FIS 120 Paralelo 103 Segundo Semestre 2020 Electricidad y Magnetismo Temario sesión 20 Inducción Electromagnética Corriente y fem inducida Ley de Faraday, ley de Lenz Fem de movimiento Resumen de electromagnetismo Ley de Gauss (en electricidad): Ley de Gauss (en magnetismo): Ley de Ampere (incompleta): Ley de Faraday: 𝐶 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = − 𝐶 𝜙𝐵 = 𝐴𝐶 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑆 𝑆 𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0 𝐵 ∙ 𝑑𝐴 = 0 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑐 𝑑𝜙𝐵 𝑑𝑡 𝐵 ∙ 𝑑𝐴 Experimento de Michael Faraday • Un imán en movimiento induce una corriente en una espira cerrada, sin una batería en el circuito. Si el imán está quieto, no hay corriente. El sentido de circulación de la corriente, depende de la dirección de movimiento del imán. Anécdota de M. Faraday al responder a un político sobre la utilidad del efecto: le aseguró que algún día se cobrará impuesto por ello. Demostración • Un anillo metálico salta al conectarse la corriente en la bobina. • Si la corriente es alterna, el anillo queda suspendido en el aire. • Una bobina de muchas vueltas provista de un núcleo de fierro produce un campo magnético intenso. • Un anillo que conduce corriente experimenta la fuerza magnética que puede lanzarlo o mantenerlo suspendido en el aire. • La corriente en el anillo es producida por el cambio de flujo magnético. • Este cambio se debe a la repentina conexión de una corriente continua o a la circulación de corriente alterna en la bobina. Flujo magnético • Definición del flujo magnético: 𝜙𝐵 = 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑𝐴 El flujo de un campo magnético uniforme sobre una superficie plana, simplemente es: 𝜙𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐵 𝐴 cos 𝜃 • El vector 𝐴 es perpendicular a la superficie plana y su magnitud es igual al área de ella. • El vector 𝑑𝐴 es necesario para aplicar lo anterior a cada sector de una superficie curva. Flujo magnético: 𝜙𝐵 = 𝐵 ∙ 𝑑𝐴 𝑆 • Un anillo se trae desde lejos hasta rodear el imán y luego se aleja hacia el otro lado. • El flujo tiene signo positivo en todo el recorrido del anillo. • Recordar que la mayor magnitud del campo magnético está representada en la mayor proximidad de las líneas de campo. Corriente inducida • Un anillo se trae desde lejos hasta rodear el imán y luego se aleja hacia el otro lado. • Inicialmente la corriente circula en sentido horario y después circula en el sentido contrario. sentido anti-horario sentido horario Inicialmente el flujo sobre el anillo aumenta, llega a su máximo y después disminuye. Fuerza sobre la corriente inducida • Un anillo conductor, o una espira cerrada en el campo magnético de un imán, experimenta una fuerza. En la figura: • Si la corriente en el anillo circula en sentido horario, la fuerza magnética resultante es vertical y hacia arriba. • Para que la corriente en el anillo circule en sentido horario, el campo magnético debe estar aumentando. (Ley de Lenz) Ley de Faraday • Se define la fuerza electromotriz inducida (o fem inducida) según: 𝜀 = 𝐶 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 • Ley de Faraday: 𝜀 = 𝑑 − (𝜙𝐵 ), 𝑑𝑡 𝜙𝐵 = 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑𝐴 • El cambio del flujo magnético sobre un circuito, induce una fuerza electromotriz que permite la circulación de una corriente. • El signo menos en la ley de Faraday especifica la polaridad de la fem, en concordancia con la regla de la mano derecha alrededor del vector 𝑑𝐴. • La polaridad de la fem corresponde a la dirección en que ésta impulsa la corriente. Signo de la fem inducida • El aumento de flujo sobre una espira, produce corriente en un sentido y la disminución de flujo produce corriente en el sentido opuesto. • En este caso, el movimiento relativo entre el imán que produce el campo magnético y la espira que recibe el flujo, determinan este efecto de inducción de una fem. • Si no hay movimiento relativo el efecto no se produce. Ley de Lenz • La ley de Lenz es una forma de obtener la polaridad de una fem inducida y complementa la ley de Faraday. • Puede usarse la ley de Lenz para obtener la polaridad y usarse la ley de Faraday para obtener el valor absoluto de la fem inducida. • De acuerdo a la ley de Lenz, una corriente inducida tiende a producir un efecto que se opone a la causa que la produce. • En la figura, al acercarse el imán, el flujo sobre la espira aumenta, se induce en ella una corriente, la que produce un campo magnético que atenúa el aumento de flujo. • Lo anterior significa que la corriente inducida en la espira produce un campo magnético en sentido opuesto al del imán. Ley de Lenz • La corriente inducida en la espira tiende a producir un efecto que se opone a la causa que la produce. • Notar que la fem inducida genera un efecto de repulsión entre el imán y la espira. • Esto se aprecia en que los polos Norte del imán y la espira están frente a frente. • También es posible verificar que el campo magnético del imán produce una fuerza de repulsión sobre la espira. • Recordar la definición de fem: 𝜀 = 𝑑 inducida: 𝜀 = − (𝜙𝐵 ). 𝑑𝑡 𝐶 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 , y la ley de Faraday para la fem Origen de la fem inducida (Generación de un campo eléctrico) Varilla aislada, conductora, en movimiento en un campo magnético. • Dentro del conductor, por efecto de la fuerza magnética, las cargas de distinto signo se separan. • Las cargas se acumulan en los extremos y generan un campo eléctrico. • Dentro de la varilla se llega al equilibrio de fuerzas y cesa la separación de cargas. • En equilibrio, dentro de la varilla: 𝐸 = −𝑣 × 𝐵 Fem de movimiento (flujo positivo) Circuito eléctrico con una varilla en movimiento en un campo magnético. • La fem de movimiento aparece en un circuito cerrado debido a la variación del flujo magnético. Flujo: 𝜙 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐵 ℓ𝑥 : positivo Vector área: acá se escoge entrando en la figura. Vector campo B: entra en la figura. Así, el sentido horario resulta positivo (RHS). • Fem inducida: 𝜀 = −𝐵ℓ • El signo indica que la fem impulsa la corriente en sentido negativo o anti-horario. • Corriente: 𝐼 = • ℓ apunta en sentido positivo (hacia abajo). Se verifica la ley de Lenz: La corriente inducida produce un campo magnético que sale de la figura. • • • • • 𝜀 𝑅 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −𝐵ℓ𝑣 , Fem: 𝜀 = 𝑣 × 𝐵 ∙ ℓ x Note que el sentido de 𝑨 se escoge a voluntad, lo que determina el significado de los signos. Fem de movimiento (flujo negativo) Se analiza nuevamente el circuito con una varilla en movimiento en un campo magnético. • Flujo: 𝜙 = 𝐵 ∙ 𝐴 = −𝐵 ℓ𝑥 : negativo Vector área: se ha escogido saliendo de la figura. Vector campo B: entra en la figura. Así, el sentido anti-horario resulta positivo (RHS). • Fem inducida: 𝜀 = +𝐵ℓ • El signo indica que la fem impulsa la corriente en sentido positivo o anti-horario. • Corriente: 𝐼 = • ℓ apunta en sentido positivo (hacia arriba). Se verifica la ley de Lenz: La corriente produce un campo magnético que sale de la figura. • • • • 𝜀 𝑅 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = +𝐵ℓ𝑣 , Fem: 𝜀 = 𝑣 × 𝐵 ∙ ℓ x Note que el vector 𝑨 se escoge a voluntad, y eso determina el significado de los signos. Signo del flujo magnético (sobre N espiras) • Flujo magnético: 𝜙 = 𝑁 𝐵 ∙ 𝐴 • La dirección del vector 𝐴 se escoge libremente entre las dos direcciones que son perpendiculares a la superficie plana. 𝜙>0 o 𝜙<0 𝜙=0 Alternador o generador (de corriente alterna) • Si una espira conductora se hacen girar en un campo magnético, entre sus extremos se genera una fem. • Un anillo en cada extremo permite obtener una fem alterna (para encender una luz u otro uso). • Escogiendo 𝐴 como en la figura, y asumiendo que 𝜃 = 0 en 𝑡 = 0. • Flujo: 𝜙 = 𝑁𝐵𝐴 cos 𝜃, con 𝜃 = 𝜔𝑡, fem: 𝜀 = 𝑁𝐵𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡. Alternador: con y sin conmutador • Sin conmutador (terminal a siempre unido al mismo extremo): fem alterna • Con conmutador (terminal a alterna entre los extremos): fem rectificada Alternador y motor de cc (dos usos del conmutador) • Motor de cc: el torque es positivo • Alternador con conmutador: la fem es positiva (rectificada) Disco de Faraday (Un diseño de generador) En un disco metálico giratorio, la fuerza magnética 𝑞𝑣 × 𝐵 permite la circulación de corrientes en el circuito. • Una fem se induce entre el centro y el borde del disco. • Notar que la velocidad 𝑣 depende de la distancia al centro. • Para obtener el valor de la fem se requiere integrar: • 𝑑𝜀 = 𝐸 ∙ 𝑑ℓ = 𝑣 × 𝐵 ∙ 𝑑𝑟 • 𝜀= 𝑅 𝑣𝐵𝑑𝑟 0 = 𝑅 𝜔𝑟𝐵𝑑𝑟 0 1 2 = 𝜔𝐵𝑅2 Corrientes parásitas (Aplicación a frenado magnético) Las corrientes parásitas se inducen en un disco metálico, al aplicarse un campo magnético. El campo magnético se aplica en un sector del disco. La fuerza magnética sobre las corrientes parásitas permiten frenar el disco. Otra aplicación de las corrientes parásitas es un dispositivo detector de metales. Corrientes parásitas (Aplicación en el detector de metales) • • • • Una espira (emisora) con corriente produce un campo magnético que se aplica sobre un objeto. En un objeto metálico se inducen corrientes parásitas. Las corrientes parásitas producen un campo magnético (variable) que induce una corriente en una espira (detectora). Para un objeto sin corrientes parásitas, la espira no detecta corriente. Ejercicios 1. Una espira se mueve con rapidez constante en presencia de un alambre infinito. • Obtener la fem inducida en la espira. 2. Una barra de largo L, resistencia R y masa m desliza sobre rieles inclinados, partiendo del reposo, en presencia de un campo magnético. • Obtener las velocidades: instantánea y final, de la barra. Solución al ejercicio 1. • Una espira se mueve con rapidez constante en presencia de un alambre infinito. • Obtener la fem inducida en la espira. x Solución 𝑑𝜙𝐵 = 𝜇0 𝐼 2𝜋𝑥 𝑏 𝑑𝑥 𝜀=− 𝑑𝜙𝐵 𝑑𝑡 𝜙𝐵 = 𝑟+𝑎 𝜇0 𝐼 𝑟 2𝜋𝑥 𝜀=− 𝜇0 𝐼𝑏 𝑎𝑣 2𝜋 𝑟 𝑟+𝑎 𝑏 𝑑𝑥 = 𝜇0 𝐼𝑏 2𝜋 ln 𝑟+𝑎 𝑟 𝑣= 𝑑𝑟 𝑑𝑡 Enunciado del texto (para el ejercicio 2) • Solución en hojas siguientes Solución al ejercicio del texto (1) • En primer lugar se escoge el vector 𝐴, perpendicular al área del circuito rectangular, formando un ángulo 𝜙 con el campo magnético 𝐵. x • Así, el flujo magnético es: 𝜙𝐵 = 𝐵𝐿𝑥 cos 𝜙, donde 𝐴 = 𝐿𝑥 es el área del rectángulo en que 𝑥 es la longitud del lado inclinado o la coordenada que señala la posición instantánea de la barra. • La fem inducida en el circuito es: 𝜀 = − 𝑑𝜙𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑥 cos 𝜙 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑣𝑥 = es 𝑑𝑡 = −𝐵𝐿 • Puesto que 𝑥 disminuye al descender la varilla, negativa, resultando que la fem es positiva 𝜀 > 0 . • Lo anterior significa que la corriente 𝑖 va a circular en sentido horario, es decir, en la barra va desde a hacia b. Solución al ejercicio del texto (2) 𝜀 𝐵𝐿 𝑣 cos 𝜙 𝑥 • Entonces: 𝑖 = = y la 𝑅 𝑅 fuerza magnética sobre la barra es 𝐹𝐵 = 𝑖𝐿𝐵 en dirección horizontal hacia atrás. 𝑁 • Diagrama de cuerpo libre para la barra en equilibrio, mientras desciende con rapidez constante. 𝜙 𝐹𝐵 𝜙 𝑚𝑔 • La relación de equilibrio de fuerzas a lo largo del plano inclinado es: 𝑚𝑔 sin 𝜙 = 𝐹𝐵 cos 𝜙. • Con las expresiones anteriores para 𝐹𝐵 , 𝑖 y 𝜀 se puede obtener la rapidez 𝑣𝑥 . • Entonces: 𝑚𝑔 sin 𝜙 = 𝐿𝐵 2 𝑅 𝑣𝑥 cos 2 𝜙. despejando se obtiene: Solución al ejercicio del texto (3) • Despejando la rapidez se obtiene: 𝑣𝑥 = 𝑚𝑔𝑅 sin 𝜙 𝐿𝐵 cos 𝜙 2 • La corriente correspondiente a esta rapidez es: 𝑚𝑔 sin 𝜙 𝑖= 𝐿𝐵 cos 𝜙 • Potencia disipada en la resistencia: 𝑚𝑔 sin 𝜙 2 𝑃𝑅 = 𝑖 𝑅 = 𝑅 𝐿𝐵 cos 𝜙 2 • Potencia desarrollada por la gravedad: 𝑃𝑔 = 𝑖 2 𝑅 = 𝑚𝑔 sin 𝜙 𝑣𝑥 𝑚𝑔 sin 𝜙 =𝑅 𝐿𝐵 cos 𝜙 2 Ambas potencias son iguales, la gravedad aporta la energía que se disipa en la resistencia R.
