VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS) NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI” Guía didáctica: Trigonometría Curso de Extensión PARTE E SESIONES 17 - 20 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. MATERIAL EN REVISIÓN Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47 NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI” FACILITADORES CURSO DE EXTENSIÓN MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: TRIGONOMETRÍA 8:30 A.M. – 11:30 A.M. 2:00 P.M. – 5:00 P.M. CONSULTAS SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4 SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007 SESIONES 5 - 8 MODALIDAD: NO PRESENCIAL DURACIÓN: 5 SEMANAS SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007 SESIONES 9 - 13 SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007 SESIONES 14 - 16 SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007 SESIONES 17 - 20 Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Curso Básico de Nivelación en el área de Trigonometría Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos” Unidad Académica: Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Correo electrónico: Datos de Identificación Profesores del área: Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo” Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88 Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo” Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158 2 Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones suplementarios” trigonometrícas de ángulos Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205 Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15……………………… Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas” Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18………………………… Tema 7 “Resolución de triángulos” Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19………………………… Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20………………………… Respuestas a las Autoevaluaciones. Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14 Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46 Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80 Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15…………………………………… Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20…………………………………… Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 4 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Introducción Objetivos Este curso está orientado hacia la capacitación del estudiante para el uso de herramientas básicas de trigonometría. Esta área, como parte de las matemáticas trata del cálculo de los elementos de los triángulos planos y esféricos, siendo las funciones trigonométricas parte fundamental del análisis y del cálculo desempeñando un importante papel tanto en las matemáticas puras, como en las aplicadas. Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas básicas de trigonometría. Objetivos específicos * Tema 1: Preliminares geométricos Formular los conceptos básicos de la trigonometría. Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones * Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo prácticas en su quehacer profesional. rectángulo. El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones Trigonométricas, Trigonométricas, Suma y Diferencia Ecuaciones de Ángulos, Trigonométricas y Identidades Funciones * Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo Emplear las funciones trigonométricas en el círculo. trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de Los Andes. 5 * Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios Resolver problemas aplicados. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. 6 * Tema 5: Suma y diferencia de ángulos Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C. Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL problemas. CURSO: * Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas. Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso. Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse * Tema 7: Resolución de triángulos Resolver problemas de triángulos. en un tiempo determinado. Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se lograrán durante la interacción con cada sesión. Estrategias Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo, Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes diferentes temas que comprende cada sesión. satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta modalidad le permitirá: Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje 1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los comodidad de su domicilio. contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes (críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos 2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. 7 permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada • No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran sesión. al final de la unidad, antes de realizar las mismas. Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el • Es importante consultar a través del correo electrónico autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario [email protected] cualquier duda de los temas expuestos. empleado. Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te sientas preparado para presentar la evaluación final. Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se encuentran las respuestas a las autoevaluaciones. Recomendaciones generales para cursar esta asignatura: • Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión • Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el transcurso de 10 semanas. • Leer pausadamente cada sesión de clase • Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran al final de cada unidad • Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en cada sesión de clases Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas 238 Tema 6/ Sesión 17 Ecuaciones Trigonométricas Una ecuación trigonométrica contiene expresiones trigonométricas; Sesión 17 por ejemplo la igualdad, Objetivos específicos * Formular y aplicar ecuaciones trigonométricas. para todos los valores de x. Por ejemplo, no es verdadera cuando Leer apuntes sesión 17. Realizarlos ejercicios de la sesión 17. Realizar la autoevaluación de la sesión 17. x=0. En efecto, como sen (0)=0 y cos (0)=1 entonces vemos que el lado izquierdo de la ecuación es igual a 1 y no a 0. Por lo tanto, una ecuación trigonométrica difiere de una identidad Recursos * * es un ejemplo de una ecuación trigonométrica. Podemos observar que esta ecuación no es una identidad ya que no es verdadera Actividades * * * 2 cos2x – sen2x -1 = 0 en que nos es verdadera para todos los valores del ángulo Apuntes sesión 17. Ejercicios sesión 17. desconocido que se tratan. Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los valores del ángulo desconocido que satisfacen a la ecuación dada; recordemos que estos valores también pueden ser números reales. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas 1. ¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica? No hay ningún método general para resolver dichas ecuaciones que se pueda seguir en todos los casos; pero se pueden seguir los pasos presentados a continuación para tratar de encontrar una 239 Tema 6/ Sesión 17 Ejemplo 17.1 Resolver la ecuación cos2x cosecx + cosecx + cotagx = 0 con x∈ [0 , 2π ] solución. Solución: 1.1. Primer paso: expresar todas las funciones trigonométricas que entran en la ecuación, en términos de funciones de un mismo ángulo, aprovechando las identidades conocidas. 1.2. Segundo paso: expresar todas las funciones en términos de la Primer paso: como cos2x = cos2x – sen2x, obtenemos sustituyendo en la ecuación dada, (cos2x – sen2x) cosecx + cosecx + cotagx = 0 (6.2.1) misma función. 1.3. Tercer paso: resolver algebraicamente considerando como incógnita la única función que entra ahora en la ecuación. Segundo paso: como cosecx = 1 senx y cotagx = cosx , senx sustituyendo en la ecuación anterior 6.2.1 resulta, Los números ó valores de los ángulos obtenidos en tales casos, que cos 2 x − sen 2 x 1 cosx + + =0 senx senx senx no satisfacen la ecuación dada, deben ser descartados. También hay que ser cuidadoso para no perder ninguna raíz al extraer raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación, o al dividirlos por un factor. Y por lo tanto, efectuando la suma, y con la igualdad acero se obtiene: cos2x – sen2x +1 + cosx = 0 Como sen2x = 1 – cos2x, sustituyendo tenemos que: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas cosx = − cos2x - 1 + cos2x +1 + cosx = 0 2cos2x + cosx = 0 (6.2.2) 240 Tema 6/ Sesión 17 1 2π 4π son x= (ó 120º) y x= (ó 240º) 2 3 3 En conclusión, las soluciones de la ecuación dada son: Hasta aquí se ha logrado llevar la ecuación en términos de una x1= misma función (cosx). 2 x2= 3π 2 x3= 2π 3 x4= 4π 3 Tercer paso: para resolver la ecuación 6.2.2 se puede observar que factorizando la expresión (extrayendo como factor común la π función cosx), se llega a, cosx (2cosx +1) = 0 Ejemplo 17.2 de donde se obtiene que: cosx =0 o bien 2cosx + 1 = 0 cosx = − 1 2 Resolver la ecuación senθ tagθ = senθ Solución: Para resolver el problema no indican el cuadrante en el cual hay En el intervalo [0 , 2π ] se tiene que: a) Las soluciones de la ecuación cosx = 0 son x= π 2 (ó 90º) y x= 3π (ó 270º). 2 b) Las soluciones de la ecuación que encontrar las soluciones de θ, luego hay que encontrarlas todas. Las siguientes ecuaciones son equivalentes a la que se quiere resolver: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas senθ tagθ – senθ = 0 senθ (tagθ – 1) = 0 Tema 6/ Sesión 17 En el intervalo (0, π), la única solución de la ecuación 6.2.5 es: θ = (6.2.3) π/4; por tanto, cada valor de θ que satisface la ecuación tiene la forma: θ= La ecuación 6.2.3 es igual a cero si cada factor del lado izquierdo se π 4 + nπ donde n es un número entero. anula, de la siguiente manera: senθ = 0 241 (6.2.4) En conclusión, las soluciones de la ecuación dada son todos los valores de θ que tienen la forma: tagθ – 1 = 0 o bien, tagθ = 1 (6.2.5) nπ ó a) Las soluciones de la ecuación 6.2.4, senθ = 0, son: π 4 + nπ en donde n es cualquier número entero. Es decir, θ = 0, ± π , ± 2π , ± 3π ,..... Algunas soluciones particulares son: θ = nπ, en donde n es cualquier número entero. 0, ± π , b) Las soluciones de la ecuación 6.2.5, tagθ = 1, se encuentran de la siguiente forma: ± 2π , ± 3π , π 5π 4 , 4 , − 3π 7π y 4 4 Note que es incorrecto dividir la ecuación 6.2.3 entre senθ, ya que no se encontrarían las soluciones de senθ=0. La función tagθ es π periódica, basta encontrar las soluciones en el intervalo (0, π), y una vez que estas son conocidas, se determinan las otras soluciones de θ sumándole múltiplos de π. Ejemplo 17.3 Al resolver la ecuación 2sen2t – cost -1 = 0, con soluciones son: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 0 ≤ t ≤ 2π , las Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas a) b) π 3 ,π , 5π 3 c) π π 2π π π , , 2π 6 4 y d) 0, π , 2π , , 4 2 3 242 Tema 6/ Sesión 17 cost = -1 (6.2.8) a) Las soluciones de cost = ½ se encuentran en el 1er y IV cuadrante, donde la función coseno es positiva; luego, los ángulos cuyo coseno tienen valor de ½ son: Solución: t= En este ejemplo se indica el intervalo de solución para t (que debe π 3 (ó 60º) y t= 5π (ó 300º) 3 b) La solución para la ecuación 6.2.8, cost = -1 es: t = π (ó 180º) estar en los 4 cuadrantes). Luego, con el objeto de obtener una ecuación que contenga sólo funciones cost, factorizamos la Luego, la respuesta es la selección a) donde las soluciones de la ecuación dada de la siguiente manera: ecuación dada son: 2(1-cos2t) – cost -1 = 0 π 3 ,π y 5π 3 2 – 2cos2t – cost -1 = 0 -2cos2t – cost +1 = 0 2cos2t (Ecuación de 2do. grado en cost) + cost +1 = 0 Ejemplo 17.4 (cambio de signo) (2cost – 1)(cost + 1) = 0 (factorización) (6.2.6) Luego, las soluciones de la ecuación 6.2.6 se obtienen cuando: 2cost – 1 = 0 y cost + 1 = 0 Resolver la ecuación 2sen2y + 3 cosy + 1 = 0, con y en el II cuadrante Solución: Colocamos la ecuación dada en función del cos y utilizando la o equivalentemente, cost = ½ (6.2.7) identidad sen2y = 1 – cos2y, obteniéndose que: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas 3 cosy + 1 = 0 2(1 – cos2y) + 2cos2y - 3 cosy - 3 = 0 y= (6.2.9) 243 Tema 6/ Sesión 17 5π (ó 150º) 6 y y= 7π (ó 210º), 6 que están en los cuadrantes donde la función coseno es negativa. La ecuación 6.2.9 es de 2do grado en cosy; en efecto, si hacemos el Luego, la solución única en el segundo cuadrante es: cambio u=cos y obtenemos: u2 - 3 u+1=0 y= 5π 6 ó y = 150º La cual al resolverla produce los valores siguientes: Ejemplo 17.5 − b ± b 2 − 4ac u= , con u=1, b=- 3 y c=1 2a u= 3 y Obtener las soluciones de la ecuación cosec42u – 4 = 0, con <u<π/2 Solución: 3 u=2 Podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación, con lo cual o bien, obtenemos: cos y = 3 y cos y = - 3 2 a) Ningún valor de y satisface la igualdad cos y = valor del coseno no puede exceder a 1. b) De la igualdad cosy = - 3 , se tienen las soluciones: 2 (cosec22u)2 – 22 = 0 (cosec22u – 2)(cosec22u + 2) = 0 3 , ya que el de donde, y cosec22u – 2 = 0 ⇒ cosec22u = 2 (6.2.10) cosec22u + 2 = 0 ⇒ cosec22u = -2 (6.2.11) Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas 244 Tema 6/ Sesión 17 a) La ecuación 6.2.11, cosec22u = -2, no tiene soluciones reales. u = 5π 8 y u= 7π 8 (6.2.13) b) La ecuación 6.2.10, cosec22u = 2, tiene las siguientes soluciones: De las soluciones 6.2.12 y 6.2.13 se concluye que en el 1er 2 cosec2u = b1) Cuando cosec2u = 2u = π 2 , las soluciones son: y 4 cosec2u = - 2 y 2u = cuadrante tenemos: u= π 8 (ó 22,5º) y u= 3π (ó 67,5º) 8 3π 4 Dividiendo entre 2 ambos lados de las ecuaciones, se tiene que: u= π y 8 b2) Cuando cosec2u = - 2u = u= 3π 8 (6.2.12) 2 , las soluciones son: 5π 4 y 2u = 7π 4 Dividiendo entre 2 ambos lados de las ecuaciones se tiene que: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas 245 Tema 6/ Sesión 18 Funciones trigonométricas inversas El valor de una función trigonométrica de un ángulo depende del Sesión 18 valor del ángulo, y recíprocamente, el valor del ángulo depende Objetivos específicos * Formular y aplicar las funciones trigonométricas inversas. hallar el valor del ángulo al cual corresponde. Sin embargo, en el segundo caso cuando estamos haciendo la operación “inversa”, el entonces π puede ser igual a π/6, 5π/6, -7 π/6, etc. Esto se debe a Leer apuntes sesión 18. Realizarlos ejercicios de la sesión 18. Realizar la autoevaluación de la sesión 18. que las funciones trigonométricas, como funciones, no son inyectivas ó 1-1 (revisar el breve repaso de funciones en el Apéndice A), y en consecuencia no tienen funciones inversas que puedan determinar estos ángulos de forma única. Sin embargo, al Recursos * * de ese ángulo; si se da el valor del seno de un ángulo, se puede ángulo que se puede hallar no es único, por ejemplo, si sen π=1/2 Actividades * * * del valor de la función. Si se da un ángulo se puede hallar el seno restringir los dominios, por ejemplo limitándose solo a un cuadrante Apuntes sesión 18. Ejercicios sesión 18. en especial, es factible obtener funciones (definidas sobre dominios más reducidos) con el mismo comportamiento de las funciones trigonométricas que sean inyectivas y por tanto tengan funciones trigonométricas inversas o arco funciones. 1. Inversa de la función seno ó arcoseno Si restringimos el dominio de la función seno al intervalo [-π/2, π/2], entonces como se ilustra en la figura 18.1.(a), se obtiene una Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas función creciente que toma todas las imágenes de la función seno una única vez (es inyectiva). 246 Tema 6/ Sesión 18 La gráfica de esta función se aprecia en la figura 18.1 (b) la cual se obtiene reflejando sobre la recta y=x la gráfica de la función seno De esta forma ya podemos definir la función inversa del seno o de la figura 6.3.1 (a). arcoseno cuyo dominio es el intervalo [-1,1] y el rango ó Observación: en la notación sen-1x, el -1 significa “inversa”, no contradominio, el intervalo [-π/2, π/2]. recíproca, es decir, sen-1x ≠ (senx) −1 y Función y = arcsen(x) Inversa de la función seno y Función y = sen(x) restringida π/2 Aquí la recíproca de la función seno (senx) 1 π/2 -π/2 x 1 -1 x −1 = cosecx, que es diferente a la inversa. -π/2 -1 −1 (b) (a) Figura 18.1. Gráfica de la función y=sen(x) restringida al dominio [-π/2, π/2] y su inversa y=arcsenx Cuando se tratan funciones de la forma y=f(x) y su inversa f (x) , las siguientes relaciones de composición entre ellas son válidas: f −1 (f(y) ) = y y f(f -1(x) ) = x (6.3.1) y al aplicarlas a la función seno nos lleva a las siguientes Definición 6.3.1. La función inversa del seno, denotada por sen-1 ó arcoseno (arcsen), se define como: identidades: sen-1(seny) = y y = sen-1x si y solo si seny = x sen(sen-1x) = x ó, − si si π 2 −1 ≤ x ≤ 1 y = arcsenx si y solo si seny = x Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. ≤y≤ π 2 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas Estas ecuaciones también pueden escribirse de la siguiente forma: y = sen-1( arcsen(seny) = y y sen(arcsenx) = x 247 Tema 6/ Sesión 18 2 2 ) si y solo si sen y = 2 2 para − π 2 ≤y≤ π 2 El único valor de y en el intervalo [-π/2, π/2] que satisface la siempre que y y x se restrinjan adecuadamente. ecuación sen y = tanto: Ejemplo 18.1 sen-1( Despajar x de la ecuación y = sen2x Solución: π 2 )= 2 4 Observación: es esencial elegir el valor de y en el intervalo [-π/2, Como sen2x = y, se tiene por la definición de inversa del seno que 2x = arcseny, lo cual implica que: x= 1 arcseny 2 π/2]. Un valor como 3π/4 no es correcto, aún cuando sen(3π/4) = 2 2 Ejemplo 18.3 Determinar arcsen(tag3π/4) Ejemplo 18.2 Calcular sen-1( π 2 2 es y = (ángulo cuyo seno es ). Por lo 2 4 2 2 ) 2 Solución: Como tag(3π/4) = -1 se tiene que; Solución: y = arcsen(tag3π/4) = arcsen(-1) Por la definición 6.3.1 tenemos que: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas y por la definición de inversa: 248 Tema 6/ Sesión 18 Usando las propiedades generales de las funciones inversas seny = -1 (ecuaciones 6.3.1) se obtiene: Luego, como las soluciones de y deben estar en el intervalo [- π /2, cos(cos-1x) = cos(arccosx) = x π /2], se deduce que: cos-1(cosy) = arccos(cosy) = y y= − También se arcofunciones pueden de las π determinar demás −1 ≤ x ≤ 1 para 2 las funciones funciones y 0≤ y ≤π inversas o La gráfica de la función coseno restringida y su inversa cos-1 ó trigonométricas. El arcocoseno se muestran en la figura 18.2., por reflexión de la procedimiento para su obtención consiste en elegir un subconjunto función coseno a través de la recta y=x. adecuado del dominio, de tal forma que la función sea inyectiva y y para poder definir su inversa. y = arccos(x) π y=x y=x 2. Inversa de la función coseno ó arcocoseno Definición 6.3.2. La función inversa del coseno o arcocoseno, donde, − 1 ≤ x ≤ 1 y 0≤ y ≤π si y solo si 0 π/2 π x -1 0 -1 denotada por cos-1 ó arccos, se define como: Y = cos-1x = arccosx π/2 1 x 1 y = cos(x) Función y = cos(x) restringida cosy = x (b) (a) Figura 18.2. Gráfica de la función y=cos(x) restringida al dominio [0,π], y su inversa y=arccos(x) obtenida por reflexión sobre la recta y=x Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas 249 Tema 6/ Sesión 18 3. Inversa de la función tangente ó arcotangente y y=x Definición 6.3.3. La función inversa de la tangente ó arcotangente, y = tag(x) denotada por tag-1 ó arctag, se define como: π/2 y = arctag(x) y = tag-1x = arctagx si y solo si tagy = x π/2 -π/2 x -π/2 donde x es cualquier número real y: − π 2 <y< π 2 Figura 18.3. Gráfica de la función tangente restringida al dominio (-π/2, π/2) y su inversa y = arctag(x) obtenida por reflexión sobre la recta y=x Note que el dominio de la función arco tangente es toda la recta La gráfica de la función tangente y su inversa se puede apreciar en real y el rango ó contradominio es el intervalo (-π/2, π/2). la figura 18.3. Se puede llevar a cabo un procedimiento análogo para la inversa de las otras funciones trigonométricas. No hay una aceptación general acerca de los dominios de las funciones secante, cosecante y cotangente. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas 4. Inversa de las funciones secante cosecante y cotangente Definición 6.3.4. Las funciones inversas de la secante o arco secante, 250 Tema 6/ Sesión 18 Las gráficas de estas funciones se aprecian en las figuras 18.4., 18.5. y 18.6. la inversa de la cosecante o arco cosecante, y la inversa de la cotangente o arco cotangente; denotadas respectivamente por sec-1 o arcsec, cosec-1 o arccosec y cotag-1 o arctag, se definen como: y y y=x y=x π y = secx restringida a. y = sec-1x = arcsecx si y solo si secy = x π/2 1 π π 0 y ∈ [0, ) ∪ ( ,π ] 2 2 donde, x ∈ (−∞ , − 1] ∪ [1, + ∞) y π/2 π x -1 0 1 -1 y = arcsecx b. y = cosec-1x = arccosecx si y solo si donde, x ∈ ( −∞, − 1] ∪ [1, + ∞ ) y c. y = cotag-1x = arccotagx y ∈ [− cosecy = x π si y solo si 2 , 0) ∪ (0, π 2 Figura 18.4. Gráfica de la función secante restringida al dominio ] π π [0, ) ∪ ( ,π ] y su inversa y = arcsecx 2 2 cotagy = x donde x toma el valor de cualquier número real y y ∈ (0,π ) Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. x Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas 251 Tema 6/ Sesión 18 Ejemplo 18.4 y y=x y y=x Hallar las funciones cos α, tag α, sec α, cosec α y cotag α si y = cosecx restringida π/2 α=arcsen 1 −π/2 x π/2 0 -1 0 x 1 -1 2 3 Solución: −π/2 y = arccosecx Por la definición 6.3.1 se tiene que α = arcsen 2 si y solo si 3 Figura 18.5. Gráfica de la función cosecante restringida al dominio [− π π sen α = , 0) ∪ (0, ] , y su inversa la función y = arccosecx 2 2 y y=x Sen α = y y=x π y = cotagx restringida π/2 π Longitud del cateto opuesto Longitud de la hipotenusa Utilizando esta información construimos un triángulo rectángulo π/2 0 2 . Pero, 3 donde se refleja a α como un ángulo agudo; siendo el cateto x x 0 opuesto de longitud 2 unidades y la hipotenusa de longitud 3 (ver figura 18.7.). La longitud del tercer lado (cateto adyacente al y = arccotagx ángulo) la podemos hallar por el Teorema de Pitágoras, para completar la información de las funciones trigonométricas que queremos extraer de la figura. Figura 18.6. Gráfica de la función cotangente restringida al dominio su inversa la función y = arccotagx (0,π ) y Longitud del cateto adyacente que falta Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas AB = AC2 − BC 2 = 3 2 − 2 2 = 5 e) cotagα = Tema 6/ Sesión 18 1 5 = tagα 2 Ejemplo 18.5 C Al calcular el valor de la expresión sen (arctag 3 2 α A 5 Figura 18.7. Triángulo rectángulo De los datos de la figura obtenemos que: 252 a) 5 12 c) 5 13 b) 12 13 d) 13 12 5 ), el resultado es: 12 B Solución: En este ejemplo se esta pidiendo el seno del ángulo cuya tangente a) cosα = cateto adyacente 5 = hipotenusa 3 b) tagα = cateto opuesto 2 = cateto adyacente 5 c) secα = 1 3 = cosα 5 1 3 = d) cosecα = senα 2 es 5/12. Sea x el ángulo buscado, luego por definición se tiene: Arctag ( 5 5 ) = x si y solo si tag(x) = 12 12 Tomando en cuenta esta información construimos el triángulo de la figura 18.8., recordando que tag(x) = Longitud del cateto opuesto/cateto adyacente; y la longitud de la hipotenusa por Teorema de Pitágoras. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas Si definimos, 5 x A 12 B Figura 18.8.(a) Triángulo Longitud e la hipotenusa AC = AB2 + BC 2 = 12 2 + 5 2 = 13 α = arctag(1/2) Entonces, tagα = 1/2 y β = arccos(4/5) y cosβ = 4/5 Por tanto lo que se quiere encontrar es sen(α – β). Como en los ejemplos anteriores, podemos considerar a α y β como los ángulos agudos interiores de dos triángulos rectángulos respectivamente, como se muestra en las figuras 18.8.(a) y 18.8.(b). C y en consecuencia, sen(arctag Tema 6/ Sesión 18 Solución: C 13 Long. del cateto opuesto BC 5 5 ) = sen(x) = = Hipotenusa AC 13 12 5 C 5 1 α A Luego la selección correcta es la c) 5/13 253 3 β 2 (a) B A 4 B (b) Figura 18.8.(b) Triángulos construidos con la información de las funciones tagα= 1/2 y cosβ = 4/5 Ejemplo 18.6 Evaluar sen[arctag(1/2) – arccos(4/5)] Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas De la figura 6.3.8 (a) y (b) obtenemos que: senα = 1 5 , cosα = 2 5 , senβ = Nuevamente, 3 , 5 cosβ = 4 5 254 Tema 6/ Sesión 18 visualizamos a θ en un triángulo rectángulo construido con esta información como se muestra en la figura 18.9., aplicando el teorema de Pitágoras para la hipotenusa AC. Finalmente, C sen(α – β) = senα cosβ – cosα senβ x2 + 9 1 4 2 3 − = 55 55 = 4−6 5 5 = −2 5 5 =− x x tagθ= 3 θ 2 5 25 A B 3 Figura 18.9. Triángulo rectángulo Ejemplo 18.7 De la figura obtenemos que: Calcular x de la ecuación sec[tag-1(x/3)] = 5/3 Solución: Calcularemos primeramente el lado izquierdo de la ecuación dada. Si definimos θ = tag-1(x/3) entonces tagθ = x/3 ; y la ecuación dada cambia a secθ = 5/3. Sec Hipotenusa AC = Cateto adyacente AB Luego, θ x2 + 9 3 Sec θ = 5/3 x2 + 9 5 = 3 3 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. = Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas Tema 6/ Sesión 18 x2 + 9 = 5 x 2 + 9 = 25 x 2 = 16 ⇒ x = ±4 Las soluciones son: x1 = 4 y x2 = -4 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 255 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos Tema 7: Resolución de Triángulos Sesión 19 256 Tema 7/ Sesión 19 Preliminares En el capítulo I se señalaron las partes y clasificación de los Objetivos específicos * Resolver problemas con triángulos rectángulos. Actividades triángulos. Luego, “conocer” un triángulo implica conocer la longitud de sus tres lados, así como la medida angular de cada uno de sus tres ángulos interiores. Ahora bien, para conocer los seis elementos del triángulo (3 lados y 3 ángulos) basta con conocer tres de dichos elementos, siempre y * * * Leer apuntes sesión 19. Realizarlos ejercicios de la sesión 19. Realizar la autoevaluación de la sesión 19. cuando entre los elementos conocidos se incluya al menos uno de los lados del triángulo; los otros elementos se calcularán utilizando las Recursos técnicas vistas en capítulos anteriores (para triángulos rectángulos) y otras que se señalarán en este capítulo como la Ley de los senos y de los cosenos. * * Apuntes sesión 19. Ejercicios sesión 19. En el Capítulo I y II se han calculado los lados y ángulos de triángulos rectángulos, en este capítulo revisaremos la resolución de éstos, y de otros triángulos de características mas complicadas. Definición 7.1.1. El proceso de calcular los elementos restantes de un triángulo conociendo tres de ellos recibe el nombre de resolución de un triángulo. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 257 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos Tema 7/ Sesión 19 Resolución de triángulos rectángulos En los triángulos rectángulos uno de sus ángulos es conocido de antemano (el ángulo recto = 90º), luego, para su resolución es C suficiente conocer dos de sus elementos, a saber: β a. Los catetos. 2 6 cm. b. Un cateto y la hipotenusa. c. Un cateto y un ángulo agudo. d. La hipotenusa y un ángulo agudo. α A 5 cm. B Figura 19.1. Triángulo rectángulo Se debe recordar el Teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos y el teorema 1.3 del capítulo I referente a la suma de los ángulos interiores de un triángulo igual a 180º (π radianes). Solución: Por el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa AB será: Ejemplo 19.1 En el triángulo rectángulo de la figura 19.1., la longitud de los catetos son AB=5 cm. y BC= 2 6 cm. Determine los demás elementos del triángulo AC = AB 2 + BC 2 = 5 2 + (2 6 )2 = AC = 49 =7 cm Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 25 + 24 258 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos Tema 7/ Sesión 19 Ya se tienen todos los lados del triángulo. Para calcular los ángulos recordamos la definición de las funciones trigonométricas en un C triángulo rectángulo, donde: cos α = β Cateto adyacente AB 5 = Hipotenusa AC 7 Luego, por la definición de inversa de la función coseno se tiene: α A 5 α = arccos 7 Y de tablas trigonométricas, B Figura 19.2. Triángulo rectángulo α ≈ 44.4º Solución: Además, α + β + 90º = 180º De donde, β = 180º - 90º - α El área de un triángulo definida en el capítulo I, se presenta como: A= β = 180º -90º - 44.4º = 180º - 134.4 β = 45.6º (Longitud de la base)∗ (Atura del triángulo) 2 A = AB . AC 2 (7.2.1) Luego, necesitamos determinar la base (cateto AB) y la altura Ejemplo 19.2 (cateto AC) del triángulo rectángulo; para ello disponemos de la En el triángulo rectángulo de la figura 19.2., la longitud BC = 10 y el ángulo α = 75º. Determine el área de dicho triángulo. longitud de la hipotenusa BC = 10 y el ángulo adyacente al lado AB, α = 75º. Ver figura 19.3. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos 259 Tema 7/ Sesión 19 C Para calcular cos75º podemos utilizar las identidades y propiedades trigonométricas definidas en el capítulo V, donde: β 10 cos(α+β) = cosα cosβ – senα senβ Luego, 75º A cos 75º = cos(30º + 45º) B cos 75º = cos30º cos45º - sen30º sen45º = Figura 19.3. Triángulo rectángulo a) Cálculo de la base = 3 2 1 2 − 2 2 2 2 6− 2 = 4 2( 3 − 1) 4 Por las definiciones trigonométricas, Y la base del triángulo en la ecuación 7.2.2 será: cos α = Cateto adyacente AB = hipotenusa BC AB = 10. cos 75º = AB 10 2( 3 − 1) 5 2( 3 − 1) = 4 2 b) Cálculo de la altura del triángulo de donde, AB = 10 cos75º (7.2.2) Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos Por el teorema de Pitágoras, AC = 260 Tema 7/ Sesión 19 BC 2 − AB 2 , luego, ⎛ 5 2( 3 − 1) ⎞ ⎟ AC = (10) − ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2 2 = ⎛ 50( 3 − 1)2 100 − ⎜⎜ 4 ⎝ = 100 − 25(3 − 2 3 + 1) 2 = 100 − 25(4 − 2 3 ) = 100 − 25(2 − 3 ) 2 = 50 + 25 3 = 5 2 + 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ c) Finalmente el área de dicho triángulo en la ecuación 7.2.1 es: AB . AC A= = 2 A= 5 2( 3 − 1) .5 2 + 3 2 2 25 2( 3 − 1) 2 + 3 . unidades2 4 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos Tema 7: Resolución de Triángulos Sesión 20 261 Tema 7/ Sesión 20 Ley de los senos y ley de los cosenos Los siguientes resultados dados como teoremas son válidos, se Objetivos específicos * Resolver problemas con triángulos rectángulos. aceptarán y se utilizarán como resultados preliminares. Estos resultados están relacionados con el tema de vectores que no se tratará en este texto; pero cuando se dice “proyección del lado de un triángulo sobre el otro” se esta señalando un producto escalar Actividades * * * de dos vectores donde estos vectores son dos lados consecutivos Leer apuntes sesión 20. Realizarlos ejercicios de la sesión 20. Realizar la autoevaluación de la sesión 20. entre ellos. Definición 7.3.1. Longitud de proyección de un segmento sobre Recursos * * de un triángulo, y este producto involucra el coseno del ángulo otro. Apuntes sesión 20. Ejercicios sesión 20. De la definición de funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo la longitud de proyección de un segmento AB sobre otro segmento AC, y que forman un ángulo de α grados o radianes, viene dada como: AC = AB cos α Análogamente, la longitud de proyección del segmento AB sobre BC se define como: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos 262 Tema 7/ Sesión 20 BC = AB cosβ En la figura 20.1. se señala la proyección trigonométrica del lado AC sobre el lado AB y la proyección del lado AB sobre AC, en un triángulo rectángulo. Teorema 7.3.1. En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la longitud del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, más el doble de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección Si las longitudes de la hipotenusa y los catetos son: AB = a, BC = b y AC = c, entonces, del otro. Teorema 7.3.2. En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la c = a cos α Proyección de AB sobre AC longitud del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el b = a cos β Proyección de AB sobre BC doble del producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección del otro. B En la figura 20.2. se muestra un triángulo oblicuángulo (no tiene ningún ángulo interior recto), con un ángulo obtuso y dos agudos y β las ecuaciones resultado de los teoremas 7.3.1 y 7.3.2. a A b = a cosβ α c = a cosα C Figura 20.1. Los catetos de un triángulo rectángulo definidos como longitudes de proyección de la hipotenusa Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos 263 Tema 7/ Sesión 20 b2 = a2 + c2 + 2a.(proyección de AC sobre AB) (7.3.2) a2 = b2 + c2 – 2b.(proyección de AC sobre BC) (7.3.3) A β a c Observación: si el ángulo α es obtuso, la proyección trigonométrica α C γ b será negativa por lo que el signo – del doble producto cambiaría a B + como lo señala el teorema 7.3.1. En el siguiente teorema se considera este caso. Teorema 7.3.3. Ley de los cosenos Figura 20.2. Triángulo oblicuángulo En la figura 20.2., α y γ son ángulos agudos (menores de 90º) y β es obtuso (mayor de 90º); luego, si las longitudes de los lados del Cualquiera sea el triángulo ABC de longitudes AB, AC y BC, se tiene que: triángulo son: AB2 = AC2 + BC2 – 2 (AB) (BC) cos α Longitud del lado AB → AB = a o, a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α Longitud del lado BC → BC = b Longitud del lado AC → AC = c donde α puede ser un ángulo agudo u obtuso. Demostración: Los teoremas 7.3.1 y 7.3.2 señalan que: Para comprobar la afirmación del teorema 7.3.3 vamos a c2 = a2 + b2 - 2a.(proyección de BC sobre AB) (7.3.1) considerar los dos tipos de ángulos que puede ser α. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos 264 Tema 7/ Sesión 20 Caso i: α es un ángulo agudo (0<α<90º) A Considere el triángulo ABC de la figura 20.3. donde se tiene a α como ángulo agudo y se quiere determinar la longitud del lado AB; a c para ello trazamos la altura AD para lograr la proyección CD en el triángulo rectángulo ADC. α C D b B De acuerdo al teorema 7.3.2 y la ecuación 7.3.3, se tiene que: a2 = b2 + c2 – 2b. (proyección de AC sobre BC) (7.3.4) Pero la longitud de proyección del lado AC sobre BC es el segmente Figura 20.3. Triángulo ABC Caso ii: α es un ángulo obtuso (90º<α<180º) CD, y de la definición 7.3.1 Considere el triángulo ABC de la figura 20.4. donde α es obtuso y se CD = c cos α quiere determinar el lado opuesto AB. Trazamos la altura AD, de manera de construir el triángulo rectángulo ABD. Luego, sustituyendo en la ecuación 7.3.4, a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos A 265 Tema 7/ Sesión 20 Luego, DC = -c cos α a Es decir, c θ D a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α α C b B Note que si α es 90º (ángulo recto), el triángulo es rectángulo y Figura 20.4. Triángulo ABC Nuevamente, por el teorema 7.3.1, y la ecuación 7.3.2: como cos90º=0 lo que resulta es el Teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2. Teorema 7.3.4. Ley de los senos a2 = b2 + c2 + 2b (proyección de AC sobre BC) Cualquiera sea el triángulo ABC se tiene que: Pero la proyección del lado AC sobre BC es el segmento DC, y por la definición de funciones trigonométricas (ecuación 7.3.1) se tiene que: DC = AC cos θ DC = c cos θ Como el ángulo θ es suplementario al ángulo α se sigue que, cos α = -cos θ porque α está en el II cuadrante senα senβ senγ = = BC AC AB ó, senα senβ senγ = = a b c También de la forma: a b c = = senα senβ senγ Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos Siendo α, β y γ, ángulos agudos u obtusos. Demostración: son agudos (la demostración es análoga para ángulos obtusos); y trazamos dos de sus alturas CD y BE. Ver figura 20.5. Tema 7/ Sesión 20 sen α = CD CD = AC c (7.3.5) sen γ = CD CD = BC a (7.3.6) Para comprobar el teorema 7.3.4 vamos a construir un triángulo cualquiera ABC, asumiendo que todos los ángulos internos α, β y γ 266 Despejando CD de las ecuaciones 7.3.5 y 7.3.6 resulta: CD = c sen α C CD = a sen γ E β Igualando nos queda, c sen α = a sen γ a c α A es decir, γ b D B senα senγ = a c (7.3.7) b. Con la altura BE los triángulos BCE y ABE son rectángulos; Figura 20.5. Triángulo ABC realizando un razonamiento análogo al anterior se obtiene que: a. Con la altura CD, los triángulos ACD y BCD son rectángulos cuyas hipotenusas son AC y BC respectivamente; por tanto, por la definición de la función seno en un triángulo rectángulo, sen α = BE BE BE BE = = y sen β = AB b BC a se tiene: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 267 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos Despejando BE de ambas ecuaciones e igualando se llaga a: b sen α = a sen β Tema 7/ Sesión 20 Ejemplo 20.1 Resolver el triángulo ABC de la figura 20.6. si las longitudes de sus lados son AB = 6, AC = 4 y BC = 3 de donde, senα senβ = a b (7.3.8) A β Comparando las ecuaciones 7.3.7 y 7.3.8 observamos que: a=6 c=4 γ α senα senβ senγ = = a b c C b=3 B Figura 20.6. Triángulo ABC Análogamente se obtiene la misma ecuación si el triángulo ABC tiene un ángulo interno obtuso. Solución: Resolver el triángulo dado significa hallar la medida de sus ángulos interiores, pues se conocen las longitudes de sus lados; luego, por la ley de los cosenos se tiene: 1. Resolución de triángulos oblicuángulos a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α Las leyes de los senos y de los cosenos son de gran utilidad en la resolución de triángulos oblicuángulos. A continuación se resolverán Sustituyendo las medidas dadas se llega a: ejemplos que muestran la aplicación de estas leyes. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos 268 Tema 7/ Sesión 20 62 = 32 + 42 – 2.3.4 cosα 36 = 9 + 16 – 24 cosα α + β + γ = 180º 11 Cos α = 24 luego, β = 180º – α – γ β = 180º – 117.28 º – 36.34 º 11 ) α = arccos(24 α ≈ 117.28º β = 26.38º = 26º 23’ Ejemplo 20.2 α ≈ 117º 17’ En el triángulo ABC de la figura 20.7. la longitud de los lados AC y Análogamente, con el ángulo γ: BC son AC = 3 cm. y BC = 5 cm., y forman un ángulo de 120º. Determine la longitud del lado AB c2 = a2 + b2 – 2 a b cosγ A 42 = 62 + 32 – 2.6.3 cosγ 16 = 36 + 9 – 36 cosγ cosγ = β 45 − 16 29 = 36 36 a=? c=3 Luego, 120º 29 γ = arccos 36 C Finalmente, como la suma de los ángulos internos de un triángulo rectángulo es igual a 180º, podemos determinar la medida del b=5 Figura 20.7. Triángulo ABC γ = 36.34º γ = 36º 20’ γ Solución: Por la ley del coseno, AB2 = AC2 + BC2 – 2 AC.BC cos120º ángulo faltante β como sigue: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. B 269 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos β = 180º - 60º - 45º = 75º 1 AB = 3 + 5 – 2(3)(5) (- ) 2 2 2 2 AB2 = 9 + 25 + 15 = 49 ⇒ AB = Tema 7/ Sesión 20 Por la ley de los senos se tiene que: AB 8 AC = = sen60º sen75º sen45º 49 = 7 cm. (7.4.1) De tablas se encuentra que, Ejemplo 20.3 En el triángulo de la figura 20.8., determine el ángulo βy la longitud sen60º = de los lados AC y AB 3 2 y sen45º = 2 2 y sen75º = sen(30º+45º) = sen30º cos45º + cos30º sen45º A = β = 60º C 45º 8 cm. B AB = Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo se tiene que: 2 (1+ 3 ) 4 De la ecuación 7.4.1 obtenemos que: Figura 20.8. Triángulo Solución: 3 2 1 2 + 2 2 2 2 8 sen60º = sen75º ⎛ 3⎞ ⎟ 8 ⎜⎜ ⎟ 2 16 3 ⎝ ⎠ = 2 (1+ 3 ) 2 (1+ 3 ) 4 racionalizando el denominador, se llega a, Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos AB = 270 Tema 7/ Sesión 20 4 2 3 ( 3 − 1)= 4 2 (3 − 3 ) cm y, AC = 8 sen45º = sen75º ⎛ 2⎞ ⎟ 8 ⎜⎜ ⎟ 2 16 ⎝ ⎠ = 8( 3 − 1) cm = 2 (1+ 3 ) (1+ 3 ) 4 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache. Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
