7. Problemas Avanzados A LEJO G ARCÍA TALLERES DE M ATEMÁTICA U DELAR 2020 - G EOMETRÍA 1. Definiciones y resultados básicos A lo largo del año estudiamos un montón de resultaditos sobre geometría plana, y los aplicamos en situaciones puntuales. Aún así, la belleza de un problema de matemática reside en que al mirarlo tenemos un montón de herramientas, pero no es obvio cuáles de ellas tenemos que usar. Y de eso se trata este taller. A continuación pueden encontrar problemas de geometría de olimpíadas nacionales, regionales e internacionales, cuyas soluciones utilizan las el contenido que hemos venido trabajando durante los talleres anteriores. Los problemas fueron colocados en orden de dificultad, si es que algo así existe. A pensar. Buena suerte. 2. Problemas 1. (Olimpiada Nacional de Matemática, Final 2011, Nivel IV.) Sea ABC un triángulo acutángulo. Sean D, E , F los pies de las alturas por A, B y C , respectivamente. Se considera la recta r , paralela a E F por D. Sean Q y N respectivamente, la intersección de r con AC y de r con E B . Demuestre que D es el punto medio de QN . 2. (Problema 1, 27° Olimpiada Iberoamericana de Matemática, Bolivia, 2012.) Sobre el rectángulo ABC D se dibujan los triángulos equiláteros BC X y DC Y , de modo que cada uno de ellos comparte puntos con el interior del rectángulo. La recta AX corta a la recta DC en P . La recta AY corta a la recta BC en Q. Demuestre que el triángulo APQ es equilátero. 3. (Problema 4, 26° Olimpiada Iberoamericana de Matemática, Costa Rica, 2011.) Sea ABC un triángulo acutángulo, y O su circuncentro. Sean P y Q puntos tales que BO AP y COPQ son paralelogramos. Demostrar que Q es el ortocentro de ABC . 4. (Problema 4, 30° Olimpiada Iberoamericana de Matemática, Puerto Rico, 2015.) En el triángulo acutángulo ABC , el punto D es el pie de la perpendicular desde A sobre el lado BC . Sea P u punto en el segmento AD. Las rectas B P y C P cortan a los lados AC y AB en E y F , respectivamente. Sean J y K los pies de las perpendiculares desde E y F sobre AD, respectivamente. Demuestre que FK EJ = K D JD . 5. (Problema 1, 53° Olimpíada Internacional de Matemática, Argentina, 2012.) Dado un triángulo ABC , el punto J es el centro del excícrculo opuesto al vértice A. Este excírculo es tangente al lado BC en M , y a las rectas AB y AC en K y L, respectivamente. Las rectas LM y B J se cortan en F , y las rectas K M y C J se cortan en G. Sea S el punto de intersección de las rectas AF y BC , y sea T el punto de intersección de las rectas AG y BC . Demuestre que M es el punto medio de ST . 1 6. (Problema 1, 45° Olimpiada Internacional de Matemática, Grecia, 2004.) Sea ABC un triángulo acutángulo, con AB 6= AC . El círculo de diámetro BC intersecta los lados AB y AC en M y N , respectivamente. Sea O el punto medio del lado BC . Las bisectrices de los ángulos ∠B AC y ∠MON se intersectan en R. Pruebe que los circuncírculos de los triángulos B M R y C N R tienen un punto en común, que está en el lado BC . 7. (Problema 5, 53° Olimpíada Internacional de Matemática, Argentina, 2012.) Sea ABC un triángulo tal que ∠BC A = 90ř, y sea D el pie de la altura desde C . Sea X un punto interior del segmento C D. Sea K el punto en el segmento AX , tal que B K = BC . Análogamente, sea L el punto en el segmento B X tal que AL = AC . Sea M el punto de intersección de AL y B K . Demuestre que M K = M L. 2
