notas de geometría euclidiana

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y AXIOMAS DE ORDEN
Introducción
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Presento los elementos geométricos que enmarcan específicamente la Geometría Euclidiana en
su desarrollo como una teoría Axiomática deductiva. Se indican explícitamente los términos y las
relaciones primitivas, y los dos primeros grupos de Axiomas que surgen para expresar los
primeros resultados en términos de las relaciones primitivas de pertenencia para el primer
grupo y la relación estar entre para el segundo.
Puede observarse como surgen de una manera natural las definiciones para caracterizar las
propiedades establecidas en los Axiomas y para darle nombre a los conjuntos nuevos que se
originan siempre en la función de símbolos abreviadores para facilitar el manejo y comprensión
de la teoría. Prevalece a partir de este punto la dualidad permanente y característica del
método: la definición y la demostración.
Objetivos Específicos.
1.
Presentar las primeras relaciones entre los términos primitivos: punto, recta,
plano y espacio y caracterizar los tres últimos como conjuntos.
2.
Diferenciar claramente la relación de inclusión como una relación definida y como
se cumple en la práctica entre los conjuntos definidos.
3.
Precisar la definición de figura geométrica como una noción generalizadora y
determinante en la orientación de toda la teoría. Lo propio con las notaciones de
cada conjunto definido.
4.
Establecer en particular como la relación estar entre, permite relacionar todos los
puntos de una misma recta con respecto a un punto cualquiera de ella, surgiendo
así el conjunto correspondiente a la semirrecta. En forma análoga como toda recta
contenida en un plano relaciona los demás puntos de ese plano, surgiendo el
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
conjunto designado como semiplano y finalmente como todo plano separa el
espacio generando el conjunto designado como semiespacio.
5.
Caracterizar el segmento y los conjuntos asociados y como este conjunto permite
introducir la primera clasificación entre las figuras como convexas y cóncavas.
6.
Definir una de las figuras primordiales y otros conjuntos asociados a él como es el
ángulo y una primera clasificación que surge de la misma definición, y que
corresponde a los ángulos llano y nulo respectivamente.
Analizar detalladamente los contenidos, la estructura lógica y el alcance en la
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7.
teoría que apenas se inicia de los teoremas, señalando como algunas
proposiciones que intuitivamente podrían creerse que deberían ser Axiomas se
demuestran como teoremas. Se destaca inicialmente la importancia que tendrá en
adelante el Teorema de la Barra transversal.
En este capítulo, comienzo dando los términos y relaciones primitivas de la geometría, y su
conexión por medio de los axiomas. A medida que se van presentando los axiomas, se deducen
los teoremas que se desprenden de ellos, como también las definiciones necesarias para
caracterizar los nuevos objetos.
En la formulación que adelantaré, asumiré el manejo de la lógica y de la teoría de conjuntos,
aunque en algunos puntos haré hincapié en el proceso lógico de las demostraciones.
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2.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS.
2.1.1 Términos primitivos: Punto, recta, plano, espacio.
2.1.2 Relaciones primitivas: Estar en (pertenencia), estar entre, congruente. Estos
términos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante enunciados tales como:
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El punto A está en la recta l.
El punto B está entre los puntos A y C en la recta l.
2.1.3 Axiomas: Los axiomas se dividen en cinco grupos a saber:
Grupo I.
Axiomas de incidencia.
Grupo II:
Axiomas de orden.
Grupo III. Axiomas de congruencia.
Grupo IV. Axiomas de continuidad.
Grupo V.
Axiomas de paralelismo.
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2.2 GRUPO I. AXIOMAS DE INCIDENCIA.
I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un
punto pasa por lo menos una recta. (Se identifican dos proposiciones distintas en este
axioma).
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I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.
I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no está en la recta.
Definición 1.
Puntos colineales son aquellos que están en una misma recta.
I.4 Tres puntos que no están en una misma recta, determinan un plano y solo uno al cual
pertenecen.
I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos no colineales.
I.6 Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está contenida en el plano.
I.7 Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es una recta.
Observación. El axioma I.7 establece que si dos planos tienen un punto en común, tiene un
segundo punto en común y en consecuencia, una recta común.
I.8 Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no está en el plano.
Definición 2.
Puntos coplanares son aquellos que están en un mismo plano.
Notación.
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i.
Para designar puntos, utilizaremos letras latinas mayúsculas individuales.
⃡ ó 𝐵𝐴
⃡ la recta a la cual pertenecen
ii. Para A, B puntos distintos, notaremos por 𝐴𝐵
estos puntos, ó también por letras minúsculas latinas individuales.
⃡ ó la recta l. (Ver figura 5).
Así, por ejemplo, nos referimos a la recta 𝐴𝐵
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Figura 5
TEOREMA 1.
Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersección es solo un punto.
Demostración.
Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducción al absurdo).
Supongamos que las rectas se cortan en dos puntos distintos A y B, por el axioma I.1 por los
puntos A y B pasa una recta única. Luego, l y m son la misma recta. Contradicción, ya que l y m
son rectas diferentes.
Figura 6
TEOREMA 2.
Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano único que las contiene.
Demostración.
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Sean l y m dos rectas diferentes con intersección no vacía. Sea A el punto de intersección
(teorema 1). Por el axioma I.2 existe otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente
de A en m. Por el teorema 1, A, B, C son no colineales ya que B no está en la recta m y C no está
en la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano único. Por el axioma I.6 las
rectas l y m están contenidas en ese plano. Este es el único plano que contiene a ambas. Si
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existiera otro, A, B y C estarían en él. Contradicción con el axioma I.4.
Figura 7
TEOREMA 3.
Si l es una recta y A un punto que no pertenece a ella, existe un plano único que
contiene a la recta y al cual el punto pertenece.
Demostración.
Por el axioma I.2 la recta l tiene al menos dos puntos diferentes B y C. Por el axioma I.4 los tres
puntos son no colineales A, B y C determinan un plano único. A está en ese plano y por el
axioma I.6 la recta l está contenida en el plano.
Figura 8
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Este plano es único, si no, los tres puntos A, B y C estarían en otro plano. Contradicción con el
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axioma I.4.
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2.3 GRUPO II. AXIOMAS DE ORDEN.
Intuitivamente en Geometría, el orden establece la forma como se relacionan tres puntos
distintos pertenecientes a una misma recta, esta relación es la que hemos denominado dentro
de las relaciones primitivas, “estar entre”. Nos indica también a su vez como se relacionan los
puntos de un mismo plano con respecto a una recta contenida en dicho plano y finalmente
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como se relacionan los puntos en el espacio con respecto a cualquier plano contenido en éste.
II.1 Si el punto B se encuentra entre el punto A y el punto C, entonces A, B y C son puntos
diferentes de una misma recta, y B se encuentra así mismo, entre C y A. (Ver figura 9).
Figura 9
Convención: Si B está entre el punto A y el punto C lo notamos A-B-C ó C-B-A.
II.2 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto B sobre ⃡𝐴𝐶 , tal que B está
entre A y C. (Ver figura 10).
Figura 10
II.3 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto D sobre ⃡𝐴𝐶 , tal que C está
entre A y D. (Ver figura 11).
Figura 11
II.4 Dados tres puntos distintos de una recta, uno y solo uno de ellos está entre los otros
dos.
Observación. El axioma II.4, establece que por ejemplo, si A está entre B y C entonces B no está
entre A y C y, C no está entre A y B.
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Definición 3.
Sea A y B dos puntos. Al conjunto formado por A y B y todos los puntos entre A y B se
le llama segmento AB y se nota AB ó BA .
A y B se llaman extremos del segmento y se dice que ellos determinan al segmento. Los puntos
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que están entre A y B se llaman puntos interiores del segmento AB . Los demás puntos de
AB
En
se llaman puntos exteriores.
consecuencia:
interiores

a
̅̅̅̅ = {𝐴, 𝐵} ∪ {𝑥⁄𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑦 𝐵}.
𝐴𝐵
AB
lo
denotamos

por
Int AB
;
𝐿𝑜𝑠
por
puntos
tanto
Int AB  x es un punto que está entre A y B . Si A y B representan el mismo punto diremos
x
que AB es un segmento nulo.
II.5 Si D está entre A y C y X está entre D y C, entonces X está entre A y C. (Ver figura 12).
Figura 12
Observación.
De los axiomas II.2 y II.5 se sigue que un segmento no nulo tiene infinitos puntos, y lo propio
para una recta teniendo en cuenta además el axioma II.3.
Definición 4.
Un conjunto no vació de puntos se denomina figura.
Definición 5.
Diremos que una figura es convexa, si dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmento
determinado por estos puntos, está contenido en la figura. En caso de no cumplirse el
enunciado, diremos que la figura es no convexa o cóncava. (Ver figuras 13 y 14).
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Figura 14 Figura no convexa
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Figura 13 Figura convexa
TEOREMA 4.
La intersección no vacía de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo.
Demostración.
Sean A y B conjuntos convexos.
Sean X, Y  A  B . Probemos que XY  A  B .
Sea Z  XY ; esto es: Z es X ó Z es Y ó Z está entre X y Y.
Si Z es X ó Z es Y entonces Z  A  B .
Si Z está entre X y Y, como X, Y  A  B , X , Y  A luego XY  A ya que A es convexo; en
consecuencia Z  A .
En forma análoga podemos concluir que Z  B .
Luego Z  A  B ; por tanto XY  A  B .
Observación. La unión de dos conjuntos convexos, no necesariamente es un conjunto convexo.
Veamos un contraejemplo.
Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos sobre una recta l; tales que:
AB  CD   (Ver figura 15).
B, C  AB  CD y BC  AB  CD .
Luego AB  CD es no convexo.
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Figura 15
Definición 6.
Sea O un punto de la recta l, A, B otros dos puntos diferentes de la misma. Si O no está
entre A y B, diremos que los puntos A y B están sobre l a un mismo lado del punto O. Si O
está entre A y B diremos que los puntos A y B están sobre la recta l en lados diferentes con
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respecto al punto O. (Ver Figuras 16 y 17).
Figura 17
Figura 16
II.6 Axioma de separación de la recta.
Un punto O de una recta l divide a todos los demás puntos de ésta en dos conjuntos no
vacíos, de modo que dos puntos cualesquiera de l pertenecientes al mismo conjunto están
a un mismo lado O, mientras que dos puntos pertenecientes a distintos conjuntos se
encuentran en lados diferentes respecto al O.
Ilustración: (Ver Figura 18).
i.
A, B están a un mismo lado de O. C, D están en un mismo lado de O.
ii. B, C están en lados diferentes de O. Lo propio para: A y C; A y D; B y D.
iii. A y B pertenecen a un conjunto distinto al conjunto que contiene a C y D.
Figura 18
Definición 7.
Decimos que un punto O de una recta l, conjuntamente con algún otro punto A de la
misma, determinan la semirrecta OA, que notaremos 𝑂𝐴; los puntos que están del mismo
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lado que A con respecto a O incluyendo además el punto A, se llaman puntos de la
semirrecta OA. (Ver Figura 19).
Figura 19
En consecuencia:




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𝑂𝐴  x es un punto que está entre O y A  A  x es un punto que está entre O y X𝑥}
A
x
Observaciones.
i.
El axioma 2.6 nos permite, dada la recta l, O y A puntos distintos, establecer una
partición de la recta en tres conjuntos convexos y disjuntos así: (Ver Figura 20).
 O está entre A y X𝑥}

l  O  OA  x
Figura 20
ii. Si O, A, B son puntos de una recta y O está entre A y B diremos que 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵 son
semirrectas opuesta. (Ver Figura 21).
Figura 21
iii. Definimos el rayo 𝑂𝐴 y lo notamos 𝑂𝐴 = {𝑂} ∪ 𝑂𝐴
II.7 Axioma de separación del plano.
Cada recta l contenido en un plano
Π , divide los puntos de este plano que no le
pertenecen, en dos conjuntos no vacíos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y A’
de conjuntos diferentes determinan un segmento AA’ que contienen algún punto de la
recta l, mientras que dos puntos arbitrarios A y A’’ de un mismo conjunto determinan un
segmento AA’’, dentro del cual no hay ningún punto de l. (Ver figura 22).
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Figura 22
Observaciones.
i.
Dados: ⃡𝐴𝐵 ⊂ Π, 𝑄 ∈ Π; 𝑄 ∉ ⃡𝐴𝐵 entonces el axioma II.7 nos permite definir dos
conjuntos no vacíos que denominaremos semiplanos y que notaremos así: (Ver figura
22a).
⃡
⃡ y que contiene al punto Q.
Π⃡𝐴𝐵 : 𝑄 o 𝐴𝐵⁄𝑄 y que leeremos: Semiplano de borde 𝐴𝐵
⃡
Π⃡𝐴𝐵 : ∼ 𝑄 o 𝐴𝐵⁄~𝑄 y que leeremos: Semiplano de borde ⃡𝐴𝐵 y que no contiene al punto
Q.
ii. Con las condiciones establecidas en i. el axioma II.7 nos permite establecer una
partición del plano
Π en tres conjuntos convexos y disjuntos así:
⃡
⃡ ⁄
⃡ ∪ 𝐴𝐵
Π = Π⃡𝐴𝐵 : 𝑄 ∪ ⃡𝐴𝐵 ∪ Π⃡𝐴𝐵 : ~𝑄 ó Π = 𝐴𝐵⁄𝑄 ∪ 𝐴𝐵
~𝑄
Figura 22a.
II.8.Axioma de separación del espacio.
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Todo plano
Π divide los puntos del espacio que no le pertenecen en dos conjuntos no
vacíos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y B de conjuntos diferentes,
determinan un segmento AB dentro del cual hay algún punto del plano
Π , mientras que
dos puntos cualesquiera A y A’ de un mismo conjunto, determinan un segmento AA’
dentro del cual no hay puntos comunes con el plano
Π.
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Observaciones.
i.
Los conjuntos definidos por el axioma II.8 se denominan semiespacios y los
notamos 𝐸𝜋: 𝐴 y
𝐸𝜋: ~𝐴 ; que se leen respectivamente semiespacio de borde en
el plano 𝜋 al cual el punto A pertenece y semiespacio de borde en el plano 𝜋 al cual
el punto A no pertenece.
ii. El axioma II.8 establece una partición del espacio en tres conjuntos convexos y
disjuntos.
Definición 8.
El conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen, incluyendo este
punto, se llama ángulo. Si las dos semirrectas coinciden, entonces el ángulo que
determinan se llama nulo. Si las dos semirrectas son opuestas, el ángulo se llama llano.
Notación.
Si 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵 son dos semirrectas distintas, entonces el ángulo que forman se denotará por
cualquiera de los símbolos:

AOˆ B ó BOˆ A ; AOB ó BOA
 OB, OA
 OA, OB
ó
.
(Ver Figura 23).
En consecuencia,
AOˆ B =𝑂𝐴 ∪ 𝑂𝐵 ∪
{𝑂}
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Figura 23
OA y OB se denominan lados del ángulo.
O se denomina vértice del ángulo.
Definición 9.
Un ángulo no-nulo y no-llano divide a los demás puntos del plano que lo contiene, en dos
regiones de tal manera que en una y sólo una de las regiones, cualesquiera dos puntos
siempre pueden unirse por un segmento que no intersecta el ángulo. La región que posee
esta propiedad se llama interior del ángulo y la otra región se llama exterior del ángulo.
(Ver Figura 24).
Figura 24
Observaciones.
i.
De acuerdo con la definición 9, podemos concluir que el interior del ángulo es
un
conjunto convexo.


ii. El interior de AOˆ B lo notaremos: Int AOˆ B .


iii. Int AÔB  OA
̂ 𝐵)
iv. Ext(𝐴𝑂
B
 OB
A
.
= 𝜋𝐴,𝑂,𝐵−(𝐼𝑛𝑡 (𝐴𝑂̂𝐵)∪(𝐴𝑂̂𝐵))
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TEOREMA 5.
Si P es un punto sobre la recta l y Q es un punto que no está en dicha recta, entonces la
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semirrecta PQ está contenida en Πl : Q . (Ver figura 25).
Figura 25
Demostración.
Sea
Π el plano determinado por l y Q y sea T un punto de la semirrecta PQ distinto de P y Q.
Claramente T es un punto del plano
Π.
Veamos que T está en el semiplanoΠ𝑙 : 𝑄 .
Razonando por reducción al absurdo:
Supongamos que T está en el semiplanoΠ𝑙 ~𝑄 . Por consiguiente la recta TQ pasa por el
punto P’ de l; tal que P’ está entre T y Q (Axioma de separación del plano) y como además T
está en la recta PQ , entonces las rectas PQ y TQ coinciden y por lo tanto, P y P’ son el
mismo punto; de lo cual se sigue que P está entre T y Q, o sea que T no está en la semirrecta
PQ en contradicción con el supuesto inicial. Lo anterior nos permite concluir que T está en el
semiplano Π𝑙 : 𝑄 como se quería demostrar.
COROLARIO.
La semirrecta que tiene su origen en el vértice de un ángulo no nulo y un punto en el
interior de dicho ángulo, está contenida en el interior del ángulo. (Ver figura 26).
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Figura 26
Demostración.


Sea D  Int AOˆ B .
Veamos que la semirrecta
OD


está contenida en Int AOˆ B .
Está claro por la hipótesis que D es un punto del semiplano Π⃡𝑂𝐴 : 𝐵. y también, es un punto del
semiplano Π𝑂𝐵
⃡ : 𝐴.
Por el Teorema 5 la semirrecta OD está contenida enΠ𝑂𝐵
⃡ : 𝐴; esto es OD está contenida en


Int AOˆ B .
TEOREMA 6.
Dado el ángulo no nulo y no llano BAˆ C , los puntos interiores del segmento BC están
en el interior de dicho ángulo. (Ver Figura 27)
Figura 27
Demostración.
Supongamos que D es un punto del interior
CB .
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Vamos a demostrar que D es un punto interior al ángulo BAˆ C .
De la hipótesis tenemos que D está entre B y C; por lo tanto, estos dos puntos están en lados
distintos respecto a D y en consecuencia
BD  BC
y BC  AC  C , y como
C  BD . Afirmamos que ̅̅̅̅
𝐵𝐷 ∩ 𝐴𝐶 = ∅, puesto que
C  BD queda sustentado lo afirmado. Por tanto:
̅̅̅̅
𝐵𝐷 ⊂ Π⃡𝐴𝐶 : 𝐵
1 .
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De la hipótesis también se infiere que B  DC y afirmamos que DC  AB   , puesto que
DC  BC
y BC  AB  B; pero
B  DC . En consecuencia:
̅̅̅̅
𝐵𝐷 ⊂ Π⃡𝐴𝐶 : 𝐶
2 .
De 1 y 2 podemos concluir que 𝐷 𝜖 Π⃡𝐴𝐶 : 𝐶 ∩ Π⃡𝐴𝐶 : 𝐵 esto es: D pertenece al interior del
ángulo BAˆ C .
TEOREMA 7.
Sea BAˆ C un ángulo no nulo y no llano; D un punto interior a dicho ángulo. Si F es un
punto tal que A está entre F y C, entonces los puntos B y F están en el mismo semiplano
determinado por la recta AD . (Ver Figura 28).
Figura 28
Demostración.
Esta consistirá en demostrar que el segmento BF no tiene puntos en la recta
Dividirernos la prueba en tres partes, a saber:
i.
Veremos que el punto A no puede estar en el segmento FB .
AD .
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ii. Veremos que ningún punto de FB está en la semirrecta
AD .
AG ,
iii. Veremos que ningún punto de FB está en la semirrecta
punto en la semirrecta opuesta a
siendo G un
AD .
La prueba de estas tres partes permite afirmar que FB no corta a la recta
y por tanto,
AD .
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que los puntos F y B están en un mismo semiplano respecto de la recta
AD
Para probar i) comencemos por afirmar que la hipótesis del enunciado garantiza que A es un
punto distinto de B y F.
Razonando por reducción al absurdo, supongamos que A es un punto en el interior de FB .
Puesto que F se tomó en la recta
AC , las rectas AC y FB tienen en común los puntos A y F
y por tanto dichas rectas coinciden (axioma I.1), de donde se concluye que el punto B está en
la recta
AC , lo cual lleva a la contradicción con la hipótesis de que el ángulo BAˆ C es no nulo
y no llano. En esta forma queda demostrada la parte i).
Para probar las partes ii) y iii) se debe tener en cuenta que la semirrecta
en el interior del ángulo
AD
está contenida
BAˆ C , (Corolario) y por tanto, esta contenida en el semiplano Π⃡𝐴𝐵 : 𝐶
como también en el semiplano Π⃡𝐴𝐶 : 𝐵.
Para probar ii) afirmamos que los puntos F y C están en semiplanos opuestos respecto a la
recta AB , ya que A está entre F y C y estos puntos no están en
en el semiplano
AB . Según lo anterior F está
Π AB :~ C y por el teorema 5, es claro que el segmento
FB está en el
semiplano Π⃡𝐴𝐵 : ~𝐶 . Por otra parte, ya se afirmó que la semirrecta AD esta en el
semiplanoΠ𝐴𝐵
⃡ : ~𝐶 .
Siendo disjuntos los semiplanos Π𝐴𝐵
⃡ : ~𝐶 yΠ𝐴𝐵
⃡ : 𝐶 , se sigue que ningún punto de FB está en
la semirrecta
AD
.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Para demostrar la parte iii) tomamos en consideración que las semirrectas opuestas
AD ,
AG están en semiplanos opuestos respecto de la recta AC y como AD está en el semiplano
Π𝐴𝐶
⃡ : 𝐵 , entonces AG está en el semiplanoΠ⃡𝐴𝐶 : 𝐵 . Por otra parte, como F está en AC y B es
un punto que no está en AC , por el teorema 5, se sigue que el segmento FB está en el
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semiplano Π⃡𝐴𝐶 : 𝐵 Siendo disjuntos los semiplanos Π⃡𝐴𝐶 : ~𝐵 yΠ⃡𝐴𝐶 : 𝐵, se concluye que el
segmento FB no tiene puntos en la semirrecta AG .
TEOREMA 8. Teorema de la barra transversal.
Si D es un punto que está en el interior del BAˆ C , entonces AD intersecta a BC . (Ver
Figura 29).
Demostración.
Razonando por reducción al absurdo.
Supongamos que AD  BC   .
Figura 29
En consecuencia, B y C están en el mismo semiplano con respecto a la recta
AD
(Axioma de
separación del plano). Tomemos F  AC tal que A está entre F y C, por tanto FB  AD  
por el teorema 7; esto es, F y B están en el mismo semiplano respecto a la recta AD ,
concluyéndose por tanto que F y C están en el mismo semiplano respecto a
contradictorio puesto que A está entre F y C.
̅̅̅̅ = ∅
Conclusión: 𝐴𝐷 ∩ 𝐵𝐶
AD ;
esto es
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2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
La geometría Euclidiana como una teoría deductiva.
Axiomas de Incidencia.
Axiomas de Orden.
1. En la geometría Euclidiana como una teoría deductiva, indique para cada uno de los
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términos que se presentan a continuación, si corresponden a términos primitivos o a
términos definidos.
1.1 Recta
1.5 Triángulo
1.9 Punto
1.2 Semirrecta
1.6 Plano
1.10 Paralelogramo
1.3 Segmento
1.7 Cuadrado
1.11 Circunferencia
1.4 Ángulo
1.8 Semiplano
1.12 Espacio
2. En la Geometría euclidiana como una teoría deductiva, indique si cada uno de los
siguientes enunciados es verdadero o falso.
2.1Es posible definir cada término geométrico, empleando términos geométricos
más sencillos.
2.2 Los teoremas se demuestran solamente utilizando definiciones y términos
primitivos.
2.3 Cualquier teorema puede demostrarse, utilizando el Método directo.
2.4 Si se está dispuesto a describir todos los pasos, cada teorema puede deducirse de
axiomas y términos primitivos, sin hacer referencia a otros teoremas.
2.5 Todo enunciado que parece ser verdadero, puede tomarse como axioma.
3. En el desarrollo de la Geometría como una teoría deductiva solo una de las siguientes
afirmaciones no es verdadera. Indíquela.
3.1 Algunas proposiciones son aceptadas sin demostración.
3.2 En ocasiones hay varias maneras diferentes y correctas de demostrar ciertas
proposiciones.
3.3 Cada uno de los términos empleados en una demostración debe haber sido
definido previamente.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.4 Es posible mediante argumentos o razonamientos válidos llegar a una conclusión
verdadera si la hipótesis contiene una afirmación falsa.
4. Sean: A, B puntos distintos de un plano Π
𝑙 una recta contenida en el plano
AB
Π
y l tienen en común el punto S, S  A y S  B .

(inclusión) o sus
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Coloque en los espacios la relación correcta entre  (pertenencia) y
negaciones de acuerdo a las condiciones establecidas y a los conjuntos determinados por los
axiomas.
4.1 A _____
Π
4.6 S _____ AB
4.11 A _____ BS
Π
4.12 B _____ AS
4.2 A _____ AB
4.7 l _____
4.3 B _____ l
4.8 AB _____ Π
10.13 AS _____
Π
4.9 S _______
Πl , A
10.14 BS _____
Πl , A
4.10 A _____
Π l ,B
10.15 AS _____
BS
4.4 S _____
Π
4.5 S _____ l
5. Suponga que el espacio tiene al menos un punto A. Justifique, utilizando únicamente los
Axiomas de Incidencia, que se puede probar la existencia de al menos otros tres puntos
distintos y diferentes al punto A.
6. Cuántas rectas distintas determinan 2, 3, 4, 5, 6, 7 puntos distintos tales que tres
cualesquiera de ellos no son colineales. Generalice esta situación a n puntos en las
mismas condiciones.
7. Sean A, B y C tres puntos distintos y no colineales. Indique de acuerdo al Axioma de
determinación del plano y de los teoremas que se relacionan con su determinación,
cuatro formas diferentes para designar el mismo plano, con sus notaciones respectivas.
8. Si G, H, K son puntos colineales y distintos, cuáles de los siguientes enunciados pueden
ser ciertos.
8.1 K está entre G y H y H está entre G y K
8.2 H está entre K y G y H está entre G y K
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.3 H y K están del mismo lado respecto de G y G y H están del mismo lado respecto
de K.
8.4 G y H están del mismo lado de K y G y K no están del mismo lado respecto de H.
9. Si M, N, R son tres puntos distintos tales que R está entre M y N, cuáles de los siguientes
enunciados son ciertos:
9.1 M, N, R son colineales
RM  RN  φ
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
9.2
9.3 M  NR
 
9.4 R  Int MN
10. Si tres puntos están en una recta, cuántos de ellos no están entre los otros dos.
11. Si A, B, C son puntos distintos, no colineales, ¿Cuántas rectas determinan? Identifíquelas.
12. Si C está entre A y D; ¿Cuántas semirrectas determinan? Identifíquelas.
13. Si C está entre A y B y E está entre C y B; ¿Cuántas semirrectas determinan?
Identifíquelas.
14. Dados A, B, C puntos distintos. Cuántos segmentos determinan, en los siguientes casos:
14.1
Si son colineales
14.2
Si no lo son.
15. Sean A, B puntos distintos. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si son
verdaderas o falsas, justificando su respuesta.
____
____
15.1
AB  BA
15.3
15.2
AB  BA
15.4 AB  AB
AB  BA
____
____
15.5 AB  BA
____
15.6 AB  AB
16. Si A, B, C, D son puntos distintos, determinar los siguientes conjuntos:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
____
16.5 AB  AB
16.1 AB  AB
____
AB  BA
16.2
AB  AB
16.6
16.3
CD  DC
16.7 CD  DC
16.4
CD  DC
16.8 CD  CD
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
____
17. Si A, B, C, D son puntos distintos tales que
elemento de
AC tiene a B como elemento y a la vez C es
BD .
17.1
Verifique que dichos puntos están alineados.
17.2
Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos:
a) B está entre A y C
b)
A  BC
e) AD  BC  φ
c)
AC  BD
f)
18. Si P y Q son puntos distintos
19. Si
l1
y
l2
d) AC  BD  B ,C
P, Q  l1 , P, Q  l 2
son rectas distintas tales que
AC y DB son opuestos
¿Qué puede afirmarse de
P  l1 , P  l 2 , Q  l1 y Q  l 2 .
l1
y
l2 ?
¿Qué puede
afirmarse acerca de P y Q?

20. Sean M, N puntos distintos. Si AB y el plano

¿qué puede afirmarse de AB y


Π tienen los puntos comunes M y N;
Π?

21. Sean M  AB , N  AB , K  AB . ¿Qué puede afirmarse sobre Π  A, B , K  y Π M , N , K  ?
22. Sean
l1
y
l2
rectas distintas:
l1   1 , l 2   2 , l1  l2  P ,
R  P , R  l 2 , R   1 . ¿Qué puede afirmarse sobre π1 y π2 ?
QP,
Q  l1 , Q   2 ,
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
23. Sea K una figura: A K , B K . Si AB  K entonces puede afirmarse que K es una
figura convexa?
24. ¿Es todo plano una figura convexa? ¿Lo es cualquier semiplano?
M
a
U te
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m ca
er tiv
ci o
al
25. ¿Un ángulo es una figura convexa?
26. Sean:
Π : plano dado
M, N, Q, R puntos distintos y pertenecientes al plano Π .


____

Q  MN , R  MN , RQ MN  
Bajo estas condiciones, cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
26.1 𝑅 ∈ Π𝑀𝑁
⃡ : ~𝑄
26.2 𝑄 ∈ Π⃡𝑀𝑁 : 𝑅
26.3 𝑁 ∈ Π𝑄𝑅
⃡ : ~𝑀
26.4 𝑀𝑄 ∈ Π⃡𝑀𝑁 : ~𝑅
26.5 Π𝑀𝑁
⃡ : 𝑅 ∪ Π𝑀𝑁
⃡ :𝑄 = Π
̅̅̅̅̅ ∩ 𝑅𝑁 = ∅ entonces 𝑄 ∈ Π⃡ : 𝑀
26.6 Si 𝑀𝑄
𝑅𝑁
26.7 MN  RQ  
27. Sean: A, B puntos distintos; l una recta.
Demostrar: l  AB si y sólo si A, B  l .
28. Sean: A, B, C puntos distintos.
Demostrar: Si
C  AB
entonces CA  AB y
CB  AB .
29. Sean: A, B, O puntos distintos.
Demostrar: Si B  OA entonces OB  OA .
Sugerencia: Emplee el Método de reducción al absurdo.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.5 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N°1
Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de incidencia.
Si 𝐴 es un punto perteneciente al espacio, entonces, existen al menos 4 puntos
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
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ci o
al
distintos pertenecientes al espacio.
Demostración
1. Supongamos: 𝐴 pertenece al espacio.
Hipótesis auxiliar.
2. Por 𝐴 pasa al menos una recta  .
De 1 por Axioma I.1(2)
3. En la recta  hay al menos otro
De 2 por Axioma I.2
punto 𝐵 , siendo 𝐵 ≠ 𝐴.
4. Existe al menos un punto𝐶
De 2 por Axioma I.3
en el espacio y 𝐶𝜀 
5. 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶 y no colineales
De 3 y 4.
6. Existe 𝜋𝐴,𝐵,𝐶
De 5 por Axioma I.4
7. Existe al menos un punto 𝐷
De 6 por Axioma I.8
en el espacio, 𝐷𝜀𝜋𝐴,𝐵,𝐶
8. 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶 ≠ 𝐷
De 5, 6 y 7
9. Si 𝐴 es un punto perteneciente al espacio, entonces, existen al menos 4 puntos distintos
pertenecientes al espacio. ¿Por qué?
Ilustración N°2
Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de orden.
Si 𝐴 y𝐵 son puntos distintos, entonces, entre𝐴 y 𝐵 existen infinitos puntos.
Demostración
1. Supongamos: 𝐴y 𝐵 son puntos distintos.
Hipótesis auxiliar.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.
Existe al menos un punto 𝑘
De 1 por Axioma II.2
⃡ , tal que 𝑘 está entre
𝑘 ∈ 𝐴𝐵
𝐴y𝐵.
3.
Existe al menos un punto 𝑋1 ,
De 2 por Axioma II.2 y Axioma II.1
⃡ tal que𝑋1 está entre
𝑋1 ∈ 𝐴𝐵
𝐴y𝑘.
𝑋1 está entre 𝐴 y 𝐵.
De 2 y 3 por Axioma II.5
5.
Existe al menos un punto𝑋2 ,
De 2 por Axioma II.2 y Axioma II.1
M
a
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m ca
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ci o
al
4.
𝑋2 ∈ ⃡𝐴𝐵 tal que 𝑋2 está entre
𝑘 y 𝐵.
6.
𝑋2 está entre Ay 𝐵.
De 2 y 5 por Axioma II.5
7.
𝑋1 , 𝑋2 y 𝑘 son puntos distintos
De 2, 4 y 6. 3 y 5.
que están entre Ay 𝐵.
8.
Continuando un proceso análogo al utilizado para probar que se tienen al
menos3 puntos distintos, entre Ay 𝐵; se puede probar “encajando” puntos
entre Ay 𝐵 ,
que existen infinitos puntos mediante un procedimiento
inductivo.
9. Si A y 𝐵 son puntos distintos, entonces, entre Ay 𝐵 existen infinitos puntos.
Método
dcto.
Ilustración N°3
Demuestre la siguiente proposición.
Si ̅̅̅̅
𝐴𝐵 es no nulo, entonces, ̅̅̅̅̅
𝐴𝐵 tiene infinitos puntos. La demostración es inmediata
aplicando la proposición demostrada en la ilustración 2.
Ilustración N°4
Demuestre utilizando los axiomas de orden y los axiomas de incidencia necesarios, la
siguiente proposición.
Si  designa una recta, entonces,  tiene infinitos puntos.
Demostración
1. Supongamos:  es una recta.
Hipótesis auxiliar.
2.
De 1 por Axioma I.2
Existen al menos dos puntos
distintos 𝐴 y 𝐵;𝐴 ∈  y𝐵 ∈ 
3.
Determinamos ̅̅̅̅
𝐴𝐵.
Definición de segmento .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.
̅̅̅̅
𝐴𝐵 
¿por qué?
5.
̅̅̅̅
𝐴𝐵tiene infinitos puntos
Proposición de la Ilustración 3.
6.
Existe al menos un punto 𝑊1 tal que
De 2 por Axioma II.3
𝐵 está entre 𝐴 y 𝑊1 .
Determinamos ̅̅̅̅̅̅
𝐵𝑊1
Definición de segmentos.
8.
̅̅̅̅̅̅
𝐵𝑊1 tiene infinitos puntos
¿por qué?
9.
̅̅̅̅̅
𝐴𝑊 𝑡iene infinitos puntos
¿por qué?
10.
Existe al menos un punto 𝑍1 tal que
De 2 por Axioma II.3
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
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ci o
al
7.
𝐴 está entre 𝑍1 y 𝐵
11.
Determinamos ̅̅̅̅̅
𝑍1 𝐴
¿por qué?
12.
̅̅̅̅̅
𝑍1 𝐴 tiene infinitos puntos
¿por qué?
13.
̅̅̅̅̅̅̅
𝑍1 𝑊1 tiene infinitos puntos
¿por qué?
14.
En forma análoga se “amplia” la existencia de puntos laterales en ambos
sentidos de la recta y mediante un proceso inductivo se establece la infinitud
de la recta.
15. Si  designa una recta, entonces, 
Método directo.
tiene infinitos puntos.
Ilustración N°5
Si 𝑇está entre 𝑆 y 𝑊 ¿cuántas semirrectas determinan?. Identifíquelas.
Indiquemos una situación gráfica que describe las condiciones dadas.
Es obvio que 𝑆, 𝑇, W son distintos y colineales.¿por qué?
Con origen en 𝑇 se tienen 𝑇𝑊 y su opuesta𝑇𝑆.
Con origen en 𝑆 se tienen 𝑆𝑇 y su opuesta que podemos definir como{𝑋/ 𝑆 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑦 𝑇}.
Con origen en 𝑊 se tienen 𝑊𝑇 y su opuesta que podemos definir como {𝑋/
𝑊 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑦 𝑇}.
Tenemos en consecuencia seis semirrectas distintas puesto que cada punto perteneciente a la
recta la particiona en dos semirrectas opuestas.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N°6
Si 𝐴 y 𝐵son puntos distintos, determinar y dar una interpretación gráfica de los
siguientes conjuntos:
1. 𝐴𝐵 ∩ 𝐵𝐴
2. 𝐴𝐵 − ̅̅̅̅
𝐴𝐵
3. ̅̅̅̅
𝐴𝐵 − 𝐴𝐵
Para 1.
M
a
U te
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a
no l e
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ci o
al
⃡ , y poniendo toda la
Elaborando una representación gráfica de ambos conjuntos en la 𝐴𝐵
atención en las características de la operación de intersección se tiene:
̅̅̅̅)
𝐴𝐵 ∩ 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛𝑡(𝐴𝐵
Para 2.
En forma análoga al caso anterior pero para la operación diferencia, se tiene:
̅̅̅̅ = {𝑋⁄𝐵 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑦 𝐴}
𝐴𝐵 − 𝐴𝐵
= Semirrecta opuesta a 𝐵𝐴
Para 3.
̅̅̅̅ − 𝐴𝐵 = {𝐴}
𝐴𝐵
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N°7
Sean 𝐴, 𝐵puntos distintos;  una recta.
Demostrar:  = ⃡𝐴𝐵si y solo si{𝐴, 𝐵} 
M
a
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ci o
al
Probemos la implicación de izquierda a derecha, inicialmente.
1. Supongamos:𝐴 y 𝐵puntos distintos;  una recta.
Hipótesis general.
2.
Supongamos:  = ⃡𝐴𝐵
Hipótesis auxiliar.
3.
⃡ única con 𝐴 ∈ ⃡𝐴𝐵
Existe 𝐴𝐵
De 1, Axioma de determinación
y 𝐵 ∈ ⃡𝐴𝐵
de la recta.
𝐴 ∈ y 𝐵 ∈
De 2 y 3 por sustitución en la
4.
igualdad.
5.
{𝐴, 𝐵 } 
De 4 definición relación de
inclusión en conjuntos.
⃡ , entonces, {𝐴, 𝐵 } 
6. Si  = 𝐴𝐵
Método directo.
Se deja al estudiante la prueba de la implicación recíproca.