1 SEMANA 6 UNIDAD II: Deformación Simple Tema II: Deformación multiaxial, relación de Poisson Dentro del rango elástico los materiales tienden a deformarse conservando su volumen, o sea si padecen alguna tensión axial en una de sus áreas transversales, digamos por compresión, el cuerpo por allí se acorta y en consecuencia se alarga en otra área o dirección, y viceversa para una tensión. Estos estudios los desarrollo el Físico Francés Simeón Poisson (1781-1840), cuando en 1811 estableció el coeficiente de elasticidad que se conocerá con su apellido y se denota con la letra griega “Nu”, (ѵ); como constante de deformación unitaria en cuerpos isotrópicos. Este valor entonces es como: ѵ = − 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = − ϵy ϵx Ecu. 17 Para una tensión en el eje “X”. Y X Fx. Z El esfuerzo en el eje “X” debido a la carga o fuerza F X, produce un alargamiento o deformación positiva, donde se “Induce” un esfuerzo en el eje “Y” de compresión o acortamiento, que produce una deformación negativa o acortamiento en el eje “Y”. El coeficiente se denomina simple si se idealiza, que de existir deformaciones en el eje “Z”. El coeficiente se “conserva”; es decir, de tal forma que un valor positivo del coeficiente de Poisson es ѵ= 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑥𝑖𝑎𝑙 (𝑋) → ѵ = − ϵz ϵx = − ϵy ϵx Donde el signo negativo es referido a un acortamiento. El coeficiente de Poisson oscila entre mayor al 0,1 y menor igual al 0,5. Como valor adimensional, por ser un cociente de magnitudes iguales, sean estas deformaciones o deformaciones unitarias. 2 Luego como generalización en el caso de esfuerzos biaxiales se desarrollan las siguientes ecuaciones por eje referencial ϵX = 𝛔𝐱 𝐸 - 𝛔𝐲.(ѵ) ϵy = Y 𝐸 𝛔𝐲 𝐸 - 𝛔𝐱.(ѵ) 𝐸 Ecu. 18 Como reto al lector, deduzca ecuaciones de cada esfuerzo Axial, por eje coordenado a partir de las dos versiones de la ecuación 18. σx = 𝐄.(𝛜𝐱 + ѵ.𝛜𝐲) 𝟏 − ѵ𝟐 Y σy = 𝐄.(𝛜𝐲 + ѵ.𝛜𝐱) 𝟏 − ѵ𝟐 Ecu. 19 Como esfuerzos axiales de tensión y/0 Compresión inducida y viceversa. Entonces y lógicamente a partir de la deducción de esfuerzos cortantes, se obtiene una importante y útil relación en la ingeniería entre los módulos de Young “E”, en sus versiones de tensión y compresión, (con ligeras variaciones), y el de esfuerzo cortante o de Cizalladura “G”. G = E / 2(1 + ѵ) Ecu. 20 Es decir, gracias a la constante de Poisson se pudo ajustar para diferentes materiales la versión del módulo de Young, para esfuerzos cortantes, que en la praxis demostraron ser sustancialmente diferentes. En el mundo de la ingeniería civil, el coeficiente de Poisson en los concretos se acepta como 0,2. En muchos métales como 0,33 y en el acero como aleación con valores en el rango de: (0,25 a 0,3). 3 Por supuesto al hablar de tres dimensiones la lógica dice que pueden existir uno, dos o tres esfuerzos axiales y por ende uno, dos o tres esfuerzos inducidos, (Multiaxial). Esto es, si imaginamos un cubo de arista “L” su volumen será: V = L 3, luego por deformaciones el cuerpo se convierte en un paralelepípedo, donde su volumen conservado será V = (L + δ x).(L + δ y) (L + δ Z), donde existirá al menos una deformación negativa. Generando una interesante complejidad, por supuesto nuevamente idealizando situaciones como de un solo esfuerzo axial, y dos inducidos, se tendrá para un esfuerzo en el eje “X”, la siguiente relación extensible para cada eje coordenado de la deformación unitaria ϵX = 𝛔𝐱 𝐸 - 𝛔𝐲.(ѵ) 𝐸 - 𝛔𝐳.(ѵ) 𝐸 Ecu. 21 Como ecuación a generalizar por eje, en una ampliación de la ley de Hooke para cargas multiaxiales en el rango elástico del cuerpo. En adicional si el volumen se expresa en términos unitarios como V / L3 = (1 + ϵ x + ϵ y + ϵ Z). Despreciando los términos que dan en producto mucho menores a la unidad, y llamando Ve el cambio de volumen unitario; es decir, el cambio de volumen sobre unidad de volumen se tiene un valor adimensional Ve = ϵx + ϵy + ϵZ. Como dilatación del material, (cuerpo). Esta relación se combina con la ecuación 21, y se obtiene Ve = (𝟏 − 𝟐ѵ) 𝑬 .(σx + σy + σz ) Ecu. 22 Asumiendo que Ve, es independiente de la orientación del cuerpo considerado, como temática de la transformación del esfuerzo por deformación; es decir, la ecuación 22 puede usarse por referencia o eje particular. Se finaliza el tema diciendo que existen las deformaciones unitarias para esfuerzos multi cortantes, donde la deformación unitaria, se mide en radianes por dirección coordenada de la deformación. Estos cálculos no son sencillos, pero se sabe que las deformaciones unitarias por estos esfuerzos oscilan entre 0,018 y 0,035 radianes, (1° a 2°). Imperceptibles a la vista humana. 4 Ejemplo 21 Un eje macizo cilíndrico de aluminio, (E = 7 x 1010 Pascales) de 15 centímetros de largo y 80 milímetros de diámetro se requiere introducir dentro de un tubo de acero, si el cilindro es comprimido por una fuerza axial de 400 KNw. Calcule el diámetro interno mínimo del tubo para un coeficiente de Poisson de 1/3. Respuesta AT = π/4.(0,08)2 = 5,03 x 10-3 M2. F = 4 x 105 Nw. δY El esfuerzo de compresión axial es: σx = - 7,96 x 107 Pascales. La deformación unitaria en la horizontal es: ϵX = 𝛔𝐱 𝐸 = - (7,96 / 7) x 10-3. Luego con la deformación unitaria en la vertical: ϵY = - ѵ.ϵX. ϵY = 3,8 x 10-4. De donde se obtiene la deformación como incremento del diámetro del cilindro de aluminio en: δ = ϵX.(80). → δ = 0,0304 mm. Entonces el tubo de acero debe tener un diámetro interno mínimo de 80,0304 milímetros. 5 Ejemplo 22 Una barra de aleación metálica es de longitud 50 centímetros, y tiene 16 milímetros de diámetro, si se alarga 0,3 mm. Por una tensión axial de 12.000 Nw. Donde su diámetro se acorta en 0,0024 milímetros. Calcule su módulo de Young y su coeficiente de Poisson. Respuesta 12KNw. Diámetro: 1,6 x 10-2 Mts. → A = 2,01 x 10-4 M2. 0,5 Mts. Con: δx = 0,3 mm. δy = - 2,4 x 10-3 mm. De estas obtenemos las deformaciones unitarias ϵx = (0,3 / 500) = 6 x 10-4. ϵy = (- 2,4 x 10-3 / 16) = - 1,5 x 10-4. Para el calculo del coeficiente de Poisson usamos la ecuación 17 ѵ = − 𝛜𝐲 𝛜𝐱 = (-1,5 / 6) = 0,25. Para el módulo de Young de la aleación, se requiere del esfuerzo axial σx = (12 x 103) / (2,01 x 10-4) = 5,97 x 107 Pascales. σx = E. ϵx → E = (5,97 x 107) / (6 x 10-4). E = 9,95 x 1010 Pascales. 6 Ejemplo 23 El siguiente paralelepípedo de acero tiene E = 2,9 x 10 7 Psi. Sometido a esfuerzos en sus tres caras, si la arista AB se acorta en 0,0012 pulgadas. Calcular la deformación en la arista BC y la fuerza axial AB, para un ѵ = 0,29. CD 2” BC 3” AB 4” Respuesta La deformación unitaria en AB es: ϵAB = (0,0012 / 4) = - 3 x 10-4. (Acortamiento). La fuerza axial en esa cara se obtiene de la ecuación 21 y 22 para esa direccionalidad como ϵX = - 𝛔𝐱 𝐸 Entonces: FAB = Con Ve = Ae.ϵX. (𝐄.ϵx) (𝟏 − 𝟐ѵ) = −(𝟐,𝟗).(3000) (𝟏 − 𝟎,𝟓𝟖) → ϵX = 𝐅.(𝟏 − 𝟐ѵ) 𝑬 . → FAB = - 20.714,3 Nw. 7 Tarea 5 a) Demuestre en un contraejemplo o dos, que el coeficiente de Poisson tiene como valor máximo, que en ocasiones es asintótico, de 0,5. b) En una prueba de tensión se somete una barra de aluminio de ½” pulgada de diámetro y 1xx milímetros de largo, a una fuerza axial de 3x.xxx Newton. Calcule su alargamiento y el cambio de su diámetro para un coeficiente de Poisson de 0,3x.
