20) Un taller mecánico local factura 110 dólares de media cuando realiza una reparación determinada. Los datos indican una desviación típica de 21.50 dólares en las facturas. Hace poco un cliente e quejaba de que la factura de 115.5 dólares era excesiva. Después de mucho debatir, el mecánico estuvo de acuerdo en devolver el dinero si una muestra de 36 trabajos similares revelan una facturación media inferior a la del cliente. ¿Esta seguro de que el mecánico fue prudente al ofrecer este arreglo? solución: Datos: µ= 110 $ =21.50 $ σ n= 36 trabajos P(X< 115.50 $) Hallamos: P(110<X<115.50) Z= ⁄√ = ⁄√ = 1,53 o una área de 0,4370 P(110<X<115.50) = P(0<Z<1,53) = 0,4370 : P(X<115.50) = P(Z<1,53) = P(0<Z<1,53) + O,5 110 = 0,4370 + 0,5 = O,9370 Por lo tanto, queda decir que el mecánico no fue prudente al hacer este arreglo puesto que la probabilidad de que ocurra es del 0,9370, y esta probabilidad no estará a favor del mecánico sino del cliente. 21) Un proceso de fabricación produce unidades de longitud media igual a 10 pulgadas, con una desviación típica de 3.2 pulgadas. Si solo se pueden utilizar unidades que midan entre 9.5 y 10.5 pulgadas , ¿cuántas muestras de 100 habrá que desechar? Solución: Datos: µ= 10 pulgadas =3,2 pulgadas σ n= 100 Hallamos: P(X< 9,5) y P(X< 10,5) = = ⁄√ ⁄√ = = ⁄√ ⁄√ = 1,56 o una área de 0,4406 = 1,56 o una área de 0,4406 P(X< 9,5) y P(X< 10,5) P(X< 9,5) = P(Z< 1,56) = 0,5 - P( 0< Z<1.56) P(X< 9,5) = P(Z< 1,56) = 0,5 - P( 0< Z<1.56) = 0,5 - 0,4406 = 0,0594 = 0,5 - 0,4406 = 0,0594 Piden: 0,0594 + 0,0594 = 0,1188 , esto es la probabilidad de muestra a desechar, esto es de 100 muestras: 100 * 0,1188 = 11,88 ;lo que se aproxima a 12 mutras a desechar de las 100. 22) En un ejercicio de informática que se encomienda a la clase de estadística de primer cuso los estudiantes tienen una media de errores de 14.2, con la desviación típica de 4.3: a) Cual es la probabilidad de que usted ( o cualquier otro estudiante) tenga más de 13 errores en su ejercicio si se sabe que los errores siguen una distribución maestral? Datos: µ= 14,2 errores =4,3 errores σ n= 1 P(X>13 errores) Hallamos: P(13<X<14,2) Z= ⁄√ = ⁄√ = - 0,28 o una área de 0,1103 P(13<X<14,2) = P(- 0,28<Z<0) = 0,1103 : P(X>13 errores) = P(Z> -0,28) = P(-0,28<Z<0) + O,5 13 14,2 = 0,1103 + 0,5 = O,6103 b) Si no se sabe si los errores están distribuidos normalmente ¿cuál es la probabilidad de que una muestra de 36 estudiantes tenga una media superior a 13 errores? Datos: n= 36 P(X>13 errores) Hallamos: P(13<X<14,2) Z= ⁄√ = ⁄√ = - 1,67 o una área de 0,4525 P(13<X<14,2) = P(- 1,67<Z<0) = 0,4525 : P(X>13 errores) = P(Z> - 1,67) = P(- 1,67<Z<0) + O,5 13 14,2 = 0,4525 + 0,5 = O,9525 c) ¿ Por qué son diferentes las dos concentraciones? Dibujar dos graficas superpuestas para ilustrarlo. menor en b) porque σ > Los resultados de las preguntas a) y b) son diferentes debido a que la distribución de las X es d) ¿Por que era necesaria la hipótesis de normalidad en parte a) y no en parte b). En la parte a) nos afirma que sigue una distribución normal, en cambio en la parte b) con n>30; el teorema central del límite admite la hipótesis de la distribución normal. 23) En el problema 22 supongamos que se toma una muestra de 64. Sin trabajar en el problema, explique que le sucedería a su repuesta y por que. Solución: Lo que ocurriría, es que al tomar una muestra mucho mayor como n = 64 el error será mucho menor y la probabilidad será mucho mayor. 24) Supongamos que el problema 22 la desviación típica de la población es 5.3 en lugar de 4.3 y n= 36. Sin trabajar en el problema, que ocurriría a su respuesta y porque. 29) El alcalde de una ciudad de 650 vecinos piensa que la renta media de estos es de 42550 dólares . con una desviación típica de 15900 dólares. Una muestra aleatoria de 200 personas da una renta de 41000 dólares. ¿cuál es la probabilidad de que el alcalde tenga razón? Solución: Datos: µ= 42550 =15900 $ σ N=650 vecinos n= 200 P(X<41000) Hallamos: P(41000<X<42550) Z= 42550 41000 = - 1,66 o una área de = √ √ 0,4515 P(41000<X<42550) = P(- 1,66<Z<0) = 0,4515 : P(X<41000) = P(Z<- 1,66) = O,5 - P(- 1,66 < Z < 0) = 0,5 - 0,4515 = O,0485 La probabilidad de que el alcalde tenga razón es 0,0485 o 4,85%.
