a) Responde.
• <,Como se determina el perfmetro de los cuadrados y rectangulos?
• Si en Iugar de medidas, los cuadrados y rectangulos tienen constantes
y literates, <,como se determina su perfmetro?
• <,Que operaciones tendras que realizar entre las constantes y literates
para expresar el perimetro?
Glosario
• <,Las literates se suman de igual forma que las constantes? Justifica tu
respuesta .
expresi6n algebraica:
combinaci6n de
numeros y literates con
operaciones de suma,
resta, multiplicaci6n y
division. Por ejemplo:
2+2y
b) Determina el perimetro de las f1guras indicando Ia suma de los lados.
Observa los ejemplos.
Figura 1: P1 = 1 + 1 + 1 + 1
Figura 2: P2 = 1 + 1 + y + y
Figura 3: _ _ _ _ _ _ _ __
Figura 4: _ _ _ _ _ _ _ __
Figura 5:
Figura 6:
• <,Como realizas las sumas en el perimetro de las figuras 1 y 2?
• Cuando sumas 1 + 1 + 1 + 1, <,estas sumando constantes o literates?
• Cuando sumas y + y, <,estas sumando constantes o literates?
Los terminos semejantes son los que contienen Ia m isma parte literal. Por
ejemplo: y cony, x con x. 5x con 9x. Se identifican en una expresi6n algebraica por ser del mismo tipo y para poder sumarlas. Por ejemplo:
y + y = 2y, 1 + 1 + y + y = 2 + 2y
c) Determina el perimetro de las f1guras anteriores realizando las sumas.
Figura 1: P1 = 4
Figura 2: P2 = 2 + 2y
Figura 3: _ _ _ _ _ _ _ __
Figura 4 : _ _ _ _ _ _ _ __
Figura 5: _ _ _ _ _ _ _ __
Figura 6: _ _ _ _ _ _ _ __
Tema: Ecuaciones
2x+2y
0
Explica por que nose pueden simpliflcar las x con las x2 ni las y con las y2 •
I
:0'--------------------------------------------~
Concentrate
Desarrollemos algunos conceptos algebraicos.
La expresi6n que describe el peri metro del siguiente rectangulo esta dada por:
2n + 5
l
2n + (2n + 5) + 2n + (2n + 5)
Las expresiones se pueden simpliflcar y evaluar, es decir, darle un valor a Ia variable y encontrar el valor
de Ia expresi6n.
Simplif1camos, para ella, se eliminan los parentesis:
2n+2n+5+2n+2n+5
y se reducen los terminos semejantes:
8n + 10
Evaluamos para n = 2
8(2) + 10 = 26
Ecuaci6n. Es una combinaci6n de simbolos matematicos que puede incluir numeros, literales, operaciones e incluye el signa de igual (=). Existen ecuaciones numericas y ecuaciones algebraicas:
Ecuaci6n numerica: incluye numeros, operaciones y el signa de igual (=).
4(3) + 4 = 42
Las ecuaciones numericas se pueden comprobar.
12+ 4 = 16
16 = 16
Ecuaci6n algebraica: incluye numeros, variables, operaciones y el signa de igual (=).
2x+5=9
Las ecuaciones algebraicas se pueden resolver, es decir, podemos encontrar el valor de Ia literal.
En Ia secci6n Construyo mi aprendizaje aprenderas a resolver ecuaciones lineales.
VI
0
~
@
Eje: Numero, algebra y variaci6n
Construyo mi aprendizaje
Traducir de lenguaje comun a lenguaje algebraico
Para resolver problemas algebraicos, es importante traducir el problema dellenguaje comun allenguaje algebraico. Observa como se traducen las siguientes frases.
Un numero cualquiera
X
El doble de un numero
2x
La sum a de dos numeros
x+y
La diferencia de dos numeros
x- y
La mitad de un numero
X
Dos numeros consecutivos
X, X t
1
Un numero par y su consecutivo par
2n, 2n t 2
4 mas quex
x+4
x aumentado 5
x+ 5
La diferencia entre 8 y x ox menos que 8
8- x
9 menos que x o x disminuido en 9
x- 9
x veces 9 o 9 veces x
9x
El producto de 4 y x
4x
El cociente de x y 8 ox dividido entre 8
X
El cociente de 5 y x
~
2
8
5
X
Una tercera parte de un numero
X
Un numero elevado al cuadrado
x2
3
Observa el uso de parentesis para traducir las frases en los siguientes ejemplos.
.~
;1:
~
w
La suma de dos numeros consecutivos
n+(n+1}
4 veces, una cantidad disminuida en 3
4(x - 3}
5 veces, xmas 3
5(x + 3}
3 veces, Ia diferencia x y 8
3(x - 8)
El doble, de Ia sum a de x y 7
2(x+ 7)
Un sexto, de Ia suma de x y 2
(x + 2)
6
Tema: Ecuaciones
1.
Traduce a una expresi6n algebraica los siguientes problemas.
lnterconecta
Espaiiol. La importanci a
de Ia coma
a) En Ia clase de Ingles hay 8 niiias menos que niiios. El numero de niiios se
representara con Ia letra h, y el numero de niiias con Ia letra m, por lo cual,
En t u clase de Espaiiol
has visto como cambia
el senti do de una f rase
si Ia coma cambia de
Iugar. Por ejemplo, noes
lo mismo escribir: "No,
espere"; que escribir:
·No espere·.
b) Para comprar un telefono celular se realizan un pago de 1000 pesos y 10
Gada frase expresa lo
contrario de Ia otra.
c) Escribe Ia ex presion que representa el perfmetro del siguiente triangulo.
En Matematicas tambien cambia el significado al poner o no una
coma. Por ejemplo, no
es lo mismo escribir:
el numero de niiias es m =
pagos mensuales iguales. La cantidad que se paga cada mes se representa
con Ia letra x. Entonces, el telefono celular cuesta:
X
3
• el doble de xmas 3:
2(x + 3).
que:
• el doble de x. mas 3:
2x+3.
d) La tercera parte de una pizza cuesta 33 pesos.
e) La suma de 3 numeros consecutivos es igual a 48. Representa el primer
numero con Ia letra n. - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
f) Juan ha lefdo ~ de los libros de Ia secci6n de Historia de Ia biblioteca. Le
faltan por leer 18 libros. Escribe una ecuaci6n para hallar el total de libros de
Historia que hay en Ia biblioteca. - - - - - - - - - - - - - - -
Resoluci6n de ecuaciones lineales (un paso)
En una ecuaci6n, el valor de lo que esta a Ia izquierda del signo igual (=) es el mismo de lo que se encuentra a Ia derecha; para resolverla, se busca el valor desconocido despejando Ia variable, lo cual quiere decir que se debe dejar sola en un
lado u otro del signo igual.
Rea lizar un despeje equivale a rea lizar las operaciones inversas que afectan a
Ia variable. Como se observa en los siguientes ejemplos.
Si un numero esta restando a Ia variable, se utiliza Ia suma.
Se suma 3 en ambos Iados de Ia ecuaci6n:
x - j =15
f3
X=
+3
18
ut
0
AI sumar 3 dellado izquierdo, - 3 + 3 es 0, ya que Ia suma de un numero y su
simetrico es cero.
Eje: Numero, algebra y variaci6n
~
@
Si un numero esta sumando a Ia variable,
se utiliza Ia resta.
Si un numero esta multiplicando a Ia variable,
se utiliza Ia division.
Se resta 7 en ambos lados de Ia ecuaci6n:
Se dividen entre 8 ambos Iados de Ia igualdad:
x+/1 = 9
8
- x=40
/ 7 -7
1
~ = ~0
x=2
x=S
AI restar 7 del la do izquierdo, 7 - 7 es 0.
AI dividir : en ellado izquierdo, el resultado es 1 y
1x es igual ax.
Si un numero esta dividiendo a Ia variable,
se utiliza Ia multiplicaci6n.
Se multiplican por 7 ambos Iados de Ia igualdad:
.!5.. = 30
7
7 (;) = 7 (30)
~ =210
X=
210
AI multiplicar por 7 ellado izquierdo, el resultado es
~
que es igual a 1 y 1x es igual
ax.
Ecuaciones de dos o mas pasos
Algunas ecuaciones requ ieren mas de un paso para despej ar Ia incognita. Para
resolverlas, habra que simplif1car los terminos semejantes en ambos !ados de Ia
ecuacion y despues aplicar las operaciones que convengan.
• Si Ia incognita se encuentra en ambos Iados de Ia ecuacion, se utiliza Ia tecn ica
de suma y resta para anularla en uno de los Iados.
• Si Ia ecuacion tiene numeros en ambos !ados, se utilizan las operaciones necesarias para anularlos de uno de los !ados.
• Escoge un !ado para Ia incognita y el otro para los numeros.
• Si Ia ecuacion tiene parentesis, para eliminarlos, simplifica los t erminos semejantes dentro de ellos y luego utiliza Ia propiedad distributiva (ejemplo 2).
Los siguientes ejemplos muestran los pasos basicos para resolver este tipo de
ecuaciones.
Ejemplo 1
2x+3x=15
Simplif1cando terminos semejantes: Sx = 15
Realizando operaciones para despej ar:
~ = 155
x=3
Tema: Ecuaciones
Como
~
=1
5x = 1x = x
5
Glosario
propiedad distributiva:
dice que el producto de
un numero por una suma
o diferencia, es igual a Ia
suma o diferencia de los
productos. Por ejemplo:
2(x + 1) = 2x + 2
Ejemplo 3
8y+ 2 = Sy+ 8
Haciendo las operaciones para anular y dell ado
derecho y el numero 2 del l ado izquierdo:
Ejemplo 2
By+ 2 = ~y+ 8
- 5y - 2 -~ - 2
3y
= 6
3(a + 5 +2a) = 18
Simpliflcando terminos semejantes dentro del
parentesis:
' =~
3(3a + 5) = 18
Aplicando Ia propiedad distributiva, se multiplica
por 3 cad a termino dentro del parentesis:
y=2
Ejemplo 5
3y= - 4y + 6
9a + 15 = 18
Realizando operaciones para anular el numero
dell ado izquierdo y despejar a.
Realizando operaciones para despejar:
3y = - 4y+ 6
+ 4y + 4y
7y= 6
9a + \ 5 = 18
- 15. - 15
' =~
~= ~
y = .§_
a= J....
3
Ej emplo 4
7
Ejemplo 6
6y= 8 - 2y+ 4
Simpliflcando terminos comunes:
6y= 12 - 2y
Real izando operaciones para despejar:
6y = 12 - ~
+ 2y
-t/2y
~ = ~2
y = 182 Simpliflcando, y = ~
3.4x - 1.2 = 1.4 x
Realizando operaciones para despejar:
3.4x - 1J = 1. ~
- 1.4x + f 2 = - 1j4x + 1.2
2x = 1.2
~= 1;}
x= 0.6
Para comprobar que el resultado es correcto,
se sustituye en Ia ecuaci6n.
3.4x - 1.2 = 1.4x
3.4(0.6) - 1.2 = 1.4(0.6)
2.04 - 1.2 = 0.84
0.84 = 0.84
VI
0
Como Ia igualdad es verdadera, el resultado es
correcto.
Eje: Numero, algebra y variaci6n
~
@
~ractico mis habilidades
1.
Traduce los siguientes problemas a una expresi6n o a una ecuaci6n algebraica segun el caso.
a) La sum a de cuatro numeros consecutivos pares. Representa el primer numero con Ia letra n.
b) La entrada para visitarel Museo de Ciencias Naturales es de $30 para nifios
y $70 pesos para adultos. El numero de adultos que acompafi6 al grupo
es 3. Un grupo de Ia escuela pag6 por Ia vis ita $660. Representa el numero
de nifios con Ia letra x.
c) Un rectangulo tiene 10 em de largo
y x em de ancho.
X
10
• Escribe una expresi6n que represente su area: _ _ _ _ _ _ _ __
• Escribe una expresi6n que represente su perfmetro: _ _ _ _ _ __
d) El papa de Ricardo quiere rentar un auto que cuesta $800 por dfa, mas $2
por kil6metro recorrido. Llama x al numero de kil6metros recorridos. i_Cuanto pagara?
e) La base de un triangulo isosceles m ide 10 em menos que Ia altura.
• Escribe una ex presion que represente Ia base del triangulo. Llama h a Ia
altura. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - • Escribe una expresi6n que represente el area del triangulo. _ _ _ __
f) La sum a de tres multiplos consecutivos de 5 es 60. Si llamas n al primero
de ellos, i_cuales son los tres numeros?
g) Una cuerda de 50 em de largo se corta en dos pedazos de manera que uno
de ellos es Ia tercera parte del otro. Escribe lo que se pide:
• Largo de Ia cuerda: _ _ _ __
• Pedazo 1: _ _ _ __
• Pedazo 2: _ _ _ __
• Ecuaci6n para calcular cuanto mide cad a pedazo:
Tema: Ecuaciones
Figura 9.2 En ellibro
chino Los nueve capftulos
sobre arte matematico, se
propone uno de los primeros metodos conocidos
para reso lver ecuaciones
lineales.
h) Regina tenia cierta cantidad de dinero. Presto
daron $125. Escribe lo que se pide:
Capturalo
Acertijo para asombrar a
losamigos.
• Dinero que tenia Regina:
• Dinero que presto: _ _ _ __
Pide a un amigo o
fam iliar que piense en
un numero y que siga las
instrucciones que le vas
a dar. Pide que te diga
el resultado que obtuvo
y tu le diras que numero
pens6:
•
•
•
•
~ de lo que tenia y le que-
• Ecuacion para calcular cuanto dinero tenia Regina:
i) El perimetro de un rectangulo es 36. Ellargo es igual al doble del ancho.
Escribe lo que se pi de:
• Medida del ancho: _ _ _ __
Piensa un numero
Sumale 5
Multiplicalo por 2
Restale 3
• Medida del largo: __
• Ecuacion que permite calcular el largo y el ancho:
Pide que te diga el resultado y resuelve mentalmente Ia ecuaci6n.
j) Rebeca y Alejandro ganan $12 500 entre los dos. Si Rebeca gana $450 mas
que Alejandro, t.cuanto gana cada uno? Escribe lo que se pide:
2x + 7 = resultado que te
diga
• Rebeca gana:
Para lo cual debes restar
7 al numero que te digan
y dividir entre 2 el resultado. iPruebalo!
• Alejandro gana: _ _ _ __
• Ecuacion que permite averiguar cuanto gana cada uno:
2.
a)y - 11= - 4
Resuelve las ecuaciones.
X
b) 3= 6
c) 5 = r + 9
X
d) 9 - 9 = 1
g) y+ 5.4 = - 0.7
h) 1.5x = 3.45
i) 88 +X= 3
j) - Sw + 8(1 + 7w) = - 8
k) 5(2m + 6) = 4 (5 +2m) +3m
I) 5(4y + 2) = 2(8 + 6y)
m) 3 + Sa = 8 - 40a + 6
n) 2(x + 2) = x - 2
o) 4(z + 2) = 3(z + 1)
p) X+ 4X - 2 +X= 28
q)
~ - 3= ~ +1
11
r)
2x; 5 = 5
VI
0
~
@
Eje: Numero, algebra y variaci6n
3.
t) a + 3a + 8 = 2a + 10
u) 24m+ 18 = 8m +50
v) 3z+.l=z+i.
2
2
w) y+ 4(2y+1)=8+2y - 1
x) .!.+.!.+.!.=6
2
3
6
y) 5w = 3w+ 2
z) 8x - 15 = 2 (x + 6)
En cada problema, plantea Ia ecuaci6n algebraica y resuelvela. Redacta
Ia respuesta.
a) Encuentra dos numeros consecutivos cuya suma sea 57.
b) El triple, de Ia suma de un numero y 20 es igual a 81. <,Cual es el numero?
>
c) Marfa recibe cierta cantidad cada domingo para sus gastos de Ia semana.
En Ia semana de inicio de clases gast6 Ia m itad para comprar sus libros y
recibi6 $280 extra por su cumpleaiios. <,Cuanto recibe semanalmente si al
final de Ia semana tenfa $550?
cj
.,"'
~
u;
.;
~
l
.,w.~
~
w
.;
.,
0
"'c:
"'~
d) La sum a de tres numeros consecutivos multiplos de 4 es 72. <,Cuales son
los numeros?
Ul
Ul
_g
~
.,"'
Ul
.2
Ul
0
~
@
Tema: Ecuaciones
e) La mitad de un numero mas Ia tercera parte del mismo numero es igual a
70. <.Cual es el numero?
f) Alejandra fue a Ia tienda para comprar un regalo. Con $132.20 cubri6 ;
del costa total. <.Cuanto cost6 el regalo?
Encuentra el 3RROR
El procedimiento para resolver Ia siguiente ecuaci6n es incorrecto. c.En
cual paso se comete el
error?
g) Si a 400 le resto el doble de mi edad, el resultado es 270. <.Que edad tengo?
2(x + 4)- 6 = 8
Paso 1.
Paso 2 .
Paso 3.
Paso 4.
Paso 5.
Paso 6.
Paso 7.
2x + 4 - 6 = 8
2x + 4 = 8 + 6
2x + 4 = 14
2x = 14 - 4
2x = 10
h) El peri metro de un rectangulo es 80 em. Si el ancho es ; del largo, tcuales
son las dimensiones del rectangu lo?
10
x=2
x=S
f
i) Un autobus !leva todos los asientos ocupados cuando sale de Ia estaci6n.
En Ia primera parada se baja Ia mitad de los pasajeros y suben 7 personas,
y en Ia siguiente parada se bajan 1 6. Si quedan 17 pasajeros, <.cuantos
habia en el auto bus al salir de Ia estaci6n?
~
I
j) Carolina compr6 una planta de tomate. En Ia primera semana duplic6 su
tamaiio, en Ia segunda semana creci6 8 em yen Ia tercera semana creci6
6 em. Si ahara mide 35 em, <.cuanto media cuando Ia compr6?
f
k) Rebeca tiene el triple de Ia edad de Teresa yam bas edades sum an 32 a nos.
<.Que edad tiene cada una?
VI
0
~
@
Eje: Numero, algebra y variaci6n
I) En Ia semana de vacaciones disminuye el trabajo en el restaurante. Luis
trabaja como mesero y recibi6 Ia primera semana cierta cantidad de propina, pero Ia segunda semana recibi6 Ia mitad de Ia primera. Si el total de
sus propinas fue de $1 260. <.Cuanto recibi6 cada semana?
Como comprobar Ia soluci6n de una ecuaci6n algebraica en un graf1cador
Escribe Ia ecuaci6n que describe el siguiente problema:
1.
El triple de un numero aumentado en 5 es igual a 11:
2.
Encuentra el valor de x: _ _ _ __
3.
Abre ©GeoGebra, traza Ia gratica dey= 3x + 5 y comprueba cuanto vale y cuando x = 2: _ _ __
4.
Explica con tus palabras como encontraste el valor dey.
y
12
11
10
I
9
8
7
6
s
4
3
2 -
-12 - 1r -1 0 -9
-8
-1
-6
-s -•
X
-~
-2
6
-2
L
-s
-7
-8
-10
Tema: Ecuaciones
I
7
8
9
10
11
12
Aplico y comparto
1.
En equipos de cuatro, decidan quien realizara cada uno de los siguientes
roles.
• Facilitador. Se encargara de que el problema sea claro para los miembros
del equipo y que los integrantes participen y compartan sus resultados y
opiniones para trabajar juntos en Ia soluci6n del problema.
• Secretario. Llevara el registro de las ideas, estrategias, metodos y soluciones
que se generen en las sesiones de trabajo.
• Administrador. Procurara que el equipo tenga las herramientas y Ia informacion necesarias para resolver el problema. Es Ia (mica persona que puede
!lamar al docente para preguntar las dud as que no puedan ser resueltas en
el equipo.
• Coordinador. Debera asegurarse de que los calculos sean correctos y el
razonamiento matematico este justiflcado.
a) Regresa al problema de Ia secci6n Exploro y responde.
• El numero original.
El denominador de una fracci6n es tres unidades mas grande que e/ numerador. Si e/ numerador se aumenta 7 unidades y e/ denominador se disminuye una unidad, e/ nuevo numero es igua/ a
~ . Encuentra e/ numero original.
» Si llamas x al numerador, {..cual es el denominador? _ _ _ _ _ __
» Por lotanto,la fracci6n original es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
» Si el numerador se au menta en 7, queda como: - - - - - - - - -
» Si el denominador se disminuye una unidad, queda como:
..
. I 3
» La f racc1on nueva que es 1gua a 2 es: - - - - - - - - - - - » La ecuaci6n que describe el problema es: - - - - - - - - - - -
• AI ser Ia igualdad de dos razones, sabemos que los productos cruzados
son iguales. Escribe los productos cruzados y resuelve Ia ecuaci6n.
VI
0
• La fracci6n original es: - - - - - - - - - - - - - - - - - Eje: Numero. algebra y variaci6n
~
@
@._<.Que aprendi?
1.
t.C6mo puedo determinar si debo traducir un problema a una expresi6n o a
una ecuaci6n algebraica?
2.
Describe con tus palabras como se resuelve Ia siguiente ecuaci6n algebraica.
4x + 8 + x = 3x + 28
>
cj
.,"'
3.
~
lnventa un problema cuya descripci6n esta representada por Ia ecuaci6n
algebraica.
u;
.;
1
3 a-
~
.~
8 =52
;1:
~
w
.;
.,
0
"'c:
"'~
Ul
Ul
_g
~
~
4.
t.Cual parte de Ia secuencia fue mas facil de aprender y practicar, y cual se
te difrcult6 mas?
Tema: Ecuaciones
