PROBABILIDAD TOTAL Y PROBABILIDAD DE BAYES ESTADÍSTICA GENERAL Mag. MALDONADO LEYVA HUGO WALTER CONTENIDO - Probabilidad Total - probabilidad de bayes - Aplicaciones Desarrollo del Contenido Según la programación establecido en el silabo de la asignatura ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA INFERENCIAL PROBABILIDADES - DEFINICIONES BÁSICAS - PROBABILIDAD - VARIABLES ALEATORIAS - DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. ESTIMACIÓN DE PARAMETROS PRUEBA DE HIPOTESIS PROBABILIDAD TOTAL Partición del espacio muestral Ω Si A1, A2,…,Ak, son eventos excluyentes, cuya unión es el Ω, Con Ai∩Aj=Φ, Para todo i ≠j A1 A2 A3 A4 … … … Ak B Luego si los k eventos: A1, A2, …, Ak, constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces, para cualquier evento B en Ω, k PROBABILIDAD TOTAL P( B) = P( Ai ) P( B / Ai ) i =1 Los sucesos Ai deben formar un sistema completo, es decir deben contemplar todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%) La probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades condicionadas PROBABILIDAD DE BAYES Si k eventos: A1, A2, …, Ak, constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces, para cualquier evento B en Ω, tal que P(B)>0, P( Ai ) P( B / Ai ) P( Ai / B) = P( B) Para cada i = 1, 2, 3, … , k Donde: P(B) representa la probabilidad total Ejemplo 1: En una empresa se tienen tres máquinas M1, M2 y M3 , respectivamente las maquinas fabrican el 50% ; 30% y 20% del total de la producción. Según el historial de cada máquina respectivamente el 1,2%, 2% y 2,2% de lo producido son defectuosos. El departamento de control de calidad selecciona aleatoriamente del almacén un producto. a) Cuál es la probabilidad que de este producto sea defectuoso b) Si se sabe que el producto es defectuosos. Cual es la probabilidad de que haya sido producido por la M1 , M3? Sean los eventos: M1: Seleccionar M1 M2: Seleccionar M2 M3: Seleccionar M3 D: Producto defectuoso M1 0,5 M2 0,30 0,012 0,02 M3 0,20 0,022 D P (D)=P(M1)P(D/M1) + P(M2)P(D/ M2) + P(M3)P(D/ M3) P (D) = (0,50 * 0,012) + (0,30 * 0,02) + (0,20 * 0,022) = 0,0164 Luego la probabilidad de que el producto seleccionado sea defectuoso es 0,0164 (1,64%) b. Si se sabe que el producto es defectuosos. Cual es la probabilidad de que haya sido producido por la M1 , M3? Aplicando la probabilidad de bayes tenemos: P( M 1 / D) = P( M 1 ) P( D / M 1 ) 0,5*0, 012 15 = = = 0.3659 36,59% P( D) 0, 0164 41 P( M 3 ) P( D / M 3 ) 0, 2*0, 022 11 P( M 3 / D) = = = = 0.2683 26,83% P( D) 0, 0164 41 Otra forma: 0,012 D M1 0,5 0,3 0,02 M2 0,2 D‘ D D’ 0,022 M3 0,978 D D’ P(D)=P(AD) + P(BD) + P(CD) =P(A)P(D/A) + P(A)P(D/B) + P(A)P(D/C) P(D)=0,5*0,012+0,3*0,02+0,2*0,022 = 0,0164 P( M 1 / D) = P( M 3 / D) = P( M 1 ) P( D / M 1 ) 0,5*0, 012 15 = = = 0.3659 36,59% P( D) 0, 0164 41 P ( M 3 ) P ( D / M 3 ) 0, 2 * 0, 022 11 = = = 0.2683 26,83% P( D) 0, 0164 41 Ejemplo 2: En una línea de producción hay dos procesos A y B , En el proceso A hay 7.5 % de defectuosos y en B hay 6 % . En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del B a) Si se extrae un producto al Azar, hallar la probabilidad que sea defectuosos b) Si al extraer el producto resultó defectuoso, halle la probabilidad de que sea del proceso B SOLUCIÓN Sean los eventos: A: El producto es del proceso A B: El producto es del proceso B D: El Producto es defectuoso A 200/300 n(Ω)=300 n(A)=200 n(B) = 100 B 100/300 0,06 0,075 D a) Si se extrae un producto al Azar, hallar la probabilidad que sea defectuosos Debemos calcular P(D), luego aplicando la probabilidad total se tiene: P (D)=P(A)P(D/A) + P(B)P(D/ B) P (D) = 200/300* 0,06 + 100/300 *0,075 = 0,065 Luego la probabilidad de que el producto seleccionado sea defectuoso es 0,065 (6,5%) b. Por el teorema de Bayes se tiene: P( B / D) = P( B) P( D / B) 100 / 300*0,075 5 = = = 0.3846 38, 46% P( D) 0,065 13 EJEMPLO 03 SOLUCIÓN Evaluación del Contenido 1. Una compañía de transportes de mercancías cubre tres líneas de forma que el 50, el 30 y el 20% respectivamente de sus camiones trabajan en la línea 1, en la 2 y en la 3, Se sabe que la probabilidad de que un camión este averiado en una líneas es respectivamente de 3%, 4% y 1%. Calcular: a. La probabilidad de que un camión esté averiado. b. Sabiendo que un camión esta averiado, cual es la probabilidad de que sea de la segunda líneas. c. Sabiendo que un camión no está averiado, cual es la probabilidad de que sea de la primera línea. Anexos Considerar información complementaria al desarrollo del contenido Actividades Tarea para desarrollar casos aplicación practica. Recursos - Archivo de diapositivas del tema. Bibliografía Córdova Zamora, Manuel. Estadística Descriptiva E Inferencial. quinta edición. Editorial Moshera S.R.L.
