =
•
a y 1 tienen el mismo signo  a   – {0}
a
•
Si a y b tienen el mismo signo y a  b  1  1
a b
•
Si: ab  0  a  x  b  1  1  1
a x b
k
 xki
i1
n
Entonces:
MP  MA  MG  MH

Para dos números: a  b, K  
k
•
a  b  a2n–1  b2n–1 , n   
•
0  a  b  a2n  b2n , n   
•
a  b  0  a2n  b2n; n   
ak  bk
ab
2

 ab 
2
2
1 1

a b
E. Recta numérica real
LIBRO UNI
Es la recta geométrica donde se puede ubicar los
números reales, es decir, existe una correspondencia biunivoca entre el conjunto de los números
reales y esta recta.
27
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
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 , – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones.
problemas resueltos
UNI 2008 - II
Problema 1
Luego:
Sean a, b, c y d cuatro números reales
positivos tal que a – b = c – d y a < c.
Decir la verdad o falsedad de las si-
1
1
(c  d) 
(a  b)
c
a
a  c , si a  b
b
d
II.
c
a
 , si c  d
d
b
III.
c
a

b
d
n
1  d 1  b
c
a
guientes afirmaciones:
I.
Nivel fácil
A)
bd, ac
a c b d
a1n 
(V)
 ai
i1
n
n
 ai
B)
a1 
i1
C)
a1 
 ai  an
n
II. Si c < d  a < b
UNI 2004 - I
Nivel fácil
(F)
b
i1
a  c
III.
D)
bd
B) FVV
ca
b d
C) FVF
na
1
n

 ai  n an
i1
ab  cd
A) FFV
 an
n
 ca
d
 ann
(F)
E)
n
a1
a
  ai  n
n i1
n
D) VFV
Respuesta: E) VFF
E) VFF
Resolución:
Para un grupo de datos no todos iguales:
Resolución:
Problema 2
I.
Sean los números racionales a1, a2, ...,
Si a < c

1  1 ; si a  b  a  b  0
c a
LIBRO UNI
an tales que a1< a2 < ... < an–1 < an.
Entonces se cumple que:
28
a1 
a1  a2  a3  ...  an
 an
n
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
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n
•
 ai
a1 
i1
n
 an
 a, b números enteros,
es un número racional.
•
n
Si k   y k2 es par, entonces k es
par.
 ai
Respuesta: B) a1 
i1
n
 an
Nivel difícil
B) FFV
Problema 3
C) VFV
D) VFF
Clasifique como verdadero (V) o falso
E) FFF
b) Solución del problema
•
Es falso, cuando b = 0.
•
Es verdadero, porque en:
Es verdadero:
o
2
K
 2.  K  Z

o
ciones:
Resolución:
•
a) Aplicación de teorema
Recordar:
 a, b números enteros, a/b es un
a  b (1  a2  0)
;
1  a2
•
(F) cada una de las siguientes afirma-
LIBRO UNI
 Número  A

  / A  Z  B  Z  0
 racional  B
UNI 2009 - I
A) FVV
número racional.
ab
1  a2
K 2
29
Respuesta: A) FVV
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
INECUACIONES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
2. Aplicar uno de las teoremas siguientes:
I. ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
II. ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
III. ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
IV. ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
Son aquellas inecuaciones de la forma:
I. ax 2 + bx + c > 0
II. ax 2 + bx + c > 0
III. ax 2 + bx + c < 0
IV. ax 2 + bx + c  0
Donde: a    0 ;b, c  
D. Método de los puntos de corte
Sea: ax 2 + bx +c  0


 
A. Método de resolución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita
P(x)
Consideraciones previas
• En la resolución de una inecuación cuadrática
se transpone, si es necesario, todos los términos
a un sólo miembro de la desigualdad.
1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible;
si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática.
2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando
a cero el factor o los factores.
3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real.
4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los
puntos de corte colocando los signos intercalados
empezando por la derecha con signo positivo.
5.
I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión
de intervalos positivos (abiertos).
II. Si: P(x)  0 , el conjunto solución es la unión
de intervalos positivos (cerrados).
II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el intervalo negativo (abierto).
IV. Si: P(x)  0 , el conjunto solución es el intervalo negativo (cerrado).
I. Método de completar cuadrados.
II. Método de la ley de signos de la multiplicación.
III. Método de los puntos de corte.
B. Método de completar cuadrados
Sea: ax2 + bx + c  0
1. El coeficiente de x2 debe ser 1, si no lo fuese
entonces se divide a ambos miembros entre a.
x 2  bx  c 
0
a a 
2. El término independiente se pasa al segundo
miembro.
b
c
x2  x 

a  a
3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto,
sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado.
2
x 2  2(x)  b    b    c   b 
a  2a 
 2a   2a 
2
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio
al cuadrado y reduciendo el segundo miembro.
2
5. Finalmente:
 x  b   b2  4ac


2a  

4a2
Teorema
Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0
Si:   b2  4ac  0
b
Se verifica para todo x diferente de
2a
 C.S. : x    b
2a
Teorema
Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0
Si:   b2  4ac  0
No se verifica para ningún valor real "x".
Teorema
x2  m  x  m  x   m;m  0
 
x2  m  x  m  x   m;m  0
C. Método de la regla de signos de multiplicación
Sea: ax 2 + bx + c  0
1. Se factoriza el trinomio (factor común, diferencia de cuadrados, aspa simple)
LIBRO UNI
 C.S. : x  
30
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más!
Teorema
Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0
Si: b2 – 4ac < 0
Se verifica para todo valor real “x”.
 C.S. : x  
Ejemplo:
(1) Resolver:
B. Caso II
2n P(x)  2n Q(x)
Es equivalente a resolver un sistema constituido a
partir de:
0  2n P(x)  2n Q(x)
II. INECUACIONES POLINOMIALES
Son aquellas que presentan la siguiente forma general:
P(x)  a0 xn  a1xn-1  a2 xn-2  ...  an-1x  an  0
Así:
x  Variable
a0; a1; a2; ... an  Coeficientes

n Z  n  2
• Reducir el polinomio mediante factorizaciones obteniendo la forma equivalente siguiente:
III. INECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple
expresión asume la siguiente forma general:
P(x) 
 0
Q(x)
Donde:
P(x) Q(x) son polinomios no nulos con coeficientes
reales.
P(x)  Q(x)
... (3)
Luego: C.S. = S1  S2  S3
C.S.: [–2; 2>
Resolución:
C. Caso III
P(x) 
0
Q(x)
Multiplicamos a ambos miembros por:
Se tiene:
P(x)  Q(x)
2
P(x) Q (x)
0
Q(x)
Se resuelve el sistema construido a partir de:
P(x)  0
... (1)
Q(x) > 0
... (2)
P(x) < Q2(x) ... (3)
Expresión reducida:
P(x) Q(x) > 0; no olvidando: Q(x)  0
Para luego utilizar el método de los puntos de corte.
finalmente: C.S.  S1  S2  S3
IV. INECUACIONES IRRACIONALES
Ejemplo:
Resolver: x  2  3
Se denomina así a aquellas inecuaciones donde la
incógnita se encuentra bajo signo radical, los casos
más usuales son:
Resolución:
1° x – 2  0
x  2
... (1)
2° 3 > 0
x  R
... (2)
3° x – 2< 32
x < 11
... (3)
A. Caso I
 Q(x)

Donde P(x), Q(x) son polinomios; n  N se resuelve:
P(x)  Q(x)2n+1
LIBRO UNI
... (1)
... (2)
Ejemplo:
(1) Resolver: x  2  6  x
Resolución:
1° x + 2  0
x  –2
... (1)
2° 6–x  0
–x  –6
x 6
... (2)
3° x + 2 < 6 –x
2x < 4
x<2
... (3)
donde todos los a i son diferentes entre sí, para
luego aplicar: el método de los puntos de corte.
2n 1 P(x)
P(x)  0
Q(x)  0
finalmente: C.S.  S1  S2  S 3
 x  a2  ...  x  an   0
Q2 (x) 
x  2 1
Resolución:
Se obtiene: x – 2 > 1
x>3
Teorema
Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0
Si: b2 – 4ac < 0
La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”.
 C.S. : x  
 x  a1 
3
31
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más!
Luego: C.S.  S1  S2  S3
–
Generalizando:
|abc... n| = |a||b||c|...|n|
–
Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten
hacer lo siguiente:
– |3(x – 4)| = 3|x – 4|
C.S. = [2; 11>
D. Caso IV
P(x)  Q(x)
Se resuelve:
–
2|x + 2| = |2x + 4|
–
–2|x + 2| = –|2x + 4|
P(x)  0
S1  P(x)  0  Q(x)  0  P(x)  Q(x)
S2  P(x)  0  Q(x)  0
–
x +1
x +1
=
3
3
–
x+2
x +2
= –
–3
3
Finalmente: C.S.  S1  S2
Comentario
Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el
trabajo de una ecuación e inecuación con un valor
absoluto.
V. VALOR ABOLUTO (V.A)
a. Definición
Sea a  , el valor absoluto se denota por |a|, el cual
se define por:
7. Desigualdad triangular:
|a + b|  |a| + |b|
a;a  0
a =
 – a;a  0
En particular si:
|a + b| = |a| + |b|
 ab  0
Ejemplos:
1. |4 – 2| =|2| = 2
2. |3 – 5| =|–2| = –(–2) = 2
Nota:
– Generalizando si n   o:
B. Propiedades
a2n = |a|2n
1. El valor absoluto de todo número real siempre es
un número no negativo. a  0
2. El valor absoluto de todo número real siempre es
igual al valor absoluto de su opuesto. a = –a
3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números
reales es igual a la multiplicación de los valores
absolutos de los números en mención.|ab| = |a||b|
a2n+1 = |a|2n.a
–
¡Tenga cuidado!
Teoría de exponentes
x2 = x
x0
4. El valor absoluto de la división de dos números reales
(divisor es diferente de cero) es igual a la división
de los valores absolutos.
Números Reales
x2 = x
a
a
=
;b0
b
b
 x
5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor
absoluto de la base elevado al cuadrado.
a2 = |a|2
6. La raíz cuadrada de todo número elevado al
cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del
número.
VI. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
A. Caso 1
|x| = 0  x = 0
Ejemplo:
• |x – 3|=0  x – 3 = 0  x = 3
a2 = a
B. Caso 2
Nota:
– Hagamos la siguiente generalización:
–
|x| = a  (a  0)  (x = a  a = –a)
Ejemplo:
• |x – 3| = 5
Si 5  0
x – 3 = 5  x – 3 = –5
x=8 
x = –2
 x – a; x – a  0
x–a =
 – x + a; x – a<0
Generalizando:
|a + b| = |–a –b| ; |a – b| = |b – a|
LIBRO UNI
32
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más!
B. Caso 2
|x – 3| = –4
Si –4  0 (Falso)
|x|  a: x  a  x  –a
Ejemplo:
|x – 2|  3: x – 2  3  x – 2  –3
x  5  x  –1
 C.S. = 
C. Caso 3
|x| = |a|  x = a  x = –a
Ejemplo:
|x – 3| = |2x + 2|
 x – 3 = 2x + 2  x – 3 = –2x –2
–5 = x
3x = 1
 x = -5

x=
C. Caso 3
|x| 
 |y|  (x – y)(x + y) 
0
Ejemplo:
|x – 2|  |2x – 3|  (–x + 1)(3x – 5)  0
(x – 1)(3x – 5)  0
Aplicando puntos de corte:
1
3
VII. INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
A. Caso 1
|x|  a: a  0  (–a  x  a)
Ejemplo:
|x – 3|  5: 5  0  (–5  x – 3  5)
–2  x  8
5
x  – ;1   ; + 
3
problemas resueltos
Problema 1
Halle el valor de a  , para que la inecuación (a2  14) x 2  4x  4a  0, tenga
como solución el conjunto [–2; 4].
UNI 2010-II
A) –6 B) –4 C) –2 D) –1 E) –1/2
De donde: 2 x x  2 x  x  0; x  0
Resolución:
(a 2 – 14)x2 – 4x + 4a  0
Se debe cumplir que:
4
4a
2 
 –8
2
2
a
–
14
a
–14






De donde:
3x log3 x  3x  log3 x  0; x  0
a 4  a  –4
7
a  a –4
2
Por tanto: a = –4
Resolución:
Analizando:
x 2  2bx  c  0
Resolviendo:
(2x–x)(3x–log3x)(x+3)(x–3)(3x–9) > 0
C.V.A. = Si: log3x  R  x > 0
x  x

2
-x
x

3 (x  3)(3x  9)  0
  3 -log3x  


Respuesta: B) –4
Problema 2
Si el conjunto solución de la inecuación:
(2x – x) (3x – Log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0
es de la forma: S  a; b  c;  . Halle a + b + c.
UNI 2009-I
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
Resolución:
(2 x – x)(3x – log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0
Resolviendo:



Luego: C. S.: C. V. A  S1
S =  0; 2  
3 ; + 
 
a b
 a+b+c=5
x  3;5
Operando:
a) Aplicación de fórmula o teorema
•
•
b
Suma de raíces: x1 + x2 = 
a
c
Producto de raíces: x1x 2 
a

Reduciendo:
(x – 3)(3x – 9) > 0
(x  3  0  3x  9)  (x  3  0  3x  9)
(x  3  x  2)  (x  3  0  3x  9)
x > 3  x < 2..... S1

c
Respuesta: E) 5
33
b) Solución del problema
–3  5 serán raíces de la ecuación:
x2 – 2bx – c = 0
Entonces:
x1  x 2  2  b  1



2b
x1 x 2  15  c  15

c
Problema 3
La inecuación x2 – 2bx – c < 0 tiene como
conjunto solución 3;5 . Halle b + c.
LIBRO UNI
UNI 2008 - II
B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
A) 16
Conclusión
 b + c = 16
Respuesta: A) 16
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más!
Problema 4
–14  4x

2x  6
Resolver:
 7
x  –10   –  x
 2
|2x + 6| = |x + 8|
Nivel fácil
Resolución:

x  3


 7

x  –10   –  x  3 
 2

x=2
3x = –14
x =–
14
3
 14 
Respuesta: C.S.= – ;2
 3 
–
E)
0; 

B  x  A /
–7
2
–10
 1 , 0 
 2 
Resolver: |3x + 5| = 2x – 3
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema:
|x| = a  a  0  (x = a  x = –a)

3
+

x – x –1 1
Operando:
I. Calculando el conjunto A (de la inecuación).
i) x  0 : 0  1
 7

Respuesta: x   – ; 3 
 2

C.S.i  0; 
ii) x  0 : x - (-x)  1
2x  1
Problema 7
Sea la igualdad:
1  2x  1
x  a  b  x  a  b .....(*)
Problema 5
 1
D)   2 ; 0

A  x/ x– x 1
|a|=|b|  a = b  a = –b
2x + 6 = x + 8  2x + 6 = –x–8
C)
Resolución
Intersectando:
Aplicando el teorema:
 1 1
B)   , 
 2 2
A) 
entonces la proposición verdadera es:
UNI 2009 - I
Nivel fácil
A) (*) si y solo si x  0  a2  b2
B) (*) si y solo si x = a = b
C) (*) si y solo si x  0  a  b
D) (*) si y solo si x  0  a  b
E) (*) si y solo si x = a = –b

1
1
 x  pero x  0
2
2
II. Calculando el conjunto B (de la inecuación)
 1
Como x  A    ; 
 2
i) 
1
 x  0 : 2x  1  1
2
 1  2x  1  1
Entonces:
2x–3  0  (3x+5=2x–3  3x+5=–2x+3)
3
 (x = –8  5x = –2)
x
2
2
x= –
5
Resolución:
a) Aplicación de fórmula o teorema

x  y  x  y  x  y
b) Solución del problema
2b  2a
2x  0
1
x 0
2
C.S.i  
(x  a  b)  x  a  b  x  a  b  (x  a  b)
Como:
3
–8 
(F)
2
0  x  1 , pero
ii) x  0 : 1  1
11
– 2  3 (F)
5 2
Respuesta: C.S. = 
Problema 6
Resolver: |3x + 4|  x + 10
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema:
Conclusiones
ab  x0
Otra solución
Tenemos:
x ab  x ab
(2x) (2b – 2a) = 0
C.S.  C.S.i  C.S.ii  0; 
 B  0; 

Calculando A–B
x=0  a=b
Recuerda: x  y  (x  y)(x  y)  0
Problema 8
Sean los conjuntos:
A   x   / x  x  1 y
|x|  a  (a  0)  (–a  x  a)
B  x  A / x  x  1  1
Entonces:
x+10  0  (–x –10  3x + 4  x + 10)
x  –10  (–x–10  3x+4  3x+4  x+10)
Entonces podemos decir que A\B es:
UNI 2009-II
Nivel intermedio
LIBRO UNI
C.S.ii  0; 
34
 A  B    1 ;0
 2
Respuesta: D)   1 ; 0
 2
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más!
Problema 9
Dada la siguiente relación:
y y x x
diga cuál de las siguientes gráficas es la
que le corresponde:
UNI 2010 - I
Nivel difícil
A)
B)
Resolución:
Ubicación de incógnita
Encontrar la gráfica de la relación.
Si: x  0  y  0  y  x  y  x
2x  0
y
x
Análisis de los datos o gráficos
y y  x x
yx  y  x
Operación del problema
Si: x  0  y  0  y  x  y  x
Si: x  0  y  0  y  x  y  x
xy
y
x
y
C)
D)
Si: x  0  y  0  y  x  y  x
2y  0  y  0
Luego:
x
y
y
E)
x
LIBRO UNI
35
Respuesta: D)
ÁLGEBRA
x
ÁLGEBRA
FUNCIONES
DESARROLLO DEL TEMA
La palabra función se escuchará muy a menudo en la misma
vida diaria por ejemplo en las siguientes frases:
Por el diagrama del árbol
A
B
AxB
1.
2.
m
Los precios están en función a la oferta y la demanda.
El volumen de una esfera está en función del radio de
la misma.
Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea
intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo
de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una
regla o ley".
n
El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una
definición formal, pero antes daremos algunos conceptos
previos.
I.
p
(m,p)
q
(m,q)
r
(m,r)
p
(n,p)
p
(n,p)
q
(n,q)
r
(n,r)
Por el diagrama sagital o de Ven
PAR ORDENADO
A
B
m
p
q
Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b)
Donde:
a: se llama 1.a componente.
b: se llama 2.a componente.
Que formalmente se define así:
(a,b) = {{a}, {a, b}}
r
n


A  B   m,p  ,  m, q , m,r  , n,p  ,  n, q ,  n,r 
Por el diagrama cartesiano
Teorema:
(a,b) = (m,n)  a = m  b = n
II. PRODUCTO CARTESIANO
Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto cartesiano de A y B denotado por A x B se define:
A xB 
A B 
 a, b  / a  A  b  B
Ejemplo:
Sean A = m, n , B  p, q, r
A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)}
B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)}
m, p  , m, q , m,r  , n, p  , n, q , n,r 
III. RELACIONES
Dados 2 conjuntos no vacíos, A y B se llama relación R
de A en B a todo subconjunto de A x B.
Ejemplo:
Sea A = {m, n}, B = {p, q,r}
Vemos que:
A xB  B x A  A  B
LIBRO UNI
AxB 
36
m,p  , m, q ,  m,r  , n,p  , n, q , n,r 
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
Ejemplo:
Se citan las relaciones:
m,p  , n,p  , n, r 
R 2   m, q ,  n, p  ,  n, q 
R 3   m, q 
R1 
f
A
IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función f es una correspondencia entre 2 conjuntos A y B tales que a cada elemento a  A le co-
m
1
n
2
p
3
q
7
Df = A  m, n, p, q , Rf  1, 3
rresponde un único elemento de B.
Observación:
Se llama función f al conjunto de pares ordenados
(a,b) que:
Para cada a  A,  !b  B /  a, b   f asimismo:
 a, b   f  (a, c)  f  b =
B
Si:  x,y   f función de A en B
se denota, y = f(x), se dice:
c
y: es imagen de x bajo f.
Ejemplo
x: es la preimagen de x bajo f.
x: variable independiente.
y: variable dependiente.
C. Cálculo del dominio y el rango
El dominio se halla ubicando los posibles valores que
f
puede asumir la variable independiente. El rango,
 3, a  ,  4, a  , 5,b 
dependiendo del dominio considera los valores de
Cumple la definición, por tanto f es una función.
la variable dependiente.
Ejemplo:
Ejemplo:
A
f 
f
B
3
m
7
n
9
p
Halle el dominio y el rango en:
f x 
 3,m  ,  3,n  ,  7,p  ,  9,n 
–
No se cumple la condición de unicidad.
–
No es función.
I)
25  x 2
x2  7


Df = x  R / 25  x 2  0  x 2  7  0


2
= x  R /  x  5  x  5  0  x  7  0
x   5,5   x  ,  7 
"No deben existir 2 o más pares ordenados con el
x   5 ,  7 
mismo primer elemento".

7;  
 
Df = x   5 ,  7 
A. Dominio de una función
7, 
7 ,5 

Se llama así al conjunto de todas las primeras compoII)
nentes que coinciden con los elementos del conjunto de partida denotado por Df (dominio de f).
Df = { x  A / !b  B  a,b   f}}
Rf = R+0
D. Gráfica de una función
Se define como el conjunto de los pares (x,y)
B. Rango de una función
 x, y   R x R / x  Df   Rf
Es el conjunto de todas las segundas componentes
de todos los pares ordenados de f, denotado por
Así:
Rf (Rango de f). Rf  b  B / a  A   a, b   f 
Sea: f   3,5  ,  2, 2  , 1, 2  ,  4, 3  , 5, 4 
LIBRO UNI
37
A
B
C
D
ÁLGEBRA
E
FUNCIONES
Exigimos más!
D. Función escalón unitario
Observación:
•
•
0, x  a
U x  
1, x  a
Si tanto la variable independiente "x" y la variable
dependiente "y" son reales se llama función real
en variable real.
Si los pares son continuos la gráfica obtenida
es una línea.
E. Propiedad de las funciones reales
f es una función real de variable real si y solo si cada
recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica.
E. Función signo (sig.x)
Ejemplo:
1 x  0

y  Sig  x   0 x  0
 1 x < 0

V. FUNCIONES ESPECIALES
A. Función identidad
F. Función máximo entero
f  x   x  n  n  x  n  1,n  Z
2  2  x  1

1  1  x  0

f  x   x  0  0  x  1
1  1  x  2

2  2  x  3
B. Función constante
y
2
1
-2
-1
O
C. Función valor absoluto
1
-1
-2
x x  0

f  x   x  0 x  0
 x x < 0

LIBRO UNI
38
2
3
Df=R
Rf=z
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
G. Función inverso multiplicativo
f x  1
x
I. Función potencial
f x   xn / n  N
/ x  0 ; f  x   1/ x; x  0
VI. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
H. Función polinomial
En esta sección veremos una forma rápida de construir
1. Función lineal
las gráficas de algunas funciones definidas a partir de
otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sentido, dada la gráfica de una función de base y = f(x)
f  x   ax  b ; a  0
veremos primero la forma de construir rápidamente las
gráficas de las funciones siguientes:
1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k
2. g(x) = -f(x);
g(x) = f(-x);
g(x) = -f(-x)
3. g(x) = af(x);
g(x) = f(ax);
( a  0)
4. g(x) = |f(x)|;
y
5. g(x) = f(x)
[Todas en base a la gráfica y = f(x)]
2. Función cuadrática a  0
(1a) La gráfica de g  x   f  x   k se obtiene despla-
f  x   ax 2  bx  c; de raíces x1, x2
zando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades:
Discriminante:  = b2 – 4ac
i) Hacia arriba, si k > 0
ii) Hacia abajo, si k < 0
y
g(x) = f(x)+2
y = f(x)
2
h(x) = f(x)-2
O
x
-2
(1b) La gráfica de g  x   f  x  h se obtiene despla-
3. Función cúbica
zando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en h uni-
f  x   ax 3  bx 2  cx  d
dades:
i) Hacia la derecha, si h > 0
Reemplazando x por x  b se transforma en:
3a

k x 3  px  q
ii) Hacia la izquierda, si h < 0

pues si f(x) = x2, entonces:
f(x – 4) = (x – 4)2 = g(x)
f(x + 3) = (x + 3)2 = j(x)
 f1  x   x 3  px  q , de raíces x1, x 2 , x 3 llama-
mos discriminante:
2
q
p
    
2
 
3
3
Donde en el caso de: j(x) = (x + 3)2 [x – (–3)]2 se
tiene que: h = –3 (<0). Tenemos la gráfica correspondiente a continuación:
LIBRO UNI
39
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
Ejemplo:
Como ilustración de los resultados anteriores. Hallaremos
la gráfica de: y = g(x) = –(x – 2)2 + 1
Resolución:
Sean f(x) = (x + 2)2 – 1, entonces:
f(–x) = [(–x) + 2]2 – 1 = (x – 2)2 – 1
 –f(–x) = –x(x – 2)2 + 1
Luego y = g(x) = –f(–x):
(1c) La gráfica de g  x   f  x  h   k se obtiene com-
y
binando (1a) y (1b) en cualquier orden.
3
y
2
y=f(-x+2)-1
2
f(x)=(x+2)-1
-2
-4 -3
y=(x-7)2
y=f(x)=x 2
2
1
-1
0
1
=(x-2)-1
1
2 3
7
2
x
O
x
4
g(x)=-(x-2)+1=-f(-x)
-3
2
g(x) = (x-7)-3
2
Note que pudimos haber graficado esta parábola di-
y=x -3
-3
rectamente, claro.
(7;-3)
(2a) La gráfica g  x   f  x  se obtiene por reflexión
(3a) La gráfica de y  a f  x  . a  0 , se obtiene:
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje x. Considerando a
i) Estirando la gráfica de y = f(x) verticalmente en
un factor a, si a > 1, con base en el eje X.
este eje como doble espejo.
Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa.
y
(3b) La gráfica de y  f  ax  , a > 0, se obtiene:
-f
y=-f(x)
i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x)
en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y.
x
O
f
(2b) La gráfica
ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x)
verticalmente en un factor a.
ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
y=f(x)
un factor a, si 0 < a < 1.
y  f  x  se obtiene por reflexión
Gráfica de: y = |f(x)|
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a
Desde que:
este eje como doble espejo.
Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa.
f  x  , si f  x   0
y  f x   
 f x  0
f(x), si f  x   0
y
y=f(x)
f(x)=f(-x)
y=-f(x)
Entonces la gráfica de: y  f(x) se encontrará completamente en el semiplano superior y  0 y se obtiene a
-x
O
x
partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando
x
hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este
eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x)
(2c) La gráfica de
que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo
y  f  x  se obtiene combinado
eje x (es decir, en la zona y  0).
(2a) y (2b).
LIBRO UNI
40
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
VII. FUNCIONES PARES, IMPARES Y
PERIÓ-DICAS
si existe un número real T  0 , tal que:
i)
x  Domf  x  T  Dom f
ii) f (x + T) = f(x) .  x  Dom f
A. Función par
Una función f se llama función par si:
i) x  Domf  x  Dom f
Tal número T es llamado un periodo de T.
y
ii) f (–x) = f(x)
En este caso la regla de correspondencia y = f(x)
no varía si se reemplaza x por –x. Geométricamente,
la gráfica es simétrica respecto al eje y.
f(x)
0
x
x+T
T
x+2T x+3T
x
Note que f(x+T) = f(x)
Toda función periódica con periodo T tiene su gráfica de modo tal que la misma forma que tiene en
un intervalo de longitud T se repite horizontal y
periódicamente en el siguiente intervalo consecutivo de longitud T.
Así tenemos que las funciones f(x) = x2, f(x) = Cosx,
Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T...
también son periodos de f.
f(x) = x4, son funciones pares.
Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2  :
Sen(x + 2  ) = Senx . Cos(x + 2  ) = Cosx;  x  R
B. Función impar
Una función f se llama función impar, si:
También vemos que: 2 .  4 .6 ...2k
i) x  Domf  x  Dom f
ii) f (–x) = –f(x)
con k entero  0, son periodos de seno y coseno,
siendo 2  el menor periodo positivo.
Aquí la regla de correspondencia y = f(x) no varía
si se reemplaza simultáneamente tanto x por – x
como y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica
res-pecto al origen.
Definición
Se llama periodo mínimo de una función periódica
al menor de sus periodos positivos.
y
f
VIII. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
f(x)
-x
0
A. Igualdad de funciones
x
x
Dos funciones f y g son iguales si:
f(-x)=-f(x)
i) Dom f = Dom g
Son funciones impares:
a) f(x) = x3
b) f(x) = sen x
c) (x) = 1/x
ii) f(x) = g (x),  x  Dom f
En tal caso se denota f = g.
Una función que es a la vez par e impar es, por
ejemplo:
f(x) = 0,  x  5 , 2   2 ,5 .
Así tenemos que las funciones:
f(x) = x2 –x, x   0, 4  ; g(x)  x 2  x, x   0, 5 
y
No son iguales, pues aunque tienen la misma regla
-5
-2
0
2
5
de correspondencia, sus dominios no coinciden.
x
B. Adición de funciones
C. Funciones periódicas
Recordemos que una función está completamente
Una función f, en R, se denomina función periódica
LIBRO UNI
41
ÁLGEBRA
FUNCIONES
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definida cuando se especifica su dominio y su regla
Asimismo:
de correspondencia.
c.f 
 x, c f  x  / x Dom f
para cualquier constante real c.
Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g,
se define una nueva función llamada.
C. División de funciones
Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g,
Función Suma
se define la nueva función "cociente" denotada por
"f + g", tal que:
"f/g", tal que:
i) Dom  f  g  Dom f  Dom g
i) Dom (f/g) = Dom f  x Dom g / g(x)  0
ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
=  Dom f  Dom g   x Dom g / g(x)  0
C. Sustracción y multiplicación de funciones
Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen
ii)
las funciones:
f x
 f / g  x   g
x
,  x  Dom (f / g)
La condición (i) exige que el dominio de f/g no
1. Diferencia "f – g"
debe contener los valores de x que hagan que
i)
Dom  f  g  Dom f  Dom g
g(x) = 0.
ii)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
Es así, que:
 f  x  

f / g   x,
 / x  Dom  f / g  
 g x 



2. Multiplicación "f . g"
i)
Dom (fg) = Dom f  Dom g
IX. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas 2 funciones f y g la función composición deno-
(f . g)(x) = f(x) g(x)
ii)

tado por fog se define así:


 f  g x  f  x   g  x  / x  Dom f  Dom g


•
fog = {(x;y)|y = f(g(x))}
•
Dfog = x  Dg  g(x)  Df 
Esquematizando con el diagrama sagital:

f  g x, f  x  g  x  / x Dom f  Dom g
Notación
La multiplicación de una función por sí misma:
f 2  f : f : f n  f.f...f (n veces), n 
Donde:
Dom(fn)   Domf   Domf   ...   Domf   Domf
Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia
entera positiva de f tiene el mismo dominio de
la función f.
Ejemplo:
Así:
f = {(3;5), (4;3), (5;2)}
2
f 
LIBRO UNI
 x, f  x  .f  x   / x Dom f
g = {(5;3), (3;5), (7;2)}
42
ÁLGEBRA
FUNCIONES
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X. FUNCIÓN INVERSA
Definiciones previas.
A. Función inyectiva
Llamada también univalente o uno a uno, se dice
inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde
un único valor del dominio.
Formalmente: f es inyectiva si para:
x1; x2  Df
x1  x 2  f(x1)  f(x 2 )
Equivalentemente:
f(x1)  f(x 2 )  x1  x 2
fog = {(5;5), (3;2)}
Ejemplo:
Ejemplo:
Ver f(x)  x  1 es inyectiva.
x 1
f(x)  4x  3 , x  15, 22
g(x)  3x  1, x  7,14
Resolución:
•
(fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1
Sean x1 ; x 2  Df
•
Dfog  x  7,14  3x  1  5, 22
Si: f(x1) = f(x2)
x
x1  1 x 2  1

x1  1 x 2  1
16 23
,
3 3
x  7,
23
3
 x1  x 2
f es inyectiva.
fog(x)  12x  1 / x  7, 23
3
Teorema
f es inyectiva si todo vector horizontal corta su
gráfica a lo más en 1 punto.
Propiedades de la composición de funciones
Ejemplo:
Dadas las funciones f, g, h, I (identidad)
1.
(fog)oh = fo(goh) [asociativa]
2.
Si I es la función identidad:  función f:
foI = f  Iof = f
3.
(f + g)oh = (foh) + (goh)
4.
(fg)oh = (foh) . (goh)
5.
fog  goh, en general
6.
InoIm = Inm; n,m,  Z+
7.
Ino(f + g) = (f + g)n, n  Z+
8.
I n oIn  | I |, para n par  Z+
9.
I n o In  In o I n  I , n  Z+, impar
1
1
1
LIBRO UNI
43
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
B. Función suryectiva (epiyectiva)
x
Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjun-
f x   1
f x 1
f x  x
f  x  x  1
x 1
to de llegada queda cubierto por el rango de ese
modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada.
Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1}
XII. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de
f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función
identidad, así:
C. Función biyectiva
Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva
y suryectiva a la vez.
XI. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA
Dada una función f 
 x, y  / y  f  x 
inyectiva se
Propiedades:
define la función inversa denotado por f* como lo que:
 x, y  / y  f  x  , x  Df   y  f  x 
f*   y, x  / y  f  x  , x  Df   x  f *  y 
f
f* 
 y; x  / y  f(x)  x  Df 
y  f  x
De donde:
f * y  x
x  DF
Df* = Rf, Rf* = Df
I. f *  f  x    x; x Df
Ejemplo:
Halle la inversa de f(x)  x  1 si existe.
x 1
Resolución:
II.
Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva.
III. (fog)* = g* o f*


f f *  y   y; x Df*  Rf
IV. (f*)* = f
  su inversa
Para hallar la inversa se despeja "x".
LIBRO UNI
44
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
problemas resueltos
Nivel difícil
Problema 1
Sean A y B conjuntos no vacíos, señale
la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I.
Respuesta: C) VFF
Problema 2
(1, 1)}
(x, y);(x,z)  f  {(x,y) /x  A, yB}  AxB
implica que y = z, entonces po-
g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5);
h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)}
II. Toda función sobreyectiva f: A  B
es inyectiva.
B)
0 ;1
C)
 1;1
D)
0 ;  
E)
(2, 1)}
demos decir que f es una función
de A en B.
1 ;2
Dadas las funciones:
f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4);
Si:
A)
 ;  
Resolución:
y K 
1 ; x  K
x K
x K 
1
1
x K
; y  K
y K
y K
Determine la función compuesta f o g
III. Toda función inyectiva f: A  B es
o h.
sobreyectiva.
UNI 2010-I
Nivel intermedio
A) VVV
f * (x)  K 
1
; x  K
x K
B) VFV
A) {(1, 0); (5, 1)}
C) VFF
B) {(3, –3); (5, –4)}
D) FFV
C) {(1, 1); (7, 1)}
Lo cual se cumple para cualquier valor
E) FFF
D) {(1, 1); (2, –3)}
real de K, es decir: K  ;  .
UNI 2010-I
 f(x)  f * (x)
E) {(3, –1); (7, 1)}
Respuesta: E)  ;  
Nivel fácil
Resolución:
Resolución:
I.
Verdadero
f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
De acuerdo a la condición de unici-
g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)}
dad esta proposición es perfecta-
h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)}
Problema 4
El rango de la función f :   0  
definida por: f(x)  x  1 es:
x
mente válida.
UNI 2007 - II
Calculando goh:
goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)}
II. Falso
No necesariamente, por ejemplo:
F : 1;2   0; 4
y  F(x)  x
f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
B)
  2, 2
fo(goh) = {(1;1), (7;1)}
C)
  1, 1
2
Es una función sobreyectiva, pero
A)   2, 2
Respuesta: C) {(1;1), (7;1)}
D)   1, 1
E)
  0
no es inyectiva.
Problema 3
Resolución:
Dada la función:
III. Falso
f(x)  K 
No necesariamente, por ejemplo:
F : 1;3   2; 4
1 ; x  K
xK
Halle todos los valores que puede
y  F(x)  2x  1
Es una función inyectiva, pero no
tomar K para que la gráfica de la función f y de su inversa sea la misma.
es sobreyectiva.
LIBRO UNI
UNI 2010-I
45
Sabemos:
x1 2; x0
x
x  1  2 ; x  0
x
 f(x)  2  f(x)  2
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
Ranf = ; 2    2 ;     2; 2
Por 5:

II. Como tienen vértices iguales entonces:
13
7
 x2
5
5
– b – n  a b
2a
2m m n
Respuesta: A)   2, 2
 x  2   7
13  5

f(x)
Problema 5
que g. Siendo:
Luego:
Dada la función:
5x 2  7x  8
f(x) 
x3/5
definida sobre 
xb  b3  4abc
b2  4ac 
7  f(x)  13
xn
n2  4mp 
 n3  4mnp
 Rg f   7;13
De la segunda proposición se de-
3 3
, .
5 5 
duce:
Respuesta: D) 7;13
Halle el rango de f .
UNI 2008 - I
A)
B)
C)

amb n
b3  n3 es decir abc  mnp
Problema 6
13
7
;  
5
5
En la figura adjunta se muestra las grá-
 13
7
  5 ;  5
ficas de las funciones f y g definidas
 7 13
 5 ; 5
f(x) = ax2 + bx + c
 Solo I y II son verdaderas.
Respuesta: D) I y II
por:
g(x) = mx2 + nx + p
D) [7;13
E)
III. a > m, ya que f es más cerrada
7;13]
Resolución:
Problema 7
Sea P(x) = x3 – 3ax2 – a2x + 3a3, donde
a > 0 y Q(x) = –P(x – a). Diga cuál de
las siguientes afirmaciones es correcta:
UNI 2009 - II
Nivel fácil
Q(x)

P(x);

x

0
A)
B) Q(x)  P(x); x  0; a
Piden: Rango de
f .
C) P(x)  Q(x); x  a; 2a
De las siguientes relaciones:
Siendo:
f(x) 
5x 2  7x  6
3
x
5
I.
n2  4mp
II.
a b
m n
D) Q(x)  P(x); x  2a;3a
E) P(x)  Q(x); x  3a
Resolución:
Graficando la función P(x):
III. abc  mnp
Tenemos:
¿Cuáles son verdaderas?
f(x) 
5(5x  3)(x  2)
5x  3
A) Solo I
P(x)  (x2  a2 )(x  3a)
B) Solo II
Reduciendo:
P(x)  (x  a)(x  a)(x  3a)
C) Solo III
f(x)  5(x  2)
3 3
Si: x   ; , entonces:
5 5
3 x 3
5
5
Restando 2:
D) I y II
E) II y III
Resolución:
Del gráfico: f y g tienen raíces reales e
Graficando la función: Q(x) = –P(x – a)
iguales.
 3 2  x 2  3 2
5
5
LIBRO UNI
I.
  0 para g  n2 – 4mp = 0
 n2  4mp
46
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
Esbozando ambas gráficas:
Respuesta: A)  0; 
Problema 3
Indique la gráfica que mejor representa a:
g(x) 
x2  4  3 , x  
UNI 2008 - II
Nivel difícil
Respuesta: D)
Para x  2a; 3a la gráfica de la función
Q(x) está en la parte superior del P(x).
 Q(x)  P(x); x  2a;3a
A)
Problema 10
Respuesta:
Indique la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es ver-
D) Q(x)  P(x); x  2a; 3a
dadera (V) o falsa (F):
B)
Problema 8
I.
Sea f una función tal que:
con una función impar es una fun-
f x  2 x   2 x  4 x ; x  4
entonces Dom(f)  Ran(F) es igual a:
Nivel 2009 - II
ción par.
II. El producto de dos funciones imC)
pares es una función impar.
III. La suma de dos funciones pares
Nivel intermedio
es una función par.
A) [0; 
B)
La composición de una función par
[1; 
UNI 2011 - I
D)
0; 
A) VFV
D) [4; 
B) VVV
E)
C) FVV
C)
1; 
D) FFV
E)
Resolución:
E) VFF
Esbozando la gráfica de: x  2 x
Resolución:
(por álgebra de funciones)
Resolución:
Ubicación de incógnita
Tenemos:
Valor de verdad
Operación del problema
I.
F par :F(x)  F(x)
G impar : G(x)  – G (x)
La expresión:
(FoG)(x)  F(G(x))
 x  2 x  es inyectiva.
 Dom(f) = 0; 
Ahora:
De donde:
(FoG)(x)  F(G(x))
Analógicamente la expresión:
(FoG)(x)  F(G(x))
2x  4 x 
(FoG)(x)  (FoG)(x)
es inyectiva:
 F o G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (V)
2  x  4 x    4; 
 Ran(f) = 
 4; 
 Dom(f)nRan(f) =  0; 
LIBRO UNI
II. F impar: F(–x) = –F(x)
Luego:
G impar: G(–x) = –G(x)
47
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
(F.G)(x)  F(x)  G(x)
(F.G)(x)  F(x)  G(x)
(F.G)(x)  – F(x)  – G(x)
(F.G)(x)  F(x)  G(x)
2 7

  x  1  4 , x  2
D) 
   x  12  1 , x  2

4
(F.G)(x)  (F.G)(x)
 F . G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (F)
E)
III. F par: F(–x) = F(x)
G par: G(–x) = –G(x)
(F  G)(x)  F(x)  G(x)
(F  G)(x)  F(x)  G( x)
 4; 
E)
1; 
Resolución:
Ubicación de incógnita
2
 
1
1
  x    , x  2
2
4
 

2
 
1
7
  x  2   4 , x  2

 
Dom(f); Ran(f)
Análisis de los datos o gráficos
Resolución:
 x
f  x
2 
x   2

4 ; x  4
 

Rango
 Do min io 
Ubicación de incógnita
Determinar f + g
(F  G)(x)  F(x)  G(x)
Análisis de los datos o gráficos
(F  G)(x)  (F  G)(x)
 F  G es par _ _ _ _ _ _ _ (V)
D)
f :    y  f(x)  x  2  2
Operación del problema
Esbozando la gráfica de: x  2 x
(por álgebra de funciones)

x; x  2
y  f(x)  x  4 ; x  2
Respuesta: A) VFV
g     y  g(x)  x 2  2
Operación del problema
Problema 11
Dadas las funciones f, g:   , de-
 2
y  f(x)  g(x)    x  x 2 ; x  2
2
  x  x 2 : x  2
finidas por:
La expresión:
f(x)  x  2  2 y g(x) = –(x2 + 2)
Determine f + g.
UNI 2010 - II
2
 
1
7
  x    , x  2
2
4
 

A) 
2
 
1
9
  x  2   4 , x  2

 
B)
2
 
1
  x   
2
 

2
 
1
  x  2  

 
1
,x  2
4
  1 2
   x  2  

y  f(x)  g(x)  
  1 2
   x  2  
7 ; x 2
4
9
; x 2
4
2

1
7
 x 
 ;x  2

2
4
Respuesta: A) 
2

1
9
  x  2  4 ; x  2




C)
f(x  2 x )  2(x  4 x ), x  4
2
2
1
7
  ,x  2
2
4
LIBRO UNI
 Dom(f) = 0; 
Analógicamente la expresión:
2 x  4 x  ,
es inyectiva:
2  x  4 x    4; 
5
,x  2
4
1
9
  ,x  2
2
4
es inyectiva.
Problema 12
Sea f una función tal que:
entonces Dom(f)  Ran(f) es igual a:

 x 



 x 

x  2 x 
UNI 2009 - II
B)
0; 
1; 
C)
0; 
A)
 Ran(f) = 
 4; 
 Dom(f)nRan(f) =  0; 
Respuesta: A)  0; 
48
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
LOGARITMOS EN 
DESARROLLO DEL TEMA
I.
TEOREMA DE EXISTENCIA DEL LOGARITMO
Para todo par de números reales "a" y "b" tales que
a  0; a  1 y b  0 , existe un único número real x, que
cumple ax = b.
II. DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Sean los números reales "a" y "b", si a  0, a  1 y b  0,
el número real x se denomina logaritmo del número b
en base a y se denota por Logab si y solo si a x  b .
De la definición se tiene:
x  Logab  a x  b

1
2
IV. TEOREMAS SOBRE LOGARITMOS
Sea la base real a, tal que a  0  a  1
1. Sea A y B reales, tal que: AB > 0:
LogaAB  Loga A  Logb B
2. Sea A y B reales, tal que: A  0
B
A
Loga
 Loga A  Logb B
B
 
Loga n A  1 Loga A
n
5. Sea A real, tal que: A  0, m    n  
x
2. Log 1 729  x  729   1   36  3x  x  6
3
Log n Am  m Loga A ; n  0
a
n
3
Luego: Log 1 729  6
Colorario
Si se eleva a un exponente "m" y se extrae raíz
n-ésima a la base y número del logaritmo el valor
de logaritmo no se altera.
3
3. Calcular el valor de "x" si cumple la igualdad:
Log1/2 1024  3  x
3 x

4. Sea A real, tal que n  N, n  2.Si A  0
1. Log2 64  x  64  2x  26  2x  x  6
 12 
3 2
2

2

Loga A n  nLoga A
Ejemplos:
 1024 

3
3. Sea A real, tal que n  N  An  0 .
Donde:
a: base del logaritmo
b: número del logaritmo
c: logaritmo de b en la base a
Luego: Log2 64  6
•
Log



 210  2 x 3  10  x  3
Loga A  Log
an
 x  13
A n  Logn
n
a
A ; A0
6. Si: A  0  B  0
III. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DEL LOGARITMO
Si a  0; a  1  b  0 se cumple: aLogab  b
Ejemplos:
•
•
7. Cambio de base:
Sea la base "c" donde c  0  c  1.
2LOg23  3
Logm  410
(m  4)
LIBRO UNI
Loga A  LogaB  A  B
Logab 
 10, m  4  m  5
49
Logcb
Logc a
ÁLGEBRA
LOGARITMOS EN
Exigimos más!
Demostración:
Por identidad: clogc b  b  (1)
1. Sistema decimal o de Briggs
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base
es 10.
loga b
Por identidad: a
 b  (2)
Además: clogc a  a  (3)
Reemplazando (3) en (2) se obtiene:

c
logc a
loga b

loga b 
c
logc b
Notación: Log10N  LogN
 logc a loga b  logc b
Se lee: Logaritmo de "N". En general:
logc b
; Logba  Logab  1
logc a
Parte
LogN 
Parte
;
entera

(característica)
A. Propiedad
Logba  ( Logba) 1 

decimal

(mantisa)
Teorema
Sea todo N > 1 el número de cifras es igual a la
característica más uno. Es decir:
1
loga b
# de
cifras
B. Regla de la cadena
N  característica  1
Si: a  0; a  1; b  0; b  1; c  0; c  1  d  0 se
cumple:
2. Sistema hiperbólico o Neperiano
Es aquel sistema cuya base es el número trascendental:
loga b  logb c  logc d  loga d
C. Sistemas de logaritmos
1
1
1
1
 

 ...
0 ! 1! 2 ! 3!
e  2, 7182....
e
Cada base de logaritmos determina un sistema de
logaritmos, en consecuencia existen infinitos sistemas de logaritmos para una base positiva y diferentes de 1; los sistemas más importantes son:
Notación: LogeN  LnN
problemas resueltos
Problema 1
Calcular el logaritmo de 8 en base 4.
A) 1/2
B) 2
C) 3/4
D) 3/2
A) {1}
B)

34 
E)
25 
D)
C)
12 
E) 5/2
Resolución:
Según teorema tenemos:
Resolución:
A)
B) 10
10
C) 100
D)
1000
E) 10 2
Resolución:
Según propiedad tenemos:
LogxLog(x)  Log(x)  2
x 1  1  x
2x  2
x 1
[Log(x)]  Log(x)  2  0
4  8
Pero según definición de base x > 0;
Con el auxilio del aspa simple conse-
22  23
2  3
  3
2
x  1.
guimos:
 CS  
[Log(x) – 2] [Log(x) + 1] = 0
Sea "  " el logaritmo pedido, luego:
Log4 8 = 
Según la definición:
2
Log(x) = 2  log(x) = –1
Respuesta: C) 
Respuesta: D) 3/2
Problema 2
Resolver:
xLogx (x 1)  1  x
LIBRO UNI
Problema 3
Determine el mayor valor de x en:
LogxLog(x) = Log(x) + 2
UNI 2007 - I
Nivel difícil
50
x = 102  x = 10–1
1
x = 100  x =
10
 Mayor valor de x = 100
Respuesta: C) 100
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y
LOGARITMOS
DESARROLLO DEL TEMA
I.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
y
x y=Log 2 x
A. Definición
+1/4
1/2
1
2
4
8
Dado un número real b (b  0; b  1) llamamos
función logarítmica de base b a la función de f de
R+ en R que asocia a cada x el número de Logbx.
En símbolos:
F :     | y  f(x)  logb (x)
4
3
2
1
-2
+1
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
(5,Log25)
(8,Log28)
Log25 Log28
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
Ejemplos:
Nótese que: 5 < 8 y Log25 < Log28
En general si b > 1 la gráfica tiene la forma
siguiente:
B) g(x)  Log 1 x
A) f(x) = Log2x
2
C) h(x) = Logx
D) p(x) = Ln x
Observaciones
y=Log x
a) y  Logbx  x  b y
De donde concluimos que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de
la otra.
b
Log r Logbs
b) Para la función y  f  x   Logb x
1
Log m
b
Dominio  Df  0,   x  0
Rango  Rf  R  y  Logb x  R
r
s
Propiedades
1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado
(1,0) pertenece a la función.
2. Si: r < s entonces Logbr < Logbs.
3. Si: r > 1 entonces Logbr > 0.
4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
B. Gráfico de la función logaritmo
1. Caso I
Si b > 1.
Ejemplos:
A) f(x) = Log2x
2. Caso II
Si 0 < b < 1.
B) g(x) = Logx
Ejemplos:
C) h(x) = Log4x
D) p(x)  Log x
2
A) f(x)  Log 1 x
B) g(x)  Log
1
2
Graficaremos:
C) h(x)  Log 3 x
y  f  x   Log2 x
LIBRO UNI
b
m
es una
función
creciente
D) p(x)  Log 1 (2x)
4
51
x
3
5
ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Exigimos más!
•
El dominio de esta función es todos los reales,
es decir: Df  ,   R .
•
Por propiedad: si x  R y a  0 .
entonces: a x > 0, por tanto el rango es:
Graficaremos:
y  f  x   Log 1 x
2
Rf  0, 
B. Gráfico de la función exponencial
x y=Log 2 x
8
4
2
1
1/2
1/4
1. Caso I
Si a > 1.
-3
-2
-1
0
1
2
Ejemplos:
A) f(x)  2x
B) g(x)  3x
C) h(x)  ( 3) x
D) p(x)  10 x
E) q(x)   3 
2
En general: si 0 < b < 1, la gráfica tiene la forma
siguiente:
y
x
F) r(x)   5 
4
x
Graficaremos: y = f (x) = 2x
y
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Logbm
r
m 1
s
Log r
b
x
Log s
b
y= Logbx
y=2
y=2
x
8
7
6
5
4
3
2
1
x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
es una función
decreciente
x
En general
Si a > 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
Propiedades
1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado
(1,0) pertenece a la función.
x
y=a (a1)
y
2. Si: r < s entonces Logbr > Logbs.
Es una función
creciente
3. Si: r > 1 entonces Logbr < 0.
4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
II. FUNCIÓN EXPONENCIAL
A. Definición
m
am
Dado un número real a, tal que 0  a  1; se llama
función exponencial de base a la función que asocia
a cada x real el número ax . y = f(x) = ax.
B) g(x)   1 
2
C) h(x)  3x
D) p(x)  10 x
E) q(x)  ( 2)x
LIBRO UNI
x


F) r(x)   1 
 3
as
1
a
0
r s
x
Propiedades
1. f(0) = a° = 1, es decir el par ordenado (0,
1) pertenece a la función.
2. Si r < s entonces ar < as, ó si s > r entonces
a s > a r.
3. Si r < 0 entonces ar < 1.
Ejemplos:
A) f(x)  2x
r
4. Si m < 0 entonces am < 1.
x
2. Caso II
Si 0 < a < 1.
52
ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Exigimos más!
Ejemplos:
A) f(x)   1 
2
x
B) g(x)   1 
 10 
 1 
C) h(x)  

 3
Propiedades
1. f(0) = a0 = 1, es decir el par ordenado (0, 1)
pertenece a la función.
2. Si r < s entonces ar > as, ó si s > r entonces
a s < a r.
3. Si r < s entonces ar > 1.
4. Si m > s entonces am < 1.
x
x
D) p(x)  (0, 8) x
x
Graficaremos: y  f(x)   1   2x
2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 
y 
2
x
1
y 
2
x
y
C. La función exponenciaL de Base "e"
y=2
•
x
8
•
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
4
1 1
1
1
1





1! 2! 3! 4 !
n!
El valor de "e" con siete decimales de aproximación es: e = 2,7182818...
e 1
•
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
La gráfica de y = ex es:
En general
Si 0 < a < 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
y
La función y = ex donde "e" es número irracional
trascendente juega un rol muy importante en
las matemáticas.
Las aproximaciones del número "e" se pueden determinar con la expresión:
y
r
y=a ; 0  a  1
x y=e
Es una función
creciente
a
r
s
a
1
r s
0 m
x
4
-3 -2 -1 0 1 2 3
problemas resueltos
Problema 1
También: g(x) = Log 3  x
Operando:
Sea S el conjunto solución de la ecuación, en R:
x 3  7x 2  15x  9 
1
3
logx  
5
Halle la cantidad de elementos de S.
UNI 2010 - I
Nivel fácil
A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
C) 2
 
5
3
x
 7x2
 15x 9  Log 3  x
 
f(x)
 5



Cuya gráfica:
g(x)
3
2
Tenemos: f(x) = x – 7x + 15x – 9
Factorizando: f(x) = (x – 1)(x – 3)2
Cuya gráfica:
Luego:
Resolución:
Analizando:
x 3  7x 2  15x  9 
1
;x  0  x  1
3
logx  
5
LIBRO UNI
53
x
8
x
-3 0,05
-2 0,14
-1 0,37
0
1
1 2,72
2 7,39
3 20,09
y=e
ÁLGEBRA
x
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Exigimos más!
 Número de soluciones de la ecuación se encuentra a partir del número
de intersecciones de las gráficas de f(x)
y g(x) no encontrándose intersecciones
entre estas dos gráficas.
m2  m  1
 0; m  0
m
Problema 2
Determine el conjunto solución de la
inecuación: 4x – 4–x < 1.
UNI 2008 - II
Nivel intermedio
A)
1 5 
0;Log4 

 2 
Resolución:
; 0
C)


;Log4  1  5 
 2 
D)
E)
;
1 5
2
 5 1 
;Log4 

 2 
Resolución:
Piden: 4x = m; m > 0
1
1
4x
Reemplazando el cambio de variable:
m 1 1
m
LIBRO UNI
– 3x – 1  3x  2
Si: x  0
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 – (3x – 1)= 3x + 2
Tenemos: 3x = 1  x  0
Entonces:
Si: –1  x  0
m  0
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
1 5
2
0m
Reduciendo: 3x+1=3
Luego:
x
4 
 1 5
log4 
 2

4






 x  log4  1  5 
 2 


Tenemos: x + 1 = 1 de donde: x = 0
0  1  x  0
Si: x < –1
Eliminando los valores absolutos:
x
3–x –1  3 x – 1  3  2
1  5 
-; log4 
 2 


4 x  4 x  1
4x 
x 1
Reduciendo: 3x  3  2  3x  1  0
Respuesta: C)
Tenemos:
3
 1  5 1  5 
V.C. 
;

2 
 2
1 5 1 5
m
;
2
2
B)
A) –4
D) 2
Reduciendo:
m2  m  1  0
Respuesta: A) 0
UNI 2008 - I
Nivel difícil
B) –2
C) 0
E) 4
Efectuando:
Problema 3
Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
3 x 1  3x  1  3x  2
entonces la suma de x1 y x2 es:
54
Reduciendo: 3–x–1 = 3
Tenemos: –x – 1 = 1
De donde:
x  –2 \ C.S. {–2;0}
Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
CÁLCULO DE LÍMITES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
II. DEFINICIÓN
NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITES
El número L se llama límite de la función real de una
Consideremos una función real de variable real:
variable real f en el punto x 0 (x 0 no pertenece
x3  x
f(x) 
;x  0
x
necesariamente al Dom(f); si para cada   0 , es posible
hallar un  que depende de  , tal que:
Se observa que el equivalente será:
  0 ;    0 /  x Domf  0  x  x 0    f(x)  L 

f(x)  x 2  1; x  0
Se dice que L es el límite de f(x), cuando x tiende a x0
y se escribe como:
¿Qué sucede si x asume valores muy cercanos a cero?
f(x) asumirá valores muy cercanos a 1, dándole un
enfoque geométrico:
Y
lim f(x)  L
x  x0
f
III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Y
f
L
f(x)
L
1
0
(valores por
la izquierda)
x
f(x)
L
X
(valores por
la derecha)
Se observa que, a medida que x se acerca a 0, ya sea
por la derecha o por la izquierda, entonces f(x) se
acerca a 1. Es decir: Si x tiende a 0, entonces f(x)
tiende a 1. Simbolizando:
X0 X X0
X0 
X
IV. TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE
Sea A una función real de una variable real y x0 no
lim f(x)  1
x 0
pertenece necesariamente al Dom A.
o en forma equivalente:
lim A(x)  L1  lim A(x) L 2  L  L
1
2
x x
x x
lim (x 2  1)  1
0
0
x 0
A. Teoremas
Para obtener el valor de 1 se ha reemplazado en
f(x) = x2 + 1 el valor x = 0, así:
Sean: f  g dos funciones reales de variable real y
además "a" un punt o que no pertenece
lim f(x)  f(0)  02  1  1
x 0
LIBRO UNI
necesariamente a: Domf  Domg = 
55
ÁLGEBRA
CALCULO DE LÍMITES
Exigimos más!
Si:
lim f(x)  A
Teorema:
lim g(x)  K

x a
x a
lim f(x)  lim f(x)  L  lim f(x)  M
x  a+
x  a
xa
Entonces:
1.
2.
3.
4.
lim (f  g)(x)  A + K
Es decir existe el límite de una función, sí y solo si
x a
existen los límites laterales y son iguales.
lim (f  g)(x)  A  K
x a
VI. TEOREMA SOBRE LÍMITES INFINITOS

lim (f g)(x)  A  K
x a
lim
1
 
x
lim
1
 
x
Si c  R
lim cf (x)  c  A
1.
Si K  0:
2.
 
lim  f  (x)  A
K
x a  g 
3. Si "n" es un entero positivo, entonces:
x 0
x a
5.
x 0
1
 
xn
 ; sin es impar
1
b) lim

x 0  x n
  ; si n es par
V. LÍMITES LATERALES
a) lim
x 0
A. Definición 1
Se dice que L es el límite lateral de f(x) cuando x
tiende hacia "a" por la derecha y se denota por:
4. Sean f y g dos funciones tales que:
lim f (x)  L
x a+
Geométricamente:
lim f (x)    lim g (x)  
x  
x  
entonces:
A lim  f(x)  g(x)   
lim  f(x)  g(x)   
;
x  
x  
Generalmente, al calcular el Lim f(x) es necesario
x a
calcular los límites laterales de f(x) cuando la función
tiene diferentes reglas de correspondencia para x
B. Definición 2
< a y x > a.
Es decir, usando los siguientes símbolos, podríamos
resumir así:
I.
()  ()  
II.
()  ()  
III. () ()  
Se dice que "m" es el límite lateral de f(x) cuando
x tiende hacia "x" por la izquierda y se denota por
lim f(x)  M
x  a

Geométricamente:
Nota:
Cuando se tienen funciones racionales, el análisis
del comportamiento en . Se realiza dividiendo el
numerador y el denominador por la mayor potencia
de la función racional.
LIBRO UNI
56


IV.
() ()  
V.
() ()  
VI.
  ; n  0 (par)
()n  
  ; n  0 (impar)
ÁLGEBRA
CALCULO DE LÍMITES
Exigimos más!
 ; K  0
VII. K()  
 ; K  0
  ; si n  m

a
L   0 ; si n  m
 b0
0 ; si a n  m
 ; K  0
VIII. K()  
 ; K  0
VII.CÁLCULOS DE LOS LÍMITES
VIII.TEOREMA SOBRE LÍMITES AL INFINITO
A. Forma indeterminada 0
0
Si n es un entero positivo cualquiera, entonces:
1
1 0
lim
0

lim
n
x   xn
x
x  
Si se reee mplaza x por el va lor del x 0
correspondiente se obtiene la expresión 0/0,
efectuaremos ciertas operaciones algebraicas para
levantar la indeterminación.
Sea : f : R  R definida por f(x) = 1+ 1 
x

B. Forma indeterminada 

x
1
entonces : lim 1+   e  2, 71828...
x
x  
Sea:
L  lim
Para las formas indeterminadas    ; 0  se trata de
transformarlas a una de las dos formas:
a0 xn  a1x n 1  a2 x n 2  ...  an
b0 x m  b1x m1  b2 x m2  ...  bm
0
0
Entonces de acuerdo al valor de los grados n y m
de los polinomios se tiene:
ó

.

problemas resueltos
Problema 1
Efectuando:
Calcular:
Evaluamos:
x
Lim
x 0
 3x  3 
Lim 

x

6  2 
0 1 1
x( 3  x  3)
Luego:
x 0 
UNI
Nivel fácil
1
A)
C)
E)
B)
2 3
1
3
D)
Lim
x 0
1
1

3x  3

3 3
1
2 3
1
3
2
Respuesta: A)
3
1
2 3
2
2 3
Resolución:
Problema 2
Calcular:
UNI
 3x  3 
Lim 

x

x 0 
Evaluamos:
3 x  3  0
0
0
Lim
x 0
( 3  x  3) ( 3  x  3)
.
x
( 3  x  3)
LIBRO UNI
 2(x  2)(x  1) 
Lim 

x 1 (x  1)(x 2  x  1)


 2(x  2)  2(1  2)
Lim 
 2
 2
x 1  x 2  x  1 
1 11
Nivel intermedio
A) -2
B) –1
C) 2
D) 1
Respuesta: A) -2
Problema 3
Evaluar:
E) x
Resolución:
Tenemos:
Luego:
Efectuando:
Simplificando:
6
2 
Lim 

x  1 
x 1  x 3  1
Tenemos:
 6
2(x 2  x  1) 
Lim 


x 1  x 3  1
(x  1)(x 2  x  1) 
Lim   x  2   x  5   x 
x 
6
2 
Lim 

x  1 
x 1  x 3  1
57
UNI
Nivel intermedio
ÁLGEBRA
CALCULO DE LÍMITES
Exigimos más!
A)
C)
7
2
B)
5
2
D)
2
4
3
2
2
E)
7
  2    5      
Reduciendo:
Lim
Racionalizando:
x 
  x  2 x  5  x   x  2  x  5  x


Lím 
x 
  x  2 x  5  x


10
)
x
x 1  7  10  x
x x2
x(7 
7x  10

x2  7x  10  x
Simplificando:
10
)
7
x

2
7 10
1 
1
x x2
(7 
Resolución:
Tenemos:
Lim   x  2   x  5   x 
x 
Efectuando:
Lim
x 
Evaluamos:
LIBRO UNI
Lim
x 
(x  2)(x  5)  x 2
(x  2)(x  5)  x
58
Respuesta: A) 7/2
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
DERIVADAS
DESARROLLO DEL TEMA
Dada la ecuación y = f(x), generalmente, si cambiamos el
valor de x es lógico pensar que cambie el valor de y.
Trataremos de hallar una relación que nos permita, de alguna
manera, medir estos cambios.
Esta idea será sumamente fructífera ya que muchos
problemas reales (físico y/o geométricos) requieren analizar
la relación entre las variaciones de dos magnitudes.
Veamos algunas consideraciones elementales que nos van
a permitir tener una visión más clara de esta idea.
Consideremos una función "f" real de variable real continua
en el intervalo a; b tal que y = f(x). Sea x 0  a; b , es
decir a < x0 < b. Si al punto x0 le sumamos una cantidad
pequeña x llamada incremento, encontramos el punto
x  x 0  x, supondremos que el punto x  a; b .
El incremento que experimenta la función al pasar del punto
x0 a x  x0  x, lo representaremos por y , siendo por tanto
y  f(x)  f(x 0 ), tal como se observa en la figura adjunta:
De donde:
Tan() 
y f(x)  f(x 0 )

x
x  x0
y  f(x)  mx  b
y0  f(x 0 )  mx 0  b
Entonces:
Tan() 
(mx  b)  (mx 0  b)
m
x  x0
Luego:
tg  m
m  Tan () se le llama "pendiente" de la recta
Se observa además que la pendiente de la recta
Luego el cociente de los dos incrementos se llama "cociente
incremental", entonces:
.
:
y = mx + b
es el coeficiente principal.
y f(x)  f(x 0 )

x
x  x0
I.
DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Se denomina derivada de la función f a la función
denotada por f' cuya regla de correspondencia es:
Si trazamos una recta
que pase por los puntos (x0, f(x0))
y (x, f(x)) cuya ecuación es: y = mx + b, se tiene:
LIBRO UNI


f '(x)  Lim  f(x  h)  f(x) 

h0 
h
59
ÁLGEBRA
DERIVADAS
Exigimos más!
Donde su dominio está formado por los valores de x
del dominio de f, para los cuales el límite dado existe.
En este caso decimos que f es derivable o diferenciable.
Y ahora haciendo que h  0, la pendiente de la
recta (que ahora es tangente) es:
 f(x  h)  f(x) 
ms  Lim 

h
h0 
Otras notaciones
Además de la notación f(x) para la derivada de y = f(x)
se utilizan:
y' ;
Y es lo que hemos definido como la derivada de f.
En conclusión:
dy df(x)
;
; D ,y
dx
dx
Se lee: “Derivada de f con respecto a x”.
II. REGLA GENERAL PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
 f(x  h)  f(x) 
 f(x  x)  f(x) 
f(x)  Lim 
  Lim


h
x
h0 
x 0 
•
•
•
f'(x) representa geométricamente (en caso de
existir) a la pendiente de la recta tangente (de la
gráfica de f) en el punto (x, f(x)), con x  Domf y
donde Domf '  Domf .
Se suma a la variable x un incremento x  0 y se
calcula f(x  x).
Se forma el incremento y de la función
correspondiente al incremento x de la variable x,
es decir, se calcula y  f(x  x)  f(x).
Se divide ambos miembros por el incremento x
es decir:
IV. DERIVADAS LATERALES
Dada la función f real de variable real definidos y
denotamos:
y f(x  x)  f(x)

x
x
•
A. Derivada por la derecha de f en el punto x0
f(x 0  h)  f(x 0 )
h
f' (x 0 )  Lim
y
Se calcula f(x)  lim
x 0 x
h0
Si tal límite existe.
B. Derivada por la izquierda de f en el punto x0
III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
LA DERIVADA
f' (x 0 )  Lim
Consideremos al gráfico de la función f, representada
por la curva y = f(x), tomemos los puntos A y B, el
punto B muy próximo al punto A cuyas coordenadas
son (x, f(x)) como se muestran en la figura:
h 0 
f(x 0  h)  f(x 0 )
h
Si tal límite existe.
Observación
Es consecuencia inmediata de la definición de
límite que f(x) existe sí y solo sí las derivadas
laterales existen y son iguales.
f '(x )=f ' (x )  f ' (x )
0
+
0

0
Por lo tanto f es diferenciable en x0.
•
•
Teorema
Si la función f es diferenciable en x0 entonces f es
continua en x0.
En este caso hemos supuesto un h > 0.
Observamos que B es un punto de la gráfica de F
que se desliza a través de ella a medida que variamos
h. Si hacemos que h se aproxime a cero, la recta
AB ini-cialmente secante se convierte en tangente.
Observamos que antes de hacer esta aproximación
de h a cero, la pendiente de la recta AB era:
ms 
LIBRO UNI
Observaciones
•
•
f(x  h)  f(h)
h
60
Si la función no es continua en x0, entonces
f no es diferenciable en x0.
Si f es continua en x0, no se puede afirmar
que f sea diferenciable en x0.
ÁLGEBRA
DERIVADAS
Exigimos más!
Corolario
Si la función f es diferenciable sobre el intervalo I,
entonces f es continua sobre I.
VIII. APLICACIONES DE LA DERIVADA
A. Valores extremos
Observación
Se llaman valores extremos de una función a todos
sus máximos y mínimos relativos.
Si f'(x) existe y si f'(x 0 ) es un valor extremo
entonces la recta tangente en este punto debe
ser horizontal, esto equivale a que: f'(x0) = 0.
Sea f una función definida en [a; b]; a < b diremos
que f es diferenciable en todo el intervalo [a; b]
'
si lo es en a; b y además existen f' (a) y f (b).
Teorema
Si una func ión f satisface las s iguientes 3
características:
• f tiene un valor extremo en el punto x = a.
• f esta definida en un entorno N(a) de a.
• Existe f'(a).
V. DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES
ELEMENTALES
A. Teoremas
1. Sea "c" una constante. Si f(x) = c, entonces
B. Teorema de L' Hôspital
f '(x)  0; x   .
2. Si f(x) = x, entonces f '(x)  1;  x  .
Si: Lim
3. Sea "n"  . Si f(x) = xn, entonces f '(x)  nx n1 ,
x a
f(x)
L
g(x)
x   .
sea de la forma:
VI. ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS
0

ó 

0
Se puede considerar el límite pero con las
correspondientes derivadas:
A. Teorema
Sean f y g diferenciables en un intervalo I y c es
L  Lim
una constante, luego.
x 0
1. f  g es diferenciable en I y
(f  g) '(x)  f '(x)  g '(x); x  I
f(x)
f '(x)
f ''(x)
 Lim
 Lim
.....  L
g(x) x 0 g '(x) x 0 g ''(x)
C. Criterio de la primera derivada
2. c  f es diferenciable en I y
Si C un punto crítico de f si existe un intervalo [a;
b] donde f es continua y C  a; b , entonces:
(cf) '(x)  c  f '(x); x  I
3. f  g es diferenciable en I y
(f  g) '(x)  f '(x)  g(x)  f(x)  g '(x); x  I
 f '(x)  0; x  a; c
1.  y
 f '(x)  0; x  c;b

f(c) es un máximo

relativo de f

4. f/g es diferenciable en I, si g(x)  0 , x  I y
 f '(x)  0; x  a; c
2.  y
 f '(x)  0; x  c;b

f(c) es un mínimo

relativo de f



f '(x) g(x)  f(x) g '(x)
 f '
 g  (x) 
2
 
 g(x) 
D. Concavidad y puntos de inflexión
Sea f una función continua sobre un intervalo a; b
al cual pertenece x0 tal que f''(x0) = 0.
VII.DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 f ''(x)  0; x  a; x 0 

  (x 0 ; f(x 0 ))
 f ''(x)  0; x  x 0 ;b 
1. Si f(x) = Senx, entonces f'(x) = Cosx;  x  
1.
2. Si f(x) = Cosx, entonces f'(x) = –Senx;  x  
Es un punto de inflexión
3. Si f(x) = Tanx, entonces f'(x) = Sec2x:
 x  (2k  1)  , k  
2
2.

   x 0 ; f(x 0 ) 

Es un punto de inflexión
4. Si f(x) = Cotx, entonces f'(x) = Csc2x; x  k, k  
5. Si f(x) = Secx, entonces:
f '(x)  Secx  Tanx ; x  (2k  1)  , k  
2
6. Si f(x) = Cscx, entonces:
E. Raíz de multiplicidad
Dado un polinomio P(x) de grado no menor que
dos. Si X0 es una raíz de P(x) cuya multiplicidad es
k, se cumple:
f '(x)  Cscx  Cotx ; x  k, k  
LIBRO UNI
 f ''(x)  0; x  a; x 0

 f ''(x)  0; x  x 0 ;b
61
ÁLGEBRA
DERIVADAS
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
de L'Hôpital y se tiene que:
lim
Calcular:
lim
tgx  8
lim
 sec x  10
x
x

2
f(x)
f '(x)
 lim
g(x) x   g '(x)
Resolución:
2
tgx  8
 lim
1
 sec x  10
x
2
Problema 2
Resolver aplicando el teorema de
L'Hôpital:
tgx  8
sec x  10
lim

x
2
Da lugar a una indeterminación del tipo
 . Llamemos:

g(x)  sec x  10 
Entonces f y g son derivables en su
domino de definición (en particular en

y en un entorno suyo):
2
1
f '(x)  sec x 
g '(x) 
1
2
y
cos2 x
senx
 (senx) 
cos 2 x
cos x
De este modo:
1
2
f '(x)
cos
x
lim
 lim
 g '(x)
 senx
x
x
2
2
cos 2 x
2
 lim

x
2
 lim
x

2
cos x
cos 2 x  senx
4
1
senx
0
    (L'Hôpital)=
0
lim
senx  x  cos x  0 
   (L'Hôpital)=
senx
0
lim
cos x  cos x  (senx)  x 2
 2
cos x
1
x 0
x 0
Problema 4
Resolución:
1
x 0  Ln(1  x)
1  10
cos x
2
1
lim 
 1 
x
x 0  Ln(1  x)
lim 
f(x) = tgx – 8 y
x  senx
lim
x  0 1  cos x
2
Resolución:
x  senx
x 0 1  cos x
1
lim 
x0  Ln(1  x)
Si deseas cercar un jardín rectangular
y si tienes 200 metros de cerca,
¿cuáles son las dimensiones del jardín
más grande que puedes cercar?
 1     
x
 x  Ln(1  x)   0 
 1   lim 
 
x  x0  x  Ln(1  x)   0 
1
1
1x
 (L'Hôpital) lim
x 0 Ln(1 
x)  x 
1
1x
C) 70
D) 80

1
1
x)  (1  x) 
1
1x
1
1
lim

2
x 0 Ln(1  x)  2
Resolución:
Tenemos:
 0   (L'Hôpital)
 
0
lim
B) 60
E) 200
x
1x
 lim
x 0 (1  x)Ln(1  x)  x
1x
x
 lim

x 0 (1  x)Ln(1  x)  x
x 0 Ln(1 
A) 50
Dato:

Al ser f y g son derivables en un
entorno de  podemos aplicar la regla
2
Problema 3
Resolver aplicando el teorema de
L'Hôpital:
LIBRO UNI
62
2x + 2y = 200  x + y= 100
 y = 100 – x
Maximizando el área: f(x) = xy
Entonces:
f(x) = x(100 – x)
f(x) = 100x – x2
f'(x) = 100 – 2x = 0
ÁLGEBRA
DERIVADAS
Exigimos más!
Resolución:
Luego:
Luego:
x = 50; y = 50
f''(0) = 6 > 0 entonces f(0) = 0
es un mínimo relativo.
 Dimensiones:
Largo: 50 m
f''(2) = –6 < 0 entonces f(2) = 4
Ancho: 50 m
es un máximo relativo.
Respuesta: A) 50
Problema 5
Hallar los valores extremos de:
f(x) = 3x2 – x3
Problema 6
En un cono de altura 16 cm y radio 9 cm
se inscribe un cilindro de radio r.
Determine el radio y la altura del cilindro
de mayor volumen si sabemos que tiene
radio entero.
VO’B

Nivel difícil
Tenemos:
f(x) = 3x2 – x3
f'(x) = 6x – 3x2 = 3x(2 – x)
Puntos críticos:

x=2
f''(x) = 6 – 6x
LIBRO UNI
64
A) 4 ,
9
80
B) 5 ,
9
16
C) 6 ,
3
32
D) 7 ,
9
VOA
9 
r
 H  16  16r
16 16  H
9
UNI
Resolución:
x=0
•
•
Vcilindro  r2(16 
16r
)  Derivando
9
2
32r  48r  0  r  6
9
16
H
3
Respuesta: C) 6 , 16
3
E) 8 , 16
9
63
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
FUNCIÓN POLINOMIAL
DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN
Propiedades
Una función polinomial es una expresión algebraica
racional entera, cuya forma general es:
Sea y = F(x) una función polinomial de grado no menor
que tres ([F]°  3) cuya gráfica aproximadamente es:
F(x)  a0 xn  a1xn1  a2 xn 2  ...  an1x  an ; n  
Donde:
x = variable o indeterminada
a0, a1, a2, ... y an son los coeficientes, todos ellos son
números reales
a0xn es el término dominante siempre que an  0
a0 = Coeficiente principal
an = Término independiente de x, es un número real,
también se le llama término constante.
1. Cada punto que corresponde a la gráfica de la
función de modo que la gráfica de y = F(x) cruza al
eje x indica la presencia de una raíz simple o de
multiplicidad impar.
De la gráfica: x1 y x2 pueden ser raíces simple o
raíces de multiplicidad impar de la función.
2. Cada punto que corresponde a la gráfica de la
función de modo que la gráfica de y = F(x) es
tangente al eje x indica la presencia de una raíz de
multiplicidad par.
De la gráfica: x3 es una raíz de multiplicidad par de la
función y = F(x).
Observación: Las funciones constante, lineal y cuadrática que se obtienen cuando n = 0; n = 1 y n = 2
respectivamente son casos particulares de una función
polinomial.
II. CERO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
También llamado raíz, sea y = F(x) una función polinomial no constante, es decir [F]°  1, un cero de la
función es el valor que asume su variable de modo
que la función se anule. Matemáticamente:
F(x 0 )  0  x  x 0 es un cero de F(x)
III. TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN DE
RAÍCES
Teorema: Si x = x0 es un cero de F(x), entonces un
factor de F(x) será el binomio (x – x0).
Ejemplo: Dado el polinomio F(x)  x 5 – 2x + 1 fácilmente podemos notar que F(1) = 0, luego afirmamos
que x = 1 es un cero de F(x) y por tanto (x – 1) es un
factor de F(x).
Sea y = F(x) una función polinomial de grado no menor
que dos, luego para la ecuación F(x) = 0, tenemos:
1. F  1  = 0, es la ecuación que tiene por raíces a los
x
recíprocos de las raíces de F(x) = 0.
2. F(x + h) = 0, con h    , es la ecuación que tiene
como raíces a las raíces de F(x) = 0 disminuidas en
"h".
3. F(x – h) = 0, con h   , es la ecuación que tienen
como raíces a las raíces de F(x) = 0 aumentadas
en "h".
4. F(k . x) = 0, con k    , es la ecuación que tiene
como raíces de F(x) = 0 divididas por "k".
Observación
El cero o raíz de una función polinomial F(x) de grado
mayor o igual que dos, puede ser simple o múltiple.
1. Es simple si x = x0 solo determina al factor (x – x0)
no se repite en F(x).
2. Es múltiple si x = x0 determina el factor (x – x0)m,
con m  N/m  2, es decir (x – x0) es un cero de
multiplicidad "m".
LIBRO UNI
64
ÁLGEBRA
FUNCIÓN POLINOMIAL
Exigimos más!
B. Teorema de Gauss
5. F  x  = 0, con k    , es la ecuación que tiene
k
como raíces de F(x) = 0 multiplicadas por "k".
Permite analizar la existencia de alguna raíz racional
de la función F(x), cuyo grado es n  2 y término
independiente distinto de cero.
Sea la función polinomial:
F(x)  a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
Donde: a 0, a1, a2, ... an  
Si x0 es una raíz racional de F(x) = 0 ésta será de la
IV. TEOREMAS ADICIONALES
A. Teorema de Descartes
Frecuentemente llamado Regla de los signos de
Descartes, esta referido a la cantidad de raíces positivas
o negativas que puede tener una función polinomial
F(x) de grado n  2 con coeficientes reales.
1. El número de raíces positivas de la ecuación F(x) = 0,
será igual al número de variaciones de signos
que presente los coeficientes de F(x), o, es
menor que esta cantidad en un número par.
2. El número de raíces negativas de la ecuación F(x) = 0
será igual al número de variaciones de signos que
presenten los coeficientes de F(–x), o, es menor
que esta cantidad en un número par.
p
, donde p y q son primos entre si, de
q
modo que p es un divisor del término independiente
de x en F(x) y q es divisor del coeficiente principal
en F(x).
forma x0 =
C. Teorema de Bolzano
Consideremos una función polinomial F(x) cuyo
grado es n  2 y de coeficientes reales. Si a < b
y F(a) • F(b) < 0, entonces existe al menos una
raíz real de F(x) que pertenece al intervalo a;b (o
en general un número impar de raíces reales).
Ejemplo: Para: F(x)  x 3 + 2x – 4
Se observa que: F(1) = –1 y F(2) = 8
Por lo que: F(1) • F(2) < 0
Luego por el teorema de Bolzano existe una raíz
real x0 que pertenece al intervalo 1; 2 , es decir:
1 < x0 < 2
Observación:
Llamaremos variación de signos de los coeficientes
de un polinomio ordenado en forma decreciente al
paso de un coeficiente positivo, a un coeficiente
negativo o viceversa.
problemas resueltos
Problema 1
La función polinomial:
2
F(x, y, z)   (x  y)(y  z  3) 
[(Z  y)(y  x  3)]4  (x  y  z  3)2
tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es igual a:
A) 0
B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución:
2
4

(x  y)(y  z  3)   (z  y)(y  x  3) 

 

0
2
0
 (x

y
 z 
3)  0

0
Se genera un sistema de ecuaciones:
x  y  0  y  z  3  0

z  y  0  y  x  3  0
x  y  z  3  0

De donde:
x  y  0
x  y  0


z

y

0
1. 
2.  y  x  3  0
x  y  z  3  0
x  y  z  3  0


 C.S.  (1,1,1)  C.S.  
y  z  3  0

 C.S.  
3.  z  y  0
x  y  z  3  0

LIBRO UNI
y  z  3  0

4. y  x  3  0  C.S.  (2;  1,2)
x  y  z  3  0

N es igual a 2
Respuesta: C) 2
Problema 2
Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que
tenga como raíces a los números reales
2  3 y 3  2. Dar como respuesta
la suma de sus coeficientes.
A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
Resolución:
Por el teorema de la paridad de raíces
irracionales: Si una raíz es 3  2 la otra
será (3  2) la cual origina el polinomio cuadrático (x2 + 6x + 7).
Análogamente:
Si la otra raíz es 2  3 la otra será
2  3 que origina el polinomio:
(x 2 + 4x + 1)
Por lo tanto el polinomio mónico será:
P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1)
65
Nos piden: P(x)  (14)(6)  84
Respuesta: E) 84
Problema 3
Dados los siguientes polinomios: P(x)
de grado 2 y término independiente
uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1.
Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma
de raíces de Q(x).
A) 0 B) 8/3 C) 10/3 D) 4 E) 5
Resolución:
De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1
Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1
Pero:
Q(2)  7; (1)(4a  2b  1)  7  7
4a  2b  1......(1)
P(1)  2 ; a  b  1  2
a  b  1...(2)
de (1) y (2) = a  3 / 2; b  5 / 2
de donde: Q(x)   3 x 3  4x 2  3 x
2
2
se pide: x1  x 2  x 3  
4
8

3 / 2 3
Respuesta: B) 8/3
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN DE SUCESIÓN
Lim Xn  L    0,  un entero n0  0, tal n   que
Una sucesión es una función cuyo dominio es  y
rango un subconjunto de  .
 entero n  no : xn  L  .
Observación:
Notación:
x :   
•
El entero n0 depende de   0.
•
Lim x n  L ó Lim x n  L.
n  X(n)
También:
n
x n   x  n   x n
xn : x1; x 2,..., xn,...
Ejemplo:
x n es el elemento n-ésimo de


Si x n   2n  1 , calcular Lim xn.
3n  2
x n
Ejemplos:
1.
xn : 2, 4, 6,..., 2n,... ó xn  2n
2.
xn : 1, 3, 5,..., 2n – 1,... ó xn  2n – 1
3.
xn : 1,
4.
xn :  21! ,



5.

x n  2n  1
3n  2
2 1

2n  1 

n
Lim xn  Lim 
  Lim 
3n

2
2
n



3

n

1 1
1
1
, ,..., ,... ó xn 
2 3
n
n
1
22 , 23 ,..., 2n ,... ó x  2n
  n
2! 3!
n!
n!

xn : 11 2 ,

Resolución:

 2
 3


A. Teorema
Si r  1  Lim r n  0

1
1
1
,
,...,
,...
23 34
n  n  1

n
n
Por ejemplo: Lim     0
4
II. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
B. Definiciones
Sea {xn} una sucesión y sea L  , decimos que L es el
límite de {xn} si los términos xn  n  n0  de la sucesión
se aproximan a L. Es decir:
Sea {xn} una sucesión:
1. {xn} es acotada superiormente, si existe k1  ,
tal que n   : x n  k1.
2. {x n} es acotada inferiormente, si existe k 2   ,
tal que n   : x n  k 2.
3. {x n} es acotada si existe k > 0, tal que n   :
x n  k.
LIBRO UNI
66
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
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3. La sucesión {xn} = {(–1)n} no es convergente, en
1 ; n es par
n
efecto: Lim  1  
1 ; n es impar
el límite no es único, entonces Limxn no existe.
Ejemplo:
1. La sucesión {xn}, tal que x n 
1
es acotada supen
riormente e inferiormente: 0  x n  1, luego es
Teoremas
acotada.
1. Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
2. Toda sucesión convergente es acotada. Lo contrario
III. SUCESIONES MONÓTONAS
no necesariamente se cumple.
Sea {xn} una sucesión, diremos que {xn} es monótona
3. Toda sucesión monótona no acotada es divergente
a (  o  ).
si es uno de los 4 tipos de sucesiones siguientes:
1. Sucesión creciente
V. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Si: x n  x n 1 ;  n  
A. Criterio de la razón
2. Sucesión decreciente
Si: xn  xn1 ; n  
Sea {xn} una sucesión en  , tal que si:
3. Sucesión no decreciente
Lim
Si: xn  xn1 ; n  
xn 1
 1  lim xn  0
xn
n 
4. Sucesión no creciente
la sucesión converge a cero.
Si: x n  x n1 ; n  
Ejemplos:
Ejemplo:
n
1. Calcular: lim x n , siendo xn  a y a    0
n!
n 
1
1. La sucesión x n  es decreciente.
n
Resolución:
En efecto, n   : 1  1
n n 1
a  0; x n 
2. La sucesión xn = n2 es creciente.
En efecto, n   : n2  (n  1)2
an
an 1
; xn  1 
n!
 n  1 !
Apliquemos el criterio de la razón:
a
x n1
a
 n 1  n! 
xn
n  1! an
n 1
IV. CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
La sucesión {x n} es convergente si existe un único
L   / Limx n  L .
 lim
n
a
 0  1  lim x n  0
n 1
 
2. Analizar la convergencia de: x n   n! 
 nn 
Observación:
Resolución:
Si Limxn es   ó  , entonces de-cimos que {xn}
es divergente.
xn 
Ejemplos:

1. La sucesión x n   1
n
En efecto: Lim

es convergente.
LIBRO UNI
1
1  1 


n

n1 


2. La sucesión x n   2  1   es convergente, en
3




n 1
x n1
n  1  !  nn  nn

xn
n  1n1 n! n  1n
n  : 
1
 0.
n
efecto: Lim 2  1 
n
n  1 !
n!
 x n1 
n
n
n  1n1
 lim xn  lim
n

1
1
e
n!
0
nn
n
 Lim 2  1   2  0  0
33
3
 xn es convergente.
67
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VI. TEOREMA DEL ENCAJE
 Si r<0  P.A. decreciente
Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn},
 Si r=0  P.A. trivial sucesión constante
tales que an  bn  cn para todo n  .
D. Propiedades
Lim an  Lim Cn  L , entonces Lim bn  L
n
n
Sea la P.A.  a 1 • a2 • a3 •.............aK• ..........•an
n
1. Razón:
VII.TEOREMA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
y  a2 – a1  a3 – a2  a9 – a8  .....  ak – ak –1
Sea la sucesión convergente {an }n1,
2. Término general
si:
 a  a2  ...  an 
Lim {an}  a  Lim  1
  a; a  
n

n
n 
ax  ay  (x – y)r
En particular:
VIII.TEOREMA DE LA MEDIA GEOMÉTRICA
an  a1  (n – 1)r
Sea la sucesión convergente {an }n 1;
3. Términos equidistantes de los extremos:
si:
Sean ellos ap  aq
 n a1.a2.a3...an   a; a  
n
Lim {an}  a  Lim
n
 a1............ap ............ aq..........an




"p " tér min os
IX. PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.)
ap  aq  a1  an
Es aquella sucesión que se caracteriza por ser cualquier
término de ella, excepto el primero, igual al anterior
aumentado en una misma cantidad constante llamada
razón de la progresión por diferencia.
4. Término central
Cuando "n" es impar
A. Representación:
ac 
 a 1 • a2 • a3 • ....... • an
 a 1 • a1 + r • a1 + 2r • a1 + 3r• ....... •a1 + (n – 1)r
 Inicio de la P.A.
a1
 Primer término
•
 Separación de términos
an
 Término enésimo
r
 Razón de la P.A.
Sn
 Suma de "n" primeros términos
ax 
a x –1  a x 1
2
5. Suma de los "n" primeros términos
Sn  n
Sn 
(a1  an )
2
n
 2a1  (n – 1)r 
2
X. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.)
Es aquella sucesión en la cual el primer término y la
razón son diferentes de cero y además un término
cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior
multiplicado por una misma cantidad constante llamada
razón de la progresión. También se denomina progresión
por cociente
C. Clases de P.A.
De acuerdo a la razón:
 Si r>0  P.A. creciente
LIBRO UNI
a1  an
2
 Corolario:
B. Elementos de la P.A.

"p " tér min os
68
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A. Representación
SLim 
:: t1 :t2 :t3 :t4 :..........:tn
2
Donde necesariamente –1 < q < 1.
n–1
3
t1
1–q
:: t1 :t1 q:t1 q :t1 q :..........:t1 q
4. Producto de los "n" primeros términos
B. Elementos de la P.G.
n
(Pn )2   t1tn 
::
 inicio de la P.G.
t1
 primer término (t1  0)
:
 separación de términos
q
 razón (q  0)
tn
 término enésimo
Sn
 suma de "n" primeros términos
Sea {an} una sucesión en  .
Pn
 producto de "n" primeros términos
Entonces a la expresión: a1  a2  a2  ....  an  ...., se
5. Término Central (TC)
Siendo "n" impar
(t c )2  t1tn
XI. DEFINICIÓN DE SERIE
a1 a2 a3.......an........
llama serie infinita de números reales.
La sucesión:
C. Clses de P.G.
* Si q>1,
P.G. Creciente
* Si 0<q<1,
P.G. Decreciente
* Si q=1,
P.G. Trivial
* Si q<0,
P.G. Oscilante
Sn  s1, s 2 ,....., sn,....
tal que:
s1  a1


 Son sumas
 parciales

 de la serie
n

 ak  sn  a1  a2  ....  an 

k 1
s2  a1  a2
s3  a1  a2  a3

D. Propie dades
A la sucesión Sn n1, se denomina sucesión de sumas
Sea la P.G. :: t1 :t2 :t3 :..........:tk:..........:tn

parciales de la serie infinita
1. Razón:
 ak siendo Sn la n-ésima
k 1
suma parcial de la serie.
q
t2
t
t
 3  ...  k
t1 t 2
tk –1
XII.DEFINICIÓN DE ADICIONALES

Consideremos una serie infinita
2. Término general
 ak
y una sucesión
k 1
de sumas parciales Sn  .
n1
Tx  Ty  qx –y
A. Si el Lim Sn  S existe, entonces diremos que:
En particular:
n
Tn  T1  qn–1

La serie infinita
 an es convergente y converge a S.
n 1

3. Suma de los "n" primeros términos:
B. Si la serie infinita
 an es convergente, se puede
n 1
 qn – 1 
Sn  t1 

 q –1 



es-cribir de la siguiente forma:
Sn = S
 an  nlim

n 1
Al cual llamaremos suma de la serie infinita. Si la
Observación:
Si n   (n tiende al infinito) se tendrá una suma
límite (SLim)
LIBRO UNI

serie infinita
 ak es divergente, carece de suma.
k 1
69
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SUCESIONES Y SERIES
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B. Criterio de la comparación
XIII. TEOREMAS
Sean las series
n
 an es convergente, entonces:
A. Si:
n 1
lim an  0

n
de términos no negati-
vos, tal que an  bn;  n    mayor que un "k"
entero positivo suficientemente grande, entonces:
n
B. Si: lim an  0 , entonces: la serie infinita
 an ,  bn
 an es
 bn converge   an converge.
Si  an diverge   bn diverge.
1. Si
n 1
divergente.
2.
C. Criterio de la raíz
Observación

n
Si:
n
Si: L < 1, entonces
n
k 1
n
n
k 1
k 1
n
n
n
D. Criterio de comparación por límite
  ak  bk    ak   bk
k 1
Sean las series:
k 1

n=1
an
= k > 0  ambas series convergen
bn
o divergen.
1. Si: Lim
an 1
L
n an
 an y Lim
n 1
Si: L < 1, entonces
Si: L > 1, entonces
n
 an convergente.
 an divergente.


an
= 0 y  bn converge   an es
n   bn
n=1
n=1
convergente.
2. Si: Lim
Si: L = 1, entonces no podemos afirmar si la serie

an
= + y  bn es divergente  La
n bn
n=1
converge o no.
Ejemplo:
Averiguar si la serie
n=1
de términos positivos, entonces:
A. Criterio de la razón


 an y  bn
XVI.CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Sea la serie
 an converge.
 an diverge.
converge o no.
  ak  bk    ak   bk
k 1
k 1
L
Si: L = 1, entonces no podemos afirmar si la serie
n
3.
Si: L > 1, entonces
 cak  c  ak
k 1
2.
n a
 an y nLim
n

n 2
k 1
n
1.
C   . Entonces:
 ak ,  bk y
k 1
Sea la serie
3. Si: Lim

3
 kk !

converge.
serie
k 1
 an
es divergente.
n=1
problemas resueltos
Problema 1
La suma de la siguiente serie:
27 + 9 + 3 + 1 + ... es:
UNI 2009 - II
A) 38,5
B) 39,5
C) 40,5
D) 41,5
E) 42,5
Resolución:
Aplicando suma límite:
27
81
S

 40, 5
1
2
1
3
Respuesta: C) 40,5
LIBRO UNI
Problema 2
Sea la sucesión definida por:
n
1
bn 1  bn    , n  
3
Resolución:
Lim bn  1
n
Tenemos:
b1 = –1/2
Donde:
n
b1   1
2
Entonces la sucesión converge al valor:
A) –1/2
B) 0
C) 1/3
D) 1/2
E) 1
70
bn  1  bn   1  ;n  
3
a) Aplicación de fórmula o teorema
Teorema:
Lim bn1  Lim bn  L
n
n
Suma límite:
S
t1
; q 1
1q
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
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b) Solución del problema
Del dato:
Problema 4
Sea la sucesión:
a1  0, a2  1, a3  1 , a4  3 , a5  5 ,
2
4
8
11
21
43
a6 
,a 
,a 
,...
16 7 32 8 64
A) 10100
B) 294880
C) 323400
D) 333300
entonces la sucesión {an} converge a:
La sucesión:
7
12
A)
5
8
B)
D) 1
UNI 2010 - I
2
C)
3
E) 
2
Luego : bn1
n
2
Tenemos : Lim bn1   1  1   1   ...
2 
3 
n
3
 

SUMA LÍMITE
 Lim bn1  
1

1
0
1
Lim bn21  2 
2
n 
n 
1
3
1
1
3
Respuesta: B) 0
Problema 3
Determine el valor de:
n
1

n
2n  1
B)
C)
n 1
2n  1
D)
E)
n
2n  1n
A)
1
2

2 k 1  2k  1 2k  1
Donde:
S
Tres números positivos forman una pro-
x1   1  x 2  1
2
gresión aritmética y además su suma
es 21. Si a esos números añadimos 2, 3
n
n
  1 
1 n  1
1 



2 k 1  2k  1 2k  1 
progresión geométrica. Hallar el produc-
UNI 2008 - III
A) 231
D) 308
B) 264
E) 420
C) 273
Resolución:
Sean los 3 términos de la P.A.: a – r, a,
n
a + r. Piden: (a – r) a(a + r)
Dato: (a – r) + (a) + (a + r) = 21
Nos piden: convergencia {an}
a = 7
Calculamos:
Dato:

Lim an  Lim  2  4  1
3
2
n
n  3
n
    23
2
 La sucesión converge a
3
Propiedad telescópica:
y 9 respectivamente, obtenemos una
to de esos números.
 
 2k  1 2k  1
n
S
Problema 6
 2x  1  x  1  0
Luego: an  2  4  1
3 3
2
k 1
Respuesta: E) 343400
2x 2  x  1  0
n  1  a1       0
2

n  2  a2     1
4
1
= 343400
De la sucesión recurrente:
2a n+2 – an+1 – an = 0
Tenemos:
Entonces:   4    2
3
3
n
Luego:
De donde: an2
 n(n  1)(n  2) 
 n(n  1)  

3


a
 an
 n 1
;  n  IN
2
Para
2n
2n  1
S100  12  23  34  ...
21
43
;a 
32 8 64
 
n
2n  2

t100
1
3
5
11
;a  ;a  ;a 
;
2 4 4 5 8 6 16
1
an   
2
Resolución:
Tenemos:
S
a7 
1 • 2; 2 • 3; 3 • 4; ... ; 100 • 101
 n(n  1)(n  2) 
12  23  34  ...  n(n  1)  

3


Llevamos a la sucesión correspondiente:
 2k  1   2k  1
k 1
a1  0; a2  1; a3 
Resolución:
Recordar:
Resolución:
1
1
1
 b1      ...   
3 3
3
E) 343400
(7 – r + 2); (7 + 3); (7 + r + 9)
9 – r; 10; 16 + r
P.G.
 (9  r)(16  r)  102
b
  f(k)  f(k  1)   f(a)  f(b  1)
Respuesta: C) 2/3
k a
Entonces:
r=4
Problema 5
S  1  1  1   n
2  1 2n  1  2n  1
Respuesta: A)
LIBRO UNI
n
2n +1
Conclusiones
Dada la sucesión 2, 6, 12, 20, 30, 42, ...
determine la suma de los 100 primeros
los 3 términos son: 3; 7 y 11
el producto 3  7  11  231
términos de la sucesión anterior.
UNI 2009 - I
71
Respuesta: A) 231
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN DE MATRIZ
Ejemplo:
Una matriz es el arreglo u ordenamiento rectangular de
elementos que podrán ser números reales, números
complejos, etc., en filas (horizontal) y columnas (vertical) encerrados entre corchetes o paréntesis.
La igualdad:
 x  y 2z  w  3 5 



 x  y z  w  1 4 
es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones:
Representación:
x  y  3

x  y  1

2z  w  5
 z  w  4
La solución del sistema es:
x = 2, y = 1, z = 3, w = –1
III. CLASES DE MATRICES
Donde a ij representa el elemento de la fila "i" y la
columna "j".
A. Matriz cuadrada
Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo
número de filas que de columnas. En este caso una
matriz n  n es de orden n y se le asigna el nombre
de matriz n-cuadrada.
Notación:
Ejemplo:
i = 1, ..., m ; j = 1 , ... , n
Además: m  n representa el tamaño, orden o dimensión
de la matriz A.
Ejemplo:
Traz(A) = 9 + 8 + 0 = 17
Nota:
Se debe destacar que una matriz es un arreglo y como
tal no tiene un valor numérico.
1. Tipos de matrices cuadradas
Las matrices cuadradas pueden ser:
II. IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices A y B son iguales, escrito A = B, si tiene
la misma forma y sus elementos correspondientes coinciden. Así la igualdad de dos matrices m x n equivale a
un sistema de m x n igualdades, una por cada par de
componentes.
LIBRO UNI
a. Matriz diagonal
Es aquella matriz cuadrada en la cual al menos
un elemento de la diagonal principal es no nulo,
y los demás, si lo son.
72
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
Ejemplos:
1 0 0 


A  0 7 0 
0 0 7 
Ejemplo:
A = [1 0 –3 2]
;
23 0 
B

 0 0
b. Matriz columna o vector columna
Si la matriz presenta una sola columna.
Ejemplo:
2
 
A5
 1
b. Matriz escalar
Es una matriz diagonal que presenta elementos no nulos e iguales en la diagonal
principal.
Ejemplos:
5 0 0 


A  0 5 0 
0 0 5 
C. Matriz nula
Es aquella matriz en la cual todos sus elementos son
nulos. Ejemplos:
 6 0 
B

 0 6 
;
0 0 
A

0 0 
c. Matriz identidad
Es una matriz escalar cuyos elementos de la
diagonal principal son no nulos e iguales a uno.
1 0 0 


I3   0 1 0 
 0 0 1 
;
0 0 0 


B  0 0 0 
0 0 0 
;
IV. OPERACIONES CON MATRICES
A. Adición de matrices

0
I 2  1

0 1 
Sea A = (aij) y B = (bij) dos matrices mn, entonces
la suma de A y B es la matriz m  n, A + B dada por:
d. Matriz triangular
Existen dos clases:
A  B   aij  bij  
 a11

 a21


 am1
• Superior:
Es una matriz cuadrada en donde todos los
elementos bajo la diagonal principal son
iguales a cero, y del lado opuesto al menos
un elemento no lo es.
 b11
a12  b12
 b21
a22  b22


 bm1 am2  bm2
a1n  b1n 

a2n  b2n 



 amn  bmn 


Es decir, A + B es la matriz que se obtiene al sumar
las componentes correspondientes de A y B.
• Inferior:
Análogamente, es cuando los elementos sobre
la diagonal principal son todos nulos y del
lado opuesto al menos uno no lo es.
Advertencia:
La suma de dos matrices está definida sólo cuando
las matrices son del mismo tamaño.
Ejemplo:
Ejemplos:
1 2 4 
3 5 8 
A
 ; B

0 2 8 
1 7 2 
1  3 2  5 4  8   4 7 12 
 AB  


 0  1 2  7 8  2  1 5 6 
B. Multiplicación de matrices
B. Matriz rectangular
1. Multiplicación de un escalar por una matriz
Si A = (aij) es una matriz de m  n y si  es un
escalar, entonces la matriz m  n,  A está dada por:
Son aquellas matrices en donde el número de filas
es distinto al número de columnas.
Ejemplos:
3 2 


A  1 0 
5 9 
32
;
 a11

a
A  (aij )   21
 

 am1

9 5
B  17

 0 4 2  23
1. Tipos de matrices rectangulares
a. Matriz fila o vector fila
Cuando una matriz está formada por una sola fila.
LIBRO UNI
a12
a22

am2
a1n 

a2n 
 

a

mn 


en otras palabras  A = (  aij) es la matriz obtenida
al multiplicar cada componente de A por .
73
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
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Ejemplo:
Sean las matrices:
Ejemplo:
Multiplicar a la matriz:
3 5 7 

 por el escalar 2.
 4 2 1 



0 5
A  2 4 
y B  4

 3 1  22
1 3 2  23
 2   3 5
7

 4 2 1
 3(2)

 4(2)
La matriz C producto de A y B será de orden
2  3 de la siguiente manera.
5(2)
2(2)
7(2)   6 10 14 


(1)2   8 4 2 
C
C12
C   11
C
C
 21
22
C13 

C 23  23
Hallando cada uno de los elementos:
2. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna
Al tomar este producto es necesario que las matrices tengan el mismo número de componentes.
En este caso se tiene:
4
C11   2 4      2  4  4  1  C11  12
1
0 
C12   2 4      2  0  4  3   C12  12
3
5
C13   2 4      2  5  4  2   C13  18
2
4
C21   3 1      3  4  1  1  C21  13
1
0
C22   3 1      3  0  1  3   C22  3
3
5 
C23   3 1     3  5  1  2   C 23  17
2 
n
Es decir: A  B 
Teoremas:
Sean A, B y C matrices para las cuales están definidas las operaciones de adición y multiplicación
i k y  son escalares.
a. K(A + B) = KA + KB
b. (K +  )A = KA +  A
c. K(  A) = (K  )A
• A (BC) = (AB) C
• A (B + C) = AB + BC
• AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0
• AB = AC no implica que B = C
 akbk
k 1
Ejemplo:
A  [1 9 7]
;
8
 
B  3 
1 
 A .B  (1  8  9  3  7  1)  42
3. Multiplicación de dos matrices
Dados dos matrices A  (aij )m  n y B  (bij )n  p.
Entonces el producto de A y B es una matriz:
C  (Cij)mp , en donde:
Definiciones:
• Si AB = BA, se dice que las matrices A y B
son conmutables.
• Si AB = –BA, se dice que las matrices A y B
son matrices anticonmutables.
Cij = (fila i de A) . (columna j de B)
es decir: Cij = ai1 b 1j + ai2 . b 2j + ... + bin . b nj
Para ilustrar esto, se consideran las siguientes
matrices: A, B y C.
4. Potenciación de matrices
Sea A una matriz cuadrada y n   | n  2 , se
define:
An  A
 A
A  ....
A

" n " veces
V. TRAZA DE UNA MATRIZ
Es la suma de elementos de la diagonal principal de
una matriz cuadrada.
LIBRO UNI
74
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MATRICES Y DETERMINANTES
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D. Matriz idempotente
Teoremas sobre traza
•
Traz (A ± B) = Traz(A) ± Traz(B)
•
Traz (KA) = KTraz(A)
•
Traz (A  B)  Traz(B  A)
Una matriz cuadrada A es idempotente si y sólo si es
igual a su cuadrado (A2 = A).
Ejemplo:
1

¿La matriz A   2
1
2
Donde A y B son matrices del mismo orden y K un escalar.
VI. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Sea A = (aij) una matriz de m  n. Entonces la transpuesta de A, que se escribe AT, es la matriz de n  m
obtenida al intercambiar las filas por columnas de A,
AT = (aji). Ejemplo:
5 6 8 
A

3 2 1

1

A  A  A  2
1
2
2
5 3 


A T  6 2 
8 1
1
2  es idempotente?

1
2
1  1
2  2
 
1  1
2 2
1
1
2  2


1
1
2
2
1
2  A

1
2
como A2 = A, entonces la matriz A es idempotente.
E. Matriz nilpotente
Se dice que una matriz A diferente de cero es
nilpotente si existe un número entero positivo K tal
que AK = 0. Así: K se llama índica de nilpotencia.
Teoremas
T
T
T
•
(A ± B) = A ± B
•
(AB)T = BT AT
•
(A T)T = A
•
(  A) T =  AT;  es un escalar
•
In = I; n  Z+
Ejemplo:
 1 3 4 


¿La matriz A   1 3 4  es nilpotente?
 1 3 4 
VII.OTROS TIPOS DE MATRICES
A. Matriz simétrica
 1 3 4   1 3 4  0 0 0 

 
 

A2  A  A   1 3 4   1 3 4   0 0 0 
 1 3 4   1 3 4  0 0 0 
Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si cumple
la siguiente condición: AT = A. Ejemplos:
4 0 7 


3 4 
A
;
B

0 3 1 

4 5 
 7 1 9 
entonces, A es nilpotente.
F. Matriz hermitiana
Dada una matriz cuadrada de componentes com-
B. Matriz antisimétrica
plejos será hermitiana si y solo si cumple lo siguiente:
Una matriz cuadrada será antisimétrica si y sólo si
es igual al negativo de su transpuesta (A = –AT).
Ejemplos:
A
T
 A.
Ejemplo:
0
4 1


 0 2
0
9
A
;
B


4


 2 0 
 1 9 0 
 3
 3
2  i 4  1
2  i 4  1
T




A   2  i 5
7   A    2  i 5
7 
 4  1 7
4 
 4  1 7
4 
G. Matriz ortogonal
C. Matriz involutiva
Una matriz A se llama ortogonal, si verifica:
Una matriz es involutiva si y sólo si su cuadrado es
igual a la matriz identidad (A2 = I).
Ejemplo:
A . AT = AT . A = I


¿La matriz A   1 0  es involutiva?
 0 1
Ejemplo:
 Cos   Sen  0 


A  Sen  Cos  0 
 0
0
1 

 
 

A 2  A  A   1 0    1 0   1 0   I
 0 1   0 1  0 1 
como A2 = I entonces A es involutiva.
LIBRO UNI
75
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
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B. Matrices singulares y no singulares
VIII. DEFINICIÓN DE DETERMINANTE
Sea A = (aij) una matriz cuadrada. Si |A| = 0 decimos
que A es una matriz singular, en caso contrario
(|A|  0) decimos que A es una matriz no singular..
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada, el determinante
de A es un operador (función) que aplicado a la matriz
A, le hace corresponder un único valor numérico.
Notación: |A| o det(A) o detA
1. Propiedades
Pero el criterio de asignación de ese valor (número real
o complejo) a cada matriz cuadrada no es sencillo en el
caso general. Vamos a definir el determinante para una
matriz de orden 1; 2 y luego de orden 3.
(Sólo para matrices cuadradas)
a. |AB| = |A| |B|
b. I: matriz identidad |I| = 1
: matriz nula  |  | = 0
A. Cálculo de determinantes
c. |A| = |AT|
De orden 1
d. Si se intercambian 2 filas (o 2 columnas) de
una matriz, el determinante cambia de signo.
e. Si una matriz tiene 2 filas (o 2 columnas)
iguales su determinante es cero.
A  (a11 )  A  a11  a11
El determinante coincide con el valor del único elemento de la matriz.
3 7
• A
 | A | 0
3 7
De orden 2

a 
a
a
a
A   11 12   | A | 11 12
a21 a22
 a21 a22 
 a11a22  a21a12

Ejemplo:
3 2
3 2
A
 3  4   1  2   10
  | A |
1 4
1 4 
f. Si una matriz tiene una fila nula (o columna
nula) su determinante es cero.
 1 2 1 


• A   0 0 0  | A | 0
4 5 3 


De orden 3
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 
a11 a12

a23   A  a21 a22
a33 
a31 a32
a13
a23
g. Si en una matriz, todos los elementos de una fila
(o columna) son multiplicados por una es-calar
 , su determinante queda multiplicado por  .
a b
 a b 
• A
; B  

 c d
 c d 
a33
= a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21–a31a22a13–a21a33a12–
a32a11a23
Para recordar fácilmente éste resultado vamos a
recurrir a una regla práctica, llamada la regla de
Sarrus que consiste en repetir las dos primeras filas
(o columnas) debajo (o a la derecha) de todos los
ele-mentos de la matriz, así:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a11
a33 o a21
a13
a31
a23
 |B| = ad – bc =  (ad–bc)
 |B| =  |A|
•
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
2 2
 2 2 3
1 1


A   1 1 0   A  1 2
 1 2 1 
2 2


1 1
 1 1 2 


A   9 3 12  | A | 16
 0 2 5 


Multiplicamos la segunda fila de A por 3,
queda:
 1 1 2 


B   9 3 12   | B |  3 | A | 48
 0 2 5 


Ejemplo:
3
0
h. Si una matriz A de orden n es multiplicada
por una escalar  (es decir, todos los elementos de A son multiplicados por  ), el determinante de A queda multiplicado por n.
Es decir:
1
3
0
|A|= –2 + 6 + 0 – 3 – 0 – 2 = –1
LIBRO UNI
1 1 1 


• B   3 5 7  | B | 0 (verifique)
1 1 1 


A  n  A
76
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
i. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz
tienen elementos respectivamente proporcionales, su determinante vale cero.
y sea Mij la matriz cuadrada de orden (n–1) que
resulta de eliminar la fila i y a columna j de A,
entonces:
 x y 2y 


A   z u 2u 
1 0 0 


a. El determinante |Mij| se llama menor (menor
complementario) del elemento aij de la matriz A.
b. El cofactor del elemento aij, que se denota
por Aij, se define por Aij=(–1)i+j|M ij|.
x y 2y
x y y
 | A |  z u 2u  2 z u u  2  0   0
1 0
0
1 0 0
Ejemplo:
j. Si una fila (o columna) de una matriz se le suma
Los menores complementarios y cofactores de
(o resta) un múltiplo o submúltiplo de otra fila
los elementos de la matriz.
(o columna, su determinante no se altera.
1 2 3 


A  1 3 4 
1 4 3 


 4 7
A
  | A |  15
 3 9
1
de la segunda
3
A la primera fila le sumamos
Son los siguientes:
fila f1  1 f2 .
3
 5 10 
B
  | B |  15
3 9 
• Menores complementarios:
M11 
k. El determinante de una matriz diagonal o trian-
M13 
gular (inferior o superior), es igual al producto
de multiplicar los elementos de su diagonal
M22 
principal.
•
1

0
A
0
 0

M31 
0 0 0

2 0 0
| A |  4 !  24
0 3 0

0 0 4 
M33 
6 
 4 0


• B   0 5
3 
 0 0 1 / 2


determinante
4 3
1 3
1 4
1 3
1 3
2 3
3 4
1 2
1 4
 7
M12 
1
M21 
0
M23 
 1
M32 
1 4
1
1 3
2 3
4 3
 6
1 2
 2
1 4
1 3
1 4
 1
1
• Cofactores:
A11 = (–1)1+1 M11 = 1(–7) = –7
A12 = (–1)1+2 M12 = (–1)(–1) = 1
| B |   4   5   1   10
2
• El
3 4
de
A13 = (–1)1+3 M13 = 1(1) = 1
una
A21 = (–1)2+1 M21 = (–1)(–6) = 6
matriz
antisimétrica de orden impar es cero.
A22 = (–1)2+2 M22 = 1(0) = 0
A23 = (–1)2+3 M23 = (–1)(2) = –2
2. Menor complementario y cofactor de un
elemento de una matriz
A31 = (–1)3+1 M31 = 1(–1) = –1
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada:
A32 = (–1)3+2 M32 = (–1)(1) = –1
 a11 a12

 a21 a22


 
A   a11 a12

 


 an1 an2


LIBRO UNI
...
a1j
...
a2j
...

aij
...

anj

Columna j
... a1n 

... a2n 

 
... ain 

 

... ann 


A33 = (–1)3+3 M33 = 1(1) = 1
Observación:
El menor complementario |Mij| y el cofactor Aij de
un elemento aij de la matriz A, sólo se diferencian
en el signo.
Fila i
Como:
Aij=(–1)i+j |M ij|  A ij =  |M ij|
77
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
B. Determinante de Van Der Monde
IX. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE
POR COFACTORES
•
A. Teorema
1
x
1
y
1
z  z  x   z  y   y  x 
x2
y2
z2
1
x
1
y
1
z
1
w
x2
y2
z2
w2
x3
y3
z3
w3
El determinante de una matriz cuadrada A = (aij)n
es igual a la suma de los productos de los elementos
de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores. Para aplicar este teorema es necesario elegir
una fila (o una columna) y proceder a efectuar el
desarrollo por dicha fila (o columna).
•
1. Si elegimos la fila i, el desarrollo de determinante
(por filas) está dado por:
Ejemplos:
|A| = ai1Ai1ai2Ai2 +... + ainAin
•
2. Si elegimos la columna j, el desarrollo del determinante (por columnas) está dado por:
1
3
1
4
  w  x   w  y   w  z
z  x  z  y   y  x 
1
5  5  3  5  4   4  3   2
9 16 25
|A| = a1jA1j + a2jA2j +... + ainAnj
Ejemplo:
Calcule el determinante de la matriz:
•
 3 6 9 


A  0 2 1 
 3 1 2 


1
2
1
3
1
5
1
7
22
32 52
72
23
33 53
73
 7  2   7  3   7  5  5  2 
5  3  3  2   2
 5  4  2  3  2  1  240
Resolución:
Calculemos el determinante, realizando el desarrollo
X. MATRIZ INVERSA
por la segunda fila (a21= 0; a22 = 2; a23 = 1) luego:
Sea A = (aij)n una matriz no singular, diremos que A
tiene inversa (o que es inversible) si existe otra matriz
B = (bij)n del mismo orden, tal que AB = BA = In (In
matriz identidad). B es llamada la matriz inversa de A, y
se denota por A–1.
|A| = a21A21 + a22A22 + a23A23
como:
A21 = (–1)2+1|M 21|= 
6 9
 3
1 2
A22 = (–1)2+2|M 22|= 
3 9
 33
3 2
A23 = (–1)2+3|M 23|= 
3 6
 21
3 1
Prueba
A es inversible   A–1 , luego A  A 1  I (tomamos
determinantes):
A  A 1  I  A
Entonces:
|A| = 0(–3) + 2(33) + 1(21) = 87
Ahora, calculemos el determinante realizando el
desarrollo por la primera columna (a11 = 3; a21 = 0;
a31 = 3). Luego: |A| = a11A11 + a21A21 + a31A31
De aquí ninguno de los determinantes es cero.
Por tanto A  0. Así A es no singular..
Ejemplos:
2 3
• A
 es inversible, pues |A| = 1  0.
3 5
Como:
A11=(–1)1+1 |M 11| =
2 1
5
1 2
A21=(–1)2+1 |M 21| =
6 9
 3
1 2
A31=(–1)3+1 |M 31| =
6 9
 24
2 1
LIBRO UNI
A 1  1
 2 3 
• B 
 no es inversible, pues |B| = 0.
 4 6 
Ejercicio:
 3 6
Halle la inversa de A  

 4 5
78
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
Resolución:
Es decir:
x y 
1
Sea A 1  
 inversa de A, luego A  A  I2
 z w
O.E. fila
  I  A 1 
 A  I  
es decir:
Ejemplo:
 3 6   x y  1 0 




4 5 z w 0 1
Halle la inversa de:
1 1 1 


A  1 2 1 
1 1 2 


Entonces:
3x  6z  1

3y  6w  0

 4x  5z  0
 4y  5w  1
Resolución:
Aplicamos el método de Gauss-Jordan:
Resolviendo el sistema:
x
1 1 1
 A  I   1 2 1
1 1 2

5
6
4
3
; y ;z ; w
9
9
9
9
1 0 0

0 1 0
0 0 1 
Por tanto:
A 1
 5
 9

 4
 9
6 
9 
1  5 6 
 
9  4 3 
3
 
9
es la matriz inversa de A.
XI. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
1 1 1

f2  f1



0 1 0
f3 f1
0 0 1

1 0 0

1 1 0 
1 0 1 
1 0 1

f1  f2

  0 1 0
0 0 1

2 1 0 

1 1 0 
1 0 1 
A. De orden 1
A   a11   A
1


 1 
a
 11 
f1  f3


f3  f1
1 0 0

 0 1 0
0 0 1

3 1 1 

1 1 0   I  A 1
1 0 1 

B. De orden 2
 3 1 1 


 A 1   1 1 0 
 1 0 1 


 a b
1  d b 
1
A
  A  | A|

c
d


 c a 
Ejemplo:
 4 2
A
 ; | A | 4
 10 6 
 A 1
 3
2   2
 6
1


4  10 4   5

 2
Propiedades:
Sean A y B matrices cuadradas no singulares.
1
2

1 

1. (A 1 )

1
A
2. (AB)–1 = B–1A–1
C. De orden n  3
3. (A T)–1 = (A–1)T
Aquí aplicamos un procedimiento conocido como
1
4. |A–1| = | A |
el método de Gauss-Jordan, donde a partir de la
matriz ampliada (A  I) por medio de operaciones
elementales fila, se puede obtener una nueva matriz
5.
ampliada (I  B) y se concluye que B = A.
LIBRO UNI
79
 A 1  1 A 1
( escalar)
ÁLGEBRA

MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
Si A y B son matrices 3 x 3 y r  0 un
número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (f).
I.
det(aB) = det(A) det(B)
II. det(A + B) = det(A) + det(B)
III. det(rA) = rdet(A)
UNI 2008 - II
A)
B)
C)
D)
E)
(a
(a
(b
(a
(a
– b)(b – c)(c – a)
– b)(c – b)(a + c)
– a)(b + c)(a – c)
+ b)(b – c)(a – c)
– b)(b – c)(a – c)
Resolución:
Con los cambios:
C1  C2 ; C 2  C3 ; C1  C2
en ese orden; tenemos:
1 a a2
Nivel fácil
1 c c2
por ser un determinante de Vander-monde:
F = – (b – a) (c – a) (c – b)
ó F = (a – b) (a – c) (b – c)
C) FVV
D) VFF
E) FFF
Respuesta: E) (a – b)(b – c)(a – c)
Resolución:
Problema 3
Considere la ecuación matricial:
Aplicación de fórmulas o teoremas

 

X 1 3    4 0 
2 7   1 2 
Tenemos:
•
det (AB) = det (A) det (B)
•
det (rA) = rn det (A)
donde X es una matriz, calcule det(X)
UNI 2010 - I
Nivel intermedio
A) 6
B) 7
C) 8
D) 11
E) 19
Operación del problema
I.
(V)
II. det(A + B)  det(A) + det(B)
(F)
3
(F)
III. det(rA) = r det(A)
Respuesta: D) VFF
a
1
b
1
c2
c
1
F b
es:
UNI 2004 - II
1 1 


1 1 
C)
1 1 
2 

1 1 
1 1 
D) 4 

1 1 
E)
1 1 
14 

1 1 
Resolución:
Piden:
Q(A)
Dato:
Q(x) = (1 + x) (1 – x)
Evaluando:
Q(A) = (1 + A)(1 – A)
Efectuando: Q(A) = I – A + A – A2
Tenemos:
Q(A) = I – A2 ...
1 2 
Nos dan: A  

2 1 
1 2  5 4
Entonces: A  


4 5
 2 1  

Operación del problema
A2
Reemplazamos: A2 en 
1 0   5 4 
Q(A)  
 

0 1 4 5
Tomando determinante
 4 4 
1 1 
 Q(A)  
 4 
 4 4 
1 1 
| x | 1 3  4 0
2 7
1 2
| x |1  8
| x |  8
Nivel intermedio
LIBRO UNI
B)
Análisis de los datos o gráficos
El valor del determinante de:
2
1 0

A) 
0 1
1 2
Si: A  A  A2 

2 1
Problema 2
a
UNI 2008 - I
Nivel fácil
Resolución:
Ubicación de incógnita
Det(x) = |x|

 

x.  1 3    4 0 
 2 7   1 2 
2
1 2
siendo: A  

2 1
F   1 b b2
A) VVV
B) VVF
Problema 4
Calcule Q(A), si:
Q(x) = (1 + x)(1 – x)
Respuesta: C) 8
80
1 1 
Respuesta: D)  4  
1 1 
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
Problema 5
Por condición:
 x1  1 ; x2 = 0; x   b , x 4  1
3
a
a
a2
Sea la matriz:
a 0 


b a 
Respuesta: D) 1 , 0 ,  b , 1
donde a  0, b , entonces los valores x1, x2, x3, x4 tales que:
 a 0   x1

 
b a   x 3
x 2  1 0 

x 4  0 1 
a
 2 7 1 


Q 1 1
1 , P = Q101
 1 4  4 
Nivel fácil
B)
C)
Sabiendo que:
1
b
1
,
, 0,
a
a
a2
1 b
1
,
,0,
a a2
a
D)
1
b 1
, 0, 
,
a
a2 a
E)
1
b 1
, 0,
,
a
a2 a
donde  es un cierto número real. En-
A)
8
 
3  , 0
5 
B)
1
 
1 , 1
1
B
I
C)
0
 
 0  ,1
1 
Tenemos:
AB = I; donde: B = A–1
x2 
1  a 0
 2 
x 4  a  b a 
D)
 8
 
 3  , 1
 5 
E)
 8 
 
 3 , 0
 5 
igualando:
 x1

 x3
Luego:     0
Pu  
100
Q
Qu  
100
como Q
m
 
   Qu  ; u   n 
p 
 
que Pu  u son:
 a 0   x1 x 2  1 0 


 

b a   x 3 x 4  0 1 


  


 x1

 x3
y además: pu  u
tonces, el vector u y el número a tales
Resolución:
A
También: P = Q101
Si   0  la igualdad sería absurda.
 8
 8


 
Q   3     3 
 5 
 5 
1 b
1
 ,
, 0,
a a2
a
 0   8 
  

 0    3     0
 0   5 
  

Sean las matrices:
UNI 2007 - II
 8
 8





3




 3 
 5 
 5 




a2 a
Problema 6
son (en ese orden).
A)
 2 7 1 


1
 1 1
 1 4  4 


 1
x2   a

x 4   b
 a2
LIBRO UNI
0 

1
a 
 2 7  1  m 0 

   
1  n    0 
 1 1
 1 4  4   p   0 

   
2m  7n  p  0

m  n  p  0
 m  4n  4p  0

Resolviendo: m = – 8

n=3
p=5
 8 
 
u   3 ;   0
 5
 
 8 
Respuesta: E)  3 , 0
 5 
81
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
DESARROLLO DEL TEMA
I.
CONCEPTO



 C.S.  (3,2) (3, 2) (2,3) (2, 3)
Es un conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican simultáneamente para un mismo conjunto de valores atribuidos a sus letras o incógnitas.
IV. CLASES DE SISTEMAS
A. De acuerdo a su solución
3x  y  7
Ejemplo: 
5x  2y  8
1. Compatible
Es aquel sistema que tiene solución que a su vez
puede ser:
• Compatible determinado: Cuando su conjunto solución tiene un número finito de soluciones.
Vemos que se verifica simultáneamente para = 2, y = 1.
 x 2  y 2  13
Ejemplo: 
xy  6

Estas ecuaciones se verifican cuando:
(x = 3, y = 2) ó (x = –3, y = –2) ó (x = 2, y = 3) ó
(x = –2, y = –3) es decir se verifican para 4 pares de
valores de sus incógnitas.
x  y  z  5

x  y  z  3
 x  2y  z  0

Dicho sistema sólo se verifica si: x = 1, y = 1,
z = 3. En tal caso: C.S.  (1,1,3), por tener
 x 2  y 2  2
Ejemplo en : 
 x  y  5
una solución se dirá compatible determinada.
No existe "x" e "y" alguno en  que verifique simultáneamente.
• Compatible indeterminado: Cuando su
conjunto solución tiene un número infinito
de soluciones, así:
II. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
 x  3y  6  (1)

2x  6y  12  (2)
Es el conjunto de todas las soluciones de un sistema.
III. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES
Estas 2 ecuaciones se simplifican a una sola
ecuación de donde resulta: y 
Consiste en hallar el conjunto solución.
Ejemplo:
x  6
3
 x  3y  9
Resolver 
 x  y  3
C.S.  (0.2), (3,1), (6.0),....
Vemos que sólo se verifica para x = 0, y = 3.
Vemos que tendrá infinitas soluciones.
(0, 3)
 C.S.:
2. Incompatible
Son aquellos sistemas que no presentan
solución, su conjunto solución es el vacío. Así:
Ejemplo:
 x 2  y 2  13
Resolver 
xy  6

3x  2y  7

6x  4y  1
Su conjunto solución está integrado por 4 pares ordenados, debido a que se tiene 4 soluciones, así:
LIBRO UNI
82
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
Exigimos más!
•
No existe x, y alguno que verifique simultáneamente a las ecuaciones.
En tal caso se dirá que el sistema no tiene solución. Entonces: C.S.  

ó C.S.  
B. De acuerdo al grado de las ecuaciones
1. Sistemas lineales
Son aquellos sistemas donde cada una de las
ecuaciones son de primer grado, así:
Usando matrices
El sistema:
 a11x1  a12 x 2  a13x 3  ........a1n xn  b1

 a21x1  a22 x 2  a23x 3  ........a2nxn  b2





 
 





 am1x1  am2 x2  am3x 3  ......amnxn  bn

es equivalente al sistema matricial:
 a11 a12 .... a1n   x1  b1 

  
 a21 a22 .... a2n   x 2  b2 
 

   

  
am1 am2 ... amn   x n  bn 

  
 2x  3y  16.......(1)

 8x  2y  36.......(2)
Cuyo conjunto solución es: ((5,2))
X
A
2. Sistemas no lineales
Son aquellos sistemas donde al menos una de
las ecuaciones no es lineal.
 AX  B
Si m  n  A no es una matriz singular..
Se puede definir A–1 (matriz inversa de A), luego:
 x 2  y2  25 .....(1)

 x  y  7 ....... (2)
X  A 1 B
cuyo conjunto solución es {(3; 4), (4; 3)}
Ejemplo:
V. ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL
2x  5y  4
Resolver 
3x  2y  13
En forma general: Consideramos un sistema lineal de
"m" ecuaciones con "n" incógnitas.
Solución:
Es equivalente al sistema matricial:
 a11x1  a12 x 2  a13 x 3  .......amxn  b1

 a21x1  a22x 2  a23x 3  .......a2nx n  b2

 
 

 am1x1  am2x 2  am3x 3  .......amnxn  bm
 2 5   x   4 

    
 3 2   y   13 
Donde:
Donde los aii son coeficientes y x1  x 2  x3..... xn son las
incógnitas.
En tal caso el conjunto solución es:
2 5 
1  2 5 
1
A
  A  19 

 3 2 
 3 2 
2 5 
A 1  1 

19  3 2 
C.S.  (x1  x 2  x3.......xn )
Para la resolución del sistema utilizaremos los siguientes
métodos:
•
 4 
como: X  A 1  
 13 
Método de Gauss
Conocido como los métodos de eliminación, sustitución, igualación consiste en ir eliminando incógnitas hasta llegar a una ecuación de una sola incógnita.
Así, resolver:
 2 5   4  1  57 
X 1 
  


19  3 2   13  19  38 
3
X 
 2 
Luego: x = 3, y = –2
 2x  y  2z  10.....(1)

 3x  2y  2z  1.....(2)
 5x  4y  3z  4.....(3)

•
(2) – 2(1): –x + 6z = –19......... (1')
 C.S. (3, 2)
Método de los determinantes
Se utiliza cuando el sistema es determinado.
Sea el sistema:
a11x1  a12x 2    a1nx n  b1 

a21x1  a22x 2    a2nx n  b2 
 ....(*)





am1x1  am2x 2    amnx n  bn 
(3) – 4(1): –3x + 11z = –36........ (2')
2' – 3(1'): –7z = 21  z = 3  z  3
 C.S.  (1, 2  3)
LIBRO UNI
B
83
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
Exigimos más!
Llamaremos:
– Determinantes del sistema
 a11 a12

 a21 a22
 





a
 n1 an2
Dicho sistema siempre es compatible donde una de
sus soluciones es la trivial {(0, 0, 0 … 0)}.
... ... a1n 

... ... a2n 
 
 

 
 
... ... amn 
Así mismo puede tener otras soluciones las llamadas
no triviales.
TEOREMA
Un sistema homogéneo (**) tiene soluciones aparte
a la trivial, si y sólo sí:
– Determinante con respecto a alguna incógnita
Se conseguirá a partir del determinante anterior
reemplazando los elementos de la columna de
coeficientes de la incógnita en referencia por los
términos independientes.
a11 a12 ... b1 ... a1n
a21 a22 ... b2 ... a2n



 0




an1 a12 ... bn ... amn
 a11 a12 ... b1 ... a1n 


 a21 a22 ... b2 ... a2n 
 

 
  



 
  
 
a

 n1 an2 ... bn ... amn 
Ejemplo 1: Resolver 3x + 2y = 0
5x – y = 0
Solución:
3
5 1
REGLA DE CRAMER
 3  10  13
implica que la solución seria única, la solución trivial (0,0).
La solución del sistema (*) puede determinarse hallando cada incógnita como sigue:
x1 
2
2x  5y  0
Ejemplo 2: Resolver 
6x  15y  0
i
,  i  1...n

Ejemplo: Resolver: 2x  5y  4
Solución:
3x  2y  13
Como
Solución:
Calculando los determinantes:

2 5
 30  30  0
6 15
La solución del sistema no sólo es la trivial (0,0); si
2 5 

  4  15  19
3 2 
no que tendrá infinitas soluciones.
 4 5 
x  
  8  65  57
13 2 
sola 2x – 5y = 0.
Veamos que ambas ecuaciones se reducen a una
 y 2x
5
Asi: Si x = 5t, y = 2t
2  4 
y  
  26  12  38
3 13 
De donde:
 (x, y)  (5, 2)t / t  

x  x  57  x  3

19
y
y


VI. ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES
38
 y  2
19
Sea el sistema:
 C.S.  (3, 2)
•
a11x1  a12x1  ...  a1n x1  b1 

a21x1  a22x 2  ...  a2nx n  b2 






an1x1  an2x 2  ...  amnx n  bn 
Sistema homogéneo
Es un sistema de ecuaciones lineales se llamará
homogéneo si todos los términos independientes
son nulos, así:
Sabemos que la solución viene dado por:
a11x1  a12x 2  ...  a11x1  0 

a21x1  a22x 2  ...  a12x1  0 
 ...( )





an1x1  an2x 2  ...  amnx n  0 
LIBRO UNI
xi 
84
i

 determinante del sistema
 i determinante respecto a x
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
Exigimos más!
Ejemplo 2:
Diremos que el sistema tendrá:
3x  4y  5
6x  6y  10
A. Solución única
Esto sucede si y sólo si   0 .
Como: 3  4  5
6 8 10
B. Infinitas soluciones
Si y sólo si   0  i  0,  i  1, 2,...n
Entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
C. No tiene solución
Ejemplo 3:
Si y sólo si   0  1  0 para algún i.
Ejemplo 1:
2x  5y  7
6x  15y  30
3x  y  2
3 1

 9  2  11  0
2x  3y  3
2 3
Como:
 El sistema tiene solución única.
2
5
7


 el sistema no tiene solución.
6 15 30
problemas resueltos
Problema 1
Al resolver el siguiente sistema:
3
x  y  2  2x  3y  7  3
23 x  y  2  3 2x  3y  7  14
se obtiene que el valor de (x + y) es:
UNI 2008 - II
Nivel fácil
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: x + y
Análisis de los datos o gráficos
Llamemos:
3
Problema 2
Determinar k de manera que el sistema tenga solución no trivial, dar como
respuesta la suma de los valores de K.
(1  k)x  y  z  0

 2x  ky  2z  0
 x  y  (1  k)z  0

UNI
Nivel intermedio
A) 4
B) 5
C) 0 D) 6 E) 1
Problema 3
Dado el sistema de ecuaciones:
Resolución:
Tenemos:
(1  k)x  y  z  0

 2x  ky  2z  0
 x  y  (1  k)z  0

Resolución:
Haciendo un cambio de variable:
1
1
 a
b
x  y 1
2x  y  3
Dato: Sistema homogéneo con solución trivial se cumple:
x  y 2 m
2x  3y  7  q
Operación del problema
 3 x  y  2  2x  3y  7  3


23 x  y  2  3 2x  3y  7  14
Reemplazando el cambio de variable:
1k
2
1
1
k
1
2
0
(1  k)
+ 2(k – 1) = 0
Luego: k3 – 4k = 0
x  y 2 1
 x + y = –1
De donde: k1  0  k 2  2  k 3  2
 k1  k 2  k 3  0
Respuesta: C) 0
Respuesta: B) –1
LIBRO UNI
 4a  5b   5 ... ()

2

7
3a  b  
... ()

5
Sumando  + 5 
19
2
1
de donde: a    b  1
2
10
 x  y  1  2 ...(I)
Luego 
2x  y  3  10 ...(II)
(1 – k)(– k)(– k –1) –2 + 2 – k + 2 (k + 1)
3
Reemplazando en cada ecuación:
Tenemos 19a  
... I
m  q  3

2m  3q  14 ... II
De: 3
+
Tenemos: 5m = 5
De donde: m = 1
Reemplazando:
4
5
5


x  y  1 2x  y  3
2
3
1
7


x  y  1 2x  y  3
5
El valor de x + y es igual a:
A) –1 B) 0
C) 1 D) 2 E) 3
UNI 2007 - II
Nivel difícil
85
Sumando:
I  II
3x + 2 = 8
x = 2  y = –3
Piden x + y = –1
Respuesta: A) –1
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
PROGRAMACIÓN LINEAL
DESARROLLO DEL TEMA
I.
RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
II. PROGRAMACIÓN LINEAL
A. Concepto
Es un modelo matemático mediante el cual se
resuelve un problema indeterminado, formulado por
ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo,
también lineal.
La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que llamaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de
restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Dado un sistema de inecuaciones lineales conformado
por dos o más inecuaciones, la solución gráfica de dicho
sistema es la región que se determina al intersectar
todos los semiplanos originados por las inecuaciones
que conforma el sistema.
Ejemplo:
Resolver:
2x  y  4 ... (1)

3x  y  6 ... (2)
Resolución:
Inicialmente graficamos los semiplanos que correspondan a cada inecuación del sistema:
(1) 2x  y  4  y  4  2x; semiplano ubicado por encima de la recta y = 4 – 2x, incluyendo a ésta.
B. Función objetivo
Es una función lineal en dos variables que debemos
maximizar o minimizar. La función objetivo presenta
la siguiente forma:
y
F(x; y)  ax  by  c
donde a, b y c son constantes y x, y se llaman
variables de decisión.
4
x
C. Conjunto de restricciones
2
Es el sistema de inecuaciones lineales con dos
incógnitas que expresan un conjunto de limitaciones
que presenta el problema propuesto.
Aquí también se consideran a las variables de decisión
como valores no negativos, es decir x  0  y  0.
(2) 3x  y  6  3x  y  6
y  3x  6
semiplano ubicado por debajo de la recta y = 3x – 6,
incluyendo a ésta.
y
D. Soluciones factibles
x
2
Son cada una de las soluciones que verifican al conjunto de restricciones, cada solución factible se
representa por un punto del plano cartesiano.
–6
E. Región factible
Finalmente el conjunto solución del sistema viene dado
por la intersección de los semiplanos hallados, veamos:
Se llama así al conjunto convexo formado por todos
los puntos que representan a las soluciones factibles,
en una región poligonal.
La región factible puede, o no, ser acotada, la primera incluye los puntos de su frontera y la otra no.
y
(1)
CS
4
x
Observación: Sólo las regiones factibles acotadas presentan siempre solución, en las otras
puede o no existir solución.
2
–6
(2)
LIBRO UNI
86
ÁLGEBRA
PROGRAMACIÓN LINEAL
Exigimos más!
F. Solución óptima
III. MÉTODO ANALÍTICO O MÉTODO DE
LOS VÉRTICES
Es el punto cuyas coordenadas hacen de la función
objetivo un valor máximo o mínimo.
La solución óptima, en caso de existir, se alcanza
en un vértice de la región factible.
A. Descripción
Se determina la región factible calculando las coordenadas de todos sus vértices, luego cada punto
que corresponde a un vértice se reemplaza en la
función objetivo esperando obtener con alguno de
ellos un valor máximo o mínimo según corresponda
a la optimización.
y
B
C
B. Teorema
S
A
D
Si la función objetivo asume el mismo valor óptimo
en dos vértices de la región factible, también asume
el mismo valor en los puntos del segmento limitado
por dichos vértices.
x
S = región factible
A, B, C y D son posibles puntos de organización.
problemas resueltos
Problema 1
Determine el valor mínimo que toma la
función objetivo, P(x, y) = 10x + 20y
sujeta a las restricciones:
Resolución:
Ubicación de incógnita
Valor de verdad
 xy2

 x  2y  2
 yx

Resolución:
Ubicación de incógnita
Valor mínimo de la función objetivo P
Análisis de los datos o gráficos
x  y  2

P(x; y)  10x  20y  x  2y  2

yx

Operación del problema
x=y
2
1
A(1;1)
ción objetiva y aún mantenerse la
solución óptima.
UNI 2010 - I
x - 2y = 2
-1 2
B(2;0) x + y = 2
Operación del problema
I. FALSO
Tal condición establece que las
variables de recisión deberan ser
mayores o iguales que cero, es
decir: x  0  y  0 .
II. FALSO
En el caso de que el polígono sea
no acotado los puntos extremos
no se podrían determinar.
III. VERDADERO
De acuerdo con la Regla de Permutación esta proposición es perfectamente válida.
Respuesta: FFV
Problema 2
En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de
determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Las condiciones de no negatividad
significan que todas las variables de
decisión deben ser positivas.
II. El número de puntos extremos de
la región admisible es finito.
III. En un programa lineal pueden
variarse los coeficientes de la funLIBRO UNI
87
Para B (2;0)
 P = 10(2) + 20(0) = 20
Respuesta: 20
Ubicación de incógnita
* n° de peces de la especie S1: x;
peso promedio (S1) = 4 kg.
* n° de peces de la especie S2: y;
peso promedio (S2) = 2 kg.
Análisis de los datos o gráficos
Función objetivo: F(x; y) = 4x + 2y
S1(x)
S2(y)
F1
1x
2y
F2
3x
1y
Operación del problema
 x  2y  500

 3x  y  900
 x, y  0

Graficando:
Problema 3
Un lago se llena de dos especies de
peces S1 y S2. La especie S1 proporciona un peso promedio de 4 kg de carne y la especie S2 un peso promedio
de 2 kg.
Dos tipos de comida F1 y F2 están disponibles en el lago. El requerimiento
promedio de la especie S1 es 1 unidad
de F1 y 3 unidades de F2, mientras que
el requerimiento de S2 en 2 unidades
de F1 y 1 unidad de F2 cada día. Si se
dispone diariamente de 500 unidades
de F1 y 900 unidades de F2, determine
el número total de peces en el lago
que maximice el peso total de carne
de pescado.
UNI 2011 - I
Para A (1;1)
 P = 10(1) + 20(1) = 30
Resolución:
y
900
(0;250)
(260;120)
500
0
(300;0)
x
I. F(0,250) = 500
II. F(260;120) = 1280 (máximo)
III. F(300,0) = 1200
El número de peces que maximiza
es: 260 + 120 = 380
Respuesta: 380
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
DESARROLLO DEL TEMA
I.
B. Adición entre números complejos
DEFINICIÓN
El sistema de los números complejos es el conjunto C de
Para hallar la suma entres dos números complejos, se
todos los pares ordenados, de componentes reales,
sumarán las partes reales y también las partes imagina-
z = (x,y) y dos operaciones llamadas adición y multipli-
rias.
cación tales que para cualesquiera dos elementos que
Así:
pertenezcan a C, como por ejemplo: z1 = (x1;y 1) y z2 =
(x1  y1i)  (x 2  y 2i)  (x1  x 2 )  (y1  y 2 )i
(x 2;y 2) se definen:
–
z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2)
–
z1  z2 = (x1x2 – y1y2; x1y2 + x2y1) … (multiplicación)
… (adición)
C. Multiplicación entre números complejos
Para hallar el producto de multiplicar 2 números
II. FORMA CARTESIANA O BINÓMICA DE
UN COMPLEJO
complejos, para la parte real se multiplicaran las
partes reales menos el producto de las partes ima-
Teorema
Todo número complejo z de la forma z = (x;y) será
ginarias. Y para la parte imaginaria se multiplicará la
posible expresarlo como z = x + yi tal que i  1 se
mentando en el producto de multiplicar la primera
denominará unidad imaginaria.
parte imaginaria con la segunda parte real.
Es decir z  (x; y)  x  yi ; i  1
Así:
parte real con la segunda parte imaginaria au-
(x1  y1i)  (x 2  y2i)  (x1x2  y1y2)  (x1y 2  x2y1)i
Ejemplo:
z  (2; 3)  2  3i
III. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA (PLANO DE GAUSS)
w  (0; 3)  0  3i  3i
Si:
Re(z)....(Parte Real de z)
z  x  yi  
I m(z)....(Parte Imaginaria de z)
En el plano cartesiano denominaremos al eje Y como
eje imaginario y al eje x como eje real.
Sea: z  a  bi / a  0  b  0
A continuación vamos a definir para los números com-
Entonces su representación en el plano de "Gauss"
plejos "x + yi" la relación de igualdad y las operaciones
será como sigue:
de adición y multiplicación del siguiente modo:
A. Igualdad de números complejos
Dos complejos son iguales, si y sólo si sus partes
reales y sus partes imaginarias son iguales respectivamente. Así:
x1  y1i  x 2  y 2i  x1  x 2  y1  y 2
LIBRO UNI
88
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más!
IV. CANTIDADES IMAGINARIAS
i8  i4  i4  1
Son aquellos números que resultan de extraer una raíz
de índice par a un número real negativo.
i9  i4  i  i
i10  i8  i2  1
Así por ejemplo:
1;
i11  i8  i3  i
2; 4 5; 2n 16
i12  i8  i4  1
Donde: n  
De todos estos el más importante es
Se observa que las potencias enteras de "i" se re-
1 ; al cual de-
piten cada cuatro veces y sólo toman uno de los
nominaremos unidad imaginaria, cuya notación univer-
cuatro valores i; –1; –i; 1; esto merece una espe-
sal es i  1 .
cial atención.
Aplicación:
Propiedades
16  16(1)  16 1  4i
Se observa principalmente que:
i4  1 ; i8  1 ; i12  1 ; etc.
5  5(1)  5 1  5i
A. Unidad imaginaria
Esto implica que la unidad imaginaria elevado a un
El número complejo (0; 1) es la unidad imaginaria;
múltiplo de cuatro es igual a la unidad.
tiene la particular notación i = (0;1).
Por lo tanto i4 = 1
Teorema
o
En general
2
i  1; i  (0;1)
i4  1
Luego deducimos que:
Prueba
i2  (0;1)(0;1)  (0  1; 0  0)
 (1; 0)  1
o
o
o
i4 1  i ; i4 2  1; i4 3  i
 i2  1
Generalizando:
Teorema
o
i4k  ik ;  k  
 y   ; (0; y)  yi
Luego se deduce:
Prueba
o 
4 k
i– –  ik ;  k  
yi  (y; 0)(0;1)
 (0  0; y  0)  (0; y)
 (0; y)  yi
Teorema
ik  (1)k ik ;  k  
B. Potencias enteras de la unidad imaginaria
Estudiaremos el comportamiento del número in;
Propiedades
n   ; teniendo en cuenta la siguiente definición:
Sea i 
i0  1 ; i1  i
1. i  i2  i3  i4  0
2. i4k  i4k 1  i4k 2  i4k 3  0 ;  k  
i1  i
i2  1
3
1 la unidad imaginaria:
3. in  in1  in2  in 3  0 ;  n  
2
i  i  i  i
V. TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
i4  i2  i2  (1)(1)  1
i5  i4  i  i
A. Complejo real o puramente real
i6  i4  i2  1
Es aquel número complejo que carece de la parte
imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero.
i7  i4  i3  i
LIBRO UNI
89
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
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Notación:
z 
8.  1   z1 ;  z2  (0; 0)
 z2  z2
z  x  0i  x ;  z  
B. Complejo imaginario puro
Es aquel número complejo que carece de la parte
real; es decir su parte real es cero; además su parte
9.
 z   z
10.
 z 
n
n
n
n
;  n 
z ;  n 
imaginaria es diferente de cero.
VIII.DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Notación:
Sean los números z1, z2 z2  (0, 0) para efectuar la
z1
habrá que multiplicar a z1 y z2 por z2 con lo
z2
cual se obtiene:
z  0  yi  yi ;  y    0
C. Complejo nulo
z1  a  bi; z2  c  di
Es aquel número complejo que presenta la parte
z1
a  bi (a  bi)(c  di)


z2 c  di (c  di)(c  di)
real e imaginaria igual al número cero; es decir las
dos componentes son nulas.

Notación:
z  0  0i  0
(ac  bd)  (bc  ad)i
c 2  d2
a  bi ac  bd bc  ad


c  di c 2  d2 c 2  d2
VI. NÚMEROS COMPLEJOS ESPECIALES
A. Definición
•
Dado el complejo z = x + yi se define el complejo conjugado de z, denotado por z , como
así z = x – yi y el opuesto de z, denotado por
Zop = Z+, así Zop = –x – yi.
IX. MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN
COMPLEJO
Dado z = a + bi ; el módulo o valor absoluto de z es un
número real no negativo denotado por
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE z = x + yi;
( x  0  y  0) DE SU CONJUGADO Y SU OPUESTO.
z ; tal que
z  a2  b2 .
VII.TEOREMAS
z; z1; z2  
1. z  z  z es complejo real .
Observación
2. z  z
 a;b   z  a  | z |  | a |
z  bi  | z |  | b |
3. z  z  z*  z es complejo imaginario .
4. z  z  2 Re(z)
Propiedades
5. z  z  2i Im(z)
De la definición de módulo se desprende las siguientes
6. z1  z2  z1  z2
propiedades; sean Z; Z1; Z2   entonces:
7. z1z2  z1z2
1.
LIBRO UNI
90
z  0 ; z  0  z  (0;0)
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
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2.
Se observa que  puede tomar infinitos valores como:
z  z  z*
1   ; 2    2 ; 3    4
2
zz
3.
z
4.
  (z)  z ; Im(z)  z
5.
z1z2  z1 z2
6.
z
z1
 1 ; z2  (0; 0)
z2
z2
7.
zn  z
8.
9.
n
n
XI. ARGUMENTO PRINCIPAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
De todos los valores de  ; elegimos aquel que se encuentra en el intervalo  0;2 ; es decir 0    2 ; a dicho  se
le denomina argumento principal, cuya notación es:
; n  
Arg(z)  
Conociendo el argumento principal de z denotado por
Arg(z) podemos generar otros cuya notación es:
z  n z ; n   n  2
z1  z2  z1  z2
arg(z)  Arg(z)  2k
K  0;  1;  2;  3; ...
10. z1  z2  z1  z2
A. Teorema
X. POTENCIACIÓN
Dados los números complejos no nulos:
z  z (Cos  iSen)
w  w (Cos  iSen)
La potenciación en forma binómica tiene muchas limitaciones; por ello se utiliza cuando las potencias son
pequeñas.
Se verifican:
1.
zw  z
Resultados importantes
(1  i)2  2i
2.
; (1  i)2  2i
(1  i)3  2i(1  i) ; (1  i)3  2i(1  i)
(1  i) 4  4
1i
i
1i
z  z (Cos(  )  iSen(  ))
w
w
Observaciones:
Para multiplicar complejos en la forma polar se multiplica los módulos y se suma los argumentos.
; (1  i) 4  4
;
w (Cos(  )  Sen(  )
1i
i
1i
arg(z  w)  arg(z)  arg(w)
XI. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA
DE UN NÚMERO COMPLEJO
Para dividir complejo en la forma polar se dividen
los módulos y se resta los argumentos.
Sea z = a + bi un número complejo diferente del nulo.
arg  z   arg(z)  arg(w)
w
Es decir z  0
B. Teorema (de De Moivre)
Dados z  z (Cos  iSen); z  (0; 0)  n  
Se tiene zn  z
Corolario
n
(Cos  iSen)
arg(zn )  n arg(z); n  
XII.RAÍCES "n-ésimas" DE LA UNIDAD
De la figura x  z Cos, y  z Sen
y
Donde: Tan 
x
Entonces: z  x  yi  z Cos   z Seni
Se pide hallar: x k  n 1
 z  1
Donde: z  1  oi 
  0
 z  z (Cos  iSen)
Es la representación trigonométrica o polar de un complejo; donde el ángulo  se le denomina el argumento de
2k 
Luego : x k  Cis 

 n 
k  0,1, 2,.........., n  1
z denotado por Arg(z); es decir: Arg(z)  
LIBRO UNI
91
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más!
Donde:
x 0  w0  1
Donde:
e es el número de Euler e = 2,718281
 argumento en radianes; i = (0; 1)
Entonces tenemos una nueva representación para el
complejo. z  z (Cos  iSen)  z ei
x1  w
x2  w2

z  z e i
x n1  wn 1
Entonces: Las "n" raíces de la unidad serán:
XIV.RAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO
1, w, w , w ,....., w 
2
3
n1
Una raíz n - ésima del número complejo z = x + yi es
número complejo W, tal que wn = z.
Es decir: n z  w  w n  z
Teorema:
Si w es una raíz enesima de la unidad y w  1 ,
Entonces: 1 + w + w2 + ......+ wn-1 = 0

   2k 
   2k  
w k  n z  Cos 
  iSen 

 n 
 3 

XIII. FORMA EXPONENCIAL DE UN COMPLEJO
Teorema de Euler
Donde: k = 0, 1, 2, ......., n – 1
Son las raíces de z = x + yi
ei  Cos  iSen
problemas resueltos
Problema 1
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Las raíces de ein – 1 = 0, pertenecen a un polígono regular de n lados, n  .
II. Si ei  a  bi y    ; 3 , enton4 4
Asi mismo b 
Pues b  sen().
III. Verdadero
cos()  cos()      2k
UNI 2010 - I
Indique cuáles son correctas:
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) II y III
Resolución:
I. Falso
Las raíces n-ésimas de la unidad al
ser llevadas al diagrama de Argan'd
están generan un polígono regular si: n    n  3.
II. Falso
5  18
2 Cis 
  a  bi
 3 
Elevamos a la 18 a ambos miembros:
Entonces:
3
18
3
 5  

 2 Cis 
 3 

 18 a  bi 
26 Cis(30
)  a  bi



 ei()  1
2
2
2
;
yb
;1 .
ces a  
2
2
2
III. Dados ,   0;2 , tales que   ,
si cos()  cos(), entonces ei()  1.
2 1
; 
2

1
Respuesta: C) 1
Problema 2
La raíz cúbica del número complejo z = –2
de mayor argumento principal, es también raíz 18-ésima de otro complejo
u = a + bi con a y b números reales.
Determine a + b.
UNI 2009 - II
A) 25 ( 3  1)
B) 26
C) 27 ( 3  1)
D) 28
E) 29
Resolución:
Determine: a + b, a partir de: V = a + bi
Analizando:
Z  2  Z  2Cis
Calculando:
Luego: 36 + oi = a + bi
 a  26  b  0
Respuesta: B) a + b = 26
Problema 3
Sabiendo que 1, W y W2 son las tres
raíces cúbicas de la unidad real. Calcular:
2
3
50
R  (.....((W W ) W ) W .....) W
A) W 2
B) 1
D) W
E) –W2
C) –W
Resolución:
La expresión dada es:
2
3
50
R  (W)W  W  W  ....  W
1  2  3 ... 50
3
2
2
;
De donde: a  
; pues
2
2
a  cos().
LIBRO UNI
Z 
3
  2k 
2 Cis 


3

donde: k = 0, 1, 2
Siendo el de mayor argumento, si:
3
5 
K  2  Z 2  2 Cis 

 3 
La cual también es una de las raíces de:
18
U  18 a  bi
92
R  (W) W
R  (W)W
3K
 W1
R  W
Respuesta: D) W
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más!
Problema 4
K   10
3
Calcular: x  y
y x
Reducir:
i2 + i4 + i6 + .... + i102
A) i
B) –i
C) 1
A)
 10
3
B)
10
3
D) –1
C)
E) 0
Resolución:
Problema 6
5
3
Calcular z siendo:
D)
5
3
E)
 15
2
Recordemos que:
i4K 2  i4K  0; K  

10
Respuesta: A) 
3
z  (2  i)(3  i)(1  i)
A) 2 10
B)
10
C) 10
Resolución:
En el problema:
2
4
6
98
100
102
E  i
i i 

...  i  i   i
se anulan cada dos
E  0  i102  i4K  2  i2
Elevando al cuadrado ambos miembros
de la igualdad tenemos:
2
E) 2 5
2
5 – 3i = x – y + 2xyi
Resolución:
Por igualdad de complejos:
Por propiedad se plantea:
x 2  y2  5  xy   3
2
 E  1
Se pide calcular el valor de:
Si 5  3i  x  yi; x, y  .
LIBRO UNI
z  2 i  3i  1i
z  5  10  2  100
Respuesta: D) –1
Problema 5
D) 10 2
2
y x y
K x 
y x
xy
93
 z  10
2
Respuesta: C) 10
ÁLGEBRA