TEORIA DE CONJUNTOS

Teoría
de
DEFINICIÓN DE
CONJUNTO
Conjunto
una colección de objetos o entidades
distinguibles y bien definidas. Los objetos (números,
letras, puntos, etc.) que constituyen el conjunto se
les llama miembros o elementos .
Teoría
de
Conjunto
s
Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X,
Y, …para denotar conjuntos
Y para denotar a los elementos, se utilizan letras
minúsculas
a,b,c,…, números, símbolos o variables.
DEFINICIONES DE
CONJUNTO
EXPLÍCITAMENTE
Un
Conjunto
puede ser
definido
COMPRENSIÓN
IMPLICÍTAMENTE
EXTENSIÓN
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
EXPLÍCITAMENTE
EXPLÍCITAMENTE: escribiendo cada uno de los
elementos que componen el conjunto dentro de
llaves y separados por una coma
1.- Sea A el conjunto de las vocales
A = { a, e, i, o, u }
2.- Sea B el conjunto de los días
B = { lunes , martes, miércoles, jueves,
viernes}
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
IMPLÍCITA
IMPLICÍTAMENTE: escribiendo dentro de las llaves las
características de los elementos que pertenecen al
conjunto , como sigue:
Sea A es el conjunto de las vocales
Se
A = {x/x es una vocal}
escribe
El conjunto de todas las x tal que x es
una vocal
Se lee
Sea D el conjunto de los
números
pares D = {x/
Se
escribe
Se lee
x es
un número natural
par }
El conjunto de todas las x tal que x es un
número
natural par
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte
de su lista de
elementos.
Se representa de la siguiente manera:
Elemento є conjunto …Se lee el elemento pertenece al
conjunto
Elemento є conjunto …Se lee el elemento NO pertenece al
conjunto
Ejemplos:
a єA Se lee …a pertenece al conjunto A
w є A Se lee …w pertenece al conjunto A
3 є D Se lee …3 no pertenece al conjunto
CONJUNTO BIEN
DEFINIDO
Podemos
decir que
un conjunto
está
bien
definido si podemos
afirmar de manera inequívoca si un elemento pertenece a él
o no
1. Sea T el conjunto de las personas simpáticas
Este conjunto no está bien definido ya que la idea de ser
simpático es subjetiva, no hay un criterio definido para
decir que una persona es simpática o no
2. Un conjunto es FINITO cuando podemos enumerar todos sus
elementos
3. Un conjunto es INFINITO si no podemos enumerar todos sus
elementos
Ejemplo de conjunto infinito:
S = {x/x є N, x ≥ 10}
RELACIONES DE IGUALDAD DE
CONJUNTOS
Igualdad de
Conjuntos
Relaciones
entre
Conjuntos
Subconjuntos
Conjuntos
Especiales
Conjunto Vacío
Conjunto
Universal
Conjuntos de
Partes
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A
= B ) si todos los elementos de A pertenecen a
B
A = { x, y }
B = { y, x }
Esto es:
A = B,
entonces
x є A, implica que x є
B
y que y є B, implica
que y є A.
IGUALDAD DE
CONJUNTOS
Ejemplo de igualdad de conjuntos…
Si:
M = { 1, 3, 5, 7, 9 }
y
L = {x/x es impar ^ 1 ≤ x
≤9 }
Esto significa que:
A
B
B
SUBCONJUN
TO
A
B
B
Si cada elemento de un conjunto A es también elemento
del conjunto B,
A
A
entonces A se considera
subconjunto de B
También decimos que A, está contenido en B
Si A no es un subconjunto de B, quiere decir que:
…por lo menos un elemento de A no pertenece a B
SUBCONJUN
TO
Ejemplo:
Considere los siguientes
conjuntos:
A = { 1, 3, 4, 5, 8, 9 }
2, 3, 5, 7 }
B = { 1,
C = { 1,
5}
Podemos decir que:
C
A yC
B,
ya que 1 y 5 los elementos de C, también son
elementos de A y B
B
A
ya que
elementos como
pertenecen a A
algunos de sus
2 y 7, no
Ejemplo:
SUBCONJUN
TO
Considere los siguientes
conjuntos:
B = { x/x es un ave}
H = { y/y es una
paloma}
Podemos decir que:
H
B
H essubconjunto
de B
Ejemplo:
SUBCONJUN
TO
Considere los siguientes
conjuntos:
A = { x/x є N y es par} B = { y/y є N y es múltiplo
y de 2}
podemos decir
B
que…A.
A= B
,
B.
A
,
o B=
CONJUNTO VACÍO (Conjuntos
Especiales)
Un conjunto VACÍO es el que carece de elementos, se
simboliza {
} o por Ø .
Ejemplo de conjunto vacío:
El conjunto cuyos elementos son los
hombres que viven actualmente y
tienen más 500 años de edad.
CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos
Especiales)
Cuando se habla o se piensa en
conjuntos, es conveniente saber que
los elementos de un conjunto dado
pertenecen
a
alguna
población
determinada.
CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos
Especiales)
Ejemplo:
Si se habla
de
un conjuntode números,
útilestablecer una población general
de
números denominado
CONJUNTO
UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA
es
Cuyoselementos
son
los
posibles
candidatos para
formar
los conjuntos
que intervienen en una discusión determinada.
El conjunto Universal se simboliza:
ΩoU
CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos
Especiales)
Ejemplo:
Si Ω = N, el conjunto de los números
naturales
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { x/x es un número primo }
C = { x/x es un número natural par }
A, B y C son subconjuntos propios de Ω
Los números primos menores que cien son los siguientes:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89 y 97
CONJUNTOS de PARTES (Conjuntos
Especiales)
Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A,
simbolizado por P(A),
es el conjunto cuyos elementos son todos los
subconjuntos de A.
En la lista de subconjuntos de A hay que tener en
cuenta dos subconjuntos especiales el mismo A, ya
que A
A, y el
conjunto vacío Ø
CONJUNTOS de PARTES (Conjuntos
Especiales)
Ejemplo:
Si A = { a, b, c } entonces,
P(A) = { {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b,
c, }, Ø }
•Los elementos del conjunto P(A) son a su vez
conjuntos
•Un conjunto cuyos miembros son conjuntos, se llama
Familia de Conjuntos
•P(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos
NOTA:
Si un conjunto M tiene n elementos,
P(M) constará de 2n elementos, si
n = 3:
DIAGRAMA DE VENN
(Euler)
Los Diagramas de Venn o Euler,
son una manera
esquemática de
representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de
conjuntos.
Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las
relaciones de: Pertenencia, Inclusión
y lasrepresenta el
El Rectángulo
Operaciones
con conjuntos. conjunto
Ω
A
B
C
Universal
Los círculos
han utilizado
se
para cada
representara
conjuntos
, subconjuntos
uno de
de Ω
los
DIAGRAMA DE VENN
(Euler)
Si A = {1, 2, 3}
C = { 8,9 }
B = {1}
D=
{8
}
Ω
C
A
B
A
Ω
D
B
Ω
C
B
A
C
D
Ω
D
Ω
OPERACIONES CON
CONJUNTOS
Unión
Intersección
Operaciones con
Conjuntos
Diferencia
Diferencia Simétrica
Complemento
UNION DE
CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B, simbolizada por A U B
que se lee A unión B, es el nuevo conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos
conjuntos
A U B = { x/ x
ЄA ν x ЄB}
Ω
A
B
En el diagrama de Venn, la
región
sombreada
corresponde al conjunto A
UB
Ejempl
o:
entonce
s,
UNIÓN DE
CONJUNTOS
Si A = { a, b, c, d} B = { c, d,
e, f}
A U B = { a, b, c, d, e, f}
Ω
A
B
INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOS
La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B
que se lee A intersección B:
Es el nuevo conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A
y a B es decir, por los elementos comunes a ambos
conjuntos
Ω
A∩B={
A
X/ ЄA
X
B
En este diagrama
Λ xdeЄVenn
B } la región
sombreada
corresponde al
conjunto A∩ B
INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOS
Si A = { a, b, c, d } B = { c, d, e, f }
A ∩ B = { c, d }
Observe
que
los elementos
c y d
pertenecen
simultáneamente a los conjuntos
AyB
A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y
B
A ∩ B Se denomina también el producto lógico de los
conjuntos A y B
Dos conjuntos que no
INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOS
Si
Si
A = { a, b, c, d }
B = { c, d }
A ∩ B = { c,
dΩ}
A = { a, b, c,
d}
B = { m, p, q
}
Ω
A
B
A ∩ B = B porque
B
A
A
A∩B=
B
Ø
A ∩ B = Ø, entonces A y
B son
disjuntos
DIFERENCIA DE
CONJUNTOS
La diferencia de dos conjuntos A y B denotada A – B, que
se lee A menos B, es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B
Simbólicame
nte:
Ω
A
A - B = { X/X ЄA Λ x Є
B}
A B = { X/X ЄA Λ x Є
B}
Ω
A
B
B
DIFERENCIA DE
CONJUNTOS
Simbólicame A - B = { X/ Є A Λ x Є
X
nte:
B}
Ω
Ω
A
B
A
B
Ω
A
B
DIFERENCIA DE
CONJUNTOS
Ejemplo
1:
Si A = { a, b,
c}
Ejemplo
2:
Si A = { 3, 4, 5,
6}
Ejemplo
3:
Si A = { 1, 2,
3}
B = { c,
d}
A-B = { a,
b}
B = { 4,
5}
A-B = { 3,
6}
B = { 6,
7}
A-B = {1, 2,
3}
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE
CONJUNTOS
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B denotada A
B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A o a B, pero no
pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos
Simbólicamente:
A
B = { X/X ЄA V x ЄB Λ x Є(A ∩B)}
A
B = { X/X ЄA V x ЄB Λ x Є(A ∩B)}
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE
CONJUNTOS
Ejemplo:
En el siguiente gráfico se muestra
A
Ω
Observe que las regiones a la
B
B
A
izquierda y a la derecha
corresponden a los conjuntos AB y B-A
Por eso también
A
A}
A = { 1, 2, 3,
4}
B={ A –B } U { B-
A B={ A U B } - { B
∩A}
B = { 4,
A B = { 1, 2, 3,
5}
5}
COMPLEMENTO DE UN
CONJUNTO
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto
Ω, denota A΄, es el conjunto de elementos de Ω que no
pertenecen a A
Diagrama de Venn:
A΄ = Ω –
ΩA
Ejemplo:
A
Sea Ω = N (el conjunto de los números
naturales) A = { X/X es un número
natural par}
A΄ = { X/X es un número natural impar} =
Ω -A
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
Números Naturales
Es la colección de
objetos
matemáticos
representados
por
los
símbolos 1, 2, 3, 4, …, etc..
Llamados números
para contar.
= {1, 2, 3, 4, …}
Números Enteros
Los enteros abarcan los números negativos incluyendo
el cero y los números positivos.Se representa:
= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
Números Racionales
Es el conjunto de los números de la forma p/q
donde p y q son
enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.
p
= { ,p y q Є Λ q ≠ 0}
q
Números Irracionales
Es el conjunto
de los números que no
pueden
ser
expresados como el
cociente de dos números enteros
Entre los más conocidos está
π꞊
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Reales
Es el conjunto
formado por todos
números racionales e
irracionales
los
U
Números Complejos
Es la colección de números de la forma a + bi, donde
a y b son números reales, e i es la unidad
imaginaria que cumple con la
propieda
2
d.
I =-
SIMBOLO
GÍA
IGUAL
UNIÓN
=
є
ELEMENTO
PERTENECE
ELEMENTO NO
PERTENECE
є
U
INTERSECCI ∩
ÓN
DIFEREN
CIA
ES
SUBCONJUNTO
DIFERENCIA
SIMÉTRICA
NO ES
SUBCONJUNTO
COMPLEMENTO DE UN
CONJUNTO
CONJUNTOS
NUMÉRICOS:
NATURALES
CONJUNTO
VACÍO
CONJUNTO
UNIVERSAL
CONJUNTO DE
PARTES
{}o
Ø
Ω
P(A
)
ENTEROS
RACIONALES
IRRACIONAL
ES REALES
COMPLEJOS
΄
’