Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
PRÁCTICA # 0
ERRORES EXPERIMENTALES Y
ANÁLISIS DE DATOS.
dición. De forma general una medición per-
I
mite relacionar una magnitud física desconocida con una cantidad física conocida de
OBJETIVOS:
la misma dimensión. En cada medición se
obtiene una magnitud de la cantidad física
1.- Se presentará una breve introducción a
los errores de medición. Así como al manejo
estadístico de los errores aleatorios.
conocida; a ésta se le denomina como medida. Inexorablemente cuando se realiza una
medición, las medidas obtenidas siempre
2.- Se hará una introducción al ajuste de
curvas, por medio del método de mínimos
cuadrados.
diferirán con respecto al valor verdadero de
la cantidad física en observación. Las discrepancias entre ambas cantidades se pueden
II
dividir en dos categorías: en equivocaciones
y en errores de medición.
INTRODUCCIÓN.
Las equivocaciones las comete el experimentador, por ejemplo, cuando no utiliza
un procedimiento adecuado de medición,
ERRORES EXPERIMENTALES.
cuando lee mal las escalas de un instrumento, etc..
Es conveniente de que antes de intro-
Los errores de medición no son inhe-
ducirnos a los errores de medición, se de una
rentes al experimentador. Debido a la natu-
definición de lo que se entiende por una me-
raleza de éstos se pueden, a su vez, dividir
1
Práctica # 0.
en dos categorías: en errores aleatorios, y en
errores sistemáticos. A pesar de que ambos
tipos de errores se presentan simultáneamen-
U.P.I.I.T.A.
entre sí. La media aritmética,
, está dada
por [1]
,
te en una medición, para fines de estudio se
(0.1)
analizan por separado.
Los errores de medición sistemáticos
son aquellos en los cuales siempre que se
donde
es la magnitud de la medida i-ésima.
realiza una medición varias veces, y bajo las
mismas condiciones, la afectan por igual, es
es el número de mediciones, y
La desviación de cada medida individual,
, está dada por
decir, siempre mantienen la misma magni.
tud. Un ejemplo de este tipo de error se produce cuando un instrumento está mal calibrado y su lectura inicial no coincide con
cero.
(0.2)
Cuando se hace un promedio de la
desviación de todas las medidas,
, se ob-
tiene
Los errores de medición aleatorios va-
rían de forma impredecible cuando se mide
. (0.3)
la misma cantidad física, con los mismos
equipos, y bajo las mismas condiciones. Éstos se deben generalmente a un gran número
de factores que afectan de forma independiente a la medición. La cuantificación de la
magnitud de este tipo de errores se puede
realizar únicamente de manera estadística.
A pesar de que se observa que el promedio de las medidas siempre es igual a cero, la magnitud del valor promedio de las
desviaciones, es decir,
Una cantidad que sirve para describir
,
(0.4)
la magnitud de una cantidad física, es la media aritmética; aunque ésta tiene la desventa-
no siempre es igual a cero.
ja de que sólo es valiosa para los casos en
La cantidad que se usa regularmente
que se realizan varias mediciones sobre el
para obtener la magnitud de las variaciones
mismo objeto, y éstas no discrepan mucho
en las medidas, es la desviación estándar, o
2
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
la desviación de la raíz media cuadrática,
,
una gráfica de barras. Para obtener una gráfica de este tipo se divide el eje de las absci-
dada como [1]
sas, en un intervalo que contenga a todas las
.
(0.5)
medidas, es decir, en un intervalo (
), donde
Al cuadrado de la desviación estándar,
,
es la medida mínima, y
es la medida máxima; y a su vez este
, se le conoce como varianza, o algunas
veces se le denomina como la desviación
intervalo se subdivide en intervalos de clase
estándar de la población, o la desviación es-
más pequeños con un ancho
tándar sesgada, debido a que en sentido es-
de las ordenadas se grafica el número de
tricto se calcula sólo cuando se toman un
muestras,
gran número de muestras para describir a la
población. Usualmente el experimentador no
puede obtener un conjunto de mediciones
1,
intervalos ( ,
. En el eje
que caen dentro de los
). El intervalo de clase,
, se elige como [2]
infinito, por esto en términos generales, es
; (0.7)
deseable tener cuando menos 20 mediciones, para que las estimaciones de la desviación estándar sean confiables. Si se tiene un
conjunto de muestras pequeño, que generalmente es el caso, se utiliza la desviación
o si
, el ancho del intervalo de clase
se puede determinar de forma más adecuada
con la regla de Sturger, dada por [2]
estándar de la muestra no sesgada, la cual
. (0.8)
está definida como [1]
Cuando en el eje de las ordenadas de
. (0.6)
una gráfica de barras se despliega la canti-
Una forma visual de desplegar un conjunto de medidas,
, con
dad
, denominada como frecuencia
, ob-
tenidas en una medición, es por medio de
1
Esta cantidad también se conoce también como frecuencia.
3
Práctica # 0.
normalizada, en lugar de
U.P.I.I.T.A.
; a la gráfica
de barras se le conoce como histograma.
cual tiene las siguientes características:
, para
(
,
), y
.
Si se grafica un histograma con varias
mediciones de la misma cantidad física, y
Analíticamente se puede escribir en
éstas mediciones están influenciadas exclu-
función de la media aritmética, y la desvia-
sivamente por errores aleatorios; la curva
ción estándar como
envolvente del histograma generalmente
. (0.9)
tendrá la forma de una función gaussiana o
normal, este comportamiento se muestra
Al analizar la ecuación anterior se ob-
cualitativamente en la figura 0.1.
serva que puede existir un número infinito
de curvas, las cuales estarán especificadas
por la magnitud de
, y de
. Por ejem-
plo, en la figura 0.2, se presentan dos de estas curvas.
Figura 0.1. Histograma de un conjunto de medidas, y la curva envolvente de éste.
Se puede apreciar de la figura 0.1. que
existe una probabilidad mayor de que las
medidas caigan cerca del valor de
, que
lejos de éste.
La función gaussiana representa una
Figura 0.2. La distribución normal del error o
gaussiana, para dos valores de desviación estándar, y xm fija.
distribución de probabilidad2 simétrica, la
2
Si se quiere estudiar de forma más exhaustiva a las distribuciones de probabilidad se puede consultar [3].
4
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
En la figura anterior se aprecia que
cuando
, la curva está más esparcida
En la figura 0.3. se presenta una gráfi-
en el eje de las abscisas, que cuando
ca de un conjunto de medidas influenciada
. De este hecho se aprecia que entre
por errores aleatorios, con una distribución
más pequeña sea la magnitud de
conjunto de medidas
,
, para un
será un mejor
estimador del valor verdadero de la magnitud física en observación.
normal, y por un error sistemático. En la figura el valor
representa al valor verdade-
ro, el valor
representa la magnitud del
error sistemático. El error total de la medición en este caso, con una certeza del 99.73
La distribución normal posee una característica importante, y es que se puede
%, estaría dado por la suma del error sistemático dado por
y el error máximo
asegurar que del 100% de las medidas realizadas, el 50 % de éstas, estarán comprendidas en el intervalo
;
aleatorio.
el
68.27% de éstas medidas estará comprendida en el intervalo
; etc.. Los resulta-
dos anteriores se resumen en la tabla 0.1.
Tabla 0.1. Probabilidad relacionada a las desviaciones estándar [4].
No. de desvia- Probabilidad de C o m p a r a c i ó n
ciones estándar que la medida entre las medidas
Figura 0.3. Conjunto de medidas influenciadas
por errores aleatorios, y por errores sistemáticos.
con respecto a la esté comprendi- c o m p r e n d i d a s
media aritmética. da dentro del No. dentro del No. de
de desviaciones d e s v i a c i o n e s
estándar.
estándar, y fuera
El error total de una medición determina la inexactitud de la medición.
Cuando se realizan en varias sesiones
del él.
0.6745
50
1:1
1
68.27
2.15:1
2
95.45
21:1
puede observar que generalmente la media
3
99.73
370:1
aritmética obtenida en cada sesión de medi-
4
99.99366
15772:1
5
99.99995
1744000:1
las mediciones de una cantidad física, se
ción será diferente, para resolver este incon-
5
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
veniente se utiliza la desviación estándar del
valor medio,
, la cual está en función del
número de medidas y la desviación estándar
como [1]
donde
es la variable dependiente,
pendiente de la recta,
pendiente, y
es la
es la variable inde-
es la ordenada al origen.
En términos prácticos si se realiza un
. (0.10)
experimento el conjunto de medidas que se
puede obtener es finito; por lo tanto, si de-
Con la ecuación anterior se puede presentar la incertidumbre de una medición.
Si los resultados arrojados por la serie
seáramos asociarle a estas medidas una
ecuación lineal, de la ec. 0.11 se ve que existen múltiples opciones, que dependerán del
de mediciones anteriores están muy próxi-
valor específico que tomen
y
mos entre sí, se puede decir que la precisión
todo de mínimos cuadrados es un criterio
en la medición es elevada.
con el cual es posible asociarle un modelo
lineal a un conjunto de medidas (
. El mé-
,
).
Para ilustrar el método de mínimos cuadraMÍNIMOS CUADRADOS.
dos nos auxiliamos de la figura 0.4., en la
cual se muestran una serie de puntos expe-
Uno de los objetos de estudio que es
importante en la física es el estudio de los
modelos lineales, tales como la ley de Ohm
cuando la resistencia es constante, la distan-
rimentales que van desde (
,
) hasta (
,
), y una recta propuesta que se les puede
asociar a este conjunto de valores.
cia recorrida por un objeto a velocidad constante, etc.. Los modelos anteriores se pueden
representar analíticamente por la ecuación
de una línea recta dada por
, (0.11)
6
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
. (0.14)
Ahora bien, si se quiere que las desviaciones de los puntos experimentales con
respecto a la recta propuesta sean mínimas,
se tienen que cumplir las siguientes condiciones:
, (0.15)
Figura 0.4. Recta propuesta asociada a un conjunto de puntos experimentales.
y
. (0.16)
De la figura anterior se observa que
cada punto (
,
), discrepa de la recta
Resolviendo ambas ecuaciones se ob-
propuesta por una cantidad cuya magnitud
tienen los valores de
es
propuesta, estimados por el método de mí-
. De aquí que la diferencia entre la rec-
ta propuesta y cada valor experimental esta-
y
, de la recta
nimos cuadrados, dados por
ría dada por
. (0.12)
Despejando
(0.17)
de la ecuación anterior
se obtiene
(0.13)
Observe de la ecuación 0.12. que
puede asumir valores positivos o negativos.
Por lo tanto es conveniente utilizar la suma
de cuadrados de las desviaciones,
cir,
,es de-
La desviación estándar, incertidumbre,
de los valores de la pendiente,
nada al origen,
, y la orde-
, obtenidos por el método
de mínimos cuadrados es [5]
7
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
,
(0.18)
y
(0.21)
, (0.19)
factor
E l
está comprendido en el intervalo de
[0,1]. Si el factor de correlación se aproxima
a 1, la correlación entre los datos experidonde
mentales, y la recta ajustada es alta, por lo
es
tanto se puede concluir que el ajuste es bueno.
III
. (0.20)
DESARROLLO
EXPERIMENTAL.
Las incertidumbres representadas por
las ecs. 0.18-0.20, tienen el mismo significado que las presentadas en la sección anterior.
En esta sección se propondrán las activiSe sabe que muchos modelos dentro
dades a realizar en primera actividad de la
de la física no son lineales, o son lineales
práctica:
sólo sobre un intervalo limitado de valores.
1.- Con un flexómetro mida la longitud de la
Además se tiene que el método de mínimos
mesa del laboratorio, realice al menos 25
de cuadrados no garantiza por sí sólo que la
mediciones.
recta ajustada se correlacione adecuadamen-
2.- 1.- Con un flexómetro mida la longitud
te con los valores experimentales. Si se de-
del pasillo de uno de los edificios, realice al
sea conocer que correlación, es decir, que
menos 25 mediciones.
tanto explica la recta ajustada a los datos
3.- Mida el tiempo en que tarda en caer una
experimentales es necesario recurrir al factor
pelota de tenis, que se suelta del segundo
de correlación,
, dado por [3]
8
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
piso de algún edificio de la Unidad, adquiera
discuta la relación que guarda
al menos 25 medidas.
efecto.
, con este
De los tres conjuntos de mediciones
Incluya el reporte el valor de la media
obtenidos, haga en un papel milimétrico o
aritmética con su incertidumbre respectiva,
en un programa de cómputo como
esto con una certeza del 99.99 %. Además
MATLAB ®, el histograma de cada conjun-
observe si se cumple que el 99.7% de las
to de medidas, y trace la envolvente de és-
medidas caen el intervalo de
.
tos. También, calcule la media aritmética, la
desviación estándar, y la desviación estándar
del valor medio; asociada a cada conjunto.
Con los valores de
y de
En la segunda actividad de la práctica
se corrobora la Ley de Ohm, dada por
, (0.22)
obtenidos,
grafique la función gaussiana asociada a los
valores experimentales. En el apéndice 1, se
presenta un programa de MATLAB que rea-
donde
es el voltaje,
es la resistencia, e
es la corriente. Para este fin se monta
arreglo que se muestra en la siguiente figura.
liza las cálculos anteriores.
Compare visualmente la envolvente
del histograma de las medidas con la gráfica
de la función gaussiana asociada a éstas, lo
anterior para cada conjunto de medidas,.
Discuta si es posible asegurar que las medidas realizadas están influenciadas únicamen-
Figura 0.5. Arreglo experimental, para experimento de la Ley de Ohm.
te por errores aleatorios, es decir, que si
correspondencia entre la
En el circuito anterior para un voltaje
curva envolvente del histograma y la fun-
fijo, mida la corriente que pasa a través de la
ción gaussiana que obtuvo.
resistencia. Varíe el voltaje de la fuente de
existe una alta
obtenidos de
alimentación al menos 15 veces y anote la
cada conjunto de medidas, diga cuál se dis-
corriente correspondiente, con estos resulta-
persa más, y a qué se lo atribuye. También
dos haga una tabla, como la mostrada a con-
Con los valores de
tinuación.
9
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
Con los resultados obtenidos, discuta
Tabla 0.2. Valores de Voltaje y de Corriente medidos con el circuito de la figura 0.5.
si se corrobora la Ley de Ohm.
APÉNDICE
1.
Si considera que
, y que
ción lineal. Con el ajuste se encuentra la
%%
%%
%%
%%
%%
%%
pendiente de la recta ajustada,
, y se ob-
%%% INGRESE LOS VALORES DE X %%%
serva de la ec. 0.22, que este valor debe de
x=[49.36 50.12 48.98 49.24 49.26
50.56 49.18 49.89 49.33 49.39];
, se puede hacer un ajuste por el método de mínimos cuadrados para una ecua-
ser igual a
. El valor de
se puede medir
directamente en el arreglo experimental, y se
puede determinar utilizando el código de
PROGRAMA DE MATLAB QUE REALIZA
EL CÁLCULO DE LA MEDIA
ARITMÉTICA, LA DESVIACIÓN
ESTÁNDAR DE UN CONJUNTO DE
MEDIDAS, Y LA GRÁFICA DE LA
FUNCIÓN NORMAL ASOCIADA A ÉSTAS.
%% LA FUNCIÓN mean DE MATLAB DA EL
%% VALOR DE LA MEDIA ARITMÉTICA
xmed=mean(x);
colores para la resistencia. Compare los dos
%% MATLAB CALCULA LA DESVIACIÓN
%% ESTÁNDAR CON LA FUNCIÓN std
valores anteriores con el obtenido por el
de=std(x);
ajuste de mínimos cuadrados, y explique las
%%
%%
%%
%%
posibles divergencias.
En el reporte presente la ordenada al
origen, y la pendiente obtenida en el ajuste,
con una incertidumbre del 99.97%. Además
INGRESE EL VECTOR QUE COMPRENDA
EL INTERVALO DE LAS MEDICIONES
DE LA SIGUIENTE FORMA:
x1=xmín:incremento:xmáx;
x1=48:0.001:51;
%% CÁLCULO DE LA CURVA GAUSSIANA
senta un programa de MATLAB, que hace
sigma=de;
a=(2*pi)^(1/2);
b=1/(a*sigma);
c=exp(-(1/2).*(x1-xmed).^2./(sigma)
^2);
y=c*b;
los cálculos anteriores, y además obtiene la
%% GRÁFICA DE LA CURVA GAUSSIANA
gráfica de la ecuación de la recta ajustada
figure(1);
plot(x1,y,'r'),grid on;
incluya el factor de correlación y discuta la
calidad del ajuste. En el apéndice II se pre-
junto con los valores experimentales.
10
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
title('Distribución normal');
xlabel('x');
ylabel('P(x)');
%%%%%%%%%%%%%AJUSTE DE POLINOMIO DE
%% GRADO 1%%%%%%%%%%%
%% HISTOGRAMA DE LOS VALORES
%% EXPERIMENTALES
%% INGRESA EL NÚMERO DE INTERVALOS
%% DE CLASE,l.
l=20;
n=1;
p=polyfit(x,y,n);
m=p(1);
b=p(2);
%%%%%%%%%%SUMATORIA DE LOS VALORES
%% DE X%%%%%%
sum1=sum(x);
%% GRÁFICA HISTOGRAMA.
%%%%%%%%%SUMATORIA DE LOS VALORES
%% DE Y%%%%%%%%%
figure(2);
title('Histograma');
hist(x,l);
xlabel('Lecturas');
ylabel('Frecuencia');
sum2=sum(y);
%%
%%
%%
%%
%%
SE CREA UN ARREGLO PARA REALIZAR
UNA GRÁFICA EN
DÓNDE SE COMPARA LA CURVA
AJUSTADA CONTRA LOS
VALORES EXPERIMENTALES
xi=linspace(0,58e-3,1000);
z=polyval(p,xi);
APÉNDICE
2.
%%
%%
%%
%%
%%
%%
%%
%%
%%
PROGRAMA DE MATLAB QUE CALCULA
LA ORDENADA AL ORIGEN, Y LA
PENDIENTE DE UNA RECTA;
POR EL MÉTODO DE MINIMOS
CUADRADOS. ADEMÁS, EL
PROGRAMA CALCULA EL FACTOR DE
CORRELACIÓN Y LAS INCERTIDUMBRES
ASOCIADAS A LA PENDIENTE Y A LA
ORDENADA AL ORIGEN.
%%% INGRESE LOS VALORES DE y %%%
y=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13];
%%%%%%%%SE REALIZA LA FIGURA
%% CORRESPONDIENTE%%%%%%%
figure(1);
plot(x,y,'o',xi,z,'-'),grid;
ylabel('Voltaje [V]');
xlabel('Corriente [A]');
title('Ajuste de mínimos cuadrados');
%%%%%%%%%%%%CÁLCULO DEL FACTOR DE
%% CORRELACIÓN, r2.%%%%%%%%%%%
yies=b+(m.*x);
sum3=sum2/length(y);
ssr=(yies-sum3).*(yies-sum3);
ssr=sum(ssr);
sst=(y-sum3).*(y-sum3);
sst=sum(sst);
r2=ssr/sst;
r2=r2^(1/2);
%%% INGRESE LOS VALORES DE x %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=[0.014e-3 4.4e-3 8.91e-3 13.06e-3
17.36e-3 21.92e-3 26.13e-3 30.71e-3
35.98e-3 40.85e-3 45.45e-3 49.92e-3
53.78e-3 58.46e-3];
%%%%%CÁLCULO DEL ESTIMADO
%% CONDICIONAL DE LA
%% VARIANZA, sy.%%%%
11
Práctica # 0.
U.P.I.I.T.A.
sse=(y-yies).*(y-yies);
sum4=sum(sse);
sy=sum4/(length(y)-2);
sy=sy^(1/2);
[3] Miller I. Y Freund I., Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Prentice Hall,
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN
%% ESTÁNDAR DE LA PENDIENTE, sm.%%%
Tercera Edición, Capítulo: 4, pág. 355.
[4] Gillies R, Instrumentation and Measurements for Electronic Technicians, Merrill
Macmillan, Segunda edición, pág. 19.
xcuad=x.*x;
sxc=sum(xcuad);
sucx=sum1.*sum1;
den=(length(y).*sxc)-sucx;
sum5=length(y)./den;
sum5=sum5.^(1/2);
sm=sy.*sum5;
[5] Baird D, Experimentación una Introducción a la Teoría de mediciones y al Diseño
de Experimentos, Pearson Educación, Se-
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
gunda Edición, pág. 131.
%%%CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN
%% ESTÁNDAR DE LA ORDENADA %%%%%%%
%% AL ORIGEN, sb. %%%%%%%%%%%%%%
sum6=sxc./den;
sum6=sum6.^(1/2);
sb=sy.*sum6;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
IV
BIBLIOGRAFÍA.
[1] Holman P., Métodos experimentales para
ingenieros, Mc-Graw Hill, Segunda edición,
págs. 65-66, 97.
[2] Klaassen B., Electronic Measurement
and Instrumentation, Cambridge University
press, Primera edición en ingles, págs. 44,
48.
12
