Subido por laureano fernando ortiz bolaños

libro de trigo

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VICERRECTORADO ACADÉMICO
Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
Guía didáctica: Trigonometría
Curso de Extensión
PARTE E
SESIONES 17 - 20
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor
Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.
MATERIAL EN REVISIÓN
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected] Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
FACILITADORES
CURSO DE EXTENSIÓN
MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES
Horario:
TRIGONOMETRÍA
8:30 A.M. – 11:30 A.M.
2:00 P.M. – 5:00 P.M.
CONSULTAS
SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007
SESIONES 1 - 4
SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007
SESIONES 5 - 8
MODALIDAD: NO PRESENCIAL
DURACIÓN: 5 SEMANAS
SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007
SESIONES 9 - 13
SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007
SESIONES 14 - 16
SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007
SESIONES 17 - 20
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected] Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Trigonometría
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Curso Básico de Nivelación en el área de
Trigonometría
Datos de Identificación
Ciclo:
Introductorio
Duración: 10 semanas
Índice
Introducción……………………………………………….. i
Objetivos…………………………………………………… ii
Estrategias………………………………………………….. iv
Contenido Programático ………………………………. vi
Tema 1 “Preliminares geométricos”
Unidad Académica:
Sesión 1: Preliminares geométricos…………1
Problemas propuestos……………………… 10
Autoevaluación 1…………………………..... 11
Correo electrónico:
Datos de Identificación
Profesores del área:
Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15
Problemas propuestos……………………… 24
Autoevaluación 2…………………………..... 27
Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30
Problemas propuestos……………………… 38
Autoevaluación 3…………………………..... 43
Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47
Problemas propuestos……………………… 57
Autoevaluación 4…………………………..... 63
Contenidos desarrollados por:
Prof. Asdrúbal Canache
Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67
Problemas propuestos……………………… 75
Autoevaluación 5…………………………..... 77
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor.
Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache
Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
1
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Trigonometría
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo
rectángulo”
Sesión 6: Funciones trigonométricas en un
triángulo rectángulo………………….……... 81
Problemas propuestos……………………… 85
Autoevaluación 6……………………………. 88
Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”
Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el
Círculo ……………….………………….……... 92
Problemas propuestos……………………… 98
Autoevaluación 7…………………………….101
Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el
Círculo ……………….………………….……..104
Problemas propuestos……………………… 124
Autoevaluación 8…………………………….131
Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el
Círculo ……………….………………….……..134
Problemas propuestos……………………….146
Autoevaluación 9…………………………….149
Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el
Círculo ……………….………………….……..152
Problemas propuestos……………………….158
2
Autoevaluación 10…………………………161
Tema 4 “Funciones
suplementarios”
trigonometrícas
de
ángulos
Sesión 11: Funciones trigonometrícas de
ángulos suplementarios………..………..…165
Problemas propuestos……….……………..171
Autoevaluación 11..…………………..…….174
Sesión 12: Funciones trigonometrícas de
ángulos suplementarios ………………..…178
Problemas propuestos……………………..183
Autoevaluación 12 …………………..…….187
Sesión 13: Funciones trigonometrícas de
ángulos suplementarios ………………..…191
Problemas propuestos……………………..203
Autoevaluación 11 …………………..…….205
Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos”
Sesión
14:
Suma
y
diferencia
de
ángulos…………………………… …………208
Problemas propuestos……………….…… 217
Autoevaluación 14……………………… 218
Sesión
15:
Suma
y
diferencia
de
ángulos…………………………… …………221
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Trigonometría
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Problemas propuestos……………….……
Autoevaluación 15………………………
Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones
trigonométricas y funciones trigonométricas
Inversas”
Sesión
16:
Identidades
trigonométricas,
ecuaciones trigonométricas y funciones
trigonométricas inversas …..…………….. 230
Problemas propuestos ……………….…..
Autoevaluación 16…………………………
Sesión
17:
Identidades
trigonométricas,
ecuaciones trigonométricas y funciones
trigonométricas inversas …..…………….. 238
Problemas propuestos ……………….…..
Autoevaluación 17…………………………
Sesión
18:
Identidades
trigonométricas,
ecuaciones trigonométricas y funciones
trigonométricas inversas …..…………….. 245
Problemas propuestos ……………….…..
Autoevaluación 18…………………………
Tema 7 “Resolución de triángulos”
Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256
Problemas propuestos ……………….…..
Autoevaluaión 19…………………………
Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261
Problemas propuestos ……………….…..
Autoevaluación 20…………………………
Respuestas a las Autoevaluaciones.
Tema 1
Sesión 1……………………………..…………14
Sesión 2……………………………..………...29
Sesión 3……………………………..………...46
Sesión 4……………………………..…………66
Sesión 5…………………………………….....80
Tema 2
Sesión 6…………………………………..…...91
Tema 3
Sesión 7………………………………………103
Sesión 8…………………………………..…..133
Sesión 9……………………………………....151
Sesión 10…………………………………..…164
Tema 4
Sesión 11………………………………..……177
Sesión 12………………………………..……190
Sesión 13………………………………..……207
Tema 5
Sesión 14………………………………..……220
Sesión 15……………………………………
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3
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Trigonometría
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Tema 6
Sesión 16……………………………………
Sesión 17……………………………………
Sesión 18……………………………………
Tema 7
Sesión 19……………………………………
Sesión 20……………………………………
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4
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Trigonometría
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Introducción
Objetivos
Este curso está orientado hacia la capacitación del
estudiante para el uso de herramientas básicas de
trigonometría.
Esta
área,
como
parte
de
las
matemáticas trata del cálculo de los elementos de los
triángulos planos y esféricos, siendo las funciones
trigonométricas parte fundamental del análisis y del
cálculo
desempeñando
un
importante
papel
tanto
en
las
matemáticas puras, como en las aplicadas.
Objetivo general
Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas
básicas de trigonometría.
Objetivos específicos
* Tema 1: Preliminares geométricos
Formular los conceptos básicos de la trigonometría.
Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los
estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de
trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones
* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo
rectángulo
Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo
prácticas en su quehacer profesional.
rectángulo.
El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones
Trigonométricas,
Trigonométricas,
Suma
y
Diferencia
Ecuaciones
de
Ángulos,
Trigonométricas
y
Identidades
Funciones
* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo
Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.
trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes
de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de
Los Andes.
5
* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos
suplementarios
Resolver problemas aplicados.
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Trigonometría
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
6
* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos
Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.
Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de
están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL
problemas.
CURSO:
* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones
trigonométricas y funciones trigonométricas
Inversas
Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.
Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada
tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.
Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser
analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse
* Tema 7: Resolución de triángulos
Resolver problemas de triángulos.
en un tiempo determinado.
Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se
lograrán durante la interacción con cada sesión.
Estrategias
Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,
Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los
voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes
diferentes temas que comprende cada sesión.
satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta
modalidad le permitirá:
Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben
seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje
1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la
de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los
comodidad de su domicilio.
contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes
(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos
2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,
y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te
M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Trigonometría
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
7
permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada
• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran
sesión.
al final de la unidad, antes de realizar las mismas.
Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el
• Es importante consultar a través del correo electrónico
autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario
[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.
empleado.
Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de
finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te
sientas preparado para presentar la evaluación final.
Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se
encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.
Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:
• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión
• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el
transcurso de 10 semanas.
• Leer pausadamente cada sesión de clase
• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y
verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran
al final de cada unidad
• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con
la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en
cada sesión de clases
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Asignatura: Trigonometría
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones
Trigonométricas y Funciones Trigonométricas
Inversas
238
Tema 6/ Sesión 17
Ecuaciones Trigonométricas
Una ecuación trigonométrica contiene expresiones trigonométricas;
Sesión 17
por ejemplo la igualdad,
Objetivos específicos
*
Formular y aplicar ecuaciones trigonométricas.
para todos los valores de x. Por ejemplo, no es verdadera cuando
Leer apuntes sesión 17.
Realizarlos ejercicios de la sesión 17.
Realizar la autoevaluación de la sesión 17.
x=0. En efecto, como sen (0)=0 y cos (0)=1 entonces vemos que el
lado izquierdo de la ecuación es igual a 1 y no a 0.
Por lo tanto, una ecuación trigonométrica difiere de una identidad
Recursos
*
*
es un ejemplo de una ecuación trigonométrica. Podemos observar
que esta ecuación no es una identidad ya que no es verdadera
Actividades
*
*
*
2 cos2x – sen2x -1 = 0
en que nos es verdadera para todos los valores del ángulo
Apuntes sesión 17.
Ejercicios sesión 17.
desconocido que se tratan.
Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los
valores del ángulo desconocido que satisfacen a la ecuación
dada; recordemos que estos valores también pueden ser números
reales.
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Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Trigonometría
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
1. ¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica?
No hay ningún método general para resolver dichas ecuaciones
que se pueda seguir en todos los casos; pero se pueden seguir los
pasos presentados a continuación para tratar de encontrar una
239
Tema 6/ Sesión 17
Ejemplo 17.1
Resolver la ecuación cos2x cosecx + cosecx + cotagx = 0 con
x∈
[0 , 2π ]
solución.
Solución:
1.1. Primer paso: expresar todas las funciones trigonométricas que
entran en la ecuación, en términos de funciones de un mismo
ángulo, aprovechando las identidades conocidas.
1.2. Segundo paso: expresar todas las funciones en términos de la
Primer paso: como cos2x = cos2x – sen2x, obtenemos sustituyendo
en la ecuación dada,
(cos2x – sen2x) cosecx + cosecx + cotagx = 0
(6.2.1)
misma función.
1.3. Tercer paso: resolver algebraicamente considerando como
incógnita la única función que entra ahora en la ecuación.
Segundo paso: como cosecx =
1
senx
y
cotagx =
cosx
,
senx
sustituyendo en la ecuación anterior 6.2.1 resulta,
Los números ó valores de los ángulos obtenidos en tales casos, que
cos 2 x − sen 2 x
1
cosx
+
+
=0
senx
senx senx
no satisfacen la ecuación dada, deben ser descartados. También
hay que ser cuidadoso para no perder ninguna raíz al extraer raíz
cuadrada a ambos miembros de la ecuación, o al dividirlos por un
factor.
Y por lo tanto, efectuando la suma, y con la igualdad acero se
obtiene:
cos2x – sen2x +1 + cosx = 0
Como sen2x = 1 – cos2x, sustituyendo tenemos que:
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Asignatura: Trigonometría
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
cosx = −
cos2x - 1 + cos2x +1 + cosx = 0
2cos2x + cosx = 0
(6.2.2)
240
Tema 6/ Sesión 17
1
2π
4π
son x=
(ó 120º) y x=
(ó 240º)
2
3
3
En conclusión, las soluciones de la ecuación dada son:
Hasta aquí se ha logrado llevar la ecuación en términos de una
x1=
misma función (cosx).
2
x2=
3π
2
x3=
2π
3
x4=
4π
3
Tercer paso: para resolver la ecuación 6.2.2 se puede observar que
factorizando la expresión (extrayendo como factor común la
π
función cosx), se llega a,
cosx (2cosx +1) = 0
Ejemplo 17.2
de donde se obtiene que:
cosx =0 o bien
2cosx + 1 = 0
cosx = −
1
2
Resolver la ecuación senθ tagθ = senθ
Solución:
Para resolver el problema no indican el cuadrante en el cual hay
En el intervalo
[0 , 2π ] se tiene que:
a) Las soluciones de la ecuación
cosx = 0 son x=
π
2
(ó 90º) y x=
3π
(ó 270º).
2
b) Las soluciones de la ecuación
que encontrar las soluciones de θ, luego hay que encontrarlas
todas.
Las siguientes ecuaciones son equivalentes a la que se quiere
resolver:
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Asignatura: Trigonometría
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
senθ tagθ – senθ = 0
senθ (tagθ – 1) = 0
Tema 6/ Sesión 17
En el intervalo (0, π), la única solución de la ecuación 6.2.5 es: θ =
(6.2.3)
π/4; por tanto, cada valor de θ que satisface la ecuación tiene la
forma:
θ=
La ecuación 6.2.3 es igual a cero si cada factor del lado izquierdo se
π
4
+ nπ
donde n es un número entero.
anula, de la siguiente manera:
senθ = 0
241
(6.2.4)
En conclusión, las soluciones de la ecuación dada son todos los
valores de θ que tienen la forma:
tagθ – 1 = 0 o bien, tagθ = 1
(6.2.5)
nπ ó
a) Las soluciones de la ecuación 6.2.4, senθ = 0, son:
π
4
+ nπ
en donde n es cualquier número entero.
Es decir,
θ = 0, ± π , ± 2π , ± 3π ,.....
Algunas soluciones particulares son:
θ = nπ, en donde n es cualquier número entero.
0, ± π ,
b) Las soluciones de la ecuación 6.2.5, tagθ = 1, se encuentran de la
siguiente forma:
± 2π , ± 3π ,
π 5π
4
,
4
,
−
3π 7π
y
4
4
Note que es incorrecto dividir la ecuación 6.2.3 entre senθ, ya que
no se encontrarían las soluciones de senθ=0.
La función tagθ es π periódica, basta encontrar las soluciones en el
intervalo (0, π), y una vez que estas son conocidas, se determinan las
otras soluciones de θ sumándole múltiplos de π.
Ejemplo 17.3
Al resolver la ecuación 2sen2t – cost -1 = 0, con
soluciones son:
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0 ≤ t ≤ 2π , las
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Asignatura: Trigonometría
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
a)
b)
π
3
,π ,
5π
3
c)
π π 2π
π π
, , 2π
6 4
y
d) 0, π , 2π
, ,
4 2 3
242
Tema 6/ Sesión 17
cost = -1
(6.2.8)
a) Las soluciones de cost = ½ se encuentran en el 1er y IV
cuadrante, donde la función coseno es positiva; luego, los
ángulos cuyo coseno tienen valor de ½ son:
Solución:
t=
En este ejemplo se indica el intervalo de solución para t (que debe
π
3
(ó 60º)
y
t=
5π
(ó 300º)
3
b) La solución para la ecuación 6.2.8, cost = -1 es:
t = π (ó 180º)
estar en los 4 cuadrantes). Luego, con el objeto de obtener una
ecuación que contenga sólo funciones cost, factorizamos la
Luego, la respuesta es la selección a) donde las soluciones de la
ecuación dada de la siguiente manera:
ecuación dada son:
2(1-cos2t) – cost -1 = 0
π
3
,π y
5π
3
2 – 2cos2t – cost -1 = 0
-2cos2t – cost +1 = 0
2cos2t
(Ecuación de 2do. grado en cost)
+ cost +1 = 0
Ejemplo 17.4
(cambio de signo)
(2cost – 1)(cost + 1) = 0
(factorización)
(6.2.6)
Luego, las soluciones de la ecuación 6.2.6 se obtienen cuando:
2cost – 1 = 0
y
cost + 1 = 0
Resolver la ecuación 2sen2y +
3 cosy + 1 = 0, con y en el II
cuadrante
Solución:
Colocamos la ecuación dada en función del cos y utilizando la
o equivalentemente,
cost = ½
(6.2.7)
identidad sen2y = 1 – cos2y, obteniéndose que:
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Asignatura: Trigonometría
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
3 cosy + 1 = 0
2(1 – cos2y) +
2cos2y
-
3 cosy - 3 = 0
y=
(6.2.9)
243
Tema 6/ Sesión 17
5π
(ó 150º)
6
y
y=
7π
(ó 210º),
6
que están en los cuadrantes donde la función coseno es negativa.
La ecuación 6.2.9 es de 2do grado en cosy; en efecto, si hacemos el
Luego, la solución única en el segundo cuadrante es:
cambio u=cos y obtenemos:
u2 -
3 u+1=0
y=
5π
6
ó
y = 150º
La cual al resolverla produce los valores siguientes:
Ejemplo 17.5
− b ± b 2 − 4ac
u=
, con u=1, b=- 3 y c=1
2a
u=
3
y
Obtener las soluciones de la ecuación cosec42u – 4 = 0, con <u<π/2
Solución:
3
u=2
Podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación, con lo cual
o bien,
obtenemos:
cos y =
3
y
cos y = -
3
2
a) Ningún valor de y satisface la igualdad cos y =
valor del coseno no puede exceder a 1.
b) De la igualdad cosy = -
3
, se tienen las soluciones:
2
(cosec22u)2 – 22 = 0
(cosec22u – 2)(cosec22u + 2) = 0
3 , ya que el
de donde,
y
cosec22u – 2 = 0
⇒
cosec22u = 2
(6.2.10)
cosec22u + 2 = 0
⇒
cosec22u = -2
(6.2.11)
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Asignatura: Trigonometría
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
244
Tema 6/ Sesión 17
a) La ecuación 6.2.11, cosec22u = -2, no tiene soluciones reales.
u =
5π
8
y
u=
7π
8
(6.2.13)
b) La ecuación 6.2.10, cosec22u = 2, tiene las siguientes soluciones:
De las soluciones 6.2.12 y 6.2.13 se concluye que en el 1er
2
cosec2u =
b1) Cuando cosec2u =
2u =
π
2 , las soluciones son:
y
4
cosec2u = - 2
y
2u =
cuadrante tenemos:
u=
π
8
(ó 22,5º)
y
u=
3π
(ó 67,5º)
8
3π
4
Dividiendo entre 2 ambos lados de las ecuaciones, se tiene que:
u=
π
y
8
b2) Cuando cosec2u = -
2u =
u=
3π
8
(6.2.12)
2 , las soluciones son:
5π
4
y
2u =
7π
4
Dividiendo entre 2 ambos lados de las ecuaciones se tiene que:
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Asignatura: Trigonometría
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones
Trigonométricas y Funciones Trigonométricas
Inversas
245
Tema 6/ Sesión 18
Funciones trigonométricas inversas
El valor de una función trigonométrica de un ángulo depende del
Sesión 18
valor del ángulo, y recíprocamente, el valor del ángulo depende
Objetivos específicos
*
Formular y aplicar las funciones trigonométricas
inversas.
hallar el valor del ángulo al cual corresponde. Sin embargo, en el
segundo caso cuando estamos haciendo la operación “inversa”, el
entonces π puede ser igual a π/6, 5π/6, -7 π/6, etc. Esto se debe a
Leer apuntes sesión 18.
Realizarlos ejercicios de la sesión 18.
Realizar la autoevaluación de la sesión 18.
que las funciones trigonométricas, como funciones, no son
inyectivas ó 1-1 (revisar el breve repaso de funciones en el
Apéndice A), y en consecuencia no tienen funciones inversas que
puedan determinar estos ángulos de forma única. Sin embargo, al
Recursos
*
*
de ese ángulo; si se da el valor del seno de un ángulo, se puede
ángulo que se puede hallar no es único, por ejemplo, si sen π=1/2
Actividades
*
*
*
del valor de la función. Si se da un ángulo se puede hallar el seno
restringir los dominios, por ejemplo limitándose solo a un cuadrante
Apuntes sesión 18.
Ejercicios sesión 18.
en especial, es factible obtener funciones (definidas sobre dominios
más reducidos) con el mismo comportamiento de las funciones
trigonométricas que sean inyectivas y por tanto tengan funciones
trigonométricas inversas o arco funciones.
1. Inversa de la función seno ó arcoseno
Si restringimos el dominio de la función seno al intervalo [-π/2, π/2],
entonces como se ilustra en la figura 18.1.(a), se obtiene una
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Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
función creciente que toma todas las imágenes de la función seno
una única vez (es inyectiva).
246
Tema 6/ Sesión 18
La gráfica de esta función se aprecia en la figura 18.1 (b) la cual se
obtiene reflejando sobre la recta y=x la gráfica de la función seno
De esta forma ya podemos definir la función inversa del seno o
de la figura 6.3.1 (a).
arcoseno cuyo dominio es el intervalo [-1,1] y el rango ó
Observación: en la notación sen-1x, el -1 significa “inversa”, no
contradominio, el intervalo [-π/2, π/2].
recíproca, es decir,
sen-1x ≠ (senx)
−1
y
Función y = arcsen(x)
Inversa de la función seno
y
Función y = sen(x)
restringida
π/2
Aquí la recíproca de la función seno (senx)
1
π/2
-π/2
x
1
-1
x
−1
= cosecx, que es
diferente a la inversa.
-π/2
-1
−1
(b)
(a)
Figura 18.1. Gráfica de la función y=sen(x) restringida al dominio
[-π/2, π/2] y su inversa y=arcsenx
Cuando se tratan funciones de la forma y=f(x) y su inversa f (x) ,
las siguientes relaciones de composición entre ellas son válidas:
f −1 (f(y) ) = y
y
f(f -1(x) ) = x
(6.3.1)
y al aplicarlas a la función seno nos lleva a las siguientes
Definición 6.3.1. La función inversa del seno, denotada por sen-1 ó
arcoseno (arcsen), se define como:
identidades:
sen-1(seny) = y
y = sen-1x si y solo si seny = x
sen(sen-1x) = x
ó,
−
si
si
π
2
−1 ≤ x ≤ 1
y = arcsenx si y solo si seny = x
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≤y≤
π
2
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Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
Estas ecuaciones también pueden escribirse de la siguiente forma:
y = sen-1(
arcsen(seny) = y
y
sen(arcsenx) = x
247
Tema 6/ Sesión 18
2
2
) si y solo si sen y =
2
2
para
−
π
2
≤y≤
π
2
El único valor de y en el intervalo [-π/2, π/2] que satisface la
siempre que y y x se restrinjan adecuadamente.
ecuación sen y =
tanto:
Ejemplo 18.1
sen-1(
Despajar x de la ecuación y = sen2x
Solución:
π
2
)=
2
4
Observación: es esencial elegir el valor de y en el intervalo [-π/2,
Como sen2x = y, se tiene por la definición de inversa del seno que
2x = arcseny, lo cual implica que:
x=
1
arcseny
2
π/2]. Un valor como 3π/4 no es correcto, aún cuando sen(3π/4) =
2
2
Ejemplo 18.3
Determinar arcsen(tag3π/4)
Ejemplo 18.2
Calcular sen-1(
π
2
2
es y =
(ángulo cuyo seno es
). Por lo
2
4
2
2
)
2
Solución:
Como tag(3π/4) = -1 se tiene que;
Solución:
y = arcsen(tag3π/4) = arcsen(-1)
Por la definición 6.3.1 tenemos que:
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Trigonométricas Inversas
y por la definición de inversa:
248
Tema 6/ Sesión 18
Usando las propiedades generales de las funciones inversas
seny = -1
(ecuaciones 6.3.1) se obtiene:
Luego, como las soluciones de y deben estar en el intervalo [- π /2,
cos(cos-1x) = cos(arccosx) = x
π /2], se deduce que:
cos-1(cosy) = arccos(cosy) = y
y= −
También
se
arcofunciones
pueden
de
las
π
determinar
demás
−1 ≤ x ≤ 1
para
2
las
funciones
funciones
y
0≤ y ≤π
inversas
o
La gráfica de la función coseno restringida y su inversa cos-1 ó
trigonométricas.
El
arcocoseno se muestran en la figura 18.2., por reflexión de la
procedimiento para su obtención consiste en elegir un subconjunto
función coseno a través de la recta y=x.
adecuado del dominio, de tal forma que la función sea inyectiva
y
y
para poder definir su inversa.
y = arccos(x)
π
y=x
y=x
2. Inversa de la función coseno ó arcocoseno
Definición 6.3.2. La función inversa del coseno o arcocoseno,
donde, − 1 ≤ x ≤ 1
y
0≤ y ≤π
si y solo si
0
π/2
π
x
-1
0
-1
denotada por cos-1 ó arccos, se define como:
Y = cos-1x = arccosx
π/2
1
x
1
y = cos(x)
Función y = cos(x)
restringida
cosy = x
(b)
(a)
Figura 18.2. Gráfica de la función y=cos(x) restringida al dominio [0,π], y su
inversa y=arccos(x) obtenida por reflexión sobre la recta y=x
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Trigonométricas Inversas
249
Tema 6/ Sesión 18
3. Inversa de la función tangente ó arcotangente
y
y=x
Definición 6.3.3. La función inversa de la tangente ó arcotangente,
y = tag(x)
denotada por tag-1 ó arctag, se define como:
π/2
y = arctag(x)
y = tag-1x = arctagx si y solo si
tagy = x
π/2
-π/2
x
-π/2
donde x es cualquier número real y:
−
π
2
<y<
π
2
Figura 18.3. Gráfica de la función tangente restringida al dominio
(-π/2, π/2) y su inversa y = arctag(x) obtenida por reflexión sobre la recta
y=x
Note que el dominio de la función arco tangente es toda la recta
La gráfica de la función tangente y su inversa se puede apreciar en
real y el rango ó contradominio es el intervalo (-π/2, π/2).
la figura 18.3.
Se puede llevar a cabo un procedimiento análogo para la inversa
de las otras funciones trigonométricas. No hay una aceptación
general acerca de los dominios de las funciones secante,
cosecante y cotangente.
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Trigonométricas Inversas
4. Inversa de las funciones secante cosecante y cotangente
Definición 6.3.4. Las funciones inversas de la secante o arco secante,
250
Tema 6/ Sesión 18
Las gráficas de estas funciones se aprecian en las figuras 18.4., 18.5.
y 18.6.
la inversa de la cosecante o arco cosecante, y la inversa de la
cotangente o arco cotangente; denotadas respectivamente por
sec-1 o arcsec, cosec-1 o arccosec y cotag-1 o arctag, se definen
como:
y
y
y=x
y=x
π
y = secx
restringida
a. y = sec-1x = arcsecx
si y solo si
secy = x
π/2
1
π
π
0
y ∈ [0, ) ∪ ( ,π ]
2
2
donde, x ∈ (−∞ , − 1] ∪ [1, + ∞) y
π/2
π
x
-1
0
1
-1
y = arcsecx
b. y = cosec-1x = arccosecx
si y solo si
donde, x ∈ ( −∞, − 1] ∪ [1, + ∞ ) y
c.
y = cotag-1x = arccotagx
y ∈ [−
cosecy = x
π
si y solo si
2
, 0) ∪ (0,
π
2
Figura 18.4. Gráfica de la función secante restringida al dominio
]
π
π
[0, ) ∪ ( ,π ] y su inversa y = arcsecx
2
2
cotagy = x
donde x toma el valor de cualquier número real y y ∈ (0,π )
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x
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Trigonométricas Inversas
251
Tema 6/ Sesión 18
Ejemplo 18.4
y
y=x
y
y=x
Hallar las funciones cos α, tag α, sec α, cosec α y cotag α si
y = cosecx
restringida
π/2
α=arcsen
1
−π/2
x
π/2
0
-1
0
x
1
-1
2
3
Solución:
−π/2
y = arccosecx
Por la definición 6.3.1 se tiene que α = arcsen
2
si y solo si
3
Figura 18.5. Gráfica de la función cosecante restringida al dominio
[−
π
π
sen α =
, 0) ∪ (0, ] , y su inversa la función y = arccosecx
2
2
y
y=x
Sen α =
y
y=x
π
y = cotagx
restringida
π/2
π
Longitud del cateto opuesto
Longitud de la hipotenusa
Utilizando esta información construimos un triángulo rectángulo
π/2
0
2
. Pero,
3
donde se refleja a α como un ángulo agudo; siendo el cateto
x
x
0
opuesto de longitud 2 unidades y la hipotenusa de longitud 3 (ver
figura 18.7.). La longitud del tercer lado (cateto adyacente al
y = arccotagx
ángulo) la podemos hallar por el Teorema de Pitágoras, para
completar la información de las funciones trigonométricas que
queremos extraer de la figura.
Figura 18.6. Gráfica de la función cotangente restringida al dominio
su inversa la función y = arccotagx
(0,π ) y
Longitud del cateto adyacente que falta
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Trigonométricas Inversas
AB =
AC2 − BC 2 = 3 2 − 2 2 = 5
e) cotagα =
Tema 6/ Sesión 18
1
5
=
tagα
2
Ejemplo 18.5
C
Al calcular el valor de la expresión sen (arctag
3
2
α
A
5
Figura 18.7. Triángulo rectángulo
De los datos de la figura obtenemos que:
252
a)
5
12
c)
5
13
b)
12
13
d)
13
12
5
), el resultado es:
12
B
Solución:
En este ejemplo se esta pidiendo el seno del ángulo cuya tangente
a) cosα =
cateto adyacente
5
=
hipotenusa
3
b) tagα =
cateto opuesto
2
=
cateto adyacente
5
c) secα =
1
3
=
cosα
5
1
3
=
d) cosecα =
senα 2
es 5/12. Sea x el ángulo buscado, luego por definición se tiene:
Arctag (
5
5
) = x si y solo si tag(x) =
12
12
Tomando en cuenta esta información construimos el triángulo de la
figura 18.8., recordando que tag(x) = Longitud del cateto
opuesto/cateto adyacente; y la longitud de la hipotenusa por
Teorema de Pitágoras.
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Trigonométricas Inversas
Si definimos,
5
x
A
12
B
Figura 18.8.(a) Triángulo
Longitud e la hipotenusa AC =
AB2 + BC 2 = 12 2 + 5 2 = 13
α = arctag(1/2)
Entonces,
tagα = 1/2
y
β = arccos(4/5)
y
cosβ = 4/5
Por tanto lo que se quiere encontrar es sen(α – β).
Como en los ejemplos anteriores, podemos considerar a α y β como
los ángulos agudos interiores de dos triángulos rectángulos
respectivamente, como se muestra en las figuras 18.8.(a) y 18.8.(b).
C
y en consecuencia,
sen(arctag
Tema 6/ Sesión 18
Solución:
C
13
Long. del cateto opuesto BC
5
5
) = sen(x) =
=
Hipotenusa AC
13
12
5
C
5
1
α
A
Luego la selección correcta es la c) 5/13
253
3
β
2
(a)
B
A
4
B
(b)
Figura 18.8.(b) Triángulos construidos con la información de las funciones
tagα= 1/2 y cosβ = 4/5
Ejemplo 18.6
Evaluar sen[arctag(1/2) – arccos(4/5)]
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Trigonométricas Inversas
De la figura 6.3.8 (a) y (b) obtenemos que:
senα =
1
5
,
cosα =
2
5
,
senβ =
Nuevamente,
3
,
5
cosβ =
4
5
254
Tema 6/ Sesión 18
visualizamos
a
θ
en
un
triángulo
rectángulo
construido con esta información como se muestra en la figura 18.9.,
aplicando el teorema de Pitágoras para la hipotenusa AC.
Finalmente,
C
sen(α – β) = senα cosβ – cosα senβ
x2 + 9
1 4 2 3
−
=
55
55
=
4−6
5 5
=
−2
5 5
=−
x
x
tagθ=
3
θ
2 5
25
A
B
3
Figura 18.9. Triángulo rectángulo
Ejemplo 18.7
De la figura obtenemos que:
Calcular x de la ecuación sec[tag-1(x/3)] = 5/3
Solución:
Calcularemos primeramente el lado izquierdo de la ecuación dada.
Si definimos θ = tag-1(x/3) entonces tagθ = x/3 ; y la ecuación dada
cambia a secθ = 5/3.
Sec
Hipotenusa AC
=
Cateto adyacente AB
Luego,
θ
x2 + 9
3
Sec θ = 5/3
x2 + 9 5
=
3
3
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=
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Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 18
x2 + 9 = 5
x 2 + 9 = 25
x 2 = 16 ⇒ x = ±4
Las soluciones son:
x1 = 4
y
x2 = -4
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Asignatura: Trigonometría
Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7: Resolución de Triángulos
Sesión 19
256
Tema 7/ Sesión 19
Preliminares
En el capítulo I se señalaron las partes y clasificación de los
Objetivos específicos
*
Resolver problemas con triángulos rectángulos.
Actividades
triángulos. Luego, “conocer” un triángulo implica conocer la
longitud de sus tres lados, así como la medida angular de cada uno
de sus tres ángulos interiores.
Ahora bien, para conocer los seis elementos del triángulo (3 lados y
3 ángulos) basta con conocer tres de dichos elementos, siempre y
*
*
*
Leer apuntes sesión 19.
Realizarlos ejercicios de la sesión 19.
Realizar la autoevaluación de la sesión 19.
cuando entre los elementos conocidos se incluya al menos uno de
los lados del triángulo; los otros elementos se calcularán utilizando
las
Recursos
técnicas
vistas
en
capítulos
anteriores
(para
triángulos
rectángulos) y otras que se señalarán en este capítulo como la Ley
de los senos y de los cosenos.
*
*
Apuntes sesión 19.
Ejercicios sesión 19.
En el Capítulo I y II se han calculado los lados y ángulos de
triángulos rectángulos, en este capítulo revisaremos la resolución de
éstos, y de otros triángulos de características mas complicadas.
Definición 7.1.1. El proceso de calcular los elementos restantes de
un triángulo conociendo tres de ellos recibe el nombre de
resolución de un triángulo.
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257
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Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 19
Resolución de triángulos rectángulos
En los triángulos rectángulos uno de sus ángulos es conocido de
antemano (el ángulo recto = 90º), luego, para su resolución es
C
suficiente conocer dos de sus elementos, a saber:
β
a. Los catetos.
2 6 cm.
b. Un cateto y la hipotenusa.
c. Un cateto y un ángulo agudo.
d. La hipotenusa y un ángulo agudo.
α
A
5 cm.
B
Figura 19.1. Triángulo rectángulo
Se debe recordar el Teorema de Pitágoras para triángulos
rectángulos y el teorema 1.3 del capítulo I referente a la suma de los
ángulos interiores de un triángulo igual a 180º (π radianes).
Solución:
Por el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa AB será:
Ejemplo 19.1
En el triángulo rectángulo de la figura 19.1., la longitud de los catetos
son AB=5 cm. y BC= 2 6 cm. Determine los demás elementos del
triángulo
AC =
AB 2 + BC 2 =
5 2 + (2 6 )2 =
AC = 49 =7 cm
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25 + 24
258
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Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 19
Ya se tienen todos los lados del triángulo. Para calcular los ángulos
recordamos la definición de las funciones trigonométricas en un
C
triángulo rectángulo, donde:
cos α =
β
Cateto adyacente AB 5
=
Hipotenusa AC
7
Luego, por la definición de inversa de la función coseno se tiene:
α
A
5
α = arccos
7
Y de tablas trigonométricas,
B
Figura 19.2. Triángulo rectángulo
α ≈ 44.4º
Solución:
Además,
α + β + 90º = 180º
De donde,
β = 180º - 90º - α
El área de un triángulo definida en el capítulo I, se presenta como:
A=
β = 180º -90º - 44.4º = 180º - 134.4
β = 45.6º
(Longitud de la base)∗ (Atura del triángulo)
2
A = AB . AC
2
(7.2.1)
Luego, necesitamos determinar la base (cateto AB) y la altura
Ejemplo 19.2
(cateto AC) del triángulo rectángulo; para ello disponemos de la
En el triángulo rectángulo de la figura 19.2., la longitud BC = 10 y el
ángulo α = 75º. Determine el área de dicho triángulo.
longitud de la hipotenusa BC = 10 y el ángulo adyacente al lado
AB, α = 75º. Ver figura 19.3.
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Tema 7: Resolución de Triángulos
259
Tema 7/ Sesión 19
C
Para calcular cos75º podemos utilizar las identidades y propiedades
trigonométricas definidas en el capítulo V, donde:
β
10
cos(α+β) = cosα cosβ – senα senβ
Luego,
75º
A
cos 75º = cos(30º + 45º)
B
cos 75º = cos30º cos45º - sen30º sen45º
=
Figura 19.3. Triángulo rectángulo
a) Cálculo de la base
=
3 2 1 2
−
2 2 2 2
6− 2
=
4
2( 3 − 1)
4
Por las definiciones trigonométricas,
Y la base del triángulo en la ecuación 7.2.2 será:
cos α =
Cateto adyacente AB
=
hipotenusa
BC
AB = 10.
cos 75º =
AB
10
2( 3 − 1) 5 2( 3 − 1)
=
4
2
b) Cálculo de la altura del triángulo
de donde,
AB = 10 cos75º
(7.2.2)
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Tema 7: Resolución de Triángulos
Por el teorema de Pitágoras, AC =
260
Tema 7/ Sesión 19
BC 2 − AB 2 , luego,
⎛ 5 2( 3 − 1) ⎞
⎟
AC = (10) − ⎜
⎜
⎟
2
⎝
⎠
2
2
=
⎛ 50( 3 − 1)2
100 − ⎜⎜
4
⎝
=
100 −
25(3 − 2 3 + 1)
2
=
100 −
25(4 − 2 3 )
= 100 − 25(2 − 3 )
2
=
50 + 25 3 = 5 2 + 3
⎞
⎟
⎟
⎠
c) Finalmente el área de dicho triángulo en la ecuación 7.2.1 es:
AB . AC
A=
=
2
A=
5 2( 3 − 1)
.5 2 + 3
2
2
25 2( 3 − 1) 2 + 3 .
unidades2
4
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Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7: Resolución de Triángulos
Sesión 20
261
Tema 7/ Sesión 20
Ley de los senos y ley de los cosenos
Los siguientes resultados dados como teoremas son válidos, se
Objetivos específicos
*
Resolver problemas con triángulos rectángulos.
aceptarán y se utilizarán como resultados preliminares. Estos
resultados están relacionados con el tema de vectores que no se
tratará en este texto; pero cuando se dice “proyección del lado de
un triángulo sobre el otro” se esta señalando un producto escalar
Actividades
*
*
*
de dos vectores donde estos vectores son dos lados consecutivos
Leer apuntes sesión 20.
Realizarlos ejercicios de la sesión 20.
Realizar la autoevaluación de la sesión 20.
entre ellos.
Definición 7.3.1. Longitud de proyección de un segmento sobre
Recursos
*
*
de un triángulo, y este producto involucra el coseno del ángulo
otro.
Apuntes sesión 20.
Ejercicios sesión 20.
De la definición de funciones trigonométricas en un triángulo
rectángulo la longitud de proyección de un segmento AB sobre
otro segmento AC, y que forman un ángulo de α grados o radianes,
viene dada como:
AC = AB cos α
Análogamente, la longitud de proyección del segmento AB sobre
BC se define como:
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Tema 7: Resolución de Triángulos
262
Tema 7/ Sesión 20
BC = AB cosβ
En la figura 20.1. se señala la proyección trigonométrica del lado AC
sobre el lado AB y la proyección del lado AB sobre AC, en un
triángulo rectángulo.
Teorema 7.3.1. En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la
longitud del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, más el doble de
la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección
Si las longitudes de la hipotenusa y los catetos son: AB = a, BC = b y
AC = c, entonces,
del otro.
Teorema 7.3.2. En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la
c = a cos α
Proyección de AB sobre AC
longitud del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el
b = a cos β
Proyección de AB sobre BC
doble del producto de la longitud de uno de estos lados por la
longitud de la proyección del otro.
B
En la figura 20.2. se muestra un triángulo oblicuángulo (no tiene
ningún ángulo interior recto), con un ángulo obtuso y dos agudos y
β
las ecuaciones resultado de los teoremas 7.3.1 y 7.3.2.
a
A
b = a cosβ
α
c = a cosα
C
Figura 20.1. Los catetos de un triángulo rectángulo definidos como
longitudes de proyección de la hipotenusa
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Tema 7: Resolución de Triángulos
263
Tema 7/ Sesión 20
b2 = a2 + c2 + 2a.(proyección de AC sobre AB)
(7.3.2)
a2 = b2 + c2 – 2b.(proyección de AC sobre BC)
(7.3.3)
A
β
a
c
Observación: si el ángulo α es obtuso, la proyección trigonométrica
α
C
γ
b
será negativa por lo que el signo – del doble producto cambiaría a
B
+ como lo señala el teorema 7.3.1. En el siguiente teorema se
considera este caso.
Teorema 7.3.3. Ley de los cosenos
Figura 20.2. Triángulo oblicuángulo
En la figura 20.2., α y γ son ángulos agudos (menores de 90º) y β es
obtuso (mayor de 90º); luego, si las longitudes de los lados del
Cualquiera sea el triángulo ABC de longitudes AB, AC y BC, se tiene
que:
triángulo son:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 (AB) (BC) cos α
Longitud del lado AB → AB = a
o,
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
Longitud del lado BC → BC = b
Longitud del lado AC → AC = c
donde α puede ser un ángulo agudo u obtuso.
Demostración:
Los teoremas 7.3.1 y 7.3.2 señalan que:
Para comprobar la afirmación del teorema 7.3.3 vamos a
c2 = a2 + b2 - 2a.(proyección de BC sobre AB)
(7.3.1)
considerar los dos tipos de ángulos que puede ser α.
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Tema 7: Resolución de Triángulos
264
Tema 7/ Sesión 20
Caso i: α es un ángulo agudo (0<α<90º)
A
Considere el triángulo ABC de la figura 20.3. donde se tiene a α
como ángulo agudo y se quiere determinar la longitud del lado AB;
a
c
para ello trazamos la altura AD para lograr la proyección CD en el
triángulo rectángulo ADC.
α
C
D
b
B
De acuerdo al teorema 7.3.2 y la ecuación 7.3.3, se tiene que:
a2 = b2 + c2 – 2b. (proyección de AC sobre BC)
(7.3.4)
Pero la longitud de proyección del lado AC sobre BC es el segmente
Figura 20.3. Triángulo ABC
Caso ii: α es un ángulo obtuso (90º<α<180º)
CD, y de la definición 7.3.1
Considere el triángulo ABC de la figura 20.4. donde α es obtuso y se
CD = c cos α
quiere determinar el lado opuesto AB. Trazamos la altura AD, de
manera de construir el triángulo rectángulo ABD.
Luego, sustituyendo en la ecuación 7.3.4,
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
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Tema 7: Resolución de Triángulos
A
265
Tema 7/ Sesión 20
Luego,
DC = -c cos α
a
Es decir,
c
θ
D
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
α
C
b
B
Note que si α es 90º (ángulo recto), el triángulo es rectángulo y
Figura 20.4. Triángulo ABC
Nuevamente, por el teorema 7.3.1, y la ecuación 7.3.2:
como cos90º=0 lo que resulta es el Teorema de Pitágoras a2 = b2 +
c2.
Teorema 7.3.4. Ley de los senos
a2
=
b2
+
c2
+ 2b (proyección de AC sobre BC)
Cualquiera sea el triángulo ABC se tiene que:
Pero la proyección del lado AC sobre BC es el segmento DC, y por la
definición de funciones trigonométricas (ecuación 7.3.1) se tiene
que:
DC = AC cos θ
DC = c cos θ
Como el ángulo θ es suplementario al ángulo α se sigue que,
cos α = -cos θ
porque α está en el II cuadrante
senα senβ senγ
=
=
BC
AC
AB
ó,
senα senβ senγ
=
=
a
b
c
También de la forma:
a
b
c
=
=
senα senβ senγ
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Tema 7: Resolución de Triángulos
Siendo α, β y γ, ángulos agudos u obtusos.
Demostración:
son agudos (la demostración es análoga para ángulos obtusos); y
trazamos dos de sus alturas CD y BE. Ver figura 20.5.
Tema 7/ Sesión 20
sen α =
CD CD
=
AC
c
(7.3.5)
sen γ =
CD CD
=
BC
a
(7.3.6)
Para comprobar el teorema 7.3.4 vamos a construir un triángulo
cualquiera ABC, asumiendo que todos los ángulos internos α, β y γ
266
Despejando CD de las ecuaciones 7.3.5 y 7.3.6 resulta:
CD = c sen α
C
CD = a sen γ
E
β
Igualando nos queda, c sen α = a sen γ
a
c
α
A
es decir,
γ
b
D
B
senα senγ
=
a
c
(7.3.7)
b. Con la altura BE los triángulos BCE y ABE son rectángulos;
Figura 20.5. Triángulo ABC
realizando un razonamiento análogo al anterior se obtiene
que:
a. Con la altura CD, los triángulos ACD y BCD son rectángulos
cuyas hipotenusas son AC y BC respectivamente; por tanto,
por la definición de la función seno en un triángulo rectángulo,
sen α =
BE BE
BE BE
=
=
y sen β =
AB b
BC
a
se tiene:
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267
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Tema 7: Resolución de Triángulos
Despejando BE de ambas ecuaciones e igualando se llaga a:
b sen α = a sen β
Tema 7/ Sesión 20
Ejemplo 20.1
Resolver el triángulo ABC de la figura 20.6. si las longitudes de sus
lados son AB = 6, AC = 4 y BC = 3
de donde,
senα senβ
=
a
b
(7.3.8)
A
β
Comparando las ecuaciones 7.3.7 y 7.3.8 observamos que:
a=6
c=4
γ
α
senα senβ senγ
=
=
a
b
c
C
b=3
B
Figura 20.6. Triángulo ABC
Análogamente se obtiene la misma ecuación si el triángulo ABC
tiene un ángulo interno obtuso.
Solución:
Resolver el triángulo dado significa hallar la medida de sus ángulos
interiores, pues se conocen las longitudes de sus lados; luego, por la
ley de los cosenos se tiene:
1. Resolución de triángulos oblicuángulos
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
Las leyes de los senos y de los cosenos son de gran utilidad en la
resolución de triángulos oblicuángulos. A continuación se resolverán
Sustituyendo las medidas dadas se llega a:
ejemplos que muestran la aplicación de estas leyes.
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Tema 7: Resolución de Triángulos
268
Tema 7/ Sesión 20
62 = 32 + 42 – 2.3.4 cosα
36 = 9 + 16 – 24 cosα
α + β + γ = 180º
11
Cos α = 24
luego,
β = 180º – α – γ
β = 180º – 117.28 º – 36.34 º
11
)
α = arccos(24
α ≈ 117.28º
β = 26.38º = 26º 23’
Ejemplo 20.2
α ≈ 117º 17’
En el triángulo ABC de la figura 20.7. la longitud de los lados AC y
Análogamente, con el ángulo γ:
BC son AC = 3 cm. y BC = 5 cm., y forman un ángulo de 120º.
Determine la longitud del lado AB
c2 = a2 + b2 – 2 a b cosγ
A
42 = 62 + 32 – 2.6.3 cosγ
16 = 36 + 9 – 36 cosγ
cosγ =
β
45 − 16 29
=
36
36
a=?
c=3
Luego,
120º
29
γ = arccos
36
C
Finalmente, como la suma de los ángulos internos de un triángulo
rectángulo es igual a 180º, podemos determinar la medida del
b=5
Figura 20.7. Triángulo ABC
γ = 36.34º
γ = 36º 20’
γ
Solución:
Por la ley del coseno,
AB2 = AC2 + BC2 – 2 AC.BC cos120º
ángulo faltante β como sigue:
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B
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β = 180º - 60º - 45º = 75º
1
AB = 3 + 5 – 2(3)(5) (- )
2
2
2
2
ƒ
AB2 = 9 + 25 + 15 = 49
⇒
AB =
Tema 7/ Sesión 20
Por la ley de los senos se tiene que:
AB
8
AC
=
=
sen60º sen75º sen45º
49 = 7 cm.
(7.4.1)
De tablas se encuentra que,
Ejemplo 20.3
En el triángulo de la figura 20.8., determine el ángulo βy la longitud
sen60º =
de los lados AC y AB
3
2
y sen45º =
2
2
y
sen75º = sen(30º+45º) = sen30º cos45º + cos30º sen45º
A
=
β
=
60º
C
45º
8 cm.
B
ƒ
AB =
Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo se tiene que:
2 (1+ 3 )
4
De la ecuación 7.4.1 obtenemos que:
Figura 20.8. Triángulo
Solución:
3 2
1 2
+
2 2
2 2
8 sen60º
=
sen75º
⎛ 3⎞
⎟
8 ⎜⎜
⎟
2
16 3
⎝
⎠
=
2 (1+ 3 )
2 (1+ 3 )
4
racionalizando el denominador, se llega a,
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AB =
270
Tema 7/ Sesión 20
4 2 3 ( 3 − 1)= 4 2 (3 − 3 ) cm
y,
AC =
8 sen45º
=
sen75º
⎛ 2⎞
⎟
8 ⎜⎜
⎟
2
16
⎝
⎠
= 8( 3 − 1) cm
=
2 (1+ 3 ) (1+ 3 )
4
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